有限元分析方法基本原理-2020-09-29
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求出位移后，其它参数就可以求解了。
25
每个单元的平均应力： 1 E(u2 u1)/l 31.6444MPa
2 E(u3 u2 )/l 36.5129MPa 3 E(u4 u3)/l 43.1515MPa 4 E(u5 u4 )/l 52.7407MPa
26
③ 有限单元法概念
经过简化得： F AE l
l
12
上述方程与线性弹簧方程 Fkx极为相
似，说明：一个中心点集中受力且横截面相等的 杆可以等效为一个弹簧，其等价刚度为:
k eq
AE l
因此，本题的变横截面杆可以看作由四个线 性弹簧串联起来的模型来表示，每一个单元都可 以视为一个线性弹簧，其弹性行为符合以下方程：
13
A1=150 mm2
A2=150-0.3×62.5=131.25 mm2
A3=150-0.3×62.5×2=112.5 mm2 A4=150-0.3×62.5×3=93.75 mm2
A5=150-0.3×62.5×4=75 mm2
每个单元的等效刚度系数
keq(Ai12lAi)E
k1=(150+131.25)×72×1000000/(2×62.5)=162×106 N/M
k2=(131.25+112.5)×72×1000000/(2×62.5)=140.4×106 N/M
k3=(112.5+93.75)×72×1000000/(2×62.5)=118.8×106 N/M
k4=(93.75+75)×72×1000000/(2×62.5)=97.2×106 N/M
21
总体刚度矩阵：
将变横截面杆沿 长度方向分成独立的 4 小段等截面直杆， 每一小段称为一个单 元，小段之间通过节 点连接起来，这样变 横截面杆就用 5个节 点和4 个单元组成的 模型来表示。
11
假设：任一横截面为A，长为 l 的杆，承受外力F
的作用，则 杆的平均应力为： F
A
杆的平均应变为： l
l
根据虎克定律有： E
专家系统
31
CAE软件可分为专用与通用两类： 针对特定类型工程或产品所开发的用于产品
性能分析、预测和优化分析的软件，称为专用CAE 软件，如显式动力学分析软件LS/DYNA、焊接仿真 软件SysWeld、金属锻造仿真软件Deform、金属板 料成型仿真软件AutoForm、断裂仿真软件PhiPsi 等。
du P dy EA(y)
沿杆的长度方向进行积分，得到精确解：
0 ud u0yEP (A y)d y0yE(w t1w P 2L w 1y)dy
可得杆沿长度方向任一位置的变形：
u (y ) E (w P 2 t w L 1 )[lw 1 n w ( 2L w 1y ) ln w 1 ]
8
给定 P＝4450N，w 1＝50mm，w 2 =25mm， t=3mm， L=250mm，
30
CAE软件是包含了数值计算技术、数据库、计算机图 形学、工程分析与仿真等在内的综合型软件系统，基 本结构如下：
CAD CAM CAPP PDM …
用户界面 数据管理系统
数据库
前处理 有限元分析 后处理
静力分析 动力学分析 振动模态分析 热分析（温度场） 电磁场分析 计算流体力学分析 耦合分析
知识库
• 直角坐标系 • 圆柱坐标系 • 球坐标系
i
ui1 ui l
i Ei
20
下面代入参数验证以上两种方法求解的结果是否一样 ？
令 P＝4450N，w 1＝50mm，w 2 =25mm， t=3mm， L=250mm，
E=72GPa，L1=L2=L3=L4=L/4=62.5mm
则： A (y)(w 1w 2L w 1y)t 15 0 .3 0 y
E=72GPa，L1=L2=L3=L4=L/4=62.5mm
则：A (y)(w 1w 2L w 1y)t 15 0 .3 0 y A1=150 mm2 A2=150-0.3×62.5=131.25 mm2 A3=150-0.3×62.5×2=112.5 mm2 A4=150-0.3×62.5×3=93.75 mm2 A5=150-0.3×62.5×4=75 mm2
34
建模：
• 确定工作路径和分析标题（File < Change Tile） • 选定单元 （Plane182,Beam188,Shell181,Solid185 ） • 定义实常数（壳单元的厚度）或截面属性（梁单元
的形状） • 定义材料性质（多种材料需要增加材料类型） • 创建几何模型（注意有时需要Glue） • 划分有限元网格 • 施加载荷和约束（边界条件）
18
引入边界条件，根据本题要求，节点1
的位移为0，即 u1 0 ，则有如下矩阵形 式：
1 0
0
0 0 u1 0
k1 k1 k2 k2
0
0 u2 0
0
0
k2 0
k2 k3 k3
k3 k3 k4
0k4uu43
0 0
0 0
0 k4 k4 u5 P
19
求解上述矩阵方程，可得每个节点位移，进 而求得每个节点反作用力，每一个单元的平均应 力和应变。即：
32
可以对多种类型工程和产品的物理力学性能进 行分析、模拟、预测、评价和优化，以实现产品技 术创新的软件，称为通用CAE软件，比如 ANSYS （美国 ）、ABAQUS（法国）、ADINA（美国）、 ALGOR（美国）、NASTRAN（美国）、COMSOL（瑞典） 等。
目前我国缺乏具备自主知识产权的通用有限 元软件。
将 y 1 0 y 2 6 .5 2 y 3 1y 2 4 1 5 .5 8 y 5 7 250
分别带入变形公式可得精确解为：
u1
0
u2
27.5100
uu34
106
59.2680 96.8290
m
u5
142.8000
9
采用Matlab计算：
10
② 采用数值方法近似求解
最终产品
现代化产品研发流程：
设计（CAD） 有限元仿真
产品优化
低成本！开发周期短！
最终产品
4
二、金属材料成形有限元仿真实例
5
三、有限单元法的基本概念: 一维杆单元实例
一变横截面杆(右图
w1
为等腰梯形)，一端固 y
定，另一端承受拉力P，
试求杆沿长度方向任一
截面变形大小。其中杆
上边宽度为w1，下边宽
几何模型
节点
计算模型内部任意 点的位移
组集整体刚度矩阵并求 解KU=F，得到节点位移
逐个计算单元刚度 矩阵
28
有限元理论推荐教材：
[1] Logan D. L. 2007. A first course in the finite element method (Nelson: Toronto, Ontario, Canada). 中文译本：《有限元方法基础教程》 [2] Chandrupatla T. R. 2012. Introduction to Finite Elements in Engineering (Prentice Hall: New Jersey). 中文译本：《工程中的有限元方法》，曾攀(译)
29
四、有限单元法的软件实现
CAE（Computer Aided Engineering） 技术，即计算机辅助工程技术，是近20年发展 起来的一种新兴学科， 是一个涉及面广，集 计算力学、计算数学、工程科学、工程管理学、 现代计算技术等多种学科与工程于一体的综合 性、知识密集性的数值模拟分析技术，在现代 工业技术改造与高新技术发展中具有重要的地 位和作用。
.1643 .6222
m
u 5
142 .4041
u1
0
u
2
27
.5100
u u
3 4
10
6
59 96
.2680 .8290
m
u 5
142 .8000
23
24
两种结果非常接近，误差非常小，如果要求 更高的精度，可以划分更多的节点和单元。
但是，精确解采用严格的物理数学模型，通 过积分等数学公式推导才能得出结果，而离散化 方法只需求解线性方程组就能求解，便于计算机 编程求解，其结果能够达到要求。
有限元分析方法基本原理
— 课程名称：《工程有限元方法》 — 上课班级：金材1171 — 日期：2020-09-29
1
一、碰撞测试有限元仿真实例（真实碰撞测试）
2
一、碰撞测试有限元仿真实例（有限元仿真）
3
一、碰撞测试有限元仿真实例
传统产品研发流程：
设计（CAD） 产品原型
测试 产品优化
高成本！开发周期长！
33
五、ANSYS有限元分析软件
（1）建模 GUI: Preprocessor; 命令流：/prep7
（2）加载及求解 GUI: Solution；命令流： /solu
（3）观察结果 GUI： General Postproc，TimeHist Postproc 命令流：/post1, /post26
w2
度为w2，厚度为t，长度
为L，弹性模量为 E 。
P
L
6
① 采用材料力学的研究方法进行精确求解
解：设杆任一横截面面积为 A( y) ：
A( y)
(w1
w2
w1 L
y)t
平均应力为 ，应变为 ，根据力的平衡条件：
PA(y)0
根据虎克定律：E
任一横截面产生的应变： du dy
7
将上述方程变换后得：
基本思想：将结构进行离散，用有限个容 易分析的单元来表示复杂的工程结构，各单元 之间通过节点相互连接，根据有限元基本理论 建立有限元总体平衡方程 KU=F，然后求解。
有限元法是目前最为成功的通用工程分析 方法和工具，并将在相当长的时期内保持领先 优势。
27
三、有限单元法的基本概念: 二维平面单元
单元
162 162
0
0
0
16216214.40 14.40
0
0
Βιβλιοθήκη Baidu
[K]106 0 14.40 14.4011.88 11.88 0
0
0
11.88 11.8897 .2 97 .2
0
0
0
97 .2 97 .2
应用边界条件u1=0和负荷 P＝4450N , 可以得到：
1
0
0
0
0 u1 0
16216214.40 14.40
π2EI • Eigen Buckling -- 特征值屈曲分析（线性）Fcr = μL 2
36
几何模型和有限元模型：
单元 节点 体 面 线
关键点
有限元模型 几何模型
37
ANSYS中的坐标系：
根据用途划分：
• 总体坐标系 • 局部坐标系 • 节点坐标系 • 单元坐标系 • 结果坐标系
根据几何类型划分：
35
求解
ANSYS/Structural求解功能 • Static -- 结构静力问题（包括线性和非线性问题），应
用最广泛 • Modal -- 模态振动特性计算分析（结构固有频率和振型）
• Harmonic -- 谐波分析（正弦激励作用下的响应）
• Transient -- 瞬态分析（任意随时间变化载荷作用下的响应） • Spectrum -- 谱分析（输入数据为响应和频率的关系曲线）
节点3： k 2 (u 3 u 2 ) k 3 (u 4 u 3 ) 0 节点4： k 3 (u 4 u 3 ) k 4 (u 5 u 4 ) 0
节点5： k4(u5u4)P0
15
将力写到右边，得：
节点1： k1u1k1u2R1
节点2： k 1 u 1 (k 1 k 2 )u 2 k 2 u 3 0 节点3： k 2 u 2 (k 2 k 3 )u 3 k 3 u 4 0 节点4： k 3 u 3 (k 3 k 4 )u 4 k 4 u 5 0
0
0 u2
0
10 6 0
0
14.40 0
14.4011.88 11.88 11.88 11.8897 .2
907 .2u u4 3
0 0
0
0
0
97 .2 97 .2u5 445 0
22
求解上述方程可得：
精确解为：
u1
0
u
2
27
.4691
u u
3 4
10
6
59 96
节点5： k4u4k5u5P
16
将上述方程组写成矩阵形式，有：
k1 k1
0
0
0
k1 k1 k2 k2
0
0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0 u1 R1
0 u2
0
0k4uu43
0 0
k4 u5 P
17
写成一般形式，可得：
[K ][U ] [F ]
即： [总体刚度矩阵][位移向量] [载荷向量]
f keq (ui1 ui )
Aavg E l
(ui1 ui )
( Ai1
Ai )E 2l
(ui1
ui)
14
下面考虑每一个节点的受力，根据静力平衡
条件，每一个节点上的受力总和为0，即：
节点1： R 1k1(u2u1)0
节点2： k 1 (u 2 u 1 ) k 2 (u 3 u 2 ) 0
25
每个单元的平均应力： 1 E(u2 u1)/l 31.6444MPa
2 E(u3 u2 )/l 36.5129MPa 3 E(u4 u3)/l 43.1515MPa 4 E(u5 u4 )/l 52.7407MPa
26
③ 有限单元法概念
经过简化得： F AE l
l
12
上述方程与线性弹簧方程 Fkx极为相
似，说明：一个中心点集中受力且横截面相等的 杆可以等效为一个弹簧，其等价刚度为:
k eq
AE l
因此，本题的变横截面杆可以看作由四个线 性弹簧串联起来的模型来表示，每一个单元都可 以视为一个线性弹簧，其弹性行为符合以下方程：
13
A1=150 mm2
A2=150-0.3×62.5=131.25 mm2
A3=150-0.3×62.5×2=112.5 mm2 A4=150-0.3×62.5×3=93.75 mm2
A5=150-0.3×62.5×4=75 mm2
每个单元的等效刚度系数
keq(Ai12lAi)E
k1=(150+131.25)×72×1000000/(2×62.5)=162×106 N/M
k2=(131.25+112.5)×72×1000000/(2×62.5)=140.4×106 N/M
k3=(112.5+93.75)×72×1000000/(2×62.5)=118.8×106 N/M
k4=(93.75+75)×72×1000000/(2×62.5)=97.2×106 N/M
21
总体刚度矩阵：
将变横截面杆沿 长度方向分成独立的 4 小段等截面直杆， 每一小段称为一个单 元，小段之间通过节 点连接起来，这样变 横截面杆就用 5个节 点和4 个单元组成的 模型来表示。
11
假设：任一横截面为A，长为 l 的杆，承受外力F
的作用，则 杆的平均应力为： F
A
杆的平均应变为： l
l
根据虎克定律有： E
专家系统
31
CAE软件可分为专用与通用两类： 针对特定类型工程或产品所开发的用于产品
性能分析、预测和优化分析的软件，称为专用CAE 软件，如显式动力学分析软件LS/DYNA、焊接仿真 软件SysWeld、金属锻造仿真软件Deform、金属板 料成型仿真软件AutoForm、断裂仿真软件PhiPsi 等。
du P dy EA(y)
沿杆的长度方向进行积分，得到精确解：
0 ud u0yEP (A y)d y0yE(w t1w P 2L w 1y)dy
可得杆沿长度方向任一位置的变形：
u (y ) E (w P 2 t w L 1 )[lw 1 n w ( 2L w 1y ) ln w 1 ]
8
给定 P＝4450N，w 1＝50mm，w 2 =25mm， t=3mm， L=250mm，
30
CAE软件是包含了数值计算技术、数据库、计算机图 形学、工程分析与仿真等在内的综合型软件系统，基 本结构如下：
CAD CAM CAPP PDM …
用户界面 数据管理系统
数据库
前处理 有限元分析 后处理
静力分析 动力学分析 振动模态分析 热分析（温度场） 电磁场分析 计算流体力学分析 耦合分析
知识库
• 直角坐标系 • 圆柱坐标系 • 球坐标系
i
ui1 ui l
i Ei
20
下面代入参数验证以上两种方法求解的结果是否一样 ？
令 P＝4450N，w 1＝50mm，w 2 =25mm， t=3mm， L=250mm，
E=72GPa，L1=L2=L3=L4=L/4=62.5mm
则： A (y)(w 1w 2L w 1y)t 15 0 .3 0 y
E=72GPa，L1=L2=L3=L4=L/4=62.5mm
则：A (y)(w 1w 2L w 1y)t 15 0 .3 0 y A1=150 mm2 A2=150-0.3×62.5=131.25 mm2 A3=150-0.3×62.5×2=112.5 mm2 A4=150-0.3×62.5×3=93.75 mm2 A5=150-0.3×62.5×4=75 mm2
34
建模：
• 确定工作路径和分析标题（File < Change Tile） • 选定单元 （Plane182,Beam188,Shell181,Solid185 ） • 定义实常数（壳单元的厚度）或截面属性（梁单元
的形状） • 定义材料性质（多种材料需要增加材料类型） • 创建几何模型（注意有时需要Glue） • 划分有限元网格 • 施加载荷和约束（边界条件）
18
引入边界条件，根据本题要求，节点1
的位移为0，即 u1 0 ，则有如下矩阵形 式：
1 0
0
0 0 u1 0
k1 k1 k2 k2
0
0 u2 0
0
0
k2 0
k2 k3 k3
k3 k3 k4
0k4uu43
0 0
0 0
0 k4 k4 u5 P
19
求解上述矩阵方程，可得每个节点位移，进 而求得每个节点反作用力，每一个单元的平均应 力和应变。即：
32
可以对多种类型工程和产品的物理力学性能进 行分析、模拟、预测、评价和优化，以实现产品技 术创新的软件，称为通用CAE软件，比如 ANSYS （美国 ）、ABAQUS（法国）、ADINA（美国）、 ALGOR（美国）、NASTRAN（美国）、COMSOL（瑞典） 等。
目前我国缺乏具备自主知识产权的通用有限 元软件。
将 y 1 0 y 2 6 .5 2 y 3 1y 2 4 1 5 .5 8 y 5 7 250
分别带入变形公式可得精确解为：
u1
0
u2
27.5100
uu34
106
59.2680 96.8290
m
u5
142.8000
9
采用Matlab计算：
10
② 采用数值方法近似求解
最终产品
现代化产品研发流程：
设计（CAD） 有限元仿真
产品优化
低成本！开发周期短！
最终产品
4
二、金属材料成形有限元仿真实例
5
三、有限单元法的基本概念: 一维杆单元实例
一变横截面杆(右图
w1
为等腰梯形)，一端固 y
定，另一端承受拉力P，
试求杆沿长度方向任一
截面变形大小。其中杆
上边宽度为w1，下边宽
几何模型
节点
计算模型内部任意 点的位移
组集整体刚度矩阵并求 解KU=F，得到节点位移
逐个计算单元刚度 矩阵
28
有限元理论推荐教材：
[1] Logan D. L. 2007. A first course in the finite element method (Nelson: Toronto, Ontario, Canada). 中文译本：《有限元方法基础教程》 [2] Chandrupatla T. R. 2012. Introduction to Finite Elements in Engineering (Prentice Hall: New Jersey). 中文译本：《工程中的有限元方法》，曾攀(译)
29
四、有限单元法的软件实现
CAE（Computer Aided Engineering） 技术，即计算机辅助工程技术，是近20年发展 起来的一种新兴学科， 是一个涉及面广，集 计算力学、计算数学、工程科学、工程管理学、 现代计算技术等多种学科与工程于一体的综合 性、知识密集性的数值模拟分析技术，在现代 工业技术改造与高新技术发展中具有重要的地 位和作用。
.1643 .6222
m
u 5
142 .4041
u1
0
u
2
27
.5100
u u
3 4
10
6
59 96
.2680 .8290
m
u 5
142 .8000
23
24
两种结果非常接近，误差非常小，如果要求 更高的精度，可以划分更多的节点和单元。
但是，精确解采用严格的物理数学模型，通 过积分等数学公式推导才能得出结果，而离散化 方法只需求解线性方程组就能求解，便于计算机 编程求解，其结果能够达到要求。
有限元分析方法基本原理
— 课程名称：《工程有限元方法》 — 上课班级：金材1171 — 日期：2020-09-29
1
一、碰撞测试有限元仿真实例（真实碰撞测试）
2
一、碰撞测试有限元仿真实例（有限元仿真）
3
一、碰撞测试有限元仿真实例
传统产品研发流程：
设计（CAD） 产品原型
测试 产品优化
高成本！开发周期长！
33
五、ANSYS有限元分析软件
（1）建模 GUI: Preprocessor; 命令流：/prep7
（2）加载及求解 GUI: Solution；命令流： /solu
（3）观察结果 GUI： General Postproc，TimeHist Postproc 命令流：/post1, /post26
w2
度为w2，厚度为t，长度
为L，弹性模量为 E 。
P
L
6
① 采用材料力学的研究方法进行精确求解
解：设杆任一横截面面积为 A( y) ：
A( y)
(w1
w2
w1 L
y)t
平均应力为 ，应变为 ，根据力的平衡条件：
PA(y)0
根据虎克定律：E
任一横截面产生的应变： du dy
7
将上述方程变换后得：
基本思想：将结构进行离散，用有限个容 易分析的单元来表示复杂的工程结构，各单元 之间通过节点相互连接，根据有限元基本理论 建立有限元总体平衡方程 KU=F，然后求解。
有限元法是目前最为成功的通用工程分析 方法和工具，并将在相当长的时期内保持领先 优势。
27
三、有限单元法的基本概念: 二维平面单元
单元
162 162
0
0
0
16216214.40 14.40
0
0
Βιβλιοθήκη Baidu
[K]106 0 14.40 14.4011.88 11.88 0
0
0
11.88 11.8897 .2 97 .2
0
0
0
97 .2 97 .2
应用边界条件u1=0和负荷 P＝4450N , 可以得到：
1
0
0
0
0 u1 0
16216214.40 14.40
π2EI • Eigen Buckling -- 特征值屈曲分析（线性）Fcr = μL 2
36
几何模型和有限元模型：
单元 节点 体 面 线
关键点
有限元模型 几何模型
37
ANSYS中的坐标系：
根据用途划分：
• 总体坐标系 • 局部坐标系 • 节点坐标系 • 单元坐标系 • 结果坐标系
根据几何类型划分：
35
求解
ANSYS/Structural求解功能 • Static -- 结构静力问题（包括线性和非线性问题），应
用最广泛 • Modal -- 模态振动特性计算分析（结构固有频率和振型）
• Harmonic -- 谐波分析（正弦激励作用下的响应）
• Transient -- 瞬态分析（任意随时间变化载荷作用下的响应） • Spectrum -- 谱分析（输入数据为响应和频率的关系曲线）
节点3： k 2 (u 3 u 2 ) k 3 (u 4 u 3 ) 0 节点4： k 3 (u 4 u 3 ) k 4 (u 5 u 4 ) 0
节点5： k4(u5u4)P0
15
将力写到右边，得：
节点1： k1u1k1u2R1
节点2： k 1 u 1 (k 1 k 2 )u 2 k 2 u 3 0 节点3： k 2 u 2 (k 2 k 3 )u 3 k 3 u 4 0 节点4： k 3 u 3 (k 3 k 4 )u 4 k 4 u 5 0
0
0 u2
0
10 6 0
0
14.40 0
14.4011.88 11.88 11.88 11.8897 .2
907 .2u u4 3
0 0
0
0
0
97 .2 97 .2u5 445 0
22
求解上述方程可得：
精确解为：
u1
0
u
2
27
.4691
u u
3 4
10
6
59 96
节点5： k4u4k5u5P
16
将上述方程组写成矩阵形式，有：
k1 k1
0
0
0
k1 k1 k2 k2
0
0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0 u1 R1
0 u2
0
0k4uu43
0 0
k4 u5 P
17
写成一般形式，可得：
[K ][U ] [F ]
即： [总体刚度矩阵][位移向量] [载荷向量]
f keq (ui1 ui )
Aavg E l
(ui1 ui )
( Ai1
Ai )E 2l
(ui1
ui)
14
下面考虑每一个节点的受力，根据静力平衡
条件，每一个节点上的受力总和为0，即：
节点1： R 1k1(u2u1)0
节点2： k 1 (u 2 u 1 ) k 2 (u 3 u 2 ) 0