安徽省黄山市屯溪一中2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(word版含答案)
安徽省黄山市屯溪一中2016-2017学年高二(下)期中数学试卷 (理科)
2016-2017学年安徽省黄山市屯溪一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），若f′（x0）=0，则x=x0是函数f（x）的极值点．因为f（x）=x3在2x3﹣6x2+7=0处的导数值（0，2），所以f（x）=2x3﹣6x2+7是f′（x）=6x2﹣12x的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确2．函数f（x）=x﹣sinx的大致图象可能是（）A．B．C．D．3．若z∈C，且|z|=1，则|z﹣i|的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为（）A．720 B．600 C．520 D．3605．一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人按先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向数轴的正方向，以1步的距离为1个单位长度．用P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）=0则下列结论错误的是（）A．P（3）=3 B．P（5）=1 C．P（2003）＞P（2005）D．P（2008）＜P （2010）6．凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为（）A．f（n）+n+1 B．f（n）+n C．f（n）+n﹣1 D．f（n）+n﹣27．已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（）A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值8．若函数内单调递增，则实数a的取值范围是（）A． B． C．D．（1，30，e，e2e，e2【考点】4N：对数函数的图象与性质；3G：复合函数的单调性．【分析】利用导函数讨论内层函数的单调性，根据复合函数的单调性判断即可得结论．【解答】解：由题意，函数内单调递增，∵y=x3﹣ax=x（x2﹣a），y＞0，a＞0，∴函数y的零点为0，，．则y′=3x2﹣a，令y′=0，可得，．∴函数y=x3﹣ax（y＞0）的单调增区间为，0，0，1）．故选B．【点评】本题考查了复合函数的单调性“同增异减”判断零点问题以及利用导函数讨论单调性．属于中档题．9．已知数列{a n}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2B．2πC．πD．4π2【考点】8G：等比数列的性质；67：定积分．【分析】求定积分可得a2013+a2015=π，由等比数列的性质变形可得a2014（a2012+2a2014+a2016）=（a2013+a2015）2，代值计算可得．【解答】解：由定积分的几何意义可得dx表示圆x2+y2=4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得a2013+a2015=dx=×π×22=π，∴a2014（a2012+2a2014+a2016）=a2014•a2012+2a2014•a2014+a2014•a2016=+2a2013•a2015=（a2013+a2015）2=π2故选：A【点评】本题考查等比数列的性质，涉及定积分的求解，属中档题．10．已知函数f（x）=x3+bx2+cx的图象如图所示，则x12+x22等于（）A．B．C．D．【考点】6C：函数在某点取得极值的条件；6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】先利用函数的零点，计算b、c的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x1，x2，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可【解答】解：由图可知，f（x）=0的三个根为0，1，2∴f（1）=1+b+c=0，f（2）=8+4b+2c=0解得b=﹣3，c=2又由图可知，x1，x2为函数f（x）的两个极值点∴f′（x）=3x2﹣6x+2=0的两个根为x1，x2，∴x1+x2=2，x1x2=∴=（x1+x2）2﹣2x1x2=4﹣=故选C【点评】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法11．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），构造为g（x+1）＞g（x2﹣1），问题得以解决．【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）='=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，∵f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），x∈（0，+∞），∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x﹣1）f（x2﹣1），∴（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），∴g（x+1）＞g（x2﹣1），∴x+1＜x2﹣1，解得x＞2．故选：D．【点评】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．12．已知函数f（x）=|cosx|﹣kx在（0，+∞）恰有两个不同的零点α，β（α＜β），则下列结论正确的是（）A．cosβ=βsinβB．cosα=αsinαC．cosβ=﹣βsinβD．cosα=﹣αsinα【考点】52：函数零点的判定定理；63：导数的运算．【分析】由函数f（x）=|cosx|﹣kx得到g（x）=|cosx|和函数h（x）=kx，再画出两函数的图象，问题得解．【解答】解：原题等价于方程|cosx|=kx在（0，+∞）恰有两个不同的解，等价于函数g（x）=|cosx|与函数h（x）=kx的图象在（0，+∞）恰有两个交点（如图），在内的交点横坐标为β，且此时直线h（x）=kx与曲线g（x）=|cosx|相切，切点为（β，kβ），又时，g（x）=﹣cosx，g'（x）=sinx，故k=g'（β）=sinβ，∴kβ=g（β）=﹣cosβ．即cosβ=﹣βsinβ，故答案选：C．【点评】考查函数零点，导数的应用，解题时可结合图形，难度适中．二、填空题13．观察下列等式：（1+x+x2）1=1+x+x2，（1+x+x2）2=1+2x+3x2+2x3+x4，（1+x+x2）3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6，（1+x+x2）4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8，…由以上等式推测：对于n∈N*，若（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n则a2=．【考点】F1：归纳推理．【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及指数部分与式子编号之间的关系，易得等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，归纳后即可推断出a2的等式．【解答】解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，即：1，1+2.1+2+3，1+2+3+4，…根据已知可以推断：第n（n∈N*）个等式中a2为：1+2+3+4+…+n=故答案为：．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有345种．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】因为选出的4人中恰有1名女同学，这一女同学可能是从甲组中选，也可能是从乙组中选，所以可按分类计数原理，按女学生从那一组中选分成两类，把每一类方法数求出，再相加即可．【解答】解：分两类，第一类，甲组选1名男同学，1名女同学，乙组选2名男同学，有C51C31C62=225第二类，甲组选2名男同学，乙组选1名男同学，1名女同学，有C52C61C21=120∴共有225+120=345种．故答案为：345．【点评】本体主要考查了分类计数原理在组合问题中的应用，注意分类要不重不漏．15．定义在R上的函数f（x），如果对任意的x都有f（x+6）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+1，f（4）=309，则f（2 014）=1314．【考点】3T：函数的值．【分析】根据不等式的关系，利用两边夹的思想得到f（x+6）=f（x）+3，然后进行转化求解即可．【解答】解：根据对任意x恒有f（x+2）≥f（x）+1，得f（x+6）≥f（x+4）+1≥f（x+2）+1+1≥f（x）+1+1+1=f（x）+3，由此得f（x）+3≤f（x+6）≤f（x）+3，即只能是f（x+6）=f（x）+3．不难归纳出f（x+6k）=f（x）+3k（k为正整数），所以f（2 014）=f（6×335+4）=f（4）+3×335=309+1 005=1314．故答案为：1314．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据不等式的关系求出f（x+6）=f（x）+3是解决本题的关键．，综合性较强，难度较大．16．在下列命题中①函数f（x）=在定义域内为单调递减函数；②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），则f（x）一定为偶函数；③若f（x）为奇函数，则f（x）dx=2f（x）dx（a＞0）；④已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），则a+b+c=0是f（x）有极值的充分不必要条件；⑤已知函数f（x）=x﹣sinx，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．其中正确命题的序号为②④⑤（写出所有正确命题的序号）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①中，函数f（x）=在定义域内的区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上有单调性；②中，由题意可以推导出f（﹣x）=f（x），即f（x）是偶函数；③中，由定积分的几何意义与被积函数是奇函数，得出f（x）dx的值；④中，当a+b+c=0时，得出f′（x）有二不等零点，f（x）有极值；当f（x）有极值时，f′（x）有二不等零点，不能得出a+b+c=0；⑤中，由f′（x）≥0得出a＞﹣b时，f（a）＞f（﹣b）；又f（﹣x）=﹣f（x），得出f（﹣b）=﹣f（b）；从而得出f（a）+f（b）＞0．【解答】解：对于①，函数f（x）=在定义域内的区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数，∴①错误．对于②，由题意得f（2﹣（x+2））=f（2+（x+2）），即f（﹣x）=f（4+x）=f （x），∴f（x）是偶函数；∴②正确．对于③，根据定积分的几何意义是函数图象与x轴所围成的封闭图形的面积的代数和，且被积函数f（x）是奇函数，得f（x）dx=0，∴③错误．对于④，∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c；当a+b+c=0时，（2b）2﹣4×3a×（﹣a﹣b）=4b2+12a2+12ab=4+3a2＞0，∴f′（x）有二不等零点，f（x）有极值；当f（x）有极值时，f′（x）=3ax2+2bx+c有二不等零点，即4b2﹣12ac＞0，不能得出a+b+c=0；∴是充分不必要条件，④正确．对于⑤，∵f（x）=x﹣sinx，∴f′（x）=1﹣cosx≥0，∴f（x）是增函数，∴当a+b ＞0时，a＞﹣b，∴f（a）＞f（﹣b）；又∵f（﹣x）=﹣x﹣sin（﹣x）=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，∴f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）＞﹣f（b），即f（a）+f（b）＞0；∴⑤正确．综上，正确的命题是②④⑤；故答案为：②④⑤．【点评】本题通过命题真假的判定，考查函数的单调性、周期性、奇偶性以及求定积分和利用导数研究函数极值的问题，解题时应对每一个命题认真分析，以便作出正确的选择，是较难的综合题．三、解答题17．（10分）（2017春•屯溪区校级期中）抛物线y2=x与直线x﹣2y﹣3=0的两个交点分别为P、Q，点M在抛物线上从P向Q运动（点M不同于点P、Q），（Ⅰ）求由抛物线y2=x与直线x﹣2y﹣3=0所围成的封闭图形面积；（Ⅱ）求使△MPQ的面积为最大时M点的坐标．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由得抛物线与直线的交点为P，Q，根据定积分的即可求出相对应的面积，方法一，选取积分变量为x，方法二，选取积分变量为y （Ⅱ）设点M的坐标为（a，b），要使△MPQ的面积最大即使点M到直线x﹣2y﹣3=0的距离最大，故过点M的切线与直线x﹣2y﹣3=0平行，利用导数求出切线的斜率，即可求出a的值，问题得以解决．【解答】解（Ⅰ）方法一由得抛物线与直线的交点为P（1，﹣1），Q（9，3）（如图）．∴S=，∴1≤lnx≤2，∴．令h（x）=f′（x）+2a=﹣a+2a==+≤a+．∴+．∴实数a的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22．（12分）（2015秋•淮北校级期中）已知函数f（x）=e x（2x﹣1），g（x）=ax﹣a（a∈R）．（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求a的值；（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导数，设出切点（m，n），求得切线的斜率，由切线的方程，可得a=e m（2m+1），又n=am﹣a=e m（2m﹣1），解方程可得a的值；（2）函数f（x）=e x（2x﹣1），g（x）=kx﹣k，问题转化为存在唯一的整数x0使得f（x0）在直线y=kx﹣k的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣k ＞f（0）=﹣1且f（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣k﹣k，解关于k的不等式组可得．【解答】解：（1）f′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），设切点为（m，n），由题意可得a=e m（2m+1），又n=am﹣a=e m（2m﹣1），解方程可得，a=1或4；（2）函数f（x）=e x（2x﹣1），g（x）=ax﹣a由题意知存在唯一的整数x0使得f（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵f′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，f′（x）＜0，当x＞﹣时，f′（x）＞0，∴当x=﹣时，f（x）取最小值﹣2，当x=0时，f（0）=﹣1，当x=1时，f（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞f（0）=﹣1且f（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值、最值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．。
安徽省2016-2017学年高一数学下学期期中试题
安徽省2016-2017学年高一数学下学期期中试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）A ．(0,0)=a ，(1,2)=-bB ． (1,2)=-a ，(2,4)=-bC ．(3,5)=a ，(6,10)=bD ． (2,3)=-a ，(6,9)=b2.在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）A ．10=b ， 45=A ， 70=CB ．14=a ，16=b ， 45=AC ．60=a ，48=c ， 60=BD ．7=a ，5=b ， 80=A3. 已知ABC ∆中，sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =（ ） A ．6π B ．4π C ．3πD4. 已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则） A. 310±B ．310-C ．310D ．15. 已知向量(2)0a a b ⋅+=，||2a =，||2b =，则向量,a b 的夹角为（ ）A ．3πB ．23πC ．6πD ．56π 6. 在ABC ∆中，若2b =，120A =°，三角形的面积S =）AB ．2C ．D ． 47. 一个等比数列}{n a 的前n 项和为10，前2n 项和为30，则前3n 项和为（ ）A ．90B ．70C ．50D ．408. 设ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形9. 关于平面向量,,a b c ，下列结论正确的个数为（ ）①若a b a c ⋅=⋅，则b c =；②若()()1,,2,6,a k b a b ==-a ∥b ，则3k =-； ③非零向量a 和b 满足,a b a b ==-则a 与a b +的夹角为30°；④已知向量)1,1(),2,1(==b a ，且a 与b a λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是53λ>-. A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 10. 已知数列{a n }为等差数列，若12111a a <-，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为（ ）A ．11B ．19C ．20D ．2111. 两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于（ ） A ．49 B ．837 C ．1479 D ．2414912. 在直角ABC ∆中， BCA ∠=90°，1CA CB ==，P 为AB 边上的点且AP AB λ=，若CP AB PA PB ⋅≥⋅，则λ的取值范围是（）ABD二、填空题（本题4小题，每小题4分，共16分。
安徽黄山市屯溪第一中学高一下学期期中考试数学试题含答案
屯溪一中2015-2016学年高一年级第二学期数学期中测试卷满分:150分 考试时间:120分钟一．选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意.）1．已知集合{}{}21,40A x x a B x x x =-≤=-≥，若AB =∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(2,3)2．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若1,30a b A ===,则B ∠等于( )A.60B.60或120C.30或150D.1203.已知A,B,C 三点共线，OB a a OC a n 122OA }{+=为等差数列，且 则的值为11153a a a -+( )A. 1B. -1C.21 D. 21- 4．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式不成立的是（ ）A ．2b＜2a＜2B ． bC ． ab ＜b 2＜1D ．ab ＜a 2＜15. △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若＜cosA ，则△ABC 为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ． 锐角三角形D ． 等边三角形6若数列{a n }的通项公式是a n =（﹣1）n（3n ﹣2），则a 1+a 2+…+a 10=（ ） A ．﹣12B ． 12C ．15D ． ﹣157. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，c b =，且满足sin 1cos sin cos B BA A-=．若点O 是ABC ∆外一点，θ=∠AOB (0)θπ<<,22OA OB ==，平面四边形OACB 面积的最大值是( )A ．3 B C ．D ．8. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0x ＋y －4≤0y ≥m，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，则 实数m 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－129. 已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是( )A ．log 2a >0B ．log 2a ＋log 2b <－2C ．2a －b<12D ．2a b ＋b a <1210. 如图，已知B A O ,,是平面内不共线的三点，且OB y OA x OP +=，直线AB OB OA ,,将平面区域分成7部分，若点P 落在区域①中（含边界），则y x z +=2的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 3 D. 4二.填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分.） 11.已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝_____12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为: ____．13. 数列{}n a 的通项公式(1)2cos()n n n a n n π=-⋅+⋅，其前n 项和为n S ，则10S 等于____ 14．定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--.则当14s ≤≤时，S-2t 的最小值为是____ 15.给出下列命题：①若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100，S 200﹣S 100，S 300﹣S 200成等比数列； ②已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足=，则=；③已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2，0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为42④若关于x 的不等式（a 2﹣1）x 2﹣（a ﹣1）x ﹣1＜0的解集为R ，则a 的取值范围为．⑤若ac b =2且B C A cos 23)cos(-=-， 则3π=B其中正确的是 （把你认为正确的命题序号都填上）．三．解答题（本题共6小题，满分75分）（答案必须写在答题卡指定的区域内，否则不得分）16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b ＝2， c ＝2 3.(1)若A ＝5π6，求a ；(2)若C ＝π2＋A ，求角A .17. （本小题满分12分）设数列{}n a 是等差数列，355,9,a a ==数列{}n b 的前n 项和为n S ，122(*).n n S n N +=-∈(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若(*),n n n c a b n N =⋅∈n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T ．18（本小题满分12分）经过长期的观测得到：在交通繁忙的时段内，黄山市黄山中路某路段汽车的车流量y（千辆/h）与汽车的平均速度v（km/h）之间的函数关系为: y=（v＞5）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量最大，最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/h）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？19．（本小题满分12分）已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0}，B＝{y|y＝1 2 x2－x＋52，0≤x≤3}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)当a取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值时，求(∁R A)∩B.20. （本小题满分13分）黄山市经开区某企业，从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元.(1)用d 表示a 1,a 2,并写出1n a +与a n 的关系式；（2)若公司希望经过m (m ≥3)年使 企业的剩余资金为4000万元,试确定企业 每年上缴资金d 的值(用m 表示)。
安徽省黄山市屯溪一中高一数学下学期期中试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市屯溪一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1．（5分）（2015春•某某校级期中）已知集合A={x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，B=，则A∩B=（）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）C．（﹣1，0] D． [﹣1，0）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，求出两集合的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：x2﹣5x﹣6＜0，即（x﹣6）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜6，即A=（﹣1，6），由B中不等式变形得：x（x+1）≤0，且x+1≠0，解得：﹣1＜x≤0，即B=（﹣1，0]，则A∩B=（﹣1，0]．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015春•某某校级期中）在△ABC中，若a=，则此三角形（）A．无解B．有一解C．有两解D．解的个数无法确定考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由题意求出asinB的值，再与b进行比较，可判断出此三角形的解的情况．解答：解：∵在△ABC中，a=，∴asinB==＞2，则此三角形无解，故选：A．点评：本题主要考查三角形存在个数的条件，比较基础．3．（5分）（2014•某某校级模拟）在数列{a n}，a1=1，a n+1=（n∈N*），则a5=（）A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式得到数列{}是以1为首项，以为公差的等差数列，求出其通项公式后可得a5的值．解答：解：由a n+1=，得，又∵a1=1，∴数列{}是以1为首项，以为公差的等差数列，则，∴．∴．故选：A．点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．4．（5分）（2015春•某某校级期中）如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）A．B．C．D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：求出对应的直线方程，结合二元一次不等式与平面区域的关系进行求解即可．解答：解：过（2，0），（0，﹣2）的直线方程为，即x﹣y﹣2=0，过（4，0），（0，2）的直线方程为+=1，即x+2y﹣4=0，则对应的区域在y轴的右侧，x﹣y﹣2=0的上方，x+2y﹣4=0的下方，则对应的不等式组为，故选：B点评：本题主要考查二元一次不等式组的确定，求出直线方程结合二元一次不等式组表示平面区域的性质是解决本题的关键．5．（5分）（2015春•某某校级期中）等比数列{a n}的前项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则公比q为（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的性质以及等差数列的关系进行求解即可．解答：解：若S1，2S2，3S3成等差数列，则S1+3S3=4S2，则a1+3（a1+a2+a3）=4（a1+a2），即3a3=a2，则，即公比q=，故选：D．点评：本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据条件结合等比数列的前n项和公式建立方程关系是解决本题的关键．6．（5分）（2015春•某某校级期中）设0＜b＜a＜1，则下列不等式不成立的是（）A．2b＜2a＜2 B． bC．ab＜b2＜1 D． ab＜a2＜1考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：根据指数函数的单调性，对数函数的单调性，不等式的基本性质逐一分析四个答案的真假，可得答案．解答：解：∵0＜b＜a＜1，A中，由y=2x为增函数，可得：2b＜2a＜2成立，故正确；B中，由y=为减函数，可得：成立，故正确；C中，b2＜ab＜b＜1，故错误；D中，ab＜a2＜a＜1，故正确；故选：C．点评：本题考查的知识点是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键．7．（5分）（2015春•某某校级期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角，asin2C=bsinA，则下列结论正确的有（）个①一定是锐角三角形；②一定是等腰三角形；③可能是等腰直角三角形；④可能是等边三角形．A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理、余弦定理和二倍角公式化简已知的式子，再对化简后式子进行分类讨论，分别判断出△AB C的形状．解答：解：∵asin2C=bsinA，∴根据正弦定理得：sinAsin2C=sinBsinA，由sinA≠0，则sin2C=sinB，∴2sinCcosC=sinB，∴2c=b，化简可得：（a﹣c）（ac+c2﹣b2）=0，∴a﹣c=0或ac+c2﹣b2=0，①当a﹣c=0且ac+c2﹣b2≠0时，a=c，△ABC是等腰三角形；②当a﹣c=0且ac+c2﹣b2=0时，a=c且a2+c2=b2，△ABC是等腰直角三角形；③当a﹣c≠0且ac+c2﹣b2=0时，无法判断△ABC的形状，∴△ABC是等腰三角形或等腰直角三角形；故选：B．点评：本题考查正弦定理，、余弦定理和二倍角公式的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．8．（5分）（2015春•某某校级期中）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A． 5 B． 4 C． 3 D． 2考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：①当n=1时，===17；②当n≥2时，===9+；从而判断即可．解答：解：①当n=1时，===17，故成立；②当n≥2时，=====9+；故n=3，7，15；故使得为整数的正整数的个数是4；故选：B．点评：本题考查了等差数列前n项和公式的应用及分类讨论的思想应用，属于基础题．9．（5分）（2015春•某某校级期中）若数列{a n}满足：a1=，a n=（n=2，3，4，…），且有一个形如a n=Asin（ωn+φ）的通项公式，其中A，ω，φ均为实数，且ω＞0，则此通项公式a n可以为（）A．a n=B．a n=C．a n=﹣D．a n=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：点列、递归数列与数学归纳法；三角函数的图像与性质．分析：由题设得到a2=0，a3=﹣，a4=，因为数列有个形如a n=Asin（ωn+φ）的通项公式，而数列的周期是3，由周期公式可求ω，代入得Asin（+φ）=，Asin（2×+φ）=0，Asin（3×+φ）=﹣，联立方程解答A，φ即可得解．解答：解：∵a1=，a n=（n=2，3，4，…），由此得到a2=0，a3=﹣，a4=…因为数列有个形如a n=Asin（ωn+φ）的通项公式，而数列的周期是3，所以=3，ω=，代入得Asin（+φ）=，①Asin（2×+φ）=0，②Asin（3×+φ）=﹣，③因为A，ω，均为实数，且ω＞0，解得：从而得：A=，φ=k（k∈Z），所以其中一个通项公式可以是a n=sin（n﹣）．故选：D．点评：本题主要考查了数列的性质和应用，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，综合性较强，解题时要注意三角函数的应用，属于中档题．10．（5分）（2015春•某某校级期中）定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且对任意的a∈R，都有f（﹣a）+f（a）=0，若x、y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，则当1≤x≤4时，x﹣2y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．8考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据已知条件确定函数的性质没利用函数的奇偶性和单调性求解不等式，得到x，y所满足的条件，确定可行域与目标函数，把已知问题转化为线性规划问题，利用目标函数的几何意义确定最值，求解线性规划问题，要注意结合目标函数的几何意义求解最值，该题中，目标函数Z=2x﹣y的几何意义是直线2x﹣y﹣Z=0在y轴上截距的相反数，所以当直线在y轴上截距最小时，对应的目标函数的最大解答：解：由于任意的a∈R都有f（﹣a）+f（a）=0，可知函数y=f（x）为奇函，由f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0可得f（x2﹣2x）≤﹣f（2y﹣y2），由函数为奇函数可得式f（x2﹣2x）≤f（﹣2y+y2），∵函数y=f（x）为R上的减函数，∴x2﹣2x≥﹣2y+y2，即x2﹣y2﹣2（x﹣y）≥0，整理可得，（x+y﹣2）（x﹣y）≥0，作出不等式组所表示的平面区域即可行域如图所示的△ABC．令Z=x﹣2y，则Z表示x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距的相反数，由图可知，当直线经过点B（4，4）时Z最小，最小值为Z=4﹣2×4=﹣4；故选：A．点评：本题主要考查了抽象函数的函数的单调性与函数的奇偶性的综合应用，不等式表示平面区域的确定，利用线性规划求解目标函数的最值问题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2015春•某某校级期中）《莱因徳纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的一份为．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意设等差数列{a n}的公差是d＞0，首项是a1，根据等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程组，求出公差d和首项a1，即可得到答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差是d＞0，首项是a1，由题意得，，则，解得，所以a1=，所以最小的一份为，故答案为：．点评：本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及方程思想，是数列在实际生活中的应用，属于基础题．12．（5分）（2015春•某某校级期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c=，则△ABC的面积为或．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据题意和正弦定理求出sinC的值，由内角的X围求出角C，再由内角和定理分别求出角A和△ABC的面积．解答：解：∵c=，∴由正弦定理得，，则sinC===，由0＜C＜π得，C=60°或120°，①当C=60°时，A=180°﹣B﹣C=90°，∴△ABC的面积S==；②当C=120°时，A=180°﹣B﹣C=30°，∴△ABC的面积S==，综上可得，△ABC的面积是或，故答案为：或．点评：本题考查正弦定理，内角和定理的应用，注意内角的X围，考查分类讨论思想，属于中档题．13．（5分）（2015春•某某校级期中）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y （a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求a+b的最小值．解答：解：由z=abx+y（a＞0，b＞0）得y=﹣abx+z，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=﹣abx+z的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=﹣abx+z，由图象可知当y=﹣abx+z经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（4，5）．此时z=4ab+5=8，即ab=，则a+b=2=，当且仅当a=b=时取=号，故最小值为，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14．（5分）（2015春•某某校级期中）设关于x的不等式x2﹣x＜2n（n+1）x，（n∈N*）的解集中整数的个数为，数列{a n}的前n项和为S n，则S100的值为．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：解不等式x2﹣x＜2n（n+1）x得0＜x＜2n（n+1）+1，从而可得=2n（n+1），a n==（﹣），从而求前100项和即可．解答：解：∵x2﹣x＜2n（n+1）x，（n∈N*），∴x2﹣（2n（n+1）+1）x＜0，∴0＜x＜2n（n+1）+1，∴=2n（n+1），∴a n==（﹣），∴S100=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=；故答案为：．点评：本题考查了二次不等式的求解及裂项求和法的应用，属于中档题．15．（5分）（2015春•某某校级期中）给出下列五个结论：①在△ABC中，若sinA＞sinB，则必有cosA＜cosB；②在△ABC中，若a，b，c成等比数列，则角B的取值X围为；③等比数列{a n}中，若a3=2，a7=8，则a5=±4；④等差数列{a n}的前n项和为S n，S10＜0且S11=0，满足S n≥S k对n∈N*恒成立，则正整数k构成集合为{5，6}⑤若关于x的不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为R，则a的取值X围为．其中正确结论的序号是①②④．（填上所有正确结论的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列；解三角形．分析：①根据正弦定理，大边对大角可得A＞B，根据余弦的图象可得命题正确；②根据已知得b2=ac，由余弦定理可得cosB≥，可解得B的X围，命题正确；③由，解得a1，q2，可得a5，不正确；④由，即可得d＞0，a6=a1+5d=0，可得a1到a5都是负数，a6是0，以后各项全是正数．要S n≥S k对n∈N+恒成立，可解得k=5，或k=6可证命题正确；⑤首先题目由不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为R，某某数a的取值X围，考虑转化为函数f（x）=（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1．对任意的x，函数值小于零的问题．再分类讨论a=1或a≠1的情况即可解出答案．解答：解：①在△abc中，sinA＞sinB，根据正弦定理，根据大边对大角可得A＞B，根据余弦的图象，可得cosA＜cosB，所以正确；②根据已知得：b2=ac，由余弦定理可得cosB==≥=，可得B∈，所以正确；③由，解得a1=1，q2=2，可得：a5==4，所以不正确；④解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，S10＜0，且S11=0，∴，即④，∴d＞0，a6=a1+5d=0，∴a1到a5都是负数，a6是0，以后各项全是正数．∵S n≥S k对n∈N+恒成立，∴k=5，或k=6．∴正整数k构成的集合为{5，6}．故正确；⑤解：设函数f（x）=（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1．由题设条件关于x的不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0的解集为R．可得对任意的x属于R．都有f（x）＜0．又当a≠1时，函数f（x）是关于x的抛物线．故抛物线必开口向下，且于x轴无交点．故满足故解得﹣＜x＜1．当a=1时．f（x）=﹣1．成立．综上，a的取值X围为（﹣，1]．故不正确．故答案为：①②④．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的应用，考查了函数的性质问题，其中应用到函数在不同区间的值域，对于抛物线值域问题一直是高考重点题型，多以选择填空的形式出现，同学们要注意掌握，本题综合性强，考查知识点多，属于难题．三、解答题（答案必须写在指定的区域内，否则不得分）16．（12分）（2015春•某某校级期中）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=4，b=2，cosC=．（1）求△ABC的周长；（2）求cos（B﹣C）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据题意和余弦定理求出边c的值，即可求出△ABC的周长；（2）根据内角的X围和平方关系求出sinC的值，利用正弦定理求出sinB，由边角的关系和平方关系求出cosB，利用两角差的余弦公式求出cos（B﹣C）的值．解答：解：（1）由题意知，a=4，b=2，cosC=，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC=16+4﹣2×=16，则c=4，∴△ABC的周长为a+b+c=4+2+4=10；（2）∵0＜C＜π，cosC=，∴==，由正弦定理得，，则sinB===，∵b＜c，∴B＜C，由cosC=＞0，则B、C都是锐角，∴==，∴cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×==．点评：本题考查正弦、余弦定理，边角的关系和平方关系，以及两角差的余弦公式，注意内角的X围和三角函数值的符号，属于中档题．17．（12分）（2015春•某某校级期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=﹣a n+1（n≥1，n∈N*）；等差数列{b n}的公差为正数，且满足b1+b2+b3=15，b1b2b3=80．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：解：（1）化简可得3a n+1=a n，从而可得a n=×（）n﹣1=；再由等差数列可得b n=2+3（n﹣1）=3n﹣1；（2）化简a n+b n=+3n﹣1，从而可得T n=+=+﹣．解答：解：（1）∵2S n=﹣a n+1，∴2S n+1=﹣a n+1+1；∴2a n+1=﹣a n+1+a n，∴3a n+1=a n，∴=；而由2S1=﹣a1+1解得a1=；故a n=×（）n﹣1=；∵b1+b2+b3=3b1+3d=15，b1（b1+d）（b1+2d）=80，d＞0；∴b1=2，d=3；∴b n=2+3（n﹣1）=3n﹣1；（2）∵a n+b n=+3n﹣1，∴T n=+=+﹣．点评：本题考查了等差数列与等比数列的应用及通项公式与前n项和公式的应用，属于中档题．18．（12分）（2015春•某某校级期中）已知f（x）=x2+（a+1）x+b，f（3）=3，其中a，b∈R （1）若f（x）≥x对任意实数x恒成立，求a，b的值．（2）求关于x的不等式f（x）＞﹣9﹣4a的解集．考点：函数恒成立问题；函数的值．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）运用二次函数的性质，可得判别式小于等于0，解不等式可得a，b的值；（2）化简不等式f（x）＞﹣9﹣4a，可得（x+a）（x+1）＞0，对a讨论，分a=1，a＞1，a＜1三种情况，可得不等式的解集．解答：解：（1）f（3）=3，可得3a+b=﹣9．f（x）≥x即为x2+ax+b≥0，则x2+ax+b≥0对任意实数x恒成立，即有△=a2﹣4b=a2﹣4（﹣9﹣3a）=（a+6）2≤0，由（a+6）2≥0，即有a+6=0，解得a=﹣6，b=9；（2）不等式f（x）＞﹣9﹣4a，即为x2+（a+1）x﹣9﹣3a＞﹣9﹣4a，即有x2+（a+1）x+a＞0，即（x+a）（x+1）＞0，当a=1时，（x+1）2＞0，原不等式的解集为{x|x≠﹣1}；当a＞1时，﹣a＜﹣1，原不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜﹣a}；当a＜1时，﹣a＞﹣1，原不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜﹣1}．点评：本题考查二次不等式恒成立问题的解法，同时考查二次不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．19．（12分）（2010•六合区校级模拟）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．（1）问第几年开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案更合算？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）由入纯收入等于n年的收入减去n年总的支出，我们可得f（n）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98，化简可得到纯收入关于使用时间n的函数解析式，然后构造不等式，解不等式即可得到n的取值X围．（2）由（1）中的纯收入关于使用时间n的函数解析式，我们对两种方案分析进行分析比较，易得哪种方案更合算．解答：解：（1）由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f（n），则f（n）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98=40n﹣2n2﹣98，由f（n）＞0，得10﹣又∵n∈N*，∴3≤n≤17．即从第3年开始获利．（2）①年平均收入为40﹣2×14=12，当且仅当n=7时，年平均获利最大，为12万元/年．此时，总收益为12×7+26=110（万元）．②f（n）=﹣2（n﹣10）2+102，∵当n=10时，f（n）max=102（万元）．此时，总收益为102+8=110（万元）．由于这两种方案总收入都为110万元，而方案①只需7年、而方案②需要10年，故方案①更合算．点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值X围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．根据函数图象或性质，对两个函数模型进行比较，分析最优解也是函数的主要应用．20．（13分）（2015春•某某校级期中）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，点P为△ABC内任意一点，点P到三边的距离之和为d．（1）求sinA的值；（2）若a=3，c=5，求边b的长；（3）在（2）的条件下，建立如图平面直角坐标系xOy，求d的取值X围．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：（1）根据正弦定理化简已知的式子，利用余弦定理求出cosA的值，根据内角的X围和平方关系求出sinA的值；（2）由条件和余弦定理求出边b的值；（3）设P（x，y），x、y＞0，点P到AB边的距离是h，由等积法求出h的式子，代入d进行化简，由题意和图象列出不等式组，利用简单的线性规划问题求出h的X围，即可求出d的取值X围．解答：解：（1）由题意知，，由正弦定理得，，∴5（b2+c2﹣a2）=8bc，由余弦定理得，cosA==，∵0＜A＜π，∴sinA==；（2）把a=3、c=5代入5（b2+c2﹣a2）=8bc，得5（b2+25﹣9）=40b，解得b=4；（3）设P（x，y），x、y＞0，连接PA、PB、PC，设点P到AB边的距离是h，由等积法得：S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC，∴，则h=，∴d=x+y+h=，∵点P为△ABC内任意一点，且直线AB的方程是：4x+3y﹣12=0，满足，令z=x+2y，则y=x+z，当y=x+z过点A（0，4）时，z取到最大值是8，当y=x+z过点0（0，0）时，z取到最小值是0，∴0＜x+2y＜8，则，即d的取值X围是（）．点评：本题考查正弦、余弦定理，平方关系和等积法的应用，以及简单的线性规划问题，注意内角的X围，属于中档题．21．（14分）（2015春•某某校级期中）在数列{a n}中，a1=1，a2=6，点（a n﹣a n﹣1，a n+1）在函数f（x）=4x的图象上（1）求证：数列{a n+1﹣2a n}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜（n﹣1）•2n+1+2；（3）若=3n﹣λ•（﹣1）n•，（n∈N*，λ为非零实数），对任意n∈N*，+1＞恒成立，某某数λ的取值X围．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列．分析：（1）由题意得a n+1=4（a n﹣a n﹣1），从而可得a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），从而判断数列{a n+1﹣2a n}是以4为首项，2为公比的等比数列；则a n+1﹣2a n=4•2n﹣1=2n+1，化简﹣=1，从而可得a n=（2n﹣1）2n﹣1；（2）化简S n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）2n﹣1，从而可得S n=（2n﹣3）2n+3，从而证明即可；（3）化简可得2•3n+3λ（﹣1）n•2n＞0，分当n为偶数时与当n为奇数时讨论实数λ的取值X围即可．解答：解：（1）∵点（a n﹣a n﹣1，a n+1）在函数f（x）=4x的图象上，∴a n+1=4（a n﹣a n﹣1），∴a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又∵a2﹣2a1=6﹣2=4，∴=2，∴数列{a n+1﹣2a n}是以4为首项，2为公比的等比数列；故a n+1﹣2a n=4•2n﹣1=2n+1；∴﹣=1；故{}是以为首项，1为公差的等差数列；∴a n=（2n﹣1）2n﹣1；（2）证明：S n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）2n﹣1①，2S n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n②，①﹣②得，﹣S n=1+2（2+22+23+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n=（3﹣2n）2n﹣3，故S n=（2n﹣3）2n+3，S n=（2n﹣3）2n+3=（2n﹣2）2n﹣2n+3=（n﹣1）2n+1+2+（1﹣2n）＜（n﹣1）2n+1+2．（3）=3n﹣λ•（﹣1）n•=3n﹣λ•（﹣1）n•2n；∵对任意n∈N*，+1＞恒成立，∴3n+1﹣λ•（﹣1）n+1•2n+1＞3n﹣λ•（﹣1）n•2n，∴2•3n+3λ（﹣1）n•2n＞0，当n为偶数时，2•3n+3λ•2n＞0，∴λ＞﹣，故λ＞﹣；当n为奇数时，2•3n﹣3λ•2n＞0，∴λ＜，故λ＜1；∴实数λ的取值X围为（﹣，0）∪（0，1）．点评：本题考查了等差数列与等比数列的应用及数列前n项和的求法及不等式的证明，属于难题．。
安徽省黄山市屯溪第一中学高一数学下学期期中试题新人
yxO2 2-242014-2015年屯溪一中高一年级第二学期期中考试数学试题说明：本试题分第I 卷和第II 卷两部分，满分150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题填空题）选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1.已知集合2{(1)37,},A x x x x R =-<+∈0,1x B x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭则A B ⋂= ( ) A ．[]1,0-B ．()1,0-C ．(]1,0-D ．[)1,0-2.在ABC ∆中，若6,2,60a b B ︒===，则此三角形（ )A.无解B.有一解C.有两解D.解的个数无法确定3.在数列{}n a 中，1121,,2nn n a a a a +==+则该数列的第5项为（ ）A ．12B ．25C ．13D ． 234．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（ ）A ．202400x y x y x --<⎧⎪+->⎨⎪≥⎩B ．202400x y x y x --<⎧⎪+-<⎨⎪≥⎩C ．202400x y x y x -->⎧⎪+-<⎨⎪≥⎩D ．202400x y x y x -->⎧⎪+->⎨⎪≥⎩5.等比数列{}n a 的前项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则公比q 为（ )A ．3- B.13-C. 3D. 136．设01b a <<<，则下列不等式不成立的是（ ） A. 222ba<< B.11220log log a b<< C. 21ab b << D. 21ab a <<7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，若角3C π>，sin2sin a C b A =，则下列结论正确的有 （ ）个①一定是锐角三角形；②一定是等腰三角形；③可能是等腰直角三角形；④可能是等边三角形 A. 1 B. 2 C.3 D.48．已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且9593n nS n T n +=+，则使得nn a b 为整数的正整数的个数是（ ）A.5B.4C.3D.29．若数列{}n a 满足：132a =，112(2,3,4,)221n n a n a -=-=+L L ，且有一个形如sin()n a A n ωϕ=+的通项公式，其中,,A ωϕ均为实数，且0ω>，则此通项公式na 可以为（ ）A.32sin 236n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B. 223sin 33n a n ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.325sin 236n a n ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ D. 23sin 33n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10.定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且对任意的a R ∈，都有()()0f a f a -+=，若x y 、满足不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤，则当14x ≤≤时，2x y -的最小值为（ ）A. -4B. -1C. 0D. 8填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.《莱因徳纸草书》是世界上最古老的数学著作之一。
安徽省屯溪一中度高一数学第二学期期中试题
屯溪一中高一年级第二学期数学期中测试卷满分:150分 考试时间:120分钟一．选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意.） 1．已知集合{}{}21,40A x x a B x x x =-≤=-≥，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．(0,3)C ．(1,3)D ．(2,3)2．函数3sin()cos(),()36y x x x R ππ=--+∈的最小值等于（ ）A ．3-B ．2-C ．1- D．3．已知数列{}n a 中，11a =且*1113,()n nn N a a +=+∈，则10a =（ ）A ．28B ．33C ．133D ．1284．若函数2y ax bx a =++的图象与x 轴没有交点，则点(,)a b 在aOb 平面上的区域(不含边界)为( )5. 如图，半圆的直径4,AB O =为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点，若点P 是半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值为（ ）A ．2 B. 1- C. 0 D. 2-6.已知数列{}n a 的通项公式3log 1n na n =+,*()n N ∈，设其前n 项和为 n S ，则使4n S <- 成立的最小自然数n 等于（ ） A ．83 B ．82 C ．81 D ．807．在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高，2222222,1CD CD a c b AC BC +<+=，则（ ）A ．2B A π-=B.2A B π-=C.2A B π+=D.2A B π-=8.在平面直角坐标系中，若不等式组02(1)1y y xy k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤--⎩表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．(0,)+∞C ．(0,2)(2,)+∞ D ．(,1)(0,2)(2,)-∞-+∞9.已知数列{}n x 满足321,n n n n n x x x x x +++==-,*()n N ∈,若121,(1,0)x x a a a ==≤≠, 则数列{}n x 的前2013项的和2013S 为（ ）A ．1342B ．1340C ．671D ．67010．定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--.则当14s ≤≤时，ts 的取值范围是（ ）A.1[,1)4- B. 1[,1]4- C. 1[,1)2- D. 1[,1]2-二.填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分.）11．已知3sin ,()52πββπ=<<，且sin(+)cos αβα=，则tan(+)αβ= .12．设关于x 的不等式22x x nx -<,*()n N ∈的解集中整数的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S 的值为 .13.若函数cos ()cos()6x f x x π=-，则()()18090f fππ++()60f π()45f π++()36f π++59()180f π= ．14．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得14a =，则14m n +的最小值为 ．15．如图，过x 轴上的点1A 作垂直于x 轴的直线交曲线242y x x =++于点1P ，又过点1P 作x 轴的平行线交y 轴于点1B ，记点1B 关于直线y x =的对称点为2A ；……；依此类推.若数列{}n a 的各项分别为点列(1,2,3,)n A n =的横坐标，且11a =，则n a = .三．解答题 （75分 ） 16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，且11a =．{}n b 为等比数列，数列{}nn a b +的前三项依次为3,7,13.求: （Ⅰ）数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）数列{}nn a b +的前n 项和n S .17. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边的边长分别为,,a b c ，且,,a b c 成等比数列.（Ⅰ）求角B 的取值范围；（Ⅱ）若关于B 的不等式cos 24sin()cos()04242B BB m ππ-+++>恒成立，求m 的取值范围.18．（本小题满分13分）如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万3m ，每天流过甲厂的河水流量是500万3m （含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万3m ，每天流过乙厂的河水流量是700万3m （含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放. 根据环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.（Ⅰ）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为,x y 万3m ，试根据环保部门的要求写出,x y 所满足的所有条件；（Ⅱ）已知甲厂处理污水的成本是1200元/万3m ，乙厂处理污水的成本是1000元/万3m ，在满足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万3m ，才能使这两个工厂处理污水的总费用最小？最小总费用是多少元？19．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边的边长分别为,,a b c ，关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集． （Ⅰ）求角C 的最大值；（Ⅱ）若72c =，ABC ∆的面积S =，求当角C 取最大值时a b +的值．20．（本小题满分13分）在实数集R 上的函数()f x 如果满足：对任意12,x x R ∈，都有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+，则称()f x 为R 上的凹函数.已知二次函数2()(0)f x ax x a R a =+∈≠且，（Ⅰ）求证：0a >时，函数()f x 为凹函数；（Ⅱ）如果(0,1]x ∈时，|()|1f x ≤恒成立，试求实数a 的取值范围.21．（本小题满分13分）已知函数3()log ()f x ax b =+的图象过点(2,1)A 和(5,2)B .（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）记()*3,f n n a n N =∈，是否存在正数k，使得12111(1)(1)(1)na a a +++≥对一切*n N ∈均成立？若存在，请求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.屯溪一中高一年级第二学期期中考试数学答案选择题：1.C2.B3. D4.D5. D6.C7.A8.A9.A 10. D 填空题：11. 2-12. 1010013.14.3215.1232n--解答题：16.（满分12分）解：①设公差为，公比为…………………………………(６分) ②…………………………………(1２分)17. 解：1）当且仅当时，故2）＝故原不等式恒成立，即得的取值范围为18. 【解】（Ⅰ）据题意，,x y所满足的所有条件是：20.25001000.8(2)(1.4)0.2700100020 1.4xx yxy-⎧≤⎪⎪-+-⎪≤⎨⎪≤≤⎪⎪≤≤⎩，（4分）即458120 1.4x yxy+≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩……………………………………（6分）（Ⅱ）设甲、乙两厂处理污水的总费用为z元，则目标函数z＝1200x＋1000y＝200(6x＋5y). （7分）作可行域，如图. （10分）平移直线:l6x＋5y=0，当直线经过点A(1，0.8)时，z取最小值，此时z＝1200×1＋1000×0.8＝2000（元）. （12分）故甲、乙两厂每天应分别处理1万m3、0.8万m3污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，且最小总费用是2000元. （13分）19. 解：（1）显然不合题意，则有，即，即，故，∴角的最大值为。
安徽省黄山市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题 含答案 精品
黄山市2016—2017学年度第二学期期末质量检测高一数学试题一、选择题（本大题共12小题．在每小题所给的四个选项中有且只有一项是符合题意的．请将答案填写在后面的答题框内．） 1．在“世界读书日”前夕，为了了解某大学5000名学生某天的阅读时间，从中抽取了200名学生的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名学生的阅读时间的全体是 A ．个体 B ．总体 C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本2．下列各式中S 的值不可以用算法求解的是 A ．S ＝1＋2＋3＋4 B ．S ＝1＋2＋3＋4＋… C ．111123100S =++++ D ．S ＝12＋22＋32＋…＋10023．某奶茶店的日销售收入y （单位：百元）与当天平均气温x （单位：℃）之间的关系如下：通过上面的五组数据得到了x 与y 之间的线性回归方程为ˆ 2.8yx =-+，但现在丢失了一个数据，该数据应为A ．2B ．3C ．4D ．54．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 A ．众数 B ．平均数 C ．中位数 D ．标准差5．已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 A ．－7＜a ＜24 B ．－24＜a ＜7 C ．a ＜－1或a ＞24 D ．a ＜－24或a ＞76．已知103x <<，则x （1－3x ）取最大值时x 的值是A ．13B ．16C ．34D ．437．已知实数a 1，a 2，b 1，b 2，b 3满足数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则212b a a +的值为A ．310±B ．310C ．310-D ．18．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≤则z ＝3x ＋y 的最大值为A ．12B ．3C ．11D ．－19．某人从甲地去乙地共走了500m ，途中要过一条宽为xm 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里则能找到．已知该物品能找到的概率为45，则河宽为 A ．100m B ．80m C ．50m D ．40m10，在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S =角形外接圆的半径为AB．C．2D．411．一枚质地均匀的硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为A．14B．23C．13D．3812．在数列{a n}中，11 2a=，213a=，a n a n＋2＝1，则a2016＋a2017＝A．56B．73C．5D．72二、填空题（本大题共4小题．请将答案直接填在题中相应的横线上．）13．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别在甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________．14．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为________．15．在如图所示的程序框图中，若311lg log 310U = ，12log 22V =，则输出的S ＝________，16．数列{a n }满足12,(01)1,(1)n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩≤≤，且167a =，则a 2017＝________．三、解答题（本大题共6小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：（Ⅰ）在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？（Ⅱ）你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量？18．已知等差数列{a n}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{a n}的前n 项和S n．19．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如下图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？20．设△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b （sinB －sinC ）＋（c －a ）（sinA ＋sinC ）＝0． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =sin C B =，求△ABC 的面积．21．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *． （Ⅰ）求a n ，b n ；（Ⅱ）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n ．22．已知关于x 的二次函数f （x ）＝ax 2－4bx ＋1．（Ⅰ）设集合A ＝{－1，1，2，3，4，5}和B ＝{－2，－1，1，2，3，4}，分别从集合A ，B 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f （x ）在区间[1，＋∞）上是增函数的概率；（Ⅱ）设点（a ，b ）是区域8000x y x y +-⎧⎪>⎨⎪>⎩≤内的随机点，求函数f （x ）在区间[1，＋∞）上是增函数的概率．黄山市2016—2017学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题．）二、填空题（本大题共4小题．） 13．1914．715．1216．127三、解答题（本大题共6小题．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．解：（Ⅰ）1(22384024124450295)5110x =+++⨯+⨯++⨯=（吨）． 中位数为414442.52+=（吨）． （Ⅱ）平均数受数据中的极端值（2个95）影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适． 18．解：设{a n }的公差为d ，则1111(2)(6)16,350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩即2211181216,4.a da d a d ⎧++=-⎨=-⎩解得18,2,a d =-⎧⎨=⎩或18,2.a d =⎧⎨=-⎩因此S n ＝－8n ＋n （n －1）＝n 2－9n 或S n ＝8n －n （n －1）＝－n 2＋9n ．19．解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得（0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025）×20＝1 得：x ＝0.0075，所以直方图中x 的值是0.0075． （Ⅱ）月平均用电量的众数是2202402302+=． 因为（0.002＋0.0095＋0.011）×20＝0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a ，由（0.002＋0.0095＋0.011）×20＋0.0125×（a －220）＝0.5， 解得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224．（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100＝25（户），月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100＝15（户），月平均用电量为[260，280）的用户有： 0. 005×20×100＝10（户），抽取比例1012515105==++，所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取12555⨯=（户）．20．解：（Ⅰ）因为b （sinB －sinC ）＋（c －a ）（sinA ＋sinC ）＝0， 由正弦定理得b （b －c ）＋（c －a ）（a ＋c ）＝0，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +-== ∴在△ABC 中，3A π=．（Ⅱ）方法一：因为1sin 2C B +=，且3A π=，∴21sin()32B B +π-=1sin 2B B B +=，∴tanB ＝1，在△ABC 中，4B π= 又在△ABC中，由正弦定理得2sin sin b a B A ===，∴b = ∴△ABC 的面积113sin sin()2243244S ab C ππ+==+== ．方法二：因为1sin sin 2C B =，由正弦定理得12c b =，而a =3A π=， 由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝a2，∴2222(11342b b b +-= ∴b 2＝2，即b =c =∴△ABC的面积1sin 2S bc A == 21．解：（Ⅰ）由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，所以a n ＝4n －1，n ∈N *．由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N *．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n ·b n ＝（4n －1）·2n －1，n ∈N *， 所以T n ＝32＋7×2＋11×22＋…＋（4n －1）·2n －1， 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋（4n －5）·2n －1＋（4n －1）·2n ， 所以2T n －T n ＝（4n －1）2n －[3＋4（2＋22＋…＋2n －1）]＝（4n －5）2n ＋5．故T n ＝（4n －5）2n ＋5，n ∈N *．22．解：（Ⅰ）要使函数y ＝f （x ）在区间[1，＋∞）上是增函数，需a ＞0，且412a a --≤，即a ＞0且2b≤a ．所有（a ，b ）的取法总数为6×6＝36个，满足条件的（a ，b ）有： （1，－2），（1，－1），（2，－2），（2，－1），（2，1），（3，－2），（3，－1），（3，1）（4，－2），（4，－1），（4，1），（4，2），（5，－2），（5，－1），（5，1），（5，2）共16个， 所以所求概率164369P ==． （Ⅱ）如图求得区域8000x y x y +-⎧⎪>⎨⎪>⎩≤的面积为188322⨯⨯=， 由8020x y x y +-=⎧⎨-=⎩求得P （163，83）， 所以区域内满足a ＞0且2b≤a 的面积为18328233⨯⨯=， 所以所求概率3213323P ==．。
安徽省黄山市高一下学期期中数学试卷
安徽省黄山市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共23分)1. （1分） (2018高一下·西城期末) 已知点，，若直线的斜率为，则________．2. （1分） (2019高一下·南通月考) 已知两点，则以线段为直径的圆的标准方程为________．3. （1分） (2017高一下·西安期末) 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，面积的最大值为________．4. （1分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1 ，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)5. （1分）若、、是两两不等的三个实数，则经过、两点的直线的倾斜角为________ .（用弧度制表示）6. （1分）(2020·西安模拟) 设的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若，，，则 ________.7. （1分）已知l1 ， l2是分别经过A（2，1），B（0，2）两点的两条平行直线，当l1 ， l2之间的距离最大时，直线l1的方程是________8. （1分）(2018·银川模拟) 已知 ,方程表示圆，则圆心坐标是________9. （1分）(2020·乌鲁木齐模拟) 如图，关于正方体，有下列四个命题：① 与平面所成角为45°；②三棱锥与三棱锥的体积比为；③存在唯一平面 .使平面且截此正方体所得截面为正六边形；④过作平面，使得棱、，在平面上的正投影的长度相等.则这样的平面有且仅有一个.上述四个命题中，正确命题的序号为________.10. （1分） (2016高一下·锦屏期末) 若直线y=ax﹣2与y=（a+2）x+1相互垂直，则a=________．11. （10分） (2017高一下·泰州期中) 综合题。
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2016-2017学年安徽省黄山市屯溪一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．不等式的解集是（）A．[﹣1，1]B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）2．已知等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（）A．2 B．4 C．6 D．83．等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2﹣34x+81=0的两根，则a4等于（）A．9 B．﹣9 C．±9 D．以上都不对4．已知实数m，n，满足2m+n=2其中m＞0，n＞0，则+的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．125．若ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），则对f（x）=ax2+bx+c，有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（2）＜f（5）＜f（﹣1）C．f（﹣1）＜f （2）＜f（5）D．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）6．不等式组的区域面积是（）A．1 B．C．D．7．已知函数f（x）=ax2﹣c满足：﹣4≤f（1）≤﹣1，﹣1≤f（2）≤5，则f（3）应满足（）A．﹣7≤f（3）≤26 B．﹣4≤f（3）≤15 C．﹣1≤f（3）≤20D．8．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量=（b﹣c，c﹣a），=（b，c+a），若⊥，则角A的大小为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A、B、C所对的，若，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+c的值为（）A．1 B．2 C．3 D．11．若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形12．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）A．130 B．132 C．134 D．136二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．锐角三角形的三边分别为3，5，x，则x的范围是．14．数列{a n}中的前n项和S n=n2﹣2n+2，则通项公式a n=．15．设x，y满足不等式组，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则的最小值为..16．设函数，则f（﹣2016）+f（﹣2015）+…+f（0）+f（1）+…f（2017）=．三．解答题（共6小题，共计70分）17．（10分）已知公差不为0的等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前项和为S n，求S n．18．（12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．19．（12分）某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？最大利润是多少？20．（12分）已知不等式mx2﹣2mx﹣1＜0．（1）若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m|≤1的一切m的值都成立，求x的取值范围．21．（12分）数列{a n}满足a1=0，且a n，n+1，a n成等差数列．+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．=2（S n+n+1）（n∈N*），令b n=a n+1．22．（12分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1（Ⅰ）求证：{b n}是等比数列；（Ⅱ）记数列{nb n}的前n项和为T n，求T n；（Ⅲ）求证：﹣＜+…+．2016-2017学年安徽省黄山市屯溪一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．不等式的解集是（）A．[﹣1，1]B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】根据不等式的性质得到关于关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：∵，即≥0，故或，解得：x≥1或x＜﹣1，故不等式的解集是（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞），故选：D．【点评】本题考查了解不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题．2．已知等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】根据等比数列的通项公式以及前n项和公式建立方程即可．【解答】解：由题意知S4=240，a2+a4=180，即a1+a3=240﹣180=60，则（a1+a3）q=a2+a4，即60q=180，解得q=3，则a1+q2a1=10a1=60，解得a1=6，故选：C．【点评】本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．3．等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2﹣34x+81=0的两根，则a4等于（）A．9 B．﹣9 C．±9 D．以上都不对【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】根据所给的等比数列的两项和方程根与系数的关系，求出a4的平方，根据条件中所给的三项都是偶数项，得出第四项是一个正数，得到结果．【解答】解：∵a2，a6时方程x2﹣34x+81=0的两根，a2•a6=81，∴a42=a2•a6=81∴a4=±9∵a4与a2，a6的符号相同，a2+a4=34＞0，∴a4=9，故选A．【点评】本题考查等比数列的性质，本题解题的关键是判断出第四项的符号与第二项和第六项的符号相同，本题是一个基础题．4．已知实数m，n，满足2m+n=2其中m＞0，n＞0，则+的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．12【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：实数m，n，满足2m+n=2其中m＞0，n＞0，则+=（2m+n）==4，当且仅当n=2m=1时取等号．因此其最小值为4．故选：A．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．若ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），则对f（x）=ax2+bx+c，有（）A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1）B．f（2）＜f（5）＜f（﹣1）C．f（﹣1）＜f （2）＜f（5）D．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）【考点】75：一元二次不等式的应用．【分析】由已知，可知﹣2，4是ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系，得出，化函数f（x）=ax2+bx+c=ax2﹣2ax﹣8a=a（x2﹣2x﹣8），利用二次函数图象与性质求解．【解答】解：ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），可知﹣2，4是ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系，所以且a＞0，所以，函数f（x）=ax2+bx+c=ax2﹣2ax﹣8a=a（x2﹣2x﹣8），抛物线对称轴为x=1，开口向上，所以f（2）＜f（﹣1）＜f（5）故选D．【点评】本题为一元二次不等式的解集的求解，结合对应二次函数的图象是解决问题的关键，属基础题．6．不等式组的区域面积是（）A．1 B．C．D．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】先依据不等式组结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用三角形的面积公式计算即可．【解答】解：原不等式组可化为：或画出它们表示的可行域，如图所示．解可得x A=，x B=﹣1，原不等式组表示的平面区域是一个三角形，=×（2×1+2×）=，其面积S△ABC故选D．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．7．已知函数f（x）=ax2﹣c满足：﹣4≤f（1）≤﹣1，﹣1≤f（2）≤5，则f（3）应满足（）A．﹣7≤f（3）≤26 B．﹣4≤f（3）≤15 C．﹣1≤f（3）≤20D．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】列出不等式组，作出其可行域，利用线性规划求出f（3）的最值即可．【解答】解：∵﹣4≤f（1）≤﹣1，﹣1≤f（2）≤5，∴，作出可行域如图所示：令z=f（3）=9a﹣c，则c=9a﹣z，由可行域可知当直线c=9a﹣z经过点A时，截距最大，z取得最小值，当直线c=9a﹣z经过点B时，截距最小，z取得最大值．联立方程组可得A（0，1），∴z的最小值为9×0﹣1=﹣1，联立方程组，得B（3，7），∴z的最大值为9×3﹣7=20．∴﹣1≤f（3）≤20．故选C．【点评】本题考查了简单线性规划及其变形应用，属于中档题．8．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量=（b﹣c，c﹣a），=（b，c+a），若⊥，则角A的大小为（）A．B．C．D．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】利用⊥，可得=0，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=b（b﹣c）+（c+a）（c﹣a）=0，化为b2﹣bc+c2﹣a2=，即b2+c2﹣a2=bc．∴==．∵A∈（0，π），∴．故选：B．【点评】本题考查了数量积与向量垂直的关系、余弦定理，属于基础题．9．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A、B、C所对的，若，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】由题意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函数的基本关系可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：在△ABC中由正弦定理可知：===2R，由sinC=2sinA，则c=2a，cosB=，sinB==，由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，即22=a2+（2a）2﹣2a•2a×，解得a=1，c=2，△ABC的面积S=acsinB=，故选：B．【点评】本题考查三角形的面积，涉及正余弦定理的应用，属基础题．10．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+c的值为（）A．1 B．2 C．3 D．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】根据等差数列的定义和性质求出表格中前两行中的各个数，再根据每一纵列各数组成等比数列，求出后两行中的各个数，从而求得a、b、c 的值，即可求得a+b+c 的值．【解答】解：按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，故a=，b=，c=，则a+b+c=．故选：D．【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义和性质，求出a=，b=，c=，是解题的关键．11．若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【考点】HR：余弦定理．【分析】对（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc化简整理得b2﹣bc+c2=a2，代入余弦定理中求得cosA，进而求得A=60°，又由sinA=2sinBcosC，则=2cosC，即=2•，化简可得b=c，结合A=60°，进而可判断三角形的形状．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc∴[（b+c）+a][（b+c）﹣a]=3bc∴（b+c）2﹣a2=3bc，b2﹣bc+c2=a2，根据余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2﹣bc+c2=a2=b2+c2﹣2bccosA即bc=2bccosA即cosA=，∴A=60°又由sinA=2sinBcosC，则=2cosC，即=2•，化简可得，b2=c2，即b=c，∴△ABC是等边三角形．故选B．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式．12．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）A．130 B．132 C．134 D．136【考点】8E：数列的求和．+（﹣1）n a n=2n﹣1，可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，【分析】a n+1a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a16﹣a15=29．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，即可得出．+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a16﹣a15=29．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前16项和为4×2+8×4+=136．故选：D．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．锐角三角形的三边分别为3，5，x，则x的范围是（4，）．【考点】HR：余弦定理．【分析】通过余弦定理分别表示出cosC，cosA和cosB，令其大于0求得x的范围．【解答】解：根据题意知，解不等式得4＜x＜，故答案为：（4，）【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．注重了对余弦定理公式灵活运用的考查．14．数列{a n}中的前n项和S n=n2﹣2n+2，则通项公式a n=．【考点】8H：数列递推式．【分析】由已知条件利用公式求解．【解答】解：∵数列{a n}中的前n项和S n=n2﹣2n+2，∴当n=1时，a1=S1=1；当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣2n+2）﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+2]=2n﹣3．又n=1时，2n﹣3≠a1，所以有a n=．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要注意公式的合理运用．15．设x，y满足不等式组，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则的最小值为4..【考点】7C：简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，从而由线性规划可得a+b=1；从而化简利用“1”的代换；从而利用基本不等式求解即可．【解答】解：由题意作出其平面区域，由解得，x=4，y=6；又∵a＞0，b＞0；故当x=4，y=6时目标函数z=ax+by取得最大值，即4a+6b=4；即a+b=1；故=（）（a+b）=1+1++≥2+2×=4；（当且仅当a=，b=时，等号成立）；则的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．16．设函数，则f（﹣2016）+f（﹣2015）+…+f（0）+f（1）+…f（2017）=2017．【考点】3T：函数的值．【分析】计算f（x）+f（1﹣x）=1，再令所求和为S，由倒序相加求和，计算即可得到所求和．【解答】解：函数，可得f（x）+f（1﹣x）=+=+==1．即有S=f（﹣2016）+f（﹣2015）+…+f（0）+f（1）+…+f（2017），S=f（2017）+f（2016）+…+f（1）+f（0）+…+f（﹣2016），两式相加可得，2S=[f（﹣2016）+f（2017）]+[f（﹣2015）+f（2016）]+…+[f（0）+f（1）]+[f（1）+f（0）]+…+[f（2017）+f（﹣2016）]=1+1+…+1=1×2×2017，解得S=2017．故答案为：2017．【点评】本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求出f（x）+f（1﹣x）=1是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．三．解答题（共6小题，共计70分）17．（10分）（2017春•屯溪区校级期中）已知公差不为0的等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前项和为S n，求S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据等比数列和等差数列通项公式，列方程即可求公差和公比，即可求得数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）由题意可知：求得log33n﹣1=n﹣1，根据等差数列前n项和公式，即可求得S n．【解答】解：（1）由设等差的公差为d，首项a1，等比数列{b n}公比为q，首项为b1，则a1=1，b1=1，，即，整理得：或（舍去），∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=b1q n﹣1=3n﹣1，∴数列{a n}通项公式a n=2n﹣1，{b n}的通项公式b n=3n﹣1；（2）=log33n﹣1=n﹣1，则S n=0+1+2+…+（n﹣1）=，∴S n=．【点评】本题考查等比数列及等差数列的通项公式，考查计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016春•运城期末）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知的等式，然后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，提取sinA，可得sinA与1+2sinB至少有一个为0，又A 为三角形的内角，故sinA不可能为0，进而求出sinB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由第一问求出的B的度数求出sinB和cosB的值，再由a的值及S的值，代入三角形的面积公式求出c的值，然后再由cosB的值，以及a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：===2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知的等式得：，化简得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB+sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，又A为三角形的内角，得出sinA≠0，∴2cosB+1=0，即cosB=﹣，∵B为三角形的内角，∴；（2）∵a=4，sinB=，S=5，∴S=acsinB=×4c×=5，解得c=5，又cosB=﹣，a=4，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=16+25+20=61，解得b=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，考查了两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，其中熟练掌握公式及定理，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．19．（12分）（2013秋•东莞期末）某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？最大利润是多少？【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】先设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，利润总额为z千元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=2x+3y，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，利润总额为z千元，则，目标函数为：z=2x+3y作出可行域：把直线l：2x+3y=0向右上方平移，直线经过可行域上的点B，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值，解方程，得B的坐标为（2，3）．此时z=2×2+3×3=13（千元）．答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润．最大利润为13千元．【点评】本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解．属中档题．20．（12分）（2017春•屯溪区校级期中）已知不等式mx2﹣2mx﹣1＜0．（1）若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m|≤1的一切m的值都成立，求x的取值范围．【考点】3W：二次函数的性质；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）通过讨论m的范围，结合二次函数的性质求出m的范围即可；（2）根问题转化为，解不等式组即可．【解答】解：（1）m=0时，﹣1＜0恒成立，m≠0时，，解得：﹣1＜m＜0，综上，m的范围是（﹣1，0]；（2）设f（m）=（x2﹣2x）m﹣1，由题意得即，∴，∴1﹣＜x＜1或1＜x＜1+，故x的范围是（1﹣，1）∪（1，1+）．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查绝对值问题，是一道中档题．21．（12分）（2017春•屯溪区校级期中）数列{a n}满足a1=0，且a n，n+1，a n+1成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）利用已知a n，n+1，a n+1成等差数列，得递推关系式，分类讨论可得通项公式．（2）讨论n的奇偶性，分别求和．【解答】解：（1）{a n}满足a1=0，且a n，n+1，a n+1成等差数列．∴a n+a n+1=2（n+1），a2=4．n≥2时，a n﹣1+a n=2n．∴a n+1﹣a n﹣1=2．∴数列{a n}奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2．n为奇数时，a n=0+×2=n﹣1．n为偶数时，a n=4+×2=n+2．故a n=．（2）n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）=2×2+2×4+…+2×n=2×=．n为奇数时，数列{a n}的前n项和S n=S n﹣1+a n=+n﹣1=．∴S n=．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（12分）（2016秋•慈溪市期末）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2（S n+n+1）（n∈N*），令b n=a n+1．（Ⅰ）求证：{b n}是等比数列；（Ⅱ）记数列{nb n}的前n项和为T n，求T n；（Ⅲ）求证：﹣＜+…+．【考点】8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．【分析】（I）a1=2，a n+1=2（S n+n+1）（n∈N*），可得a2=8．利用递推关系可得：a n+1=3a n+2，变形为：a n+1+1=3（a n+1），即b n+1=3b n，即可证明．（II）由（I）可得：b n=3n．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．（III）b n=3n=a n+1，解得a n=3n﹣1．由=，即可证明左边不等式成立．又由==＜=，即可证明右边不等式成立．【解答】（I）证明：a1=2，a n+1=2（S n+n+1）（n∈N*），∴a2=2×（2+1+1）=8．n≥2时，a n=2（S n﹣1+n），相减可得：a n+1=3a n+2，变形为：a n+1+1=3（a n+1），n=1时也成立．令b n=a n+1，则b n+1=3b n．∴{b n}是等比数列，首项为3，公比为3．（II）解：由（I）可得：b n=3n．∴数列{nb n}的前n项和T n=3+2×32+3×33+…+n•3n，3T n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2T n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=×3n+1﹣，解得T n=+．（III）证明：∵b n=3n=a n+1，解得a n=3n﹣1．由=．∴+…+＞…+==，因此左边不等式成立．又由==＜=，可得+…+＜++…+=＜．因此右边不等式成立．综上可得：﹣＜+…+．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、“错位相减法”、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。