2020年9月山西省长治二中2021届高三毕业班质量调研考试数学(文)试题及答案
2024学年山西省高三第二次调研考试(数学试题文)试卷
2024学年山西省高三第二次调研考试（数学试题文）试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=（） A ．4B ．6C ．23D ．432．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．63．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ） A ．2B ．98C ．1D ．784．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．85．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}-6．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ） A ．2B 15C ．3D ．37．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2B ．53C ．43D ．328．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）A ．7?k >B ．6?k >C ．5?k >D ．4?k >9．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里B ．63海里C ．82海里D ．83海里10．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23B ．33C ．323D ．23311．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)[5,)+∞B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]512．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省长治市2020届高三数学9月统一联考试题文
山西省长治市2020届高三数学9月统一联考试题 文（含解析）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A. {|0}A B x x =<I B. A B R =U C. {|1}A B x x =>U D. A B =∅I【答案】A 【解析】∵集合{|31}xB x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A2.已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ）A. 1C.2D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果.【详解】i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.121()22b a ==故答案为：C.【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi +与i c d +相等的充要条件是a c =且b d =．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．3.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小。
山西省长治市第二中学校2021届高三9月质量调研考试数学(文科)试卷
，
所以 到直线 的距离的最小值为 10分
23．解：（1） 2分
， 或 ， 或 ，4分
不等式的解集为 ；5分
（2）证明：由（1）知 ， ，
，7分
，
，当且仅当 ，即 ， ， 时取等号，
10分
解得： 2 分
3分
．5分
（2）由（1）可知
7分
11分
的表达式为 12分
18．解：（1）
分数不少于 分
分数不足 分
合计
每周线上学习数学时间不少于 小时
每周线上学习数学时间不足 小时
合计
由列联表可知： ，
所以有 的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；5分
（2）由分层抽样知，需要从分数不足 分的学生中抽取 ，则分数不少于 分的抽取 人．7分
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 ，若 （ 为虚数单位）是实数，则 （）
A． B． C． D．
3．已知圆 ，直线 交圆 于 ， 两点，则 （）
A． B． C． D．
4．若点 为抛物线 上的动点， 为该抛物线的焦点，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
5．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是（）
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图， 是边长为 的等边三角形， 为线段 的中点，三视图中的点 ， 分别对应几何体中的点 ， ，则在几何体侧面展开图中 ， 之间的距离为（）
山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研数学(理)试题
山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ）A ．1B ．–1C ．2D ．–22．已知集合(){}lg 2|3A x y x ==-，{}2|4B x x =≤，则=A B （ ） A ．322x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭ B ．{}2x x < C ．322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{}2x x ≤ 3．某圆锥的三视图如图，ABC 是边长为2的等边三角形，P 为AB 的中点，三视图中的点,C P 分别对应圆锥中的点,M N ，则在圆锥侧面展开图中,M N 之间的距离为（ ）A B ．3 C D ．54．若点P 为抛物线24y x =上的动点，F 为该抛物线的焦点，则PF 的最小值为（ ） A ．2 B ．1 C ．18 D ．1165．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角12πα=，现在向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是( )A ．58B ．12C ．34D ．786．已知点1,0A，，,()2C m --，向量AC ，AB 的夹角为56π，则实数m = （ ）A．BC ．0 D．7．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足2589a a a =﹐则3334353637log log log log log a a a a a ++++的值为（ ）A ．73B ．83C ．3D ．103 8．函数()()22sin cos 2cos f x x x x =++的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 在[]0,π上的单调递减区间为（ ）A ．37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．在()()51231x x -+的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．80- B ．40- C ．40 D ．12010．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，满足c =sin sin2C c A a =，则ABC 面积的最大值为（ ） ABCD11．在菱形ABCD 中，3A π=，AB =ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，二面角P BD C --的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（ ） A． B．C ．72πD ．112π 12．定义函数348,122()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间12n ⎡⎤⎣⎦，（*n N ∈）内所有零点的和为（ ）A ．nB ．2nC ．()3214n -D ．()3212n -二、填空题 13．已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使(0)z x ay a =+>取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为__________．14．已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2)f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，则a b +=_______．15．已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，AB 是右支上过2F 的一条弦，234AF AB =且1212A AF AB F +=，则C 的离心率为________． 16．在一个棱长为12的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥），且能使该正四面体在铁盒内任意转动，该正四面体的体积的最大值是________．三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47a =，525S =，数列{}n b 满足113b =，113n n n b b n++=． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．如图，四棱锥S ﹣ABCD 中，SD ＝CD ＝SC ＝2AB ＝2BC ，平面ABCD ⊥底面SDC ，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，E 是SD 中点．（1）证明：直线AE //平面SBC ；（2）点F 为线段AS 的中点，求二面角F ﹣CD ﹣S 的大小．19．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）20．已知点()0,1N ，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2F 是椭圆E 的右焦点，直线NF 的斜率为 （1）求椭圆E 的方程；（2）过点(2,1)P -作直线l ，交椭圆E 于异于点N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，证明12k k +为定值．21．已知函数()x f x e mx =-．（1）讨论()f x 的单调区间与极值；（2）已知函数()f x 的图象与直线y m =-相交于11(,)M x y ，22(,)N x y 两点（12x x <），证明：124x x +>．22．已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为3,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程2cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l ：cos 2sin ρθρθ+=距离的最小值.23．设函数()|1||2|f x x x =++-.（1）求不等式()4f x 的解集；（2）设a ，b ，*c R ∈，函数()f x 的最小值为m ，且111234m a b c++=，求证：2343a b c ++.参考答案1．C【分析】根据复数为实数列式求解即可.【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，，故选：C【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2．D【分析】根据集合,A B 描述求集合，应用集合的并运算求并集即可.【详解】由(){}3lg 32{2||}A x y x x x ==-=<，{}2|4{|22}B x x x x =≤=-≤≤， ∴={|2}A B x x ≤故选：D【点睛】本题考查了集合的基本运算，综合考察了对数的定义域，求不等式的解集，集合的并运算求并集，属于基础题.3．C【分析】先求出圆锥侧面展开图的圆心角的大小，再利用勾股定理求解.【详解】由三视图可知几何体是一个圆锥，如图所示，如图所示，圆锥的侧面展开图的圆心角的大小为21=2ππ⨯， 所以2BAM π∠=,所以MN =.故选：C【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体原图，考查圆锥的侧面两点间距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．D【分析】由抛物线的性质：焦半径最小时，抛物线上的点必为顶点；结合抛物线方程，即可知PF 的最小值.【详解】 由抛物线的性质知：焦点到抛物线上点，距离最小的点为抛物线顶点，而224y x py ==，有18p =， ∴PF 的最小值为1216p =， 故选：D【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，根据抛物线的解析式求焦半径的最小值，属于简单题. 5．A由解三角形得：直角三角形中较小的直角边长为1，由12πα=，得此直角三角形另外两直角边长为长度，进而得小正方形的边长和大正方形的边长，由几何概型中的面积型得解．【详解】设直角三角形中较小的直角边长为1，则由直角三角形中较小的锐角12πα=，得此直角三角形另外直角边长为2则小正方形的边长为1+设“飞镖落在阴影部分”为事件A ，由几何概型中的面积型可得： ()(21(11258P A ++⨯⨯+==， 故选A ．【点睛】本题考查几何概型中的面积型，解三角形、正方形面积公式属中档题．6．B【分析】先利用已知条件得到()3,AC m =--，(1,AB =，再利用向量的数量积的坐标公式求解得3A A B C ⋅=-，又5cos 6AB A AC B C A π⋅=，利用求向量的模的坐标表示代入求解即可得出结果.【详解】由1,0A ，，,()2C m --，得()3,AC m =--，(1,AB =， 则3A A B C ⋅=-，又5cos 36AC AC AB AB π⎛⋅===- ⎝⎭， 得m =.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标公式以及模的坐标表示.属于较易题. 7．D【分析】 利用等比中项的性质可得出2353a =，再利用对数的运算性质和等比数列的性质可求得所求代数式的值.【详解】已知各项为正数的等比数列{}n a 满足2589a a a =，由等比中项的性质可得3253a =，2353a ∴=，由对数的运算性质可得()3334353637334567log log log log log log a a a a a a a a a a ++++=5210333310log 3log 33⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用等比中项的性质和对数的运算性质求值，考查计算能力，属于基础题. 8．A【分析】首先利用二倍角公式求出()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的平移变换求得()224g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由正弦函数的单调区间即可求解. 【详解】()()22sin cos 2cos sin 2cos22f x x x x x x =++=++，即()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()224g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，72,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当32,422x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即37,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 单调递减． 故选：A ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数的平移变换、正弦函数的性质，属于基础题. 9．C 【分析】利用二项式定理得到()512x -的通项，结合31x +确定3x 项的系数即可. 【详解】针对()512x -部分，通项为155(2)(2)r r r r rr T C x C x +=-=-，∴()()51231x x -+中3x项为2?33?335512840C x C x x -=，故选：C 【点睛】本题考查了二项式定理，根据指定项确定r 值，进而求系数，属于基础题. 10．B 【分析】由正弦定理结合二倍角公式可得1cos 22C =，进而可得23C π=，再由余弦定理结合基本不等式可得19ab ≤，再由三角形面积公式即可得解. 【详解】由正弦定理得sin sin sin sin 2C C A A =，所以2sin cos sin sin sin 222C C C A A =， 因为()0,A π∈，0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 02C≠，sin 0A ≠， 所以1cos22C =，所以23C π=，23C π=， 由余弦定理得222222cos 3c a b ab C a b ab ab =+-=++≥，又c =133ab ≤即19ab ≤，当且仅当13a b ==时，等号成立，所以ABC 面积111sin 229S ab C =≤⨯=故选：B. 【点睛】本题考查了正弦定理边角互化的应用，考查了余弦定理结合基本不等式求三角形面积的最值，属于中档题. 11．D 【分析】由题意作示意图，找到底面等边△BDC 的外接圆圆心O ，以及三棱锥P BCD -的外接球的球心O '，过P 作PF AC ⊥于F ，则面'PFOO 为球体最大截面，进而根据已知条件即可求外接球半径，即可求外接球表面积. 【详解】由题意可得如下示意图，设,AC BD 交于E ， 则AC BD ⊥，即,CE BD PE BD ⊥⊥所以PEC ∠为二面角P BD C --的平面角，即23PEC π∠=， 又PECE E =，所以BD ⊥平面PCE ，过P 作PF AC ⊥于F ，,BD PF BD AC E ⊥=，所以PF ⊥平面ABCD ，若,'O O 分别是面BDC 的外接圆圆心、三棱锥P BCD -的外接球的球心， 则OO '⊥平面ABCD ，所以//OO PF '，所以,,,'P F O O 必共面且该面为球体的最大截面，连接,,,OO O D OD O P '''，有O D O P R ''==为外接球半径，OD r =为面BDC 的外接圆半径，若设OO x '=，则：222x r R +=，222()OF PF x R +-=，∵菱形ABCD 中，3A π=，23P AB EC π∠==，∴PD DC PB BC ====，6PE EC ==，BD =且2BD ED ==23EC OE ==，sin 3PF PE π=⋅=，2cos53OF OE EF PE π=+=+⋅=，∴222216r OD OE ED ==+=，即221625)x x +=+，解得x =228R =， 所以三棱锥P BCD -的外接球的表面积2112R 4π=π， 故选：D 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，应用了三棱锥的一个顶点与其在底面上的垂足，该底面外接圆圆心，三棱锥外接球球心四点共面且为球体最大截面求球体半径，进而求球体表面积，属于较难题. 12．D 【分析】由()()60g x xf x =-=得()6=f x x，将()()6g x xf x =-在区间12n ⎡⎤⎣⎦，（*n N ∈）内的零点，转化为函数()y f x =和函数6y x=图象交点的横坐标，然后由()122x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到函数()y f x =的图象，在同一坐标系中作出两函数的图象求解. 【详解】由()()60g x xf x =-=得()6=f x x，故函数()g x 的零点即为函数()y f x =和函数6y x=图象交点的横坐标. 由()122x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭可得，函数()y f x =是以区间()122n n -，为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖方向上缩短为原来的12. 先作出函数()y f x =在区间[]12，上的图象，再依次作出在][][1244822n n -⎡⎤⎣⎦，，，，...，，上的图象，然后再作出函数6y x=的图象，如图所示：由图象可得知：两图象的交点在函数()y f x =的极大值的位置，由此可得函数()g x 在区间()122n n-，上的零点为1223224n n nn x -+==⋅，故所有零点之和为()()21232134122n n nS --=⋅=-. 故选：D . 【点睛】本题主要考查函数的零点以及等比数列求和，还考查了转化化归的思想，数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 13．1 【详解】∵z x ay =+，则11=-+y x z a a，z a 为直线1zy x a a=-+在y 轴上的截距， 要使目标函数的最优解有无穷多个， 则截距最小时的最优解有无数个， ∵0a >，把x ay z +=平移， 使之与可行域的边界AC 重合即可， ∴1a -=-，1a =. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用、二元一次不等式（组）与平面区域等知识，解题的关键是明确z 的几何意义，属于中档题. 14．3 【分析】求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得,a b ． 【详解】 由题意()2af x bx x'=-， ∵函数图象在点(2,(2)f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，∴432ln 2462ln 22ab a b ⎧-=-⎪⎨⎪-=-++⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，∴3a b +=． 故答案为：3． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，15【分析】先结合双曲线定义和已知条件得到各个线段长度，得到290ABF ︒∠=，再利用焦距列关系计算离心率即可. 【详解】如图，双曲线中122AF AF a -=，1212A AF AB F +=，4AB a ∴=又234AF AB =，故223,a a A BF F ==，又因为双曲线定义知115,3a BF AF a ==， 故1AF B △中，115,3a BF AF a ==，4AB a =，290ABF ︒∴∠=，在12BF F △中，12123,,2BF BF F a a F c ===，故()()22232a a c +=22252c e a ∴==，e ∴=故答案为：2. 【点睛】本题考查了双曲线的定义和几何性质，属于基础题.16．【分析】将问题进行等价转化即正面体内接于半径为6的球时，其体积最大，通过体积计算，即可得答案；【详解】由题意得：正面体内接于半径为6的球时，其体积最大，如图，OA为三棱锥的高，设球心为正四面体的外接球球心为O，棱长为x，6,32OA OA OE OE==⇒=，∴8AE=，∴22222()64963x BE AE x x=+=+⇒=，∴211(8322V x=⋅⋅⋅=故答案为：【点睛】本题考查正面四体与球、正方体与球的切接问题，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意画图分析问题.17．（1）21na n=-(*n N∈)；3n nnb=(*n N∈)；（2）3231443nnnT+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭(*n N∈). 【分析】（1）根据等差数列的通项公式、前n项和公式，结合已知条件求1a、d即可得通项公式，由{}n b数列的递推式得113nnb nb n++=及113b=，即可得{}n b的通项公式；（2）根据（1）所得{}n b 通项公式，应用错位相减法求其前n 项和n T . 【详解】（1）数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意: 41513751025a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：112a d =⎧⎨=⎩，1(1)21n a a n d n ∴=+-=-，*n N ∈，又111133n n n n b n n b b n b n++++=⇒=，所以1211211213(1)3(2)3133n n n n n n b b b n n nb b b b b n n ----=⋅⋅=⋅⋅=--⨯，*n N ∈； （2）由（1）知：13nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ 12n n T b b b =++1211112333nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2311111123333n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1212111133333nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111133111111323313n n nn n n ++⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⋅=--⋅⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 13131323114323443nn nn n T n +⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--⋅=-⋅⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， n T ∴的表达式为3231443nn n T +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了数列，根据等差数列的公式、累乘法求数列通项公式，并应用错位相减法求数列前n 项和，属于基础题.18．（1）详见解析；（2）30°．【分析】（1）取SC中点G，连接BG，EG，推导出四边形AEGB为平行四边形，从而AE∥BG，进而AE∥平面SBC；（2）取CD中点O，连接OS，OA ，推导出四边形ABCD为矩形，AO⊥CO，AO⊥CD，以O为原点，OS所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣CD﹣S的大小．【详解】（1）证：如图，取SC中点G，连接BG，EG，∵EG为△SDC的中位线，∴EG∥CD，且EG12CD =，∵AB∥CD，且AB12CD=，∴EG∥CD，且EG＝AB，∴四边形AEGB为平行四边形，∴AE∥BG，∵BG⊂平面SBC，AE⊄平面SBC，∴AE∥平面SBC；（2）解：设AB＝1，则BC＝1，CD＝2，取CD中点O，连接OS，OA ，∴CO12CD AB ==，∵AB∥CD，∠ABC＝90°，∴四边形ABCO为矩形，∴AO⊥CO，AO⊥CD，平面ABCD∩平面SDC＝CD，∴AO⊥平面SDC，AO⊥SO，∵△SDC为正三角形，∴SO⊥CD，以O为原点，OS所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，0，1），S0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，0），F（2，0，12），FC =（，1，12-），FD =（，﹣1，12-），设平面FCD的一个法向量m =（a，b，c），则312312FC m x y zFD m x y z⎧⋅=-+-=⎪⎪⎨⎪⋅=---=⎪⎩，取x＝1，得m=（1，0，，由题意取平面SDC的一个法向量n OA==（0，0，1），设二面角F﹣CD﹣S的大小为θ，则3cosm nm nθ-⋅===，由图可知，θ为锐角，∴θ＝30°，∴二面角F﹣CD﹣S的大小为30°．【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．19．（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望12；方差4.8【分析】（1）完成列联表，代入数据即可判断；（2）利用分层抽样可得X的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知(20,0.6)Y B，计算出期望与方差. 【详解】 （1）2245(1516104)7.29 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取209445⨯=人， X 的可能取值为0，1，2，3，4，44420(0)C P X C ==，31416420(1)C C P X C ==，22416420(2)C C P X C ==13416420(3)C C P X C ==，416420(4)C P X C ==，所以，X 的分布列：②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为150.625=，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y ，则(20,0.6)YB ，故()200.612E Y =⨯=，()200.6(10.6) 4.8D Y =⨯⨯-=.【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.20．（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用两点求斜率可得c =c a =2a =，即求出椭圆的方程.（2）讨论直线l 的斜率不存在时，不满足题意；直线l 的斜率存在时，设其方程为1(2)y k x +=-，将直线与椭圆方程联立，消去y ，整理出关于x 的一元二次方程，利用韦达定理即可求解. 【详解】解：（1）设(c,0)F，由条件知，1c =-得c =又2c a =，所以2a =，2221b a c =-=． 故E 的方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆只有一个交点，不满足题意. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为11221(2),(,),(,)y k x A x y B x y +=-，将直线l 方程代入椭圆2214x y +=，整理得222:(41)8(21)16160k x k k x k k +-+++=，则1228(21)41k k x x k ++=+，2122161641k kx x k +=+， 由题知12,x x 不为零，从而121212121212112(22)()y y kx x k x x k k x x x x ---+++=+=28(22)(21)22(21) 1.1616k k k k k k k k++=-=-+=-+综上，恒有121k k +=-． 【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，考查了考生的计算求解能力，属于中档题.21．（1）分类讨论，答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出导函数()'f x ，利用()0f x '>确定增区间，()0f x '<确定减区间，从而可得极值；（2）由（1）知只有在0m >且(ln )0f m <即m e >时，函数()f x 的图象与直线y m =-才有两个交点，由12()()f x f x m ==-得1212(1)(1)x x e m x e m x ⎧=-⎨=-⎩，可得120111x x <-<<-，同时由1212(1)(1)x x e m x e m x ⎧=-⎨=-⎩消去参数m ，并设21111x t x -=>-，12,x x 都可用t 表示，要证不等式124x x +>，只要证ln ln 211t t t t t +>--，即(1)ln 21t t t +>-，只要证4ln 201t t +->+，引入新函数4()ln 21h t t t =+-+．利用导数的知识可证． 【详解】 解：（1）'()x f x e m =-，①当0m ≤时，'()0f x >，此时()f x 在R 上单调递增，无极值； ②当0m >时，由'()0f x =，得ln x m =.所以(,ln )x m ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；(ln ,)x m ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增.此时函数有极小值为(ln )ln f m m m m =-，无极大值.（2）由题设可得12()()f x f x m ==-，所以1212(1)(1)x x e m x e m x ⎧=-⎨=-⎩，且由（1）可知1ln x m <，2ln x m >，m e >.1x e m <，1(1)m x m -<，∴111x -<，同理211x ->，由11(1)x em x =-，可知110x ，所以120111x x <-<<-.由1212(1)(1)x x e m x e m x ⎧=-⎨=-⎩，得1122ln ln(1)ln ln(1)x m x x m x =+-⎧⎨=+-⎩，作差得22111ln1x x x x -=-- 设211(1)x t x -=-（1t >），由22111ln 1x x x x -=--，得1ln (1)(1)t t x =--， 所以1ln 11t x t -=-，即1ln 11tx t =+-， 所以2ln 11t tx t =+-， 要证124x x +>，只要证ln ln 211t t t t t +>--，即(1)ln 21t t t +>-，只要证4ln 201t t +->+. 设4()ln 21h t t t =+-+（1t >）， 则22(1)'()0(1)t h t t t -=>+. 所以()h t 在(0,)+∞单调递增，()(1)0220h t h >=+-=. 所以124x x +>. 【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间和极值，证明与方程根有关的不等式．考查转化与化归思想．对于与方程的解12,x x 有关的不等式问题，关键是引入新参数t ，如12x t x =，21t x x =-，象本题2111x t x -=-，此时t 的范围是确定的，如(0,1)、(0,)+∞、(1,)+∞等等，接着关键是把12,x x 用t 表示（可用消参法建立12,x x 关系），要证的不等式就变为关于t 的不等式，引入新函数后应用导数知识证明．22．（1）32⎛ ⎝⎭；221122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）0. 【分析】（1）由P 的极坐标为3,3π⎛⎫⎪⎝⎭,利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得P 点的直角坐标,利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩以及222x y ρ=+可得出直角坐标方程；（2）直线l的直角坐标方程为02x y +-=,设Q cos si 12n θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭,则cos sin 122M θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,利用点到直线的距离公式与三角函数的值域即可得出. 【详解】（1）由P 的极坐标为3,3π⎛⎫⎪⎝⎭,利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得点P的直角坐标为3,22⎛ ⎝⎭； 由s 32co πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭得2co s sin ρρθθ=+ ① 将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①，可得曲线C的直角坐标方程为221122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）直线:lcos 2sin ρθρθ+=02x y +-=， 设点Q的直角坐标为cos si 12n θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，则cos sin 122M θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 那么M 到直线l 的距离：d ===当2)0,sin()θφθφ+=+=时，0d =， 所以M 到直线:cos 2sin l ρθρθ+=的距离的最小值为0. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标化普通方程、点到直线的距离及求最值. 23．（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）详见解析【分析】（1）将()f x 写为分段函数的形式，然后由()4f x ，分别解不等式即可； （2）由（1）知()3min f x =，从而得到3m =，再根据1113(234)(234)()234a b c a b c a b c++=++++，利用基本不等式求出3(234)a b c ++的最小值即可证明2343a b c ++． 【详解】（1）12,1()123,1221,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-⎨⎪->⎩．()4f x ，∴1241x x -⎧⎨<-⎩或2142x x -⎧⎨>⎩，∴32x -或52x ，∴不等式的解集为35(,][,)22-∞-⋃+∞；（2）证明：由（1）知()3min f x =，3m ∴=，∴1113234m a b c++==， 1113(234)(234)()234a b c a b c a b c∴++=++++ 2324433324234a b a c c b b a c a b c=++++++23293a b +=， 2343a b c ∴++，当且仅当2341a b c ===，即12a =，13b =，14c =时取等号， 2343a b c ∴++．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
山西省长治市第二中学校2021届高三语文9月质量调研考试试题扫描版
山西省长治市第二中学校2021届高三语文9月质量调研考试试题（扫描版）【参考答案及评分标准】一、现代文阅读（36分）1.A(原文意思是从赵孟頫、董其昌入手学习书法，不容易学，易导致笔力软弱，无“丈夫气”。
)2.C(由原文第五至第七段可知，文章介绍的是汉代书法及汉代以后的书法，所以不能说是介绍了历代书法的特点。
)3.D(使用甲骨、碑石和竹木等硬质书写材料并不是从清代开始的。
)4.C(这些只是特征，是表现，不是影响家长教养模式的因素。
)5.A(B.“舍得在孩子身上花钱的家长，往往会忽视在孩子教育中应承担的责任”表述绝对化；C.“家长素质高，其教养模式就比较科学”以偏概全；D.“根本目的……”的表述是错的，材料只是在陈述一种客观的划分类型。
）6.(1)鼓励孩子勇于尝试，敢于表现，努力做最好的自己。
(2)不要忘记自己的责任与付出，在协作、感恩、创造力、想象力、忍耐力、反省能力的教育方面，家长要发挥作用。
(3)努力提升自我素质并言传身教。
(4)以良好的心态和情绪面对孩子，善于倾听孩子的心声，对孩子的要求及时做出反馈。
(5)随时修正自己的教养方式，通过学习以及和孩子的互动，寻找出适合自己孩子的教养方式。
(每点2分，答出任意三点，言之有理即可。
)7.C(“姑布子卿目光敏锐与赵鞅的不辨贤愚对比”无中生有）8.(1)“一块竹简”是作品的线索，作品围绕“一块竹简”叙述故事，塑造人物，使情节更紧凑。
(2)“一块竹简”是人物形象的透视镜，折射出赵无恤与赵伯鲁的不同人生态度与命运。
(3)“一块竹简”承载着一定的儒家精神，折射出作者的创作立场，使主题更鲜明。
(一点2分，言之成理，酌情给分。
)9.(1)人才不以出身贵贱论。
赵无恤的母亲虽然身份卑贱，但正是这种身份才使赵无恤养成了良好的习惯；赵伯鲁虽然身份高贵，最终失去了赵家继承人的机会。
(2)再好的苗子无人荐赏，也不能脱颖而出。
如果没有姑布子卿的鉴赏与推荐，赵无恤的脱颖而出不知要等到何年何月。
2021-2022学年山西省长治市城区第二中学高三数学文期末试题含解析
2021-2022学年山西省长治市城区第二中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则参考答案：C略2. 已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c ()A．有最大值 B．有最大值－ C．有最小值 D．有最小值－参考答案：B3. 将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则f（）=（）A． 4 B．2﹣C．﹣2 D．2+参考答案：考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型；三角函数的图像与性质．分析：函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数y=2sin[2（x﹣）+]的图象；再向上平移2个单位，得到函数f（x）=2sin（2x﹣）+2的图象；代入x=求出f（）的值．解答：解：将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数y=2sin（2x﹣）的图象；再向上平移2个单位，得到函数f（x）=2sin（2x﹣）+2的图象；∴f（）=2sin（2×﹣）+2=故答案为2+．点评：本题的易错点是函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数y=2sin[2（x﹣）+]的图象；而不是函数y=2sin（2x﹣+）的图象．4. 若，则下列命题中正确的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：答案：D解析：用特殊值法，取ｘ＝可排除B、C，取x=可排除A，选D5. 已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线( )A.只有一条，不在平面α内B. 有无数条，不一定在平面α内C .只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内参考答案：C6. 已知点P是抛物线x2=4y上的动点，点P在直线y+1=0上的射影是点M，点A的坐标(4,2)，则的最小值是A. B. C.3 D.2参考答案：A抛物线的焦点坐标,准线方程为。
2020-2021学年山西省长治二中高二(上)期末数学试卷(文科)
2020-2021学年山西省长治二中高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.圆(x+2)2+y2=4与圆(x−2)2+y2=9的位置关系为()A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离2.已知椭圆x236+y216=1上点P到某一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为()A. 3B. 5C. 7D. 93.双曲线x22−y2=1的渐近线方程是()A. y=±12x B. y=±√22x C. y=±2x D. y=±√2x4.若抛物线y2=2px，(p>0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()A. y2=4xB. y2=6xC. y2=8xD. y2=10x5.若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1,−1)，则直线l的斜率为()A. 13B. −13C. −32D. 236.椭圆x2100+y264=1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=600，则△F1PF2的面积是()A. 64√33B. 91√33C. 16√33D. 6437.经过点M(1,1)且在两轴上截距相等的直线是()A. x+y=2B. x+y=1C. x+y=2或y=xD. x=1或y=18.已知抛物线y2=12x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x−3y+13=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. √109.已知点A(−4,2)，B(−4,−2)，C(−2,2)，则△ABC外接圆的方程是()A. x2+(y−3)2=5B. (x+3)2+y2=5C. x2+(y+3)2=5D. (x−3)2+y2=510.过抛物线C：y2=6x焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若直线l的倾斜角为60°，则|AF||BF|的值为()A. 32B. 2 C. 52D. 311.直线y=√3x与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的左焦点，则此椭圆的离心率为()A. √32B. 4−2√3 C. √3−12D. √3−112.设F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若P为C右支上的一点，且M为线段F1P的中点，F2M⊥PF1,|F2M|=√7a，则双曲线C的离心率为()A. 43B. 53C. 2D. 73二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线C：x23−y23=1的右焦点到其渐近线的距离为______ ．14.抛物线y=x2的准线方程为________．15.如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是______．16.若椭圆和双曲线具有相同的焦点F1，F2，离心率分别为e1，e2，P是两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2=90°，则1e12+1e22的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.曲线C的方程为：x25−m +y2m−2=1．(1)当m为何值时，曲线C表示双曲线？(2)当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？18.求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标分别是(−2,0)，(2,0)，并且经过点(52,−32)；(2)a+c=10，a−c=4．19.已知直线2x−y−1=0与直线x−2y+1=0交于点P(1)求过点P且平行于直线3x+4y−15=0的直线l1的方程；(2)在(1)的条件下，若直线l1与圆x2+y2=2交于A、B两点，求直线与圆截得的弦长|AB|．20.在圆x2+y2=4上任取一点P，过P做x轴的垂线段PD，D为垂足．(1)当点P在圆上运动时，求线段PD中点Q的轨迹方程；(2)直线y=√2(x−√3)与Q的轨迹交于A，B两点，M(0,√6)，求△MAB的面积．21.已知点(1,√2)在抛物线y2=2px(p>0)上．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点F的直线交抛物线于A，B两点，E(−12,0)，设EA斜率为k1，EB斜率为k2，判断1k1+1k2是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．22.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且短半轴长为√2．(1)求椭圆E的方程；(2)已知以椭圆右顶点A为直角顶点的动直角三角形斜边端点B，C落在椭圆E上．①求证：直线BC过定点；②求△ABC面积的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据题意，圆(x+2)2+y2=4，其圆心为(−2,0)，半径r=2，圆(x−2)2+y2=9，其圆心(2,0)，半径R=3，两圆的圆心距d=4，有3−2<d<3+2，则两圆相交，故选：B．根据题意，求出两个圆的圆心和半径，进而求出圆心距，分析可得答案．本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵椭圆的方程为x236+y216=1，∴a=6，b=4，c=2√5，设焦点为F1，F2，不妨设|PF1|=3，∵|PF1|+|PF2|=2a=12，∴|PF2|=12−|PF1|=9，故选：D．由题意知a=6，b=4，c=2√5，再结合椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=12，从而解得．本题考查了椭圆的定义的应用及椭圆的标准方程的应用，属于中档题．3.【答案】B【解析】解：双曲线x22−y2=1的a=√2，b=1，由双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，则所求渐近线方程为y=±√22x.故选：B．求出双曲线x22−y2=1的a，b，由双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，即可得到．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4，∴p2+2=4，解得p=4，∴抛物线的标准方程为y2=8x．故选：C．由已知条件，利用抛物线的性质得到p2+2=4，求出p的值，由此能求出抛物线的标准方程．本题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握抛物线的性质．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了中点坐标公式、斜率的计算公式，属于基础题．利用中点坐标公式可得P，Q，再利用斜率的计算公式即可得出．【解答】解：设P(x,1)，Q(7,y)．∵线段PQ的中点坐标为(1,−1)，∴{1=x+72−1=1+y2，解得x=−5，y=−3．∴P(−5,1)，∴直线l的斜率为−1−11−(−5)=−13．故选：B．6.【答案】A【解析】解：∵椭圆x2100+y264=1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=600，∴由椭圆定义得：|PF1|+|PF2|=20，∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|⋅|PF2|=400，①由余弦定理得：|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|cos∠F1PF2=4×36，②联立①②，得：|PF1|⋅|PF2|=2563，∴△F1PF2的面积是S=12⋅|PF1|⋅|PF2|⋅sin60°=12×2563×√32=64√33．故选：A．利用椭圆定义和余弦定理，列出方程组，求出|PF1|⋅|PF2|=2563，由此能求出△F1PF2的面积．本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆定义和余弦定理的合理运用．7.【答案】C【解析】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把(1,1)代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把(1,1)代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x．综上，所求直线的方程为：x+y=2或y=x．故选：C．分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题．8.【答案】C【解析】解：设抛物线的焦点为F，则F的坐标为(3,0)，由抛物线的定义可得|PF|=d1，点F到直线4x−3y+13=0的距离为d3=√42+32=5，则d1+d2=|PF|+d2≥d3=5，此时过F并与已知直线4x−3y+13=0垂直的直线与抛物线的交点即为点P，所以d1+d2的最小值为5，故选：C．求出抛物线的焦点F的坐标，利用抛物线的定义以及点到直线的距离公式即可求解．本题考查了抛物线的定义，涉及到点到直线的距离公式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：由题意知，△ABC是直角三角形，且∠A=90°∴圆的半径为BC2=√22+422=√5，圆心为(−3,0)∴圆的方程为(x+3)2+y2=5故选：B．根据点A是直角三角形ABC的直角顶点，求出圆心的坐标和圆的半径，则圆的方程可得．本题主要考查了圆的标准方程．解题的关键求得圆的圆心和半径．10.【答案】D【解析】解：由抛物线的方程可得F(32,0)，直线l 的斜率为k =tan60°=√3，则直线l 的方程为：y =√3(x −32)，代入抛物线方程消去y 可得：4x 2−20x +9=0，解得x A =92，x B =12，由抛物线的定义可得|AF|=x A +p 2=92+32=6，|BF|=x B +p 2=12+32=2，所以|AF||BF|=62=3，故选：D ．求出F 的坐标，再由已知写出直线l 的方程，并与抛物线方程联立，求出点A ，B 的横坐标，由抛物线定义即可求出|AF|，|BF|的值，进而可以求解．本题考查了抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题． 11.【答案】D【解析】解：因为A ，B 关于原点对称，所以以线段AB 为直径的圆的圆心为原点，又圆经过椭圆的左焦点，所以半径为半焦距c ，设A(x 0,y 0)，则结合OA =r =c ，及y =√3x ，得y 0=√3x 0，x 02+y 02=c 2，所以A(12c,−√32c)或(−12c,+√32c)， 代入椭圆的方程得14c 2a 2+34c 2b 2=1，由b 2=a 2−c 2，化简得c 4−8a 2c 2+4a 4=0，即c 4a 4−8c 2a 2+4=0，所以e 4−8e 2+4=0，解得e 2=8±√82−4×42=4±2√3， 结合0<e <1，得e 2=4−2√3，即e =√3−1．故选：D ．根据题意可得半径为半焦距c ，设A(x 0,y 0)，即OA =r =c ，y 0=√3x 0，x 02+y 02=c 2，解得A 点坐标，代入椭圆的方程，求出离心率．本题考查椭圆椭圆的离心率，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意可得|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，由双曲线定义可得，|PF 1|−|PF 2|=|PF 1|−2c =2a ，则|PF 1|=2c +2a =2|MF 1|，|MF 1|=a +c ，在直角三角形F 1F 2M 中，∵|MF 1|2+|MF 2|2=|F 1F 2|2，又|F 2M|=√7a ， ∴(a +c)2+7a 2=4c 2，整理可得3c 2−2ac −8a 2=0，即3e 2−2e −8=0，解得e =2或e =−43(舍去)，故选：C ．运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理、结合离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】√3【解析】解：双曲线C ：x 23−y 23=1的右焦点(√6,0)到其渐近线x +y =0的距离为：√6|√2=√3．故答案为：√3．直接利用双曲线的右焦点坐标，渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．14.【答案】y =−14【解析】解：抛物线y =x 2的开口向上，p =12，所以抛物线的准线方程：y =−14．故答案为：y =−14．直接利用抛物线方程求解准线方程即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．15.【答案】x +2y −8=0【解析】解：设弦的两端点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，斜率为k ，则x 1236+y 129=1，x 2236+y 229=1，两式相减得(x1−x2)(x1+x2)36=−(y1−y2)(y1+y2)9，即k=y1−y2x1−x2=−9(x1+x2)36(y1+y2)=−9×836×4=−12，∴弦所在的直线方程y−2=−12(x−4)，即x+2y−8=0．故答案为：x+2y−8=0．设弦的两端点的坐标，代入椭圆方程，作出整理可得直线斜率，再由直线方程点斜式得答案．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解与弦中点有关的问题，是中档题．16.【答案】2【解析】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF1|−|PF2|=2m，①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，②又∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③①2+②2得，|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2，④由③④得，a2+m2=2c2，即a2c2+m2c2=2，∴1e12+1e22=2．故答案为：2．设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，利用双曲线、椭圆的定义，结合∠F1PF2=90°，可得a2+m2= 2c2，再由离心率的定义得结论．本题考查圆锥曲线的性质，解题的关键是得到两个曲线的相关量之间的关系，是中档题．17.【答案】解：(1)由x25−m +y2m−2=1表示双曲线，得(5−m)(m−2)<0，解得m<2或m>5，∴当m<2或m>5时，曲线C表示双曲线；(2)若x25−m +y2m−2=1表示焦点在x轴上的椭圆，则5−m>m−2>0，解得：2<m<72，∴当2<m<72时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆．【解析】(1)由题意可得，(5−m)(m−2)<0，求解一元二次不等式得答案；(2)由题意可得，5−m>m−2>0，求解不等式组得答案．本题是圆锥曲线综合题，考查椭圆与双曲线的方程，是基础题．18.【答案】解：(1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2+y2b 2=1，由椭圆定义知c =2，2a =√(52+2)2+(−32)2+√(52−2)2+(−32)2=2√10，∴a =√10，则b 2=a 2−c 2=10−4=6， ∴所求椭圆标准方程为x 210+y 26=1；(2)∵a +c =10，a −c =4， ∴a =7，c =3，∴b 2=a 2−c 2=72−32=40， ∴所求椭圆标准方程为：x 249+y 240=1或y 249+x 240=1．【解析】(1)由题意设出椭圆方程并求得c ，由椭圆定义求得a ，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； (2)利用已知条件求得a 、c 的值，然后由a 2=b 2+c 2求得b 的值即可． 本题考查椭圆方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)根据题意，设直线l 1的方程为3x +4y +m =0，直线2x −y −1=0与直线x −2y +1=0交于点P ， 则{2x −y −1=0x −2y +1=0，解可得{x =1y =1，则P 的坐标为(1,1)；点P 在l 1上，则有3+4−m =0，解可得m =7； 故直线l 1的方程为3x +4y −7=0；(2)圆x 2+y 2=2的圆心为(0,0)，半径r =√2， 则圆心O(0,0)到直线l 1：3x +4y −7=0的距离d =√9+16=75，所以|AB|=2√2−4925=25．【解析】(1)根据题意，设直线l 1的方程为3x +4y +m =0，联立两个直线的方程，解可得P 的坐标，将P 的坐标代入直线方程，解可得m 的值，即可得直线l 1的方程，(2)根据题意，分析圆心的坐标和半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得答案． 本题考查直线与圆的位置关系以及直线平行的判断，属于综合题．20.【答案】解：(1)设点Q 的坐标为(x,y)，点P 的坐标为(x 0,y 0)，则{x =x 0y =y 02，因为点P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4上，所以x 02+y 02=4上，把{x 0=x y 0=2y 代入，得x 2+4y 2=4，即x 24+y 2=1，(2)联立{y =√2x −√6x 2+4y 2=4，化简得9x 2−16√3x +20=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=16√39，x 1x 2=209．所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+(√2)2√(16√39)2−4×209=43，点M 到直线的距离为d =√6√3=2√2，所以S △MAB =12|AB|⋅d =12×43×2√2=4√23．【解析】(1)设点Q 的坐标为(x,y)，点P 的坐标为(x 0,y 0)，根据题意可得P ，Q 坐标关系式，由点P 在圆上，推出点Q 坐标满足的关系式，即可得出答案．(2)联立直线与椭圆的方程，得到关于x 的一元二次方，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，再由弦长公式可得|AB|长度，由点到直线的距离公式可得点M 到直线的距离d ，再计算S △MAB =12⋅|AB|⋅d 即可得出答案． 本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．21.【答案】(1)解：由题(√2)2=2p ×1(p >0)，即p =1，所以抛物线的方程为y 2=2x ．(2)解：1k 1+1k 2是定值为0，证明如下：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +12，由{x =my +12y 2=2x，得y 2−2my −1=0，所以y 1+y 2=2m ，y 1y 2=−1，因为k 1=y 1x 1+12,k 2=y2x 2+12，x 1=my 1+12，x 2=my 2+12，所以1k 1+1k 2=x 1+12y 1+x 2+12y 2=my 1+12+12y 1+my 2+12+12y 2=2m +(1y 1+1y 2)=2m +y 1+y 2y 1y 2=2m +2m−1=0，得证．【解析】(1)点的坐标代入抛物线方程求解p ，然后推出抛物线方程．(2)1k 1+1k 2是定值为0，证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +12，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及斜率的倒数求和，化简转化即可得到结果．本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)由题可知，{b 2a 2=12b 2=2，解得a 2=4，(2)①证明：由题知斜边BC 不可能和x 轴平行， 所以设BC 所在直线l 方程为x =ty +m ， 与方程x 24+y 22=1 联立消去x 整理得(t 2+2)y 2+2tmy +m 2−4=0，△=4t 2m 2−4(m 2−4)(t 2+2)>0，m 2<2t 2+4， 设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)， 则有y 1+y 2=−2tmt 2+2,y 1y 2=m 2−4t 2+2，由题可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=(ty 1+m −2)(ty 2+m −2)+y 1y 2 =(t 2+1)y 1y 2+t(m −2)(y 1+y 2)+(m −2)2=(t 2+1)m 2−4t 2+2+t(m −2)−2tmt 2+2+(m −2)2=0，化简得3m 2−8m +4=0， 所以m =2(舍)或m =23，可得BC 所在直线l 的方程为x =ty +23， 所以直线BC 恒过定点D(23,0)． ②由①可得S △ABC=12|AD||y 1−y 2|=12|2−23||√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=83√t 2+169t 2+2，令u =√t 2+169，u ∈[43,+∞), ∴S △ABC =83⋅uu 2+29=83⋅1u+29u，函数y =u +29u 在[43,+∞)上单调递增， 所以y =u +29u ∈[32,+∞),∴S △ABC ∈(0,169]， 所以△ABC 面积的最大值为169， 此时BC 所在直线l 方程为x =23．【解析】(1)由题可知，{b 2a 2=12b 2=2，解得a 2，进而可得椭圆E 的方程．(2)①设BC 所在直线l 方程为x =ty +m ，与椭圆的方程联立，得关于y 的一元二次方程，由△>0，推出m 2<2t 2+4，设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，由题可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，用坐标表示可得3m 2−8m +4=0，解得m ，进而可得直线BC 的方程，即可写出直线BC 过定点的坐标．②由①可得S△ABC =12|AD||y1−y2|=83√t2+169t2+2，令u=√t2+169，u∈[43,+∞)，可得S△ABC=831u+29u，再分析函数y=u+29u 在[43,+∞)上单调性，即可得出最大值．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，定点问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
山西省长治市2022届高三上学期9月质量检测数学(文)答案(PDF版)
BD AB2 AD2 2AB AD cos A 3a
AD2 BD2 AB2 翻折后有 A'D DB
AD DB ...............................................................1 分
所以点 C 到平面 MDB 的距离为 2 2
..................................................................12 分
19.解：（1） f (x)
3
cos
2x
1
cos
2
2x
1
3
cos
2
x
sin
2
x
2
sin
2
x
3
，
...............................................................2 分
在平行四边形 ABCD 中， AD DB ， BC AD ，所以有 BC DB ........................4 分
1
A'D DB D BC 面A'BC
BC 面A'DB
.......................................Leabharlann ...............5 分
2
2
所以 S BMD
1 2
DB ME
1 2
3 2 2
6 4
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3 1
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绝密★启用前
山西省长治市第二中学
2021届高三毕业班上学期质量调研考试
数学(文)试题
2020年9月
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
3．全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．本试题满分150分，考试时间120分钟。
5．考试范围：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
）
1．已知集合{|}11M x x =∈-≤≤Z ,()2{|}0N x Z x x =∈-≤,则M N ⋂=（ ）
A ．{}1,2-
B ．{}0,1
C ．{}1,0,1-
D ．1,0,{}1,2-
2．已知a ∈R ,若()2i 1a a -+-（i 为虚数单位）是实数,则a =（ ）
A ．2
B ．1
C ．1-
D ．2-
3．已知圆22:24200M x y x y +-+-=,直线:21l y x =+交圆M 于P ,Q 两点,则PQ =（ ）
A ．
B ．8
C ．
D ．10
4．若点P 为抛物线24y x =上的动点,F 为该抛物线的焦点,则PF 的最小值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．18
D ．116
5．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角6π
α=,现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚
飞镖,则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A
B ．12 C
D ．34
6．某几何体的三视图如图,ABC △是边长为2的等边三角形,P 为线段AB 的中点,三视图中的点C ,P 分别对应几何体中的点M ,N ,则在几何体侧面展开图中M ,N 之间的距离为（ ）
A ．
B ．3 C
D ．5
7．数列{}n a ,{}n b 均为等比数列,前n 项和分别为n S ,n T ,若21n n n S T n
-=,则53a b =（ ）
A ．18
B ．16
C ．14
D ．12
8．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭图像向右平移()0ϕϕ>个单位,所得图像关于y 轴对称,则ϕ的最小值是（ ）。