有限元分析方法基本原理-2020-09-29
3杆系结构的有限元法
3杆系结构的有限元法有限元法是一种常用的结构分析方法，可以用来分析各种复杂的结构问题。
其中，杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构及其变形特性的有限元分析方法。
本文将从有限元法的基本原理、杆系结构的有限元剖分、杆单元的刚度矩阵计算和应力计算四个方面介绍杆系结构的有限元法。
有限元法的基本原理:有限元法是一种将连续物体离散化为有限个独立几何单元的数值分析方法。
它的基本原理是将连续结构按一定的规则划分为若干个互不重叠的子域，然后在每个子域上建立适当的求解方程和函数，最后将各个子域的问题合并起来，得到整个结构的解。
有限元法可以将连续问题转化为一个线性代数方程组的求解问题，然后通过数值计算方法求解方程组，得到结构的变形、应力等信息。
杆系结构的有限元剖分:杆系结构是由多根杆件组成的结构体系。
在进行有限元分析时，需要将杆系结构进行剖分，将其离散化为有限个杆单元。
杆系结构的剖分方式可以有多种，常见的有线性剖分和非线性剖分。
线性剖分是指将每根杆件均匀地划分为若干个子单元，每个子单元长度相等。
线性剖分的好处是计算简单，但是在一些情况下不够准确。
非线性剖分是指根据杆件的曲线形状和载荷变化特点，对杆件进行不规则剖分。
这样可以更准确地描述杆系结构的实际变形情况。
非线性剖分的好处是结果更准确，但计算量相对较大。
杆单元的刚度矩阵计算:一般来说，杆单元的刚度矩阵可以通过两种方法进行计算：力法和位移法。
力法是指通过杆件上的内力和外力之间的平衡关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
力法的基本原理是，杆单元上的总应变等于外力产生的内力，即σ=Eε=F/A。
其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变，F为外力，A为杆单元的截面积。
位移法是指通过位移与应变之间的关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
位移法的基本原理是，根据虚功原理和位移互相独立的原则，建立位移-应变-应力关系，然后通过对位移表达式积分，得到杆单元的刚度矩阵。
杆单元的应力计算:在有限元分析中，杆单元的应力计算是非常重要的一步。
有限单元法的基本原理
有限单元法的基本原理有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种常用于工程和科学领域中求解复杂问题的数值方法。
它的基本原理可以概括为将复杂的连续问题离散化为简单的有限个单元，然后利用数值方法对各个单元进行分析，最终得到整个问题的近似解。
以下将详细介绍有限单元法的基本原理。
1.连续问题的离散化：2.单元的建立：利用有限单元法，每个单元内部的位移和应力分布可以通过简单的变换关系来表示。
通常，在每个单元内部选择一种合适的形状函数来表示位移和应力的连续变化。
在线性有限元分析中，常用的形状函数为线性函数，而在非线性有限元分析中，常用的形状函数可以是二次或更高次函数。
3.边界条件的施加：在有限单元法中，为了求解问题的唯一解，必须施加适当的边界条件。
边界条件可以是约束位移、施加力或给定的位移等。
通过施加适当的边界条件，可以将问题转化为一个封闭的系统，方便求解。
4.系统的建立：利用有限单元法，可以将整个问题表示为一个线性或非线性的代数方程组。
构建这个方程组需要考虑到每个单元的位移和应力之间的关系。
通过组装每个单元的刚度矩阵和力向量，最终可以得到整个问题的刚度矩阵和力向量。
5.方程组的求解：得到整个问题的刚度矩阵和力向量后，可以使用各种数值方法求解代数方程组。
常用的方法有直接法（如高斯消元法）和迭代法（如共轭梯度法）。
求解得到的位移和应力即为整个问题的近似解。
6.解的后处理：在有限单元法中，为了解决工程问题，通常需要进一步对位移和应力进行后处理。
后处理可以包括计算其他感兴趣的物理量、绘制应力和位移图等。
通过后处理，可以更好地理解问题的本质和它们的工程意义。
总结起来，有限单元法通过将连续问题离散化为有限个单元，然后使用适当的形状函数表示位移和应力的连续变化，通过施加边界条件和构建代数方程组，最终得到问题的近似解。
有限单元法在工程和科学领域中被广泛应用，可以有效地解决各种复杂问题。
有限元分析的基本原理
有限元分析的基本原理有限元分析法是一种通用的数值分析技术，它利用有限数目的计算元素来对结构的应力、变形以及失效的可能性进行分析，它简化了复杂的工程结构在实际受力情况下的模拟计算，可以预测出构件的性能、变形和可能失效等。
有限元分析是用数学模型来模拟生活用来模拟工程中结构抗压、抗弯、抗剪、抗疲劳等性能。
有限元分析有三个基本原理：结构变形、力学方程和材料本构方程。
首先，有限元分析的基础原理是结构变形。
结构变形是指在施加外力作用下，受力的结构的空间变形和大小的变化，它是有限元分析的基础，该原理说明了满足力学方程的解决方法如何以有限元的形式出现。
通常情况下，我们会把构件的耦合变形分成很多小的计算元(这些计算元之间有连接约束)，减少变形的不确定性，从而提高分析的准确性。
其次，有限元分析的基础原理是力学方程。
满足力学方程条件的解决方案就是有限元分析，也就是把问题分解成很多小的子问题来求解。
力学方程最常见的形式是基于有限元技术的动态和静态结构分析。
动态结构分析是指结构在某个加载下的振动反应，涉及到施加外力、弹性和惯性效应。
静态结构分析则指结构在不同类型外力作用下的变形。
最后，有限元分析的基础原理是材料本构方程。
材料本构方程是指材料受拉力作用而形成变形和应力的关系，它可以用来描述材料在承受外力时的作用。
本构方程有很多不同的形式，最常用的形式是弹性体的本构方程，它说明了当受到外力作用时，材料的拉伸和压缩的反应，从而将其应用于有限元分析技术。
以上就是有限元分析的基本原理，它是构成有限元分析的基础，而且这些基本原理也被广泛应用于工程中对结构性能进行模拟和分析。
有限元分析可以帮助工程师准确地估算出结构在特定加载条件下的变形和应力，也可以帮助他们判断结构在疲劳荷载作用下是否会发生破坏。
有限元分析也可以帮助设计者更好地分析结构在复杂（多变）条件下的性能，以确定结构的最优设计。
所以，有限元分析的基本原理是工程分析的基础，合理的运用可以节约大量的时间和精力，从而达到性能最优的结构设计。
有限元分析方法范文
有限元分析方法范文有限元分析（finite element analysis，FEA）是一种广泛应用于工程领域中的数值分析方法。
它可用于模拟和预测物理系统中的结构和行为，并在设计和优化过程中提供指导。
在本文中，我们将详细介绍有限元分析的基本原理、步骤和应用。
有限元分析的基本原理是将真实的结构或物理系统离散为有限数量的较小单元，称为有限元。
这些有限元由一组连续性方程和材料属性定义。
然后，通过求解这些有限元之间的相互作用，可以得出整体系统的行为。
这种离散成小单元的方法允许对大型和复杂系统进行数值模拟，并提供对系统行为的准确预测。
1.建立几何模型：根据实际结构或物理系统的特征，使用计算机辅助设计软件（CAD）绘制几何模型。
这个模型可以是二维平面模型或三维立体模型。
2.网格划分：将几何模型离散成许多小单元，形成网格。
这些小单元通常是三角形或四边形，对应于二维平面模型；或者是四面体或六面体，对应于三维立体模型。
网格的密度和形状对分析结果的准确性和计算效率有重要影响。
3.定义边界条件：在模型上定义边界条件，包括约束边界和加载边界。
约束边界指定了结构的固定点或固定方向，而加载边界指定了模型上施加的外部力或重力。
4.定义材料属性：为每个有限元指定材料的性质，如弹性模量、密度、屈服强度等。
这些材料属性对于模拟系统的行为和响应至关重要。
5.建立有限元模型：根据几何模型、网格和边界条件，建立有限元模型。
这包括定义有限元的类型、节点位置和连接关系。
6.设置求解器：选择适当的求解器以求解有限元模型。
求解器根据有限元模型的离散特性和边界条件计算出系统的响应和行为。
7.求解和分析：通过求解器计算出系统的响应、位移、应力、应变等。
根据这些结果，可以进行进一步的分析和优化，如强度校核、结构优化等。
有限元分析方法广泛应用于工程领域，包括机械工程、土木工程、航空航天工程、电气工程等。
它可以用于分析结构的强度、刚度、稳定性，预测系统的振动、疲劳和破坏行为，优化设计和减少成本。
有限元分析法在零件实体设计中的应用
有限元分析法在零件实体设计中的应用有限元分析法是一种计算机辅助的系统工程设计方法，已被广泛应用于设计和开发各种零部件和结构。
在零件实体设计中，有限元分析法可以帮助工程师快速、准确地评估设计方案的可行性和优劣。
有限元分析法基于解非线性方程组的原理，将实际结构分解成大量小的三角形或四边形等基本单元，然后将每个单元内的物理场用数学表达式描述出来，最后通过计算机求解得到整体结构的物理场分布。
这样，我们可以在设计阶段预测零件实体所承受的应力、变形等物理量变化，进而指导零件实体的改善和优化。
在零件实体设计中，有限元分析法的应用涉及到了多个方面：首先是结构的强度分析。
零件实体最基本的功能就是承受载荷，因此强度分析是设计过程中必须进行的步骤。
有限元分析法可以帮助工程师预测零件实体在不同载荷下的应力及应力变化规律，以及材料的最大应力等指标，为设计提供充分的参考。
其次是结构的稳定性分析。
有时候，零件实体的几何形状会导致其发生屈曲或失稳，这会对结构的可靠性产生不良影响。
有限元分析法可以帮助工程师进行失稳分析，找到零件实体发生失稳的条件和特征，进而指导结构改进。
此外，有限元分析法还可以用于结构的疲劳分析。
零件实体在使用中经常会受到很多交变载荷的作用，这会对其疲劳寿命产生影响。
有限元分析法可以帮助工程师预测零件实体在不同载荷下的疲劳寿命，并评估结构的可靠性。
总之，有限元分析法是一种非常有用的数值分析方法，可以帮助工程师有效地预测零件实体在不同载荷和应力条件下的响应，进而指导设计方案的改进和优化。
随着计算机技术的不断进步，有限元分析法的应用将会越来越广泛，对提高零件实体的设计质量和生产效率将起到越来越重要的作用。
数据是现代社会中不可或缺的一项资源，对于各种领域和行业而言，数据的收集、整理、分析都至关重要。
下面将以某公司为例，列出其相关数据并进行分析。
数据1：销售额（单位：万美元）2016年：20,0002017年：25,0002018年：28,0002019年：30,0002020年：35,000分析：该公司的销售额呈现出稳步增长的趋势，从2016年的20,000万美元增加到2020年的35,000万美元，增长了75%左右。
ANSYS Workbench 2020有限元分析从入门到精
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读书笔记
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精彩摘录
精彩摘录
第13章接触分析
13.1接触分析简介 13.2项目分析1——虎钳接触分析 13.3项目分析2——装配体接触分析 13.4本章小结
第14章特征值屈曲分析
14.1特征值屈曲分析简介 14.2项目分析1——钢管特征值屈曲分析 14.3项目分析2——金属容器特征值屈曲分析 14.4项目分析3——工字梁特征值屈曲分析 14.5本章小结
本书以ANSYS Workbench 2020为操作平台，详细介绍软件的功能和应用，内容丰富，涉及面广，能使读者 在掌握软件操作的同时，也能掌握解决相关工程领域实际问题的思路与方法，并能自如地解决本领域所出现的问 题。全书分为5部分共19章，第1部分从ANSYS Workbench 2020平台的各个功能模块着手介绍常用命令的使用以 及几何建模、网格划分和后处理的相关知识；第2部分以项目范例为引导，主要讲解在Workbench平台中进行的结 构静力学分析、模态分析、谐响应分析、响应谱分析、瞬态动力学分析和随机振动分析等；第3部分作为结构有限 元分析的进阶部分，主要讲解在Workbench平台中进行的显示动力学分析、结构非线性分析、接触分析、线性屈 曲分析等；第4部分以项目范例为引导，主要讲解在Workbench平台中进行的热力学分析、疲劳分析、流体动力学 分析和结构优化分析等；第5部分主要介绍多物理场耦合分析中的电磁热耦合分析。本书工程实例丰富、讲解详尽， 内容循序渐进、深入浅出，适合不同基础的读者。
有限元的原理
有限元的原理有限元分析是一种工程数值分析方法，它利用数学原理和计算机技术，对工程结构的力学行为进行模拟和分析。
有限元分析的原理是将复杂的结构分割成许多小的单元，通过对每个单元的力学行为进行精确描述，最终得到整个结构的力学响应。
本文将从有限元分析的基本原理、步骤和应用进行介绍。
有限元分析的基本原理是离散化方法，它将一个连续的结构分解成有限个单元，每个单元都是一个简单的几何形状，如三角形、四边形等。
然后对每个单元进行力学建模，建立单元的位移场和应力场的数学模型。
通过组合所有单元的数学模型，得到整个结构的位移场和应力场的近似解。
有限元分析的基本原理是基于弹性力学理论，它假设结构在受力作用下是弹性变形，即满足胡克定律。
有限元分析的数学模型通常是一个大型的代数方程组，通过求解这个方程组，得到结构的位移场和应力场。
有限元分析的步骤包括建立有限元模型、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
首先，需要对结构进行几何建模，将结构分解成有限个单元，并确定每个单元的材料性质和几何尺寸。
然后，需要施加边界条件，即给定结构的约束条件和外载荷。
接下来，需要将结构的力学行为建立成代数方程组，通常采用有限元法中的单元法则和变分原理。
最后，通过求解代数方程组，得到结构的位移场和应力场，并进行后处理，如应力分布、位移云图等。
有限元分析在工程领域有着广泛的应用，如结构分析、热传导分析、流体力学分析等。
在结构分析中，有限元分析可以用于预测结构的强度、刚度和稳定性，为结构设计提供理论依据。
在热传导分析中，有限元分析可以用于预测结构的温度分布和热传导性能，为热工设计提供支持。
在流体力学分析中，有限元分析可以用于模拟流体在结构内部的流动行为，为流体工程设计提供参考。
总之，有限元分析是一种强大的工程数值分析方法，它通过离散化方法和数学建模，对工程结构的力学行为进行模拟和分析。
有限元分析的原理是基于弹性力学理论，通过求解代数方程组，得到结构的位移场和应力场。
有限元分析的基本原理
有限元分析的基本原理有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种工程分析方法，它通过将复杂的结构分割成有限数量的简单单元，然后利用数学方法对每个单元进行分析，最终得出整个结构的行为。
有限元分析方法在工程领域得到了广泛的应用，可以用于求解结构的应力、挠度、热传导、流体流动等问题，是一种非常有效的分析工具。
有限元分析的基本原理可以归纳为以下几点：1. 离散化，有限元分析将连续的结构离散化为有限数量的单元，这些单元可以是三角形、四边形、四面体、六面体等形状。
每个单元都有自己的节点和自由度，通过对单元的组合，可以得到整个结构的离散模型。
2. 建立方程，对于每个单元，可以建立其位移与受力之间的关系，这通常可以通过弹性力学理论得到。
然后将所有单元的位移-受力关系组合成整个结构的方程，这个方程描述了整个结构的行为。
3. 求解方程，得到整个结构的方程之后，可以通过数值方法对其进行求解，得到结构在给定载荷下的响应，包括位移、应力、应变等信息。
4. 后处理，最后，对求解得到的结果进行后处理，可以得到结构的各种性能指标，比如最大应力、挠度、疲劳寿命等。
这些指标可以帮助工程师评估结构的安全性和可靠性。
有限元分析的基本原理非常简单，但在实际应用中却有着复杂的数学和计算机实现。
通过有限元分析，工程师可以更好地理解结构的行为，设计更安全、更经济的产品。
有限元分析方法的发展也为工程领域的发展提供了强大的支持，可以预测结构在各种复杂载荷下的响应，为工程设计提供了重要的参考依据。
总的来说，有限元分析是一种非常重要的工程分析方法，它的基本原理是将复杂的结构离散化，建立数学模型，通过数值方法求解得到结构的响应。
有限元分析方法的发展为工程领域的发展做出了重要贡献，相信在未来的发展中，它将发挥更加重要的作用。
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将 y 1 0 y 2 6 .5 2 y 3 1y 2 4 1 5 .5 8 y 5 7 250
分别带入变形公式可得精确解为：
u1
0
u2
27.5100
uu34
106
59.2680 96.8290
m
u5
142.8000
9
采用Matlab计算：
10
② 采用数值方法近似求解
最终产品
现代化产品研发流程：
设计（CAD） 有限元仿真
产品优化
低成本！开发周期短！
最终产品
4
二、金属材料成形有限元仿真实例
5
三、有限单元法的基本概念: 一维杆单元实例
一变横截面杆(右图
w1
为等腰梯形)，一端固 y
定，另一端承受拉力P，
试求杆沿长度方向任一
截面变形大小。其中杆
上边宽度为w1，下边宽
30
CAE软件是包含了数值计算技术、数据库、计算机图 形学、工程分析与仿真等在内的综合型软件系统，基 本结构如下：
CAD CAM CAPP PDM …
用户界面 数据管理系统
数据库
前处理 有限元分析 后处理
静力分析 动力学分析 振动模态分析 热分析（温度场） 电磁场分析 计算流体力学分析 耦合分析
知识库
E=72GPa，L1=L2=L3=L4=L/4=62.5mm
则：A (y)(w 1w 2L w 1y)t 15 0 .3 0 y A1=150 mm2 A2=150-0.3×62.5=131.25 mm2 A3=150-0.3×62.5×2=112.5 mm2 A4=150-0.3×62.5×3=93.75 mm2 A5=150-0.3×62.5×4=75 mm2
专家系统
31
CAE软件可分为专用与通用两类： 针对特定类型工程或产品所开发的用于产品
性能分析、预测和优化分析的软件，称为专用CAE 软件，如显式动力学分析软件LS/DYNA、焊接仿真 软件SysWeld、金属锻造仿真软件Deform、金属板 料成型仿真软件AutoForm、断裂仿真软件PhiPsi 等。
35
求解
ANSYS/Structural求解功能 • Static -- 结构静力问题（包括线性和非线性问题），应
用最广泛 • Modal -- 模态振动特性计算分析（结构固有频率和振型）
• Harmonic -- 谐波分析（正弦激励作用下的响应）
• Transient -- 瞬态分析（任意随时间变化载荷作用下的响应） • Spectrum -- 谱分析（输入数据为响应和频率的关系曲线）
几何模型
节点
计算模型内部任意 点的位移
组集整体刚度矩阵并求 解KU=F，得到节点位移
逐个计算单元刚度 矩阵
28
有限元理论推荐教材：
[1] Logan D. L. 2007. A first course in the finite element method (Nelson: Toronto, Ontario, Canada). 中文译本：《有限元方法基础教程》 [2] Chandrupatla T. R. 2012. Introduction to Finite Elements in Engineering (Prentice Hall: New Jersey). 中文译本：《工程中的有限元方法》，曾攀(译)
i
ui1 ui l
i Ei
20
下面代入参数验证以上两种方法求解的结果是否一样 ？
令 P＝4450N，w 1＝50mm，w 2 =25mm， t=3mm， L=250mm，
E=72GPa，L1=L2=L3=L4=L/4=62.5mm
则： A (y)(w 1w 2L w 1y)t 15 0 .3 0 y
π2EI • Eigen Buckling -- 特征值屈曲分析（线性）Fcr = μL 2
36
几何模型和有限元模型：
单元 节点 体 面 线
关键点
有限元模型 几何模型
37
ANSYS中的坐标系：
根据用途划分：
• 总体坐标系 • 局部坐标系 • 节点坐标系 • 单元坐标系 • 结果坐标系
根据几何类型划分：
32
可以对多种类型工程和产品的物理力学性能进 行分析、模拟、预测、评价和优化，以实现产品技 术创新的软件，称为通用CAE软件，比如 ANSYS （美国 ）、ABAQUS（法国）、ADINA（美国）、 ALGOR（美国）、NASTRAN（美国）、COMSOL（瑞典） 等。
目前我国缺乏具备自主知识产权的通用有限 元软件。
34
建模：
• 确定工作路径和分析标题（File < Change Tile） • 选定单元 （Plane182,Beam188,Shell181,Solid185 ） • 定义实常数（壳单元的厚度）或截面属性（梁单元
的形状） • 定义材料性质（多种材料需要增加材料类型） • 创建几何模型（注意有时需要Glue） • 划分有限元网格 • 施加载荷和约束（边界条件）
.1643 .6222
m
u 5
142 .4041
u1
0
u
2
27
.5100
u u
3 4
10
6
59 96
.2680 .8290
m
u 5
142 .8000
23
24
两种结果非常接近，误差非常小，如果要求 更高的精度，可以划分更多的节点和单元。
但是，精确解采用严格的物理数学模型，通 过积分等数学公式推导才能得出结果，而离散化 方法只需求解线性方程组就能求解，便于计算机 编程求解，其结果能够达到要求。
有限元分析方法基本原理
— 课程名称：《工程有限元方法》 — 上课班级：金材1171 — 日期：2020-09-29
1
一、碰撞测试有限元仿真实例（真实碰撞测试）
2
一、碰撞测试有限元仿真实例（有限元仿真）
3
一、碰撞测试有限元仿真实例
传统产品研发流程：
设计（CAD） 产品原型
测试 产品优化
高成本！开发周期长！
A1=150 mm2
A2=150-0.3×62.5=131.25 mm2
A3=150-0.3×62.5×2=112.5 mm2 A4=150-0.3×62.5×3=93.75 mm2
A5=150-0.3×62.5×4=75 mm2
每个单元的等效刚度系数
keq(Ai12lAi)E
k1=(150+131.25)×72×1000000/(2×62.5)=162×106 N/M
f keq (ui1 ui )
Aavg E l
2l
(ui1
ui)
14
下面考虑每一个节点的受力，根据静力平衡
条件，每一个节点上的受力总和为0，即：
节点1： R 1k1(u2u1)0
节点2： k 1 (u 2 u 1 ) k 2 (u 3 u 2 ) 0
18
引入边界条件，根据本题要求，节点1
的位移为0，即 u1 0 ，则有如下矩阵形 式：
1 0
0
0 0 u1 0
k1 k1 k2 k2
0
0 u2 0
0
0
k2 0
k2 k3 k3
k3 k3 k4
0k4uu43
0 0
0 0
0 k4 k4 u5 P
19
求解上述矩阵方程，可得每个节点位移，进 而求得每个节点反作用力，每一个单元的平均应 力和应变。即：
w2
度为w2，厚度为t，长度
为L，弹性模量为 E 。
P
L
6
① 采用材料力学的研究方法进行精确求解
解：设杆任一横截面面积为 A( y) ：
A( y)
(w1
w2
w1 L
y)t
平均应力为 ，应变为 ，根据力的平衡条件：
PA(y)0
根据虎克定律：E
任一横截面产生的应变： du dy
7
将上述方程变换后得：
29
四、有限单元法的软件实现
CAE（Computer Aided Engineering） 技术，即计算机辅助工程技术，是近20年发展 起来的一种新兴学科， 是一个涉及面广，集 计算力学、计算数学、工程科学、工程管理学、 现代计算技术等多种学科与工程于一体的综合 性、知识密集性的数值模拟分析技术，在现代 工业技术改造与高新技术发展中具有重要的地 位和作用。
du P dy EA(y)
沿杆的长度方向进行积分，得到精确解：
0 ud u0yEP (A y)d y0yE(w t1w P 2L w 1y)dy
可得杆沿长度方向任一位置的变形：
u (y ) E (w P 2 t w L 1 )[lw 1 n w ( 2L w 1y ) ln w 1 ]
8
给定 P＝4450N，w 1＝50mm，w 2 =25mm， t=3mm， L=250mm，
经过简化得： F AE l
l
12
上述方程与线性弹簧方程 Fkx极为相
似，说明：一个中心点集中受力且横截面相等的 杆可以等效为一个弹簧，其等价刚度为:
k eq
AE l
因此，本题的变横截面杆可以看作由四个线 性弹簧串联起来的模型来表示，每一个单元都可 以视为一个线性弹簧，其弹性行为符合以下方程：
13
0
0 u2
0
10 6 0
0
14.40 0
14.4011.88 11.88 11.88 11.8897 .2
907 .2u u4 3
0 0
0
0
0
97 .2 97 .2u5 445 0
22
求解上述方程可得：