课时跟踪检测(六十七)-离散型随机变量及其分布列
高中数学--离散型随机变量及其分布列
高中数学--离散型随机变量及其分布列1．若随机变量X 的概率分布列为且p 1＝12p 2，则p 1等于( )A.12 B.13 C.14D.16 【解析】 由p 1＋p 2＝1且p 2＝2p 1可解得p 1＝13.【答案】 B2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于( )A.19 .16 C.13D.14【解析】 ∵12a ＋22a ＋32a ＝1，∴a ＝3，P (X ＝2)＝22×3＝13.【答案】 C3．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( )A ．25B ．10C ．7D ．6 【解析】 X 的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.【答案】 C4．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.【答案】 235．(2012·安徽高考)某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。
试题库中现共有n ＋m 道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类试题的数量．(1)求X ＝n ＋2的概率； (2)设m ＝n ，求X 的分布列．【解】 (1)X ＝n ＋2表示两次调题均为A 类型试题，概率为n m ＋n ×n ＋1m ＋n ＋2＝n (n ＋1)(m ＋n )(m ＋n ＋2).(2)m ＝n 时，每次调用的是A 类型试题的概率为P ＝12，随机变量X 可取n ，n ＋1，n ＋2.P (X ＝n )＝(1－p )2＝14，P (X ＝n ＋1)＝2p (1－p )＝12，P (X ＝n ＋2)＝p 2＝14，所以X 的分布列为课时作业【考点排查表】1．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为( )A ．1 B.12 C.13D.15【解析】 设X 的分布列为：即“X ＝0”表示试验失败，“X 设失败的概率为p ，成功的概率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝13，因此选C.【答案】 C2．若P (X ≤x 2)＝1－β，P (X ≥x 1)＝1－α，其中x 1＜x 2，则P (x 1≤X ≤x 2)等于( ) A ．(1－α)(1－β) B ．1－(α＋β) C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α) 【解析】 由分布列性质可有：P (x 1≤X ≤x 2)＝P (X ≤x 2)＋P (X ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)． 【答案】 B3．已知离散型随机变量X 的分布列为则k 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．3【解析】 由分布列性质有k n ＋k n ＋…＋kn ＝1，得k ＝1.【答案】 B4．今有电子原件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为( )A.C 35C 350 B.C 15＋C 25＋C 35C 350C ．1－C 345C 350D.C 15C 245＋C 25C 245C 350【解析】 不出现二级品的结果数为C 345， 不出现二级品的概率为C 345C 350，∴出现二级品的概率为1－C 345C 350.【答案】 C5．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )A.C 480C 610C 10100B.C 680C 410C 10100 C.C 480C 620C 10100D.C 680C 420C 10100【解析】 超几何分布恰有6个红球则有4个白球，结果数为C 680C 420， ∴恰有6个红球的概率为C 680C 420C 10100.【答案】 D6．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( ) A ．P (ξ＝3) B ．P (ξ≥2) C ．P (ξ≤3)D ．P (ξ＝2)【解析】 由超几何分布知P (ξ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n 【答案】 D 二、填空题7．随机变量X 的分布列P (X ＝k )＝a ⎝⎛⎭⎫23k，k ＝1,2,3，…，则a 的值为________．【解析】 由 ∞k ＝1P (X ＝k )＝1，即 a ⎣⎡⎦⎤23＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫233＋ (1)∴a 231－23＝1，解得a ＝12.【答案】 128．若离散型随机变量X 的分布列为常数c ＝______.【解析】 由离散型随机变量分布列的基本性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ＋3－8c ＝1，0≤9c 2－c ≤1，0≤3－8c ≤1，解得c ＝13.【答案】 139．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________.【解析】 相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X ＝2对应(1,1)；X ＝3对应(1,2)，(2,1)；X ＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝136＋236＋336＝16. 【答案】 16三、解答题10．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为34，遇到红灯(禁止通行)的概率为14.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：(1)ξ的分布列；(2)停车时最多已通过3个路口的概率．【解】 (1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.用A k 表示事件“汽车通过第k 个路口时不停(遇绿灯)”，则P (A k )＝34(k ＝1,2,3,4)，且A 1，A 2，A 3，A 4独立．故P (ξ＝0)＝P (A 1)＝14；P (ξ＝1)＝P (A 1·A 2)＝34×14＝316；P (ξ＝2)＝P (A 1·A 2·A 3)＝(34)214＝964；P (ξ＝3)＝P (A 1·A 2·A 3·A 4)＝(34)314＝27256；P (ξ＝4)＝P (A 1·A 2·A 3·A 4)＝(34)4＝81256.从而ξ有分布列：(2)P (ξ≤3)＝1－P (ξ＝4)＝1－81256＝175256.即停车时最多已通过3个路口的概率为175256.11．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解】 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是(2)设“取出的3A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120. 12．一个袋中装有若干大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)若袋中共有10个球； ①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 分布列；(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710，并指出袋中哪种颜色的球个数最少．【解】 (1)①记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．②随机变量X 的取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 35C 310＝112；P (X ＝1)＝C 15C 25C 310＝512；P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512；P (X ＝3)＝C 35C 310＝112.故X 的分布列为：(2)证明：设袋中有n 由题意得y ＝25n ，所以2y ＜n,2y ≤n －1，故y n －1≤12.设“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ， 则P (B )＝25·n －y n －1＋35·y n －1＋25·y －1n －1＝25＋35×y n －1≤25＋35×12＝710. 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于n5.故袋中红球个数最少．四、选做题13．(2012·全国新课标高考)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列； (2)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解】 (1)当n ≥16时，y ＝16×(10－5)＝80. 当n ≤5时，y ＝5n －5(16－n )＝10n －80.得：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，(n ≤15)，80， (n ≥16).(n ∈N )(2)①X 可取60,70,80P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7 X 的分布列为②购进17y ＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×5－1×5)×0.16＋17×5×0.54＝76.4.76．4＞76得：应购进17枝．。
离散型随机变量及其分布列
p2
„
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基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布 列，简称X的分布列．有时为了表达简 单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2， …，n 表示X的分布列． (2)离散型随机变量分布列的性质 ① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
② i＝1 . ③一般地，离散型随机变量在某一 范围内取值的概率等于这个范围内每个 随机变量值的概率 之和 ．
pi＝1
n
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如何求离散型随机变量的分 布列？ 【思考·提示】 首先确定 随机变量的取值，求出离散型随 机变量的每一个值对应的概率， 最后列成表格．
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2．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X的分布列是 X P 0 1－p 1 p
则这样的分布列称为两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分 布列，就称X服从 两点 分布，而称p＝ P(X＝1)为成功概率．
课堂互动讲练
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所以随机变量X的概率分布列为
X P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
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【解】 (1)法一：“一次取出的 3
3 1
个小球上的数字互不相同”的事件记 为 A，则
1 1 C5 C2 C2 C2 2 P(A)＝ ＝ . 3 C10 3
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法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件． C51C22C81 1 因为 P(B)＝ ＝ ， 3 C10 3 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3
(完整版)离散型随机变量及其分布列测试题
离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题：1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每一个可能值的概率都是非负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D . X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2、甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξA.4.06.01⨯-k B.76.024.01⨯-k C.6.04.01⨯-k D.24.076.01⨯-k3、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6 C . 10 D. 无法确定4、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是3点，一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点 D . 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的6. 如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3 B .5 C.6 D.107.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C .127 D.65 8.设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2521(<<ξP 等于（ ）A.21B.91C. 61D.51 9.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为: A.41004901C C -B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .10.位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是： A.5)21( B .525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C11.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是A. 0．216B.0．36C.0．432 D .0．648 5.把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是: A ．40243 B ．1027C ．516 D ．1024312.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于: A9160 B 21 C 185 D 2169113.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是:A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 14.从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是A ．2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率C ．至少有一个个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率 15.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是101，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为: A ．1001 B ．2507 C ．2501 D ．10001 16. .已知随机变量ξ的分布列为：若12)(2=<x P ξ，则实数x 的取值范围是（ ）A.94≤<xB.94<≤xC.94≥<x x 或D.94>≤x x 或17. 12.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ）A.2101012)85()83(⋅C B .83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C18. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）（A ）175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475二、填空题：19.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____20. 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ．（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）21.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是410.1-.其中正确结论的序号是 ①③ __（写出所有正确结论的序号）. 22.对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ;4()m n m -三、解答题：23、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．24.一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（Ⅱ）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时，P 最大？24.（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，一次摸奖中奖的概率10(5)(4)np n n =++．（Ⅱ）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =,三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是:123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，知在1(0,)3上P 为增函数，在1(,1)3上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值．又101(5)(4)3n p n n ==++,解得20n =．25. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31.(1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.•（1）X 的分布列为P （X=k ）=·，k=0，1，2，3，4，5，6.（2）Y 的概率分布为：Y 0 1 2 3P·· ·Y 4 5 6P··（3）0.912 解析:（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故X～B（6，）， 2分所以X的分布列为P（X=k）=·，k=0，1，2，3，4，5，6. 5分（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5.其中：{Y=k}（k=0，1，2，3，4，5）表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.P（Y=k）=·（k=0，1，2，3，4，5），而{Y=6}表示一路没有遇上红灯，故其概率为P（Y=6）=.8分因此Y的概率分布为：Y 0 1 2 3P···Y 4 5 6P··12分（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1或X=2或…或X=6}， 14分 所以其概率为P （X≥1）==1-=≈0.912. 16分20．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X .22．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、B3、C4、D5、C6、B7、C8、B二、填空题： 18、 20三、解答题：18、解：设黄球的个数为n ，由题意知 绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为X 10 －1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X 24 8 16 ．．．n 2 ．．． P21 4181 161 ．．． n 21 ．．．∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为： X 1 2 P3414。
人教版高考数学一轮复习第十一章 课时规范练64 离散型随机变量的分布列、均值与方差(含答案)
课时规范练64离散型随机变量的分布列、均值与方差基础巩固组1.一串钥匙有5把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数ξ的最大值为()A.5B.2C.3D.42.设随机变量X的分布列如下表,则P(|X-2|=1)=()A.712B.12C.512D.163.设随机变量X的分布列如下表,则方差D(X)=()A.0B.1C.2D.34.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),又X的均值为E(X)=3,则a+b=()A.110B.0 C.-110D.155.已知随机变量X的分布列如下表,若E(X)=1,则D(X)=()A.0.1B.0.2C.0.4D.0.66.(多选)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k5)=ak(k=1,2,3,4,5),则()A.15a=1B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2D.P (ξ=1)=0.37.已知随机变量ξ的分布列如下表,则x= .8.已知X 的分布列如下表,设Y=2X+1,则Y 的均值E (Y )的值是 .综合提升组9.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p (0<p<1),发球次数为X ,若X 的均值E (X )>1.75,则p 的取值范围为( ) A.(0,12) B.(0,712) C.(12,1)D.(712,1)10.(多选)(2022山东第二次学业质量检测)已知m ,n 均为正数,随机变量X 的分布列如下表,则下列结论一定成立的是( ) A.P (X=1)<P (X ≠1) B.E (X )=1 C.mn ≤18D.D (X+1)<111.(多选)袋内有形状、大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,设取球次数为ξ,则下列说法正确的是( ) A.抽取2次后停止取球的概率为35B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为910 C.取球次数ξ的均值为2D.取球次数ξ的方差为92012.(多选)已知随机变量ξ的分布列是随机变量η的分布列是则当p在(0,1)内增大时,下列选项中正确的是()A.E(ξ)=E(η)B.D(ξ)=D(η)C.E(ξ)增大D.D(η)先增大后减小13.已知随机变量X的分布列为已知a>0,b>0,当D(X)最大时,E(X)=.14.对某种型号的仪器进行质量检测,每台仪器最多可检测3次,一旦发现问题,则停止检测,否则一直检测到3次为止,设该仪器一次检测出现问题的概率为0.2,则检测2次停止的概率为;设检测次数为X,则X的均值为.15.(2022浙江,15)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=,E(ξ)=.16.已知某盒子中共有6个小球,编号为1号至6号,其中有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除颜色和编号外完全相同.(1)若从盒中一次随机取出3个球,求取出的3个球中恰有2个颜色相同的概率;(2)若从盒中逐一取球,每次取后立即放回,共取4次,求恰有3次取到黄球的概率;(3)若从盒中逐一取球,每次取后不放回,记取完黄球所需次数为X,求随机变量X的分布列及均值E(X).创新应用组17.甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司,底薪80元,每单送餐员抽成4元;乙公司,无底薪,40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元,超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,现从这两家公司各随机选取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从记录甲公司送餐员的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数,求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题:①记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和均值E(X);②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日平均工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.课时规范练64 离散型随机变量的分布列、均值与方差1.D 解析:由于不能打开的钥匙会扔掉,故扔掉4把打不开的钥匙后,第5把钥匙就是能开锁的钥匙,ξ的最大值为4,故选D .2.C 解析:由16+14+m+13=1,得m=14,所以P (|X-2|=1)=P (X=1)+P (X=3)=16+14=512. 3.B 解析:由题得,a=1-0.1-0.3-0.4=0.2,则E (X )=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E (X 2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,D (X )=E (X 2)-[E (X )]2=5-4=1,故选B . 4.A 解析:依题意可得X 的分布列为依题意得,{a +b +2a +b +3a +b +4a +b =1,(a +b )+2(2a +b )+3(3a +b )+4(4a +b )=3,解得a=110,b=0,故a+b=110.故选A .5.C 解析:由分布列的性质,可得0.2+a+b=1,解得a+b=0.8. ① ∵E (X )=1,∴0×0.2+1×a+2×b=1,即a+2b=1, ②联立①②,解得a=0.6,b=0.2.D (X )=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4. 故选C .6.ABC 解析:随机变量ξ的分布列为P (ξ=k5)=ak (k=1,2,3,4,5),P ξ=15+P ξ=25+P ξ=35+P ξ=45+P (ξ=1)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=115,故A 正确;P (0.5<ξ<0.8)=P (ξ=35)=3×115=0.2,故B 正确;P (0.1<ξ<0.5)=P (ξ=15)+P (ξ=25)=115+2×115=0.2,故C 正确;P (ξ=1)=5×115=13≠0.3,故D 错误.故选ABC .7.12 解析:由题得,x 2+x+14=1,化简得x+32x-12=0,解得x=12或x=-32.因为0≤x ≤1,所以x=12.8.23解析:由题得12+16+a=1,解得a=13. E (X )=-12+13=-16.∵Y=2X+1,∴E (Y )=2E (X )+1,∴E (Y )=23.9.A 解析:由题可知P (X=1)=p ,P (X=2)=(1-p )p ,P (X=3)=(1-p )2p+(1-p )3=(1-p )2,则E (X )=P (X=1)+2P (X=2)+3P (X=3)=p+2(1-p )p+3(1-p )2>1.75,解得p>52或p<12,由p ∈(0,1),可得p ∈(0,12).故选A .10.BCD 解析:由分布列的性质,得m+n+m=2m+n=1,P (X=1)=n ,P (X ≠1)=2m.当m=14,n=12时,P (X=1)=P (X ≠1),故选项A 错误;因为E (X )=n+2m=1,故选项B 正确;因为m ,n 均为正数,所以1=n+2m ≥2√2mn ,即mn ≤18,当且仅当n=2m=12时,等号成立,故选项C 正确;由n=1-2m>0,得0<m<12.又E (X )=1,所以D (X+1)=D (X )=2m<1,故选项D 正确.故选BCD .11.BD 解析:由题意可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3,则P (ξ=1)=35,P (ξ=2)=25×34=310,P (ξ=3)=25×14=110.对于A 选项,抽取2次后停止取球的概率为P (ξ=2)=310,A 选项错误;对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P (ξ=1)+P (ξ=2)=35+310=910,B 选项正确;对于C 选项,取球次数ξ的均值为E (ξ)=1×35+2×310+3×110=32,C 选项错误;对于D 选项,取球次数ξ的方差为D (ξ)=(1-32)2×35+(2-32)2×310+(3-32)2×110=920,D 选项正确.故选BD .12.BC 解析:对于A,∵η=ξ+2,∴E (η)=E (ξ)+2,故A 错误;对于B,∵η=ξ+2,∴D (ξ)=D (η),故B 正确;对于C,∵E (ξ)=-12+12p ,∴当p 在(0,1)内增大时,E (ξ)增大,故C 正确;对于D,∵E (η)=12+2×1-p2+3×p2=32+p2,∴D (η)=-12−p22×12+12−p 22×1-p 2+32−p 22×p 2=-14(p-2)2+54,故当p在(0,1)内增大时,D (η)单调递增,故D 错误.故选BC .13.54 解析:由题知b=1-3a ,E (X )=2a+2(1-3a )=2-4a ,则D (X )=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a )2·(1-3a )=-16a 2+6a.故当a=316时,D (X )最大,此时E (X )=54.14.0.16 2.44 解析:检测2次停止的概率为(1-0.2)×0.2=0.16.检测次数X 可取1,2,3,P (X=1)=0.2,P (X=2)=0.8×0.2=0.16,P (X=3)=0.8×0.8×0.8+0.8×0.8×0.2=0.64,则E (X )=1×0.2+2×0.16+3×0.64=2.44.15.1635 127解析:P (ξ=2)=C 21C 42+C 41C 73=1635,ξ的所有可能取值为1,2,3,4. P (ξ=1)=C 62C 73=1535,P (ξ=2)=1635, P (ξ=3)=C 32C 73=335,P (ξ=4)=C 22C 73=135, 故E (ξ)=1×1535+2×1635+3×335+4×135=127. 16.解(1)从盒中一次随机取出3个球,记取出的3个球中恰有2个颜色相同为事件A ,则事件A 包含事件“3个球中有2个红球”和事件“3个球中有2个黄球”, 由古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式得P (A )=C 32C 31+C 22C 41C 63=1320.故取出的2个球颜色相同的概率为1320.(2)盒中逐一取球,取后立即放回,每次取到黄球的概率为13,记“取4次恰有3次黄球”为事件B ,则P (B )=C 43×(13)3×(1-13)=881.故取4次恰有3次黄球的概率为881. (3)X 的可能取值为2,3,4,5,6, 则P (X=2)=A 22A 62=115,P (X=3)=C 21C 41A 22A 63=215, P (X=4)=C 21C 42A 33A 64=15,P (X=5)=C 21C 43A 44A 65=415,P (X=6)=C 21A 55A 66=13,所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的均值为E (X )=2×115+3×215+4×15+5×415+6×13=143. 17.解(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ,则P (M )=C 253C 503=23196.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a ,当a=38时,X=38×6=228,当a=39时,X=39×6=234,当a=40时,X=40×6=240,当a=41时,X=40×6+1×7=247,当a=42时,X=40×6+2×7=254.所以X 的可能取值为228,234,240,247,254. 故X 的分布列为所以E (X )=228×110+234×15+240×15+247×25+254×110=241.8.②依题意,甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7,所以甲公司送餐员的日平均工资为80+4×39.7=238.8元. 由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元. 因为238.8<241.8,所以推荐小王去乙公司应聘.。
课时跟踪检测(六十八) 离散型随机变量及其分布列
课时跟踪检测（六十八） 离散型随机变量及其分布列一、题点全面练1.若随机变量X 的分布列为则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.[1,2] C.(1,2]D.(1,2)解析：选C 由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2].2.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝a ⎝⎛⎭⎫13k (其中k ＝1,2,3)，则a 的值为( ) A.1 B.913 C.1113D.2713解析：选D 因为随机变量X 的分布列为 P (X ＝k )＝a ⎝⎛⎭⎫13k(k ＝1,2,3)，所以根据分布列的性质有a ×13＋a ⎝⎛⎭⎫132＋a ⎝⎛⎭⎫133＝1，所以a ⎝⎛⎭⎫13＋19＋127＝a ×1327＝1， 所以a ＝2713.3.(2019·赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )A. B.C. D.解析：选C 随机变量ξ的可能取值为1,2,3，P (ξ＝1)＝C 24C 35＝35，P (ξ＝2)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝3)＝C 22C 35＝110，故选C.4.一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( ) A.P (X ＝3) B.P (X ≥2) C.P (X ≤3)D.P (X ＝2)解析：选D 依题意知，(n －m )A 2mA 3n是取了3次，所以取出白球应为2个. 5.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P (ξ＝1)＝1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )A.10%B.20%C.30%D.40%解析：选B 设10件产品中有x 件次品，则P (ξ＝1)＝C 1x ·C 110－x C 210＝x (10－x )45＝1645，∴x ＝2或8.∵次品率不超过40%，∴x ＝2，∴次品率为210＝20%.6.某射击选手射击环数的分布列为若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________.解析：由分布列的性质得a ＋b ＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%. 答案：40%7.已知随机变量X 的概率分别为p 1，p 2，p 3，且依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________.解析：由分布列的性质及等差数列的性质得p 1＋p 2＋p 3＝3p 2＝1，p 2＝13，又⎩⎪⎨⎪⎧p 1≥0，p 3≥0，即⎩⎨⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎡⎦⎤－13，13 8.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________.解析：设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布， 其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，则P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.答案：459.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列.解：(1)由已知，得P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4，其中P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4).故P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝114，P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝37，P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝37，P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝114，所以随机变量X 的分布列为。
离散型随机变量及其分布列考点与题型归纳
离散型随机变量及其分布列考点与题型归纳一、基础知识1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示❶. (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n❷此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列.有时也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列.(2)分布列的性质①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；②∑i ＝1np i ＝1.3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列X 0 1 P1－pp若随机变量X 的分布列具有左表的形式，则称X 服从两点分布❸，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率.(2)超几何分布列❹在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *❺.X 01… mPC 0M C n －N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C m M C n －mN －MC nN如果随机变量X 的分布列具有左表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布. 若X 是随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)也是随机变量． 表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率．两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. m ＝min{M ，n }的理解m 为k 的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即n ≤M 时，k (抽取的样本中次品的件数)的最大值为m ＝n ；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n ＞M 时，k 的最大值为m ＝M .考点一 离散型随机变量的分布列的性质1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X －1 0 1 P132－3qq 2则q 的值为( ) A.1 B.32±336 C.32－336D.32＋336解析：选C 由分布列的性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，解得q ＝32－336.2.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52的值为( ) A.23 B.34 C.45D.56解析：选D 由⎝⎛⎭⎫11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a ＝1，知45a ＝1，得a ＝54.故P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12×54＋16×54＝56. 3.设离散型随机变量X 的分布列为(1)求随机变量Y ＝2(2)求随机变量η＝|X －1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X 2的分布列. 解：(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 首先列表为：从而Y ＝2X ＋1的分布列为(2)列表为∴P (η＝0)＝P (X ＝1)P (η＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P (η＝2)＝P (X ＝3)＝0.3， P (η＝3)＝P (X ＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为(3)首先列表为从而ξ＝X2的分布列为考点二超几何分布[典例精析]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.[解](1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M ＝C48 C510＝518.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝C56C510＝142，P(X＝1)＝C46C14C510＝521，P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，P(X＝3)＝C26C34C510＝521，P(X＝4)＝C16C44C510＝142.因此X的分布列为[题组训练]某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X ，求X 的分布列.解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X 的分布列服从参数N ＝8，M ＝3，n ＝3的超几何分布.X 的所有可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝i )＝C i 3C 3－i 5C 38(i ＝0,1,2,3)，则P (X ＝0)＝C 03C 35C 38＝528，P (X ＝1)＝C 13C 25C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 23C 15C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 05C 38＝156.所以X 的分布列为考点三 求离散型随机变量的分布列[典例精析]已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列.[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 13A 25＝310. (2)X 的可能取值为200,300,400，则P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝35.故X 的分布列为[题组训练]有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入座编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法.(1)求n 的值；(2)求随机变量X 的分布列.解：(1)因为当X ＝2时，有C 2n 种坐法， 所以C 2n ＝6，即n (n －1)2＝6， n 2－n －12＝0，解得n ＝4或n ＝－3(舍去)，所以n ＝4. (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ， 由题意知X 的可能取值是0,2,3,4， 所以P (X ＝0)＝1A 44＝124，P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝624＝14，P (X ＝3)＝C 34×2A 44＝824＝13，P (X ＝4)＝9A 44＝38，所以随机变量X 的分布列为[课时跟踪检测]A 级1.若随机变量X 的分布列为则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.[1,2] C.(1,2]D.(1,2)解析：选C 由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2].2.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝a ⎝⎛⎭⎫13k (其中k ＝1,2,3)，则a 的值为( ) A.1 B.913 C.1113D.2713解析：选D 因为随机变量X 的分布列为 P (X ＝k )＝a ⎝⎛⎭⎫13k(k ＝1,2,3)，所以根据分布列的性质有a ×13＋a ⎝⎛⎭⎫132＋a ⎝⎛⎭⎫133＝1，所以a ⎝⎛⎭⎫13＋19＋127＝a ×1327＝1， 所以a ＝2713.3.(2019·赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )A. B.C. D.解析：选C 随机变量ξ的可能取值为1,2,3，P (ξ＝1)＝C 24C 35＝35，P (ξ＝2)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝3)＝C 22C 35＝110，故选C.4.一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( )A.P (X ＝3)B.P (X ≥2)C.P (X ≤3)D.P (X ＝2)解析：选D 依题意知，(n －m )A 2mA 3n是取了3次，所以取出白球应为2个.5.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P (ξ＝1)＝1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )A.10%B.20%C.30%D.40%解析：选B 设10件产品中有x 件次品，则P (ξ＝1)＝C 1x ·C 110－xC 210＝x (10－x )45＝1645，∴x ＝2或8.∵次品率不超过40%，∴x ＝2，∴次品率为210＝20%.6.某射击选手射击环数的分布列为若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________.解析：由分布列的性质得a ＋b ＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%. 答案：40%7.已知随机变量X 的概率分别为p 1，p 2，p 3，且依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________.解析：由分布列的性质及等差数列的性质得p 1＋p 2＋p 3＝3p 2＝1，p 2＝13，又⎩⎪⎨⎪⎧p 1≥0，p 3≥0，即⎩⎨⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎡⎦⎤－13，13 8.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________.解析：设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布， 其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，则P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.答案：459.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列.解：(1)由已知，得P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4，其中P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4).故P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝114，P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝37，P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝37，P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝114，所以随机变量X 的分布列为10.(2019·长春质检)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量 [0,1 000](1 000,3 000](3 000，＋∞)节数61812(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数； (2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X 的分布列.解：(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为1236×6＝2.(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X 的可能取值为0,20,40,60.P (X ＝0)＝1C 26＝115，P (X ＝20)＝C 13C 12C 26＝615＝25，P (X ＝40)＝C 12＋C 23C 26＝515＝13，P (X ＝60)＝C 13C 26＝315＝15，则X 的分布列为X 0 20 40 60 P11525131511.(2018·郑州第一次质量预测)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示，(1)若甲单位数据的平均数是122，求x ；(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列.解：(1)由题意知110[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x )＋132＋134＋141]＝122，解得x ＝8.(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ2的所有可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，所以P (η＝0)＝C 27C 26C 210C 210＝745，P (η＝1)＝C 17C 13C 26＋C 27C 14C 16C 210C 210＝91225， P (η＝2)＝C 23C 26＋C 27C 24＋C 17C 13C 16C 14C 210C 210＝13， P (η＝3)＝C 23C 16C 14＋C 17C 13C 24C 210C 210＝22225， P (η＝4)＝C 23C 24C 210C 210＝2225.所以η的分布列为B 级1.若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1＜x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( ) A.(1－α)(1－β) B.1－(α＋β) C.1－α(1－β)D.1－β(1－α)解析：选B 显然P (ξ＞x 2)＝β，P (ξ＜x 1)＝α.由概率分布列的性质可知P (x 1≤ξ≤x 2)＝1－P (ξ＞x 2)－P (ξ＜x 1)＝1－α－β.2.一个人有n 把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X 为随机变量，则P (X ＝k )等于( )A.k nB.1nC.k －1nD.k ！n ！解析：选B {X ＝k }表示“第k 次恰好打开，前k －1次没有打开”，∴P (X ＝k )＝n －1n×n －2n －1×…×n －(k －1)n －(k －2)×1n －(k －1)＝1n. 3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为________.解析：事件“X ＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220.答案：27220.4.某班级50名学生的考试分数x 分布在区间[50,100)内，设考试分数x 的分布频率是f (x )且f (x )＝⎩⎨⎧n10－0.4，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝5，6，7，－n5＋b ，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝8，9.考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在[50,60)内的成绩记为1分，考试分数在[60,70)内的成绩记为2分，考试分数在[70,80)内的成绩记为3分，考试分数在[80,90)内的成绩记为4分，考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分、2分及3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽出3人，记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).(1)求b 的值，并估计该班的考试平均分数； (2)求P (ξ＝7)； (3)求ξ的分布列.解：(1)因为f (x )＝⎩⎨⎧n10－0.4，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝5，6，7，－n5＋b ，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝8，9，所以⎝⎛⎭⎫510－0.4＋⎝⎛⎭⎫610－0.4＋⎝⎛⎭⎫710－0.4＋⎝⎛⎭⎫－85＋b ＋⎝⎛⎭⎫－95＋b ＝1，所以b ＝1.9. 估计该班的考试平均分数为⎝⎛⎭⎫510－0.4×55＋⎝⎛⎭⎫610－0.4×65＋⎝⎛⎭⎫710－0.4×75＋⎝⎛⎭⎫－85＋1.9×85＋⎝⎛⎭⎫－95＋1.9×95＝76.(2)按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分，2分，3分的学生中抽出1人，2人，3人，再从这6人中抽出3人，所以P (ξ＝7)＝C 23C 11＋C 13C 22C 36＝310.(3)因为ξ的可能取值为5,6,7,8,9，所以P (ξ＝5)＝C 11C 22C 36＝120，P (ξ＝6)＝C 11C 12C 13C 36＝310，P (ξ＝7)＝310，P (ξ＝8)＝C 23C 12C 36＝310，P (ξ＝9)＝C 33C 36＝120.故ξ的分布列为。
离散型随机变量及其分布列
X1 2 3 4
P
1 35
4 35
2 7
4 7
第39页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
故随机变量X的数学期望E(X)＝1×315＋2×345＋3×27＋4×47
＝157.
【答案】
6 (1)7
17 (2) 5
第40页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
★状元笔记 求随机变量的分布列的三个步骤
(1)找：理解并确定ξ＝xi的意义，找出随机变量ξ的所有可能 的取值xi(i＝1，2，…，n)．
第33页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
C.
X －1
0
1
P 0.3 0.4 0.3
D.
X
0.1
0.1
0.7
P
0.3
0.4
0.5
【答案】 C
第34页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(2)若随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝
a n（n＋1）
(n＝
1，2，3，4)，其中a是常数，则P12<ξ<52的值为________．
第23页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
★状元笔记 (1)所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关 系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试 验的某一个随机事件． (2)写随机变量表示的结果，要看三个特征：①可用数来表 示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值；③在试验之前 不能确定值．
第28页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
【解析】 由已知分布列为：
ξ
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
P a 2a 3a 4a 5a
第五节 离散型随机变量及其分布列
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量是指某一区间内的任意值.（
）
答案：（1）×
（2）若随机变量X服从两点分布，则P（X＝1）＝1－P（X＝0）.
（
）
答案：（2）√
（3）超几何分布的总体里只有两类物品.
（
）
答案：（3）√
（4）从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
①求2X＋1的分布列；
②求随机变量η＝｜X－1｜的分布列.
目录
（2）解 ①由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
列表为
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
从而2X＋1的分布列为
目录
ξ
－1
0
1
2
3
P
1
10
1
5
1
10
1
5
2
5
则下列各式正确的是
2
5
（
）
4
5
A.P（ξ＜3）＝
B.P（ξ＞1）＝
2
C.P（2＜ξ＜4）＝
5
D.P（ξ＜0.5）＝0
目录
解析：C
1
1
1
1 3
1 2 3
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课时跟踪检测(六十七) 离散型随机变量及其分布列(分A 、B 卷，共2页) A 卷：夯基保分一、选择题1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．02．(2015·长沙模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于?n －m ?A 2mA 3n的是( ) A ．P (X ＝3)B ．P (X ≥2)C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)3．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 的值为( ) A ．1±336 －336＋3364．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an ?n ＋1?(n ＝1,2,3，4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52的值为( )5．(2015·厦门质检)设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k(k ＝1,2,3)，则m 的值为( )6．若随机变量X 的分布列为则当P(X＜a)＝时，实数a的取值范围是( )A．(－∞，2] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2)二、填空题7．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1<x2，则P(x1≤X≤x2)的值为________．8．设随机变量X的概率分布列为X1234P 13m1416则P(|X－3|＝1)＝________.9．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其分布列如下：X123456P则丢失的两个数据x，y依次为________．10.(2015·信阳一模)如图所示，A，B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X, 则P(X≥8)＝____________.三、解答题11．(2015·沈阳模拟)某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团)：围棋社舞蹈社拳击社男生51028女生1530m学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，结果拳击社被抽出了6人．(1)求拳击社团被抽出的6人中有5人是男生的概率；(2)设拳击社团有X名女生被抽出，求X的分布列．12．甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道被选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为X ，求X 的分布列．B 卷：增分提能1．口袋中有n (n ∈N *)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ，已知P (X ＝2)＝730，求：(1)n 的值； (2)X 的分布列．2．(2015·大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y 的分布列．3．2014年8月22日是邓小平同志110周年诞辰，为纪念邓小平同志110周年诞辰，促进广安乃至四川旅游业进一步发展，国家旅游局把2014年“5.19”中国旅游日主会场放在四川广安．为迎接旅游日的到来，某旅行社组织了14人参加“四川旅游常识”知识竞赛，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：根据上表信息解答以下问题：(1)从14人中任选3人，求3人答对题目个数之和为6的概率；(2)从14人中任选2人，用X表示这2人答对题目个数之和，求随机变量X的分布列．答案A 卷：夯基保分1．选C 设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X p ，则成功率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝13，故应选C.2．选D 由超几何分布知P (X ＝2)＝?n －m ?A 2mA 3n . 3．选C 由分布列的性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q ＝32－336.4．选D ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a 2＋a 6＋a 12＋a20＝1，∴a ＝54，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜x ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.5．选B 由分布列的性质得P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋ P (X ＝3)＝m ×23＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝38m27＝1.∴m ＝2738.6．选C 由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝，P (X ＜0)＝，P (X ＜1)＝，P (X ＜2)＝，则当P (X ＜a )＝时，实数a 的取值范围是(1,2]．7．解析：由分布列性质可有：P (x 1≤X ≤x 2)＝P (X ≤x 2)＋P (X ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．答案：1－(α＋β)8．解析：由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，p (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.答案：5129．解析：由于＋＋＋＋＋＋＋＝1，得10x ＋y ＝25，又因为x ，y 为正整数，故两个数据依次为2,5.答案：2,510．解析：法一：(直接法)：由已知得，X 的取值为7,8,9,10， ∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 12C 22C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴X 的概率分布列为∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＝310＋25＋110＝45. 法二：(间接法)：由已知得，X 的取值为7,8,9,10， 故P (X ≥8)与P (X ＝7)是对立事件， 所以P (X ≥8)＝1－P (X ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45.答案：4511．解：(1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人，∴628＋m ＝1820＋40＋28＋m，∴m ＝2.设A 为“拳击社团被抽出的6人中有5人是男生”， 则P (A )＝C 528C 12C 630＝48145.(2)由题意可知：X ＝0,1,2，P (X ＝0)＝C 628C 630＝92145，P (X ＝1)＝C 528C 12C 630＝48145，P (X ＝2)＝C 428C 22C 630＝5145＝129，X 的分布列为12．解：(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ， 则P (A )＝C 14C 22C 36＝420＝15，P (B )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－233＋C 23⎝⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝127＋29＝727， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1－P (A B )＝1－P (A )P (B ) ＝1－15×727＝128135.(2)由题知X 的可能取值是1,2.P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45， ∴则X 的分布列为B 卷：增分提能1．解：(1)由P (X ＝2)＝730，知C 13C 1n ＋3×C 1n C 1n ＋2＝730，∴90n ＝7(n ＋2)(n ＋3)． 解得n ＝7. (2)X ＝1,2,3,4，且P (X ＝1)C 17C 110＝710，P (X ＝2)＝C 13C 110×C 17C 19＝730，P (X ＝3)＝C 13C 110×C 12C 19×C 17C 18＝7120，P (X ＝4)＝C 13C 110×C 12C 19×C 11C 18×C 17C 17＝1120.∴X 的分布列为2．解：(1)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝19，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝2)＝12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×23＋12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝3)＝12×13×23＝19.∴X 的分布列为(2)∵得分Y ＝5X ＋2(3－X )＝6＋3X ， ∵X 的可能取值为0,1,2,3. ∴Y 的可能取值为6,9,12,15则P (Y ＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (Y ＝9)＝P (X ＝1)＝718， P (Y ＝12)＝P (X ＝2)＝718，P ＝(Y ＝15)＝P (X ＝3)＝19.∴Y 的分布列为3．解：(1)记“3人答对题目个数之和为6”为事件A ， 则P (A )＝C 35＋C 12C 15C 14＋C 13C 24C 314＝10＋40＋1814×26＝1791， 即3人答对题目个数之和为6的概率为1791.(2)依题意可知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 则P (X ＝0)＝C 23C 214＝37×13＝391，P (X ＝1)＝C 13C 12C 214＝67×13＝691，P (X ＝2)＝C 22＋C 13C 15C 214＝167×13＝1691， P (X ＝3)＝C 13C 14＋C 12C 15C 214＝227×13＝2291， P (X ＝4)＝C 25＋C 12C 14C 214＝187×13＝1891， P (X ＝5)＝C 15C 14C 214＝207×13＝2091，P (X ＝6)＝C 24C 214＝67×13＝691.从而X 的分布列为。