2019-2020学年长沙市雅礼八年级上册期末数学试卷(有答案)-可编辑修改

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2019-2020学年长沙市雅礼八年级上册期末数学试卷(有答案)-精编新版

2019-2020学年湖南省长沙市雅礼八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题3分，共36分）1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．（3分）下列运算正确的是（）A ．a 2•a 3=a 6B ．（x 3）3=x 6C ．x 5+x 5=x 10D ．（﹣x ）6÷x 2=x 43．（3分）已知x ﹣y=2，xy=3，则x 2y ﹣xy 2的值为（）A ．2B ．3C ．5D ．64．（3分）若a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足（a ﹣b ）2=c 2﹣2ab ，则△ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．（3分）若把分式的x 、y 同时扩大10倍，则分式的值（） A ．扩大10倍 B ．缩小10倍 C ．不变 D ．缩小2倍6．（3分）下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（）A ．两组对边分别相等B ．一组对边平行且相等C ．一组对边平行，另一组对边相等D ．对角线互相平分7．（3分）计算：=（）A ．aB ．C ．D ．8．（3分）若=a ﹣2，则a 与2的大小关系是（） A ．a=2 B ．a ＞2 C ．a ≤2 D ．a ≥29．（3分）如图，△ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分AC ，若△BCD 的周长是12，BC=4，则AC的长是（）A．8B．10C．12D．1610．（3分）顺次连接矩形的四边形中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形11．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AD=8，AB=6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．512．（3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB =S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（每题3分，共18分）13．（3分）使分式有意义的x的取值范围是．14．（3分）若，则xy的立方根为．15．（3分）因式分解：2m2﹣8n2= ．16．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6cm，AD平分∠BAC，E是AC的中点，则DE的长度为cm．17．（3分）如图，在▱ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为10，AB=4，那么对角线AC+BD= ．18．（3分）如图，∠AOB=90°，OA=25m，OB=5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是m．三、计算题（19、20题每题6分，21、22题每题8分）19．（6分）计算：（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）20．（6分）计算：|1﹣|+（π+1）0+21．（8分）先化简，再化简：，请你从﹣2＜a＜2的整数解中选取一个合适的数代入求值．22．（8分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB=60°，AF是∠DAB的平分线，若AD=3，求DC的长度．四、解答题（每题9分，共18分）23．（9分）位迎接2019-2020国庆长假，长沙某商家用1200元购进一批多肉盆栽，很快售完，接着又用了1800购进第二批多肉盆栽，已知两批盆栽的数量相等，且第一批盆栽的单价比第二批的单价少5元．（1）这两批多肉盆栽的单价各是多少元？（2）第一批盆栽以20元每盆售出后，若想两批所得的利润不低于50%，则第二批的盆栽每盆售价最少应该为多少元？24．（9分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥BD交BA的延长线于点E．（1）当▱ABCD是菱形时，证明：AE=AB；（2）当▱ABCD是矩形时，设∠E=α，问：∠E与∠DOA满足什么数量关系？写出结论并说明理由．五、探究题（每题10分，共20分）25．（10分）我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y=4，求点A的坐标；（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．①不管t为何值，E点总是“完美点”；②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是平行四边形，已知点C在x轴正半轴上，连接AC．（1）若点A、C的坐标分别为（1，2）、，求B点坐标和平行四边形的面积．（2）若点A的坐标为（3，4），当OA=OC时，点D在线段上，且DC=1，问：在线段AC 上是否存在一点P，使OP+PD值最小？若存在，求出OP+PD的最小值；若不存在，请说明理由；（3）在（1）的条件下，将△ABC沿AC翻折得到△AB’C，AB’交OC于点Q，若CO恰好平分∠ACB’，求的值．2019-2020学年湖南省长沙市雅礼八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共36分）1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选：A．【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（x3）3=x6C．x5+x5=x10D．（﹣x）6÷x2=x4【分析】根据同底数幂的乘法、除法法则、合并同类项法则、幂的乘方法则计算，判断即可．【解答】解：a2•a3=a5，A错误；（x3）3=x9，B错误；x5+x5=2x5，C错误；（﹣x）6÷x2=x4，D正确，故选：D．【点评】本题考查的是同底数幂的乘法、除法、合并同类项、幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．3．（3分）已知x﹣y=2，xy=3，则x2y﹣xy2的值为（）A．2B．3C．5D．6【分析】首先分解x2y﹣xy2，再代入x﹣y=2，xy=3即可．【解答】解：x2y﹣xy2=xy（x﹣y）=3×2=6，故选：D．【点评】此题主要考查了提公因式分解因式，关键是正确确定公因式．4．（3分）若a、b、c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）2=c2﹣2ab，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】根据题意，利用完全平方公式展开求得a、b、c之间的关系，从而可以解答本题．【解答】解：∵（a﹣b）2=c2﹣2ab，∴a2+b2﹣2ab=c2﹣2ab，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，故选：B．【点评】此题主要考查了完全平方公式，合并同类项，勾股定理的逆定理，掌握完全平方公式是解本题的关键．5．（3分）若把分式的x、y同时扩大10倍，则分式的值（）A．扩大10倍B．缩小10倍C．不变D．缩小2倍【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：原式==，故选：C．【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．6．（3分）下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别相等B．一组对边平行且相等C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线互相平分【分析】直接根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确；C、一组对边平行，另一组对边相等不能判定是平行四边形，错误；D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．7．（3分）计算： =（）A．a B．C．D．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=•=故选：D．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．8．（3分）若=a﹣2，则a与2的大小关系是（）A．a=2B．a＞2C．a≤2D．a≥2【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a﹣2≥0，∴a≥2，故选：D．【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．9．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是12，BC=4，则AC 的长是（）A．8B．10C．12D．16【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，进而根据等腰三角形的性质可得出结论．【解答】解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD．∵△BCD的周长是12，BC=4，∴AB=BD+CD=12﹣4=8，∵AB=AC，∴AC=8．故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．10．（3分）顺次连接矩形的四边形中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【解答】解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：C．【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．11．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AD=8，AB=6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】求出AC的长度；证明EF=EB（设为λ），得到CE=8﹣λ；列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，DC=AB=6；由勾股定理得：AC2=AD2+DC2，∴AC=10；由题意得：∠AFE=∠B=90°，AF=AB=6；EF=EB（设为λ），∴CF=10﹣6=4，CE=8﹣λ；由勾股定理得：（8﹣λ）2=λ2+42，解得：λ=3，∴EF=3．故选：B．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答12．（3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB =S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠DAE，然后证明∠ABF+∠BAO=90°，再得到∠AOB=90°，从而得出AE⊥BF，判断②正确；假设AO=OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE＞BC，即BE＞AB，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF=S △ADE，然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确．【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，∵CE=DF，∴AD﹣DF=CD﹣CE，即AF=DE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴AE=BF，故①正确；∠ABF=∠DAE，∵∠DAE+∠BAO=90°，∴∠ABF+∠BAO=90°，在△ABO中，∠AOB=180°﹣（∠ABF+∠BAO）=180°﹣90°=90°，∴AE⊥BF，故②正确；假设AO=OE ，∵AE ⊥BF （已证），∴AB=BE （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt △BCE 中，BE ＞BC ，∴AB ＞BC ，这与正方形的边长AB=BC 相矛盾，所以，假设不成立，AO ≠OE ，故③错误；∵△ABF ≌△DAE ，∴S △ABF =S △DAE ，∴S △ABF ﹣S △AOF =S △DAE ﹣S △AOF ，即S △AOB =S 四边形DEOF ，故④正确；综上所述，错误的有③．故选：B ．【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ABF 和△DAE 全等是解题的关键，也是本题的突破口．二、填空题（每题3分，共18分）13．（3分）使分式有意义的x 的取值范围是 x ≠﹣3 ．【分析】分式有意义的条件是分母不为0．【解答】解：若分式有意义，则x+3≠0，解得：x ≠﹣3．故答案为x ≠﹣3．【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．14．（3分）若，则xy 的立方根为 ﹣2 ．【分析】根据绝对值的非负性求出x 、y 的值，求出xy 的值，再根据立方根定义求出即可．【解答】解：，x+2=0，4﹣y=0，x=﹣2，y=4，xy=﹣8，所以xy 的立方根是=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了立方根和绝对值的性质，能根据绝对值的非负性求出x、y的值是解此题的关键．15．（3分）因式分解：2m2﹣8n2= 2（m+2n）（m﹣2n）．【分析】根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系数的最大公约数2，进一步发现提公因式后，可以用平方差公式继续分解．【解答】解：2m2﹣8n2，=2（m2﹣4n2），=2（m+2n）（m﹣2n）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，因式分解一定要进行到每个因式不能再分解为止．16．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6cm，AD平分∠BAC，E是AC的中点，则DE的长度为 3 cm．【分析】利用三角形的中位线定理即可解决问题；【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=DC，∵AE=EC，∴DE=AB=3cm，故答案为3．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（3分）如图，在▱ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为10，AB=4，那么对角线AC+BD= 12 ．【分析】△AOB的周长为10，则AO+BO+AB=10，又AB=4，所以OA+OB=6，根据平行四边形的性质，即可求解．【解答】解：因为△AOB的周长为10，AB=4，所以OA+OB=6；又因为平行四边形的对角线互相平分，所以AC+BD=12．故答案为12．【点评】此题主要考查平行四边形的对角线互相平分．在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．18．（3分）如图，∠AOB=90°，OA=25m，OB=5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是13 m．【分析】设BC=xm，根据题意用x表示出AC和OC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设BC=xm，则AC=xm，OC=（25﹣x）m，由勾股定理得，BC2=OB2+OC2，即x2=52+（25﹣x）2，解得x=13．答：机器人行走的路程BC是13m．故答案为：13【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．三、计算题（19、20题每题6分，21、22题每题8分）19．（6分）计算：（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案．【解答】解：（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）=4a2+4ab+b2﹣4a2+b2=2b2+4ab．【点评】此题主要考查了公式法的应用，正确应用公式是解题关键．20．（6分）计算：|1﹣|+（π+1）0+【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：原式=﹣1+1+2=3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21．（8分）先化简，再化简：，请你从﹣2＜a＜2的整数解中选取一个合适的数代入求值．【分析】根据分式的减法阿和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2＜a＜2中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：===，当a=1时，原式==2．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．（8分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB=60°，AF是∠DAB的平分线，若AD=3，求DC的长度．【分析】（1）由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE⊥AB，可得结论（2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度，则可得BF的长度，即可求CD的长度．【解答】证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB，DC=AB∵CF=AE∴DF=BE且DC∥AB∴四边形DFBE是平行四边形又∵DE⊥AB∴四边形DFBE是矩形；（2）∵∠DAB=60°，AD=3，DE⊥AB∴AE=，DE=AE=∵四边形DFBE是矩形∴BF=DE=∵AF平分∠DAB∴∠FAB=∠DAB=30°，且BF⊥AB∴AB=BF=∴CD=【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．四、解答题（每题9分，共18分）23．（9分）位迎接2019-2020国庆长假，长沙某商家用1200元购进一批多肉盆栽，很快售完，接着又用了1800购进第二批多肉盆栽，已知两批盆栽的数量相等，且第一批盆栽的单价比第二批的单价少5元．（1）这两批多肉盆栽的单价各是多少元？（2）第一批盆栽以20元每盆售出后，若想两批所得的利润不低于50%，则第二批的盆栽每盆售价最少应该为多少元？【分析】（1）设第一批多肉盆栽的单价是x元，根据两批盆栽的数量相等，且第一批盆栽的单价比第二批的单价少5元，列出方程，求出x的值即可得出答案；（2）设第二批的盆栽每盆售价应该为y元，根据两批所得的利润不低于50%和利润率=×100%，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设第一批多肉盆栽的单价是x元，依题意有=，解得x=10，经检验，x=20是原方程的解，10+5=15（元）．答：第一批多肉盆栽的单价是10元，第二批多肉盆栽的单价是15元；（2）设第二批的盆栽每盆售价应该为y元，根据题意得：（y﹣10）+（y﹣15）≥50%×（1200+1800），解得：y≥18.75，答：第二批的盆栽每盆售价最少应该为18.75元．【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，关键是根据价格做为等量关系列出方程，根据利润做为不等量关系列出不等式求解．24．（9分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥BD交BA的延长线于点E．（1）当▱ABCD是菱形时，证明：AE=AB；（2）当▱ABCD是矩形时，设∠E=α，问：∠E与∠DOA满足什么数量关系？写出结论并说明理由．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形可得AC⊥BD，AB=CD，根据DE⊥BD，可证四边形ACDE 是平行四边形，可证得结论．（2）由题意可得∠DOA=2∠OBA，∠E=90°﹣∠OBA，即可求∠E与∠DOA的数量关系．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，AB=CD；∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，且CD∥AB，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD且AB=CD，∴AE=AB；（2）∠E=90°﹣，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO，∴∠OBA=∠OAB；∵DE⊥BD，∠DOA=∠OBA+∠OAB，∴∠E=90°﹣∠OBA，∠DOA=2∠OBA，∴∠E=90°﹣．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．五、探究题（每题10分，共20分）25．（10分）我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y=4，求点A的坐标；（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．①不管t为何值，E点总是“完美点”；②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．【分析】（1）根据“完美点”定义可求点A坐标；（2）①由题意可求直线OB的解析式y=x，点E在直线OB上移动，则可证结论；②根据题意可证△EFQ≌△APE，可求PE=FQ，则可求四边形AFQP的面积．【解答】解（1）∵点A（x，y）是“完美点”∴x=y∵x+y=4∴x=2，y=2∴A点坐标（2，2）（2）①∵四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），∴AO=AB=BC=4∴B（4，4）设直线OB解析式y=kx过B点∴4=4kk=1∴直线OB解析式y=x设点E坐标（x，y）∵点E在直线OB上移动∴x=y∴不管t为何值，E点总是“完美点”．②∵E点总是“完美点”．∴EQ=OQ∵∠BAO=∠AOC=90°，PQ⊥x轴∴四边形AOQP是矩形∴AP=OQ，AO=PQ=4∴AP=EQ∵AE⊥EF∴∠AEP+∠FEQ=90°，∠EAP+∠AEP=90°∴∠FEQ=∠EAP∵AP=EQ，∠FEQ=∠EAP，∠APE=∠EQF=90°∴△APE≌△EFQ∴PE=FQ==2（PE+EQ）=2×PQ=8∵S四边形AFQP∴当E点运动时，四边形AFQP的面积不变，面积为8【点评】本题考查四边形综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是平行四边形，已知点C在x轴正半轴上，连接AC．（1）若点A、C的坐标分别为（1，2）、，求B点坐标和平行四边形的面积．（2）若点A的坐标为（3，4），当OA=OC时，点D在线段上，且DC=1，问：在线段AC 上是否存在一点P，使OP+PD值最小？若存在，求出OP+PD的最小值；若不存在，请说明理由；（3）在（1）的条件下，将△ABC沿AC翻折得到△AB’C，AB’交OC于点Q，若CO恰好平分∠ACB’，求的值．【分析】（1）作AE⊥OC、作BF⊥x轴，证△AOE≌△BCF可得CF=OE=1、BF=AE=2、OF=OC+CF=，继而可得答案；（2）连接BO交AC于点Q，连接BD交AC于点P，由OA=OC知四边形AOCB是菱形，根据对角线互相垂直平分知点P即为所求，且PO+PD=PB+PD=BD，再求出BD的长即可；（3）由平行四边形知∠AOQ=∠B，结合翻折变换知∠B=∠B′，从而得∠AOQ=∠B′，由∠AQO=∠CQB′知∠OAQ=∠B′CQ，再根据CO恰好平分∠ACB′知∠B′CQ=∠ACO，从而得∠OAQ=∠ACO，据此可证△AOQ∽△COA得=，将有关线段长度代入求得OQ的长，依据=可得答案．【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥OC于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠AEO=∠BF C=90°，∵四边形AOCB是平行四边形，∴OA=BC，OA∥CB，∴∠AOE=∠BCF，∴△AOE≌△BCF（AAS），则CF=OE=1、BF=AE=2，∵OC=，∴OF=OC+CF=+1=，=OC•BF=×2=5．则点B坐标为（，2），S平行四边形AOCB（2）如图2，连接BO交AC于点Q，连接BD交AC于点P，由A（3，4）知OE=CF=3、AE=4，则OA=OC=BC=5，∵四边形AOCB是平行四边形，且OA=OC，∴四边形AOCB是菱形，则AC、BD互相垂直平分，∴点P即为所求，PO+PD=PB+PD=BD，∵DC=1、CF=3，∴DF=4，∵BF=4，∴PO+PD=PB+PD=BD=4；（3）∵四边形AOCB是平行四边形，∴∠AOQ=∠B，由翻折变换知∠B=∠B′，∴∠AOQ=∠B′，∵∠AQO=∠CQB′，∴∠OAQ=∠B′CQ，∵CO恰好平分∠ACB′，∴∠B′CQ=∠ACO，∴∠OAQ=∠ACO，∴△AOQ∽△COA，∴=，∵A（1，2）、C（，0），∴OA=、OC=，∴=，解得：OQ=2，则===．【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质、菱形和全等三角形、相似三角形的判定与性质及翻折变换的性质．。

2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学八年级(上)期末数学试卷及参考答案

26．（10 分）对 x，y 定义一种新运算 R，规定：数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：（1）已知 R（1，1）＝1，R（2，0）＝2． ①求 a，b 的值：
（其中 a、b 均为非零常．
②若关于 m 的不等式组
无解，求实数 n 的取值范围．
（2）若 R（x，y）＝R（y，x）对任意实数 x，y 都成立（这里 R（x，y）和 R（y，x）均有意义），则 a，b 应满足怎样的关系式
到 A3，使 A2A3＝A2E．得到第 3 个△A2A3E…按此做法继续下去，则第 n+1 个三角形中以
An+1 为顶点的内角度数是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题 3 分，共 6 小题，共 18 分）
13．（3 分）分解因式：3x2﹣27＝
．
14．（3 分）与最简二次根式
是同类二次根式，则 a＝．
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2019-2020 学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析
15．（3 分）若关于 x 的分式方程
有增根，则 m 的值为
．
16．（3 分）在△ABC 中 MP，NO 分别垂直平分 AB，AC．若∠BAC＝106°，则∠PAO 的度
数是
．
17．（3 分）的整数部分是 x，小数部分是 y，则
的值为．
18．（3 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD
2019-2020 学年长沙市雨花区雅礼中学八年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 12 小题，共 36 分） 1．（3 分）的相反数是（）

2019-2020学年湖南省长沙市八年级(上)期末数学试卷及答案解析

2019-2020学年湖南省长沙市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列手机软件图标中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.在代数式a3，xx+1，x5+y2，a−ba+b，3π中，分式有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.下列根式中与√ba不是同类二次根式的是()A. √abB. √abC. 3√abD. √ab24.下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是()A. √1，√2，√3B. 7，24，25C. 6，8，10D. 1，2，35.下列运算正确的是()A. (ab)5=ab5B. a8÷a2=a6C. (a2)3=a5D. (a−b)5=a5−b56.如图，在△ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，则△AEC的周长等于()A. a+bB. a−bC. 2a+bD. a+2b7.矩形的面积为18，一边长为2√3，则周长为()A. 18B. 5√3C. 10√3D. 248.如图矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的点是−1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是()A. √5+1B. √5−1C. √5D. 1−√59.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为()A. a2−b2=(a−b)2B. (a−b)2=a2−2ab+b2C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2−b2=(a+b)(a−b)10.若三角形的两边长分别为3和8，则第三边的长可能是()A. 3B. 4C. 5D. 611.关于x的分式方程mx−1+31−x=1有增根，则m的值为()A. 1B. −1C. 3D. −312.设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=(a+b)2−(a−b)2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0；②a@(b+c)=a@b+a@c;③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2；④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大.其中正确的是().A. ②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.若√x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围为____________ ．14.某种病毒的直径是0.00000012米，将0.00000012用科学记数法可表示为______米．15.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，若∠B=40°，则∠BAD的度数为______．16.当x= ______ 时，分式x2−4x2+3x+2的值为0．17.计算：(−4)100×0.25101=______ ．18.如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为______cm2.三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）)−2+(√3−2)2008⋅(√3+2)2007−(π−√5)0 19.计算：−14+√12+(12四、解答题（本大题共7小题，共58.0分）20.因式分解(1)2am2+8a(2)x2−16(3)3x2+6xy+3y2(4)(x−1)(x−3)+121.化简求值(1)2x(x−3)−(x−2)(x+2),其中x=−1(2)(a+2a−2+4a2−4a+4)÷aa−2，其中a=12．22.我校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌(AB)，放置在教室的黑板上面(如图所示).在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子(AE=5米)靠在宣传牌(AB)A处，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌(AB)的B处，而底端E向外移到了0.5米到C处(CE=0.5米)。

长沙市雅礼中学八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案

长沙市雅礼中学八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案一、选择题1．若分式3x x +有意义，则实数x 的取值范围是（） A ．3x >-B ．0x >C ．3x ≠-D ．0x ≠ 2．化简211m m m m --÷的结果是（） A ．m B ．1m C ．1m - D ．1m m- 3．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，则下列结论错误的是( )A ．△ABD ≌△ACEB ．∠ACE+∠DBC ＝45° C ．BD ⊥CE D ．∠BAE+∠CAD ＝200°4．如图，AOB ∆的外角,CAB DBA ∠∠的平分线,AP BP 相交于点P ，PE OC ⊥于E ，PF OD ⊥于F ，下列结论：（1）PE PF =；（2）点P 在COD ∠的平分线上；（3）90APB O ∠=︒-∠，其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图，在△ABC 中，AG ＝BG ，BD ＝DE ＝EC ，CF ＝4AF ，若四边形DEFG 的面积为14，则△ABC 的面积为（）A ．24B ．28C ．35D ．306．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上一点，且BC ＝EC ，CF ⊥BE 交AB 于点F ，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF ；②CF 平分∠DCB ；③BC ＝FB ；④PF ＝PC ．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，点O 在AD 上，,,,6,4A C AOC BOD AB CD AD cm OC cm ∠=∠∠=∠===，则OB 的长为（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm8．如图,小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分,测得两个角的度数为32°、74°,于是他很快判断这个三角形是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，DE 经过点 O ，且 DE ∥BC ，DE 分别交 AB 、AC 于 D 、E ，则图中等腰三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，在射线OM 上，112A B B ∆，223A B B ∆，334A B B ∆，均为等边三角形．若11OB =，则889A B B ∆的边长为（）A ．64B ．128C ．132D ．256二、填空题11．如图，在等边ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将ADE 沿直线DE 折叠后，点A 落在点A '处，ABC 的边长为4cm ，则图中阴影部分的周长为_____cm ．12．已知：如图，在长方形ABCD 中，6,10AB AD ==延长BC 到点E ，使4CE =，连接DE ，动点F 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点F 的运动时间为t 秒，当t 的值为_______时，ABF 和DCE 全等．13．当a =____________时，分式44a a --的值为零． 14．已知∠AOB=60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示，若DE=4，则DF=___．15．如图，在ABC 中，A β∠=度，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，则1A ∠=______度；1A BC ∠与1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠；…2018∠A BC 与2018A CD ∠的平分线交于点2019A ，得2019A ∠．则2019A ∠=______度．16．求220191222++++的值，可令22019S 1222=++++，则23202022222S =++++，因此2020221S S -=-．仿照以上推理，计算出23201911112222++++的值为______． 17．如图，ABC ∠，ACB ∠的平分线相交于点F ，过点F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①BDF ∆，CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE ∆的周长为+AB AC ；④BD CE =．其中正确的是________．18．如图，点D 是△ABC 的边BC 的延长线上的一点，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，依此类推…，已知∠A ＝α，则∠A 2020的度数为_____．（用含α的代数式表示）．19．观察下列式：()()2111x x x -÷-=+； ()()32111xx x x -÷-=++； ()()432111xx x x x -÷-=+++； ()()5432111x x x x x x -÷-=++++．则23456712222222+++++++=________．20．如图，已知AB=AC ，∠A=36°,AB 的中垂线MN 交AC 于点D,交AB 于点M ，CE 平分∠ACB ，交BD 于点E.下列结论:①BD 是∠ABC 的角平分线；②ΔBCD 是等腰三角形；③BE=CD ；④ΔAMD ≌ΔBCD ；⑤图中的等腰三角形有5个．其中正确的结论是___.(填序号)三、解答题21．已知ABC ，80ABC ∠=︒，点E 在BC 边上，点D 是射线AB 上的一个动点，将ABD △沿DE 折叠，使点B 落在点B '处，（1）如图1，若125ADB '∠=︒，求CEB '∠的度数；（2）如图2，试探究ADB '∠与CEB '∠的数量关系，并说明理由；（3）连接CB '，当//CB AB '时，直接写出CB E ∠'与ADB '∠的数量关系为．22．如图，在△ABC 中，A ABC ∠=∠，直线EF 分别交AB 、AC 点D 、E ，CB 的延长线于点F ，过点B 作//BP AC 交EF 于点P ，（1）若70A ∠=︒，25F ∠=︒，求BPD ∠的度数．（2）求证：2F FEC ABP ∠+∠=∠．23．先化简：2222421121m m m m m m m ---÷+--+，其中m 从0，1，2中选一个恰当的数求值． 24．如图，∠ADB ＝∠ADC ，∠B ＝∠C ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）连接BC ，求证：AD ⊥BC ．25．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝94，则x﹣y＝；（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．26．已知：如图，AD垂直平分BC，D为垂足，DM⊥AB，DN⊥AC，M、N分别为垂足．求证：DM=DN．27．如图，已知直线y＝13x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90o、点P(x、y)为线段BC上一个动点(点P不与B、C重合)，设△OPA的面积为S．（1）求点C的坐标;（2）求S关于x的函数解析式，并写出x的的取值范围;（3）△OPA 的面积能于92吗，如果能，求出此时点P 坐标，如果不能，说明理由. 28．（1）解方程组：202321x y x y -=⎧⎨+=⎩．（2）解不等式组：202(21)15x x x -<⎧⎨-≤+⎩．（3）分解因式：3x x -．（4）分解因式：221x x -++．29．如图，如果AD ∥BC ，∠B =∠C ，那么AD 是∠EAC 的平分线吗？请说明你判别的理由．30．观察下列等式：第1个等式：1111(1)1323a ==⨯-⨯；第2个等式：21111()35235a ==⨯-⨯；第3个等式：31111()57257a ==⨯-⨯；第4个等式：41111()79279a ==⨯-⨯；…… 请回答下列问题：（1）按以上规律，用含n 的式子表示第n 个等式：n a = = （n 为正整数）（2）求1234100•••a a a a a +++++ 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据分母不能为零，可得答案．【详解】解：由题意，得x+3≠0，解得x ≠-3．故选：C ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分式有意义得出不等式是解题关键．2．A解析：A【解析】【分析】先化除为乘，然后按照分式乘法法则进行计算即可．【详解】解：211m m m m--÷ =211m m m m -⨯- =m ．故答案为A ．【点睛】本题考查了分式的的乘除运算，掌握分式乘除运算法则是解答本题的关键．3．D解析：D【解析】【分析】根据SAS 即可证明△ABD ≌△ACE ，再利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质即可一一判断．【详解】∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC +∠CAD ＝∠DAE +∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE ．在△BAD 和△CAE 中，∵AB AC BAD CAE AD AE ∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD ＝CE ，故A 正确；∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABD +∠DBC ＝45°．∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD ＝∠ACE ，∴∠ACE +∠DBC ＝45°，故B 正确．∵∠ABD +∠DBC ＝45°，∴∠ACE +∠DBC ＝45°，∴∠DBC +∠DCB ＝∠DBC +∠ACE +∠ACB ＝90°，则BD ⊥CE ，故C 正确．∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAE +∠DAC ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故D 错误．故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．4．C解析：C【解析】【分析】过点P 作PG ⊥AB ，由角平分线的性质定理，得到PE PG PF ==，可判断（1）（2）正确；由12APB EPF ∠=∠，180EPF O ∠+∠=︒，得到1902APB O ∠=︒-∠，可判断（3）错误；即可得到答案．【详解】解：过点P 作PG ⊥AB ，如图：∵AP 平分∠CAB ，BP 平分∠DBA ，PE OC ⊥，PF OD ⊥，PG ⊥AB ，∴PE PG PF ==；故（1）正确；∴点P 在COD ∠的平分线上；故（2）正确；∵12APB APG BPG EPF ∠=∠+∠=∠，又180EPF O ∠+∠=︒，∴11(180)9022APB O O ∠=⨯︒-∠=︒-∠；故（3）错误； ∴正确的选项有2个；故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．5．D解析：D【解析】【分析】连接CG BF 、，设AFG S m ∆=，表示出BDG S ∆、CFE S ∆，进而得出四边形DEFG 的面积的表达式，从而求出m 的值，即可得出△ABC 的面积．【详解】解：连接CG BF 、，过点F 作FM AB ⊥于点M ，设AFG S m ∆=，∵G 为AB 的中点，∴AG BG =， ∵12AFG S AG FM ∆=，12FGB S BG FM ∆=， ∴AFG FGB S S m ∆∆==，∴2AFB S m ∆=，∵4CF AF =，∴同理可得：8BFC S m ∆=，∴10ABC S m ∆=，∵BD DE EC ==，∴3BC EC =， ∴同理可得：1833CFE BFC S S m ∆∆==， ∵G 为AB 的中点，∴同理可得：5ACG BCG S S m ∆∆==，∵BD DE EC ==，∴3BC BD =， ∴同理可得：1533BDG BCG S S m ∆∆==， ∴四边形DEFG 的面积为：851410333m m m m m ---=， ∴14=143m ，解得：3m =， ∴10=103=30ABC S m ∆=⨯，故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形的面积的应用，如果知道两个三角形同高，那么这两个三角形的面积的比等于它们的底的比，牢记此性质是解题的关键．6．D【解析】【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．【详解】证明：如图：∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB，∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，∴③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．7．A解析：A【解析】根据题意，利用AAS 先证明△AOB ≌△COD ，得到OA=OC ，OB=OD ，利用线段的和差关系，即可求出OB 的长度．【详解】解：∵AOC BOD ∠=∠，∴AOC COB BOD COB ∠+∠=∠+∠，∴AOB COD ∠=∠，∵,A C AB CD ∠=∠=，∴△AOB ≌△COD （AAS ），∴OA=OC=4，OB=OD ，∵OD=6-4=2，∴OB=2；故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质进行解题．8．B解析：B【解析】【分析】根据三角形的内角和是180°，求得第三个内角的度数，然后根据角的度数判断三角形的形状．【详解】第三个角的度数=180°-32°-74°=74°，所以，该三角形是等腰三角形.故选B.【点睛】此题考查了三角形的内角和公式以及三角形的分类．9．D解析：D【解析】【分析】根据等腰三角形的判定定理，即可得到答案.【详解】∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形，∠ABC=∠ACB ，∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠ABC ，∠AED=∠ACB ，∴∠ADE=∠AED ，∴△ADE 是等腰三角形，∵BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ， ∴∠OBC=∠OCB ，∴△OBC 是等腰三角形，∵DE ∥BC ，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∴∠DBO=∠OBC=∠DOB ，∠ECO=∠OCB=∠EOC ，∴△DBO ，△ECO 是等腰三角形，∴图中由5个等腰三角形，故选D.【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定定理，熟悉等腰三角形的判断定理和“双平等腰”模型，是解题的关键.10．B解析：B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出112233////.B A A B A B 以及221222A B A B ==，得出231334422, .... 2n n n A B A B A B -===，进而得出答案.【详解】解:∵112A B B ∆ 是等边三角形，∴111211122,60A B A B A B B A B O =∠=∠=︒， ∵∠O=30°,∴2121290A A B A B O O ∠=∠+∠=︒,∵11211A B B OA B O ∠=∠+∠,∴1130O OA B ∠=∠=︒,∴111211,OB A B A B === 在212Rt A A B 中，∵22130A A B ∠=︒∴221222A B A B ==,同法可得231334422, (2)n n n A B A B A B -===，∴889A B B ∆的边长为：72128= ,故选:B.【点睛】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出221222A B A B ==，得出231334422, .... 2n n n A B A B A B -===，进而发现规律是解题关键．二、填空题11．12【解析】【分析】由题意得AE=A′E，AD=A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC 的周长．【详解】解：将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处，所以AD=A′D，AE=A′解析：12【解析】【分析】由题意得AE=A′E ，AD=A′D ，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC 的周长．【详解】解：将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处，所以AD=A′D ，AE=A′E ．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E ，=BC+BD+CE+AD+AE ，=BC+AB+AC ，=12cm ．故答案为：12．【点睛】此题考查翻折问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．12．2或11【解析】【分析】分两种情况讨论，根据题意得出BF=2t=4和AF=26-2t=4即可求得答案．【详解】解：∵为直角三角形，且AB=DC ，∴当≌时，有BF=2t=CE=4，解解析：2或11【解析】【分析】分两种情况讨论，根据题意得出BF=2t=4和AF=26-2t=4即可求得答案．【详解】解：∵DCE 为直角三角形，且AB=DC ，∴当ABF ≌DCE 时，有BF=2t=CE=4，解得：t=2；当BAF △≌DCE 时，有AF=CE=4，此时2=10610-2t=26-2t AF BC CD DA t =++-++=4，解得：11t =，故答案为：2或11．【点睛】本题考查全等三角形的判定，注意到DCE 为直角三角形，且AB=DC ，故只有BF=2t=4和AF=26-2t=4两种情况．13．-4【解析】【分析】分式的值为零时,分子等于零,分母不等于零,进行求解即可．【详解】解：∵分式的值为零,∴．解得：,所以当时,分式无意义,故舍去．综上所述,．故答案为：-4．解析：-4【解析】【分析】分式的值为零时,分子等于零,分母不等于零,进行求解即可．【详解】解：∵分式44a a --的值为零, ∴4=0a -．解得：=4a ,所以=4a ±当=4a 时,分式无意义,故舍去．综上所述,=4a -．故答案为：-4．【点睛】考查了分式的值为零的条件,注意：“分母不为零”这个条件不能少．14．8【解析】【分析】根据角平分线求出，在的中易求和的长，同理在求出的长，即可得出答案．【详解】，OC 是∠AOB 的平分线在中，在中，故答案为：8．【点睛】本题考查角平分线的解析：8【解析】【分析】根据角平分线求出30EOD FOD ∠=∠=︒，在30的Rt EOD 中易求OD 和OE 的长，同理在Rt EOF 求出EF 的长，即可得出答案．【详解】60AOB ∠=︒，OC 是∠AOB 的平分线30EOD FOD ∴∠=∠=︒在Rt EOD 中，30,4EOD DE ∠=︒=8,OD OE∴===在Rt EOF中，60EOF OE∠=︒=，30,EFO OF∴∠=︒=12EF∴=1248DF EF DE∴=-=-=故答案为：8．【点睛】本题考查角平分线的定义、含30的直角三角形的解法，掌握30直角三角形的特征是解题关键．15．β，β【解析】【分析】已知∠A，求∠A1，利用外角定理可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，把∠ACD利用角平分线转成2∠A1CD，∠ABC转成2∠A1解析：12β，201912β【解析】【分析】已知∠A，求∠A1，利用外角定理可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，把∠ACD 利用角平分线转成2∠A1CD，∠ABC转成2∠A1BC，消去∠A1BC，∠A1CD即可，再用类似的办法求∠A2，以此类推即可【详解】∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠A1CD，∴∠AB A1=∠A1BC=12∠ABC，∠AC A1=∠A1CD=12∠ACD，由三角形的外角得∴∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∴∠A1CD=∠A1+∠A1BC①∴2∠A1CD=∠A+2∠A1BC②把①代入②得∠A1=12∠A=12βCA2平分∠A2CD，∠A2C A1=∠A2CD=12∠A1CD，由三角形的外角得∴∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∴∠A2CD=∠A2+∠A2BC③∴2∠A 2CD=∠A 1+2∠A 2BC ④解得∠A 2=12∠A 1， ∠A 2=12∠A 114∠A=14β=212β 同理∠A 3=12∠A 2=18∠A=18β=312β …∠A 2019= 201912β故答案为：①12β，②201912β【点睛】本题考查（第二内角的）外角平分线与（第一）内角平分线所夹的角问题，找到两平分线的夹角与第三个角的关系是解决问题关键16．【解析】【分析】根据题目所给计算方法，令，再两边同时乘以，求出，用，求出的值，进而求出的值．【详解】解：令，则，∴，∴，则．故答案为：【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，利用错解析：2019112【解析】【分析】根据题目所给计算方法，令23201911112222S，再两边同时乘以12，求出12S ，用12S S ，求出12S 的值，进而求出S 的值．【详解】解：令23201911112222S ，则22023401111122222S ， ∴2020111222S S ， ∴2020111222S ，则2019112S ．故答案为：2019112-【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键． 17．①②③【解析】【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质以及等量代换可得∠DBF=∠DFB ，即△BDF 是等腰三角形，同理也是等腰三角形；②根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC,然后等解析：①②③【解析】【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质以及等量代换可得∠DBF=∠DFB ，即△BDF 是等腰三角形，同理CEF ∆也是等腰三角形；②根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC,然后等量代换即可判定；③根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC ，然后再判定即可；④无法判断．【详解】解：①∵BF 是∠ABC 的角平分线∴∠ABF=∠CBF又∵DE//BC∴∠CBF=∠DFB∴∠ABF=∠DFB∴DB=DF ，即△BDF 是等腰三角形，同理可得CEF ∆是等腰三角形，故①正确；②∵△BDF 是等腰三角形，∴DB=DF同理：EF=EC∴DE=DF+EF=BD+CE,故②正确；③∵DF=BD,EF=EC∴ADE ∆的周长为AD+DE+AE=AD+DF+AE+EF= AD+BD+AE+CE=AB+AC ，故③正确； ④无法判断BD=CE ，故④错误．故答案为①②③．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用，涉及面较广，因此灵活应用所学知识成为解答本题的关键．18．【解析】【分析】根据角平分线的定义及三角形的内角和的及外角的性质可得∠A1＝，∠A2＝，∠A3＝，据此找规律可求解．【详解】解：在△ABC 中，∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝α，∵∠ABC 的平解析：202012α【解析】【分析】根据角平分线的定义及三角形的内角和的及外角的性质可得∠A 1＝12α，∠A 2＝212α，∠A 3＝312α，据此找规律可求解．【详解】解：在△ABC 中，∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝α，∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴∠A 1＝∠A 1CD ﹣∠A 1BC ＝12（∠ACD ﹣∠ABC ）＝12∠A ＝12α，同理可得∠A 2＝12∠A 1＝212α， ∠A 3＝12∠A 2＝312α， …以此类推，∠A 2020＝202012α，故答案为：202012 ．【点睛】考查三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握和运用三角形外角的性质是解题的关键．19．28-1【解析】【分析】根据（28-1）÷（2-1）=27+26+25+24+23+22+2+1，直接得出答案即可．【详解】解：由题意可得：∵（28-1）÷（2-1）=27+26+25+解析：28-1【解析】【分析】根据（28-1）÷（2-1）=27+26+25+24+23+22+2+1，直接得出答案即可．【详解】解：由题意可得：∵（28-1）÷（2-1）=27+26+25+24+23+22+2+1，∴28-1=27+26+25+24+23+22+2+1，故答案为28-1．【点睛】本题考查了整式的除法，有理数的乘方，掌握规律是解题的关键．20．①②③⑤【解析】【分析】首先由AB 的中垂线MD 交AC 于点D 、交AB 于点M ，求得△ABD 是等腰三角形，即可求得∠ABD 的度数，又由AB ＝AC ，即可求得∠ABC 与∠C 的度数，则可求得所有角的度数，解析：①②③⑤【解析】【分析】首先由AB 的中垂线MD 交AC 于点D 、交AB 于点M ，求得△ABD 是等腰三角形，即可求得∠ABD 的度数，又由AB ＝AC ，即可求得∠ABC 与∠C 的度数，则可求得所有角的度数，进而得出BD 是∠ABC 的角平分线，可得△BCD 也是等腰三角形，BE=CE ，ΔBCD 是等腰三角形，ΔAMD 为直角三角形，故这两个三角形不可能全等，由角的度数即可得图中的等腰三角形.【详解】解：∵AB=AC ，∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°又∵CE 平分∠ACB ，∴∠DCE=∠BCE=36°又∵AB 的中垂线MN 交AC 于点D,交AB 于点M ，∴∠AMD=∠BMD=90°，AD=BD ，∴∠ABD=∠BAD=36°，∠ADB=108°，又∵∠ADB=∠ACB+∠DBC=108°∴∠DBC=36°∠ABD=∠DBC ，∴BD 是∠ABC 的角平分线，故①结论正确.∠BDC=72°=∠ACB ，∴ΔBCD 是等腰三角形，故②结论正确.∵∠DBC=∠ECB=36°∴△BEC 为等腰三角形，∴BE=CE又∵∠BDC=∠CED=72°∴△DCE 为等腰三角形，∴CD=CE∴BE=CD故③结论正确.∵ΔBCD 是等腰三角形，ΔAMD 为直角三角形∴这两个三角形不可能全等，故④结论错误.图中△ABC 、△ADB 、△BCD 、△BEC 、△DCE 都为等腰三角形，故⑤结论正确.故本题正确的结论是①②③⑤.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握，再利用等角转换，即可解题.三、解答题21．（1）35CEB '∠=︒；（2）20ADB CEB ''∠=∠-︒，理由见解析；（3）①当点D 在边AB 上时，80CB E ADB ''∠=∠-︒，②当点D 在AB 的延长线上时，80CB E ADB ''∠+∠=︒；【解析】【分析】（1）利用四边形内角和求出∠BEB′的值，进而可求出CEB '∠的度数；（2）方法类似（1）；（3）分两种情形：如图1-1中，当点D 线段AB 上时，结论：∠CB′E+80°=∠ADB′；如图2中，当点D 在AB 的延长线上时，结论：∠CB′E+∠ADB′=80°．分别利用平行线的性质证明即可．【详解】解：（1）如图1中由翻折的性质可知，∠DBE=∠DB′E=80°，∵∠ADB′=125°，∴∠BDB′=180°-125°=55°，∵∠BEB′+∠BDB′+∠DBE+∠DB′E=360°，∴∠BEB′=360°-55°-80°-80°=145°，∴∠C EB′=180°-145°=35°．（2）结论：∠ADB′=∠CEB′-20°．理由：如图2中，∵80ABC ∠=︒，∴B′=CBD=180°-80°=100°，∵∠ADB′+∠BEB′=360°-2×100°=160°，∴∠ADB′=160°-∠BEB′，∵∠BEB′=180°-∠CEB′，∴∠ADB′=∠CEB′-20°．（3）如图1-1中，当点D 线段AB 上时，结论：∠CB′E+80°=∠ADB′理由：连接CB′．∵CB′//AB ，∴∠ADB ′=∠CB′D ，由翻折可知，∠B=∠DB′E=80°，∴∠CB′E+80°=∠CB′D=∠ADB′．如图2-1中，当点D 在AB 的延长线上时，结论：∠CB′E+∠ADB′=80°．由：连接CB′．∴∠ADB′+∠DB′C=180°，∵∠ABC=80°，∴∠DBE=∠DB′E=100°，∴∠CB′E+100°+∠ADB′=180°，∴∠CB′E+∠ADB′=80°．综上所述，∠CB'E 与∠ADB'的数量关系为∠CB′E+80°=∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′=80°．故答案为：∠CB′E+80°=∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′=80°．【点睛】本题考查翻折变换，多边形内角和定理，平行线的性质，以及分类讨论等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（1）65°；（2）见解析【解析】【分析】（1）运用三角形内角和定理先求出∠C 的度数，再应用平行线性质求出∠PBF 的度数，最后应用三角形外角与内角的关系求出∠BPD ．（2）先证明∠F+∠FEC=∠PBC ，再证∠PBC=2∠ABP ．【详解】解：（1）在ABC ∆中，∵∠A=70°，∠A=∠ABC∴由内角和定理可得40C ∠=又∵//BP AC∴65BPD AEF C F ∠=∠=∠+∠=（2）在ABC ∆中，∵∠A =∠ABC∴ 由内角和定理可得2180A C ∠+∠=同理，在CEF ∆中由三角形内角和定理得180F FEC C ∠+∠+∠=∴2F FEC A ∠+∠=∠又∵//BP AC∴ABP A ∠=∠即2F FEC ABP ∠+∠=∠．【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和的综合题．用已知条件结合图形运用相关定理找角的关系是基本技能，是解本题的关键．23．21m +，2 【解析】原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把0m =代入计算即可求出值．【详解】解：2222421121m m m m m m m ---÷+--+ 222(2)(1)1(1)(1)2m m m m m m m --=-⋅++-- 21m =+ 因为m+10≠ ，m-10≠，m-20≠所以m 1≠- ，m 1≠，m 2≠当0m =时，原式2=．【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意证明△ADB ≌△ADC 即可证明AB ＝AC ；（2）连接BC ，由中垂线的逆定理证明即可．【详解】证明：（1）∵在△ADB 和△ADC 中，==ADB ADC B CAD AD ∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△ADB ≌△ADC （AAS ），∴AB ＝AC ；（2）连接BC ，∵△ADB ≌△ADC ，∴AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴A 和D 都在线段BC 的垂直平分线上，∴AD 是线段BC 的垂直平分线，即AD ⊥BC ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及中垂线的逆定理，熟记相关定理是解题关键．25．（1）(a+b)2-(a-b)2=4ab；（2）±4；（3）-7【解析】【分析】（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2，图1的面积和图2中白色部分的面积相等即可求解．（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy，将x+y＝5，x•y＝94代入(x+y)2-(x-y)2=4xy，即可求得x-y的值（3）因为(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1，等号两边同时平方，已知(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15，即可求解．【详解】（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等∴(a+b)2-(a-b)2=4ab故答案为：(a+b)2-(a-b)2=4ab（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy∵x+y＝5，x•y＝9 4∴52-(x-y)2=4×9 4∴(x-y)2=16∴x-y=±4故答案为：±4（3）∵(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1∴[(2019﹣m)+(m﹣2020)]2=1∴(2019﹣m)2+2(2019﹣m)(m﹣2020)+ (m﹣2020)2=1∵(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15∴2(2019﹣m)(m﹣2020)=1-15=-14∴(2019﹣m)(m﹣2020)=-7故答案为：-7【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．26．见解析．【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得到AC=AB，再利用等腰三角形的性质得到AD是角平分线，最后利用角平分线的性质即可得到结论．【详解】证明：∵AD垂直平分BC，∴AC=AB，即ABC是等腰三角形，∴AD平分∠BAC，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握各性质判定定理是解题的关键．27．（1）（4，3）；（2）S=3342x+，0＜x＜4;（3）不存在.【解析】【分析】（1）直线y＝13x-+1与x轴、y轴分别交于点A、B，可得点A、B的坐标，过点C作CH⊥x轴于点H，如图1，易证△AOB≌△CHA，从而得到AH=OB、CH=AO，就可得到点C 的坐标；（2）易求直线BC解析式，过P点作PG垂直x轴，由△OPA的面积=1OA PG2即可求出S关于x的函数解析式.（3）当S=92求出对应的x即可.【详解】解：（1）∵直线y＝13x-+1与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A点（3，0），B点为（0，1），如图：过点C作CH⊥x轴于点H，则∠AHC=90°．∴∠AOB=∠BAC=∠AHC=90°，∴∠OAB=180°-90°-∠HAC=90°-∠HAC=∠HC A．在△AOB和△CHA中，AOB CHA OAB HCA AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AOB ≌△CHA （AAS ），∴AO =CH =3，OB =HA =1，∴OH =OA +AH =4∴点C 的坐标为（4，3）；（2）设直线BC 解析式为y =kx +b ，由B （0，1），C （4，3）得：143b k b =⎧⎨+=⎩，解得1k=2b=1⎧⎪⎨⎪⎩， ∴直线BC 解析式为112y x =+，过P 点作PG 垂直x 轴，△OPA 的面积=12OA PG ,∵PG =112y x =+，OA =3， ∴S =113(1)22x +=3342x +；点P (x 、y )为线段BC 上一个动点(点P 不与B 、C 重合)，∴0＜x ＜4. ∴S 关于x 的函数解析式为S =3342x +， x 的的取值范围是0＜x ＜4; （3）当s =92时，即339422x +=，解得x =4，不合题意，故P 点不存在. 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，构造全等三角形是解决第（1）小题的关键． 28．（1）63x y =⎧⎨=⎩；（2）32x -≤<；（3）()()11x x x +-；（4）()21x - 【解析】【分析】（1）加减消元法解方程组；（2）先分别解不等式，再找解集的公共部分；（3）先提公因式，再用平方差公式；（4）应用完全平方公式．【详解】（1）解：202321x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， ②－①×2，得：721y =，解得：3y =，把3y =代入①得：6x =，∴原方程组的解为：63x y =⎧⎨=⎩；（2）解：202(21)15x x x -<⎧⎨-≤+⎩①②，由①得：2x ＜，由②得：4-215x x ≤+，解得：3x ≥-，∴原不等式组的解为：32x -≤<；（3）原式＝()()()211-1x x x x x -=+；（4）原式＝221x x -++＝()21x -．【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，因式分解的方法，熟练掌握基础知识是关键．29．AD 是∠EAC 的平分线，理由见解析【解析】【分析】根据平行线和等腰三角形的性质可证得∠EAD=∠DAC ，可得出结论．【详解】AD 是∠EAC 的平分线，∵AD ∥BC ，∴∠EAD =∠B ，∠DAC =∠C ，又∵∠B =∠C ，∴∠EAD =∠DAC ，∴AD 是∠EAC 的平分线．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握等边对等角和平行线的性质是解题的关键．30．（1）1(21)(21)n n -+；111()22121n n --+；（2）100201【解析】【分析】（1）观察等式数字变化规律即可得出第n 个等式；（2）利用积化和差计算出a 1+a 2+a 3+…+a 100的值．【详解】解：(1) 解： 1111(1)1323a ==⨯-⨯； 21111()35235a ==⨯-⨯； 31111()57257a ==⨯-⨯； 41111()79279a ==⨯-⨯；…… 1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+ 故答案为：1(21)(21)n n -+； 111()22121n n --+ （2）1234100a a a a a +++++ =11111111111(1)()()...()232352572199201-+-+-++- =11111111(1...)233557199201-+-+-++- =11(1)2201- =12002201⨯ =100201【点睛】此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题．。

湖南四大名校内部资料答案-2019-2020-1雅礼八上期末考试

∵ 且
∴只有当时
当时
可得：
(舍去)
当时
可得：
综上所述：当时
(3)当时
∵
∴
∴
∵
∴
∵
又∵
∴
∴
∴
如果学生用勾股定理，得到下列答案也给全分。(另外如果有学生明确指出题目数据有问题也给全分)
(3)当时，
∵
∴
∴
在中，
∵
∴
在中，
26.【解析】(1)①∵ ，
∴ ，
∴ ，
②∵
又∵
∴
∴
∵该不等式组无解
∴
2019年初二下学期数学期末考试
数学参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
B
D
A
B
B
B
C
A
C
A
二、填空题
13. 14. 15.
16. 17. 18.
三、解答题
19.【解析】原式
20.【解原式
当时
原式
23.【证明】(1)∵ 是等边三角形
∴ ，
∵
∴
∴
(2)∵
又∵
∴
∴
∵
∴
∴
24.【解析】(1)设购买一个品牌垃圾桶需元
解得：
经检验：是原方程的解
∴
答：一个品牌，品牌垃圾桶分别需要元和元
(2)设再次购进品牌垃圾桶个，则品牌垃圾桶购进个
答：最多可购进品牌垃圾桶个
25.【证明】(1)∵ 平分且，
∴

湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年八年级(上)期末数学模拟试卷(含答案)

长沙市雅礼中学2019—2020年度第一学期期末考试模拟试题八年级数学（时间90分钟，满分120分）班级姓名学号分数________一、选择题(本题共12小题，每题3分，共36分)1.下面汉字的书写中，可以看做轴对称图形的是 A.B.C.D.2.下列根式中，不是最简二次根式的是3.下列分解因式正确的是 A. ()321x x x x -=-B. ()22442m m m ++=+C. ()()24416a a a +-=-D. ()()22x y x y x y +=+-4.要使分式x 1x 4+-有意义，则x 的取值应满足 A. x ≠4B. x ≠﹣1C. x ＝4D. x ＝﹣15.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别是5、7、3、5，则最大的正方形E 的面积是A. 108B. 50C. 20D. 126.下列各式正确的是A. 22a a b b=B.a ab b a b=+ C.a a cb b c+=+ D.2a ab b b = 7.如图所示，线段AC 的垂直平分线DE 交线段AB 于点D ，50A ∠=，则BDC ∠=A. 50B. 100C.120 D.1308.如果一个单项式与22a b -的积为3225a bc -，则这个单项式为A. 215acB. 15ac -C. 45acD. 254ac9.若实数x 、y ()21x y +-，则x y -的值为A. 1-B. 1C. 2D. 310.某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程4000400010x x--＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为 A. 每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成 B. 每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成 C. 每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成 D. 每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成11.如图所示，在PMN ∆中，36P ∠=︒，12PM PN ==，MQ 平分PMN ∠交PN 于点Q ，延长MN 至点G ，取NG NQ =，若MQ a =，则NG 的长是A. aB. 12a -C. 12a +D. 122a +12.如图，已知30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A 、…在射线ON 上，点1B 、2B 、3B 、…在射线OM 上，112A B A ∆、223A B A ∆、334A B A ∆…均为等边三角形，若11OA =，则889A B A ∆的边长为A16B. 64C. 128D. 256二、填空题(共6个小题，每题3分，共18分)13.生物学家发现一种病毒的长度约为0.0000603毫米，用科学记数法表示为____________毫米；14.m 的取值范围是__________15.若22x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是____________.16.已知实数x 、y 满足50x -+=，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是____________. 17.若分式方程122a xx x -=++的解是负数，则a 的取值范围是____________. 18.如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点D 是AC 的中点，直角EDF ∠的两边分别交AB 、BC 于点E 、F ，给出以下结论：①AE BF =；②12ABC BEDF S S ∆=四边形；③EF BD=；④BFE CDF ∠=∠；⑤DEF ∆是等腰直角三角形. 当EDF ∠在ABC ∆内绕顶点D 旋转时(点E 不与点A 、B 重合)，上述结论始终成立的有____________个.三、解答题(共8个小题，共66分)19.计算：1112-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.20.先化简，再求值：()()222553252x x x x x x x-+-⋅---，其中x =. 21.如图，ABC ∆三个顶点的坐标分别为()1,1A 、()4,2B 、()3,4C .(1)若111A B C ∆与ABC ∆关于y 轴成轴对称，则111A B C ∆三个顶点坐标分别1A _________，1B ____________，1C ____________；(2)若P 为x 轴上一点，则PA PB +的最小值为____________； (3)计算ABC ∆的面积.22.为了积极响应国家新农村建设，某市镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图，笔直公路MN 的一侧点A 处有一村庄，村庄A 到公路MN 的距离为800米，假使宣讲车P 周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P 在公路MN 上沿PN 方向行驶时：（1）请问村庄能否听到宣传，并说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是每分钟300米，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？23.如图，在等腰Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为BC 的中点，过点C 作CG AD ⊥于点G ，过点B 作FB CB ⊥于点B ，交CG 的延长线于点F ，连接DF 交AB 于点E .(1)求证：ACD CBF ∆≅∆； (2)求证：AB 垂直平分DF ；(3)连接AF ，试判断ACF ∆的形状，并说明理由.24.某公司举行周年庆典，决定订购一批印有公司logo 的记事本赠送给客户，购买甲种记事本共花费3000元，购买乙种记事本共花费2100元，购买甲种记事本的数量是购买乙种记事本数量的2倍，且购买一个乙种记事本比购买一个甲种记事本多花20元. (1)求购买一个甲种记事本，一个乙种记事本各需多少元？(2)由于公司业务的扩大，公司决定再次购买甲、乙两种记事本共40个，且乙种记事本不少于23个，预算金额不超过2400元，购买时恰逢该店对两种记事本的售价进行调整，甲种记事本售价比第一次购买时提高了10%，乙种记事本售价比第一次购买时降低了10%，请问该公司有哪几种方案购买这批记事本？25.阅读材料：(一)如果我们能找到两个实数x 、y 使x y a +=且xy b =，这样==为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”.1===+(二)在进行二次根式一样的式子，其实我们)()22212111⨯⨯===-，那么我们称这个过程为分式的分母有理化. 根据阅读材料解决下列问题：(1)=___________，②___________；(2)已知m =，n =m nm n-+的值； (3)b12b b+.26.如图(1)，在ABC ∆中，90C ∠=︒，20cm AC =，15cm BC =，若动点P 从点A 开始沿着A C B A→→→的路径运动，且速度为每秒2cm ，设点P 运动的时间为t 秒.(1)当3t =时，ABP ∆的面积是___________2cm ； (2)如图(2)当t 为何值时，AP 平分CAB ∠； (3)当t 为何值时，BCP ∆为等腰三角形.八年级上学期期末数学模拟试题解析版一、选择题(本题共12小题，每题3分，共36分)1.下面汉字的书写中，可以看做轴对称图形的是 A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】鹏、程、万都不是轴对称图形，里是轴对称图形，故选D ．【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2.下列根式中，不是最简二次根式的是B.C.【答案】C 【解析】 C2=，故不是最简的. 故答案是：C.3.下列分解因式正确的是 A. ()321x x x x -=-B. ()22442m m m ++=+C. ()()24416a a a +-=-D. ()()22x y x y x y +=+-【答案】B 【解析】【分析】利用平方差公式以及完全平方公式分别分解因式得出答案．【详解】A 、32(1)(1)(1)x x x x x x x -=-=+-，分解因式不彻底，故此选项错误； B 、()22442m m m ++=+，正确；C 、()()24416a a a +-=-，是整式的乘法，故此选项错误；D 、22xy +不能分解因式，故此选项错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 4.要使分式x 1x 4+-有意义，则x 的取值应满足 A. x ≠4B. x ≠﹣1C. x ＝4D. x ＝﹣1【答案】A 【解析】【分析】根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】由题意知x-4≠0，解得：x≠4，故选A ．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．5.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别是5、7、3、5，则最大的正方形E 的面积是A. 108B. 50C. 20D. 12【答案】C 【解析】【分析】根据勾股定理分别求出正方形G 的面积、正方形H 的面积，再根据勾股定理计算，得到答案．【详解】如图，由勾股定理可知，正方形G 的面积=正方形A 的面积+正方形B 的面积=12，正方形H 的面积=正方形C 的面积+正方形D 的面积=8， ∴正方形E 的面积=正方形G 的面积+正方形H 的面积=20，故选C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2． 6.下列各式正确的是A. 22a a b b=B.a ab b a b=+ C.a a cb b c+=+ D.2a ab b b = 【答案】D 【解析】分式的化简变形要遵循分式的基本性质：“在分式的分子和分母中，同时乘以（或除以）一个不为0的数（或整式），分式的值不变.”这一原则，由此可知A 、B 、C 都不一定成立，只有D 一定成立，故选D.7.如图所示，线段AC 的垂直平分线DE 交线段AB 于点D ，50A ∠=，则BDC ∠=A. 50B. 100C. 120D. 130【答案】B 【解析】【分析】根据“线段AC 的垂直平分线DE 交线段AB 于点D ，50A ∠=”，可得∠ECD=∠A=50°，又∠BDC 是△ACD 的外角，根据外角的性质即可得出答案. 【详解】∵线段AC 的垂直平分线DE 交线段AB 于点D ∴AD=CD ，∠AED=∠CED=90°又∵50A ∠= ∴∠ECD=∠A=50° ∵∠BDC 是△ACD 的外角 ∴∠BDC=100° 故答案选择B.【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和三角形的外角. 8.如果一个单项式与22a b -的积为3225a bc -，则这个单项式为A. 215acB. 15ac -C. 45acD. 254ac【答案】A 【解析】【分析】已知两个因式的积与其中一个因式，求另一个因式，用除法．根据单项式的除法法则计算即可得出结果．【详解】（3225a bc -）÷（-2a 2b ）=215ac ．故选A ．【点睛】本题考查了单项式的除法法则．单项式与单项式相除，把他们的系数分别相除，相同字母的幂分别相除，对于只在被除式里出现的字母，连同他的指数不变，作为商的一个因式．9.若实数x 、y ()21x y +-，则x y -的值为A. 1-B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】【分析】先由二次根式有意义的条件得出x=2，再代入等式求出y=-1，继而代入计算可得．【详解】由2020x x -≥-≥⎧⎨⎩，得x=2，将x=2代入原等式得（y+1）2=0，则y=-1，∴x-y=2-（-1）=3，故选D ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是补开方数大于等于零是解答此题的关键．10.某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程4000400010x x --＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为A. 每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成B. 每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成C. 每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成D. 每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成【答案】C【解析】【分析】由给定的分式方程，可找出缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成．此题得解．【详解】解：∵利用工作时间列出方程： 4000400020x 10x-=-， ∴缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成．故选C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，由列出的分式方程找出题干缺失的条件是解题的关键．11.如图所示，在PMN ∆中，36P ∠=︒，12PM PN ==，MQ 平分PMN ∠交PN 于点Q ，延长MN 至点G ，取NG NQ =，若MQ a =，则NG 的长是A. aB. 12a -C. 12a +D. 122a +【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】∵在△PMN 中，∠P=36°，∴∠PMN=∠PNM=72°，∵MQ 平分∠PMN ，∴∠PMQ=36°，∴∠P=∠PMQ ，∴PQ=QM ，∵NG=NQ ，∴∠G=∠NQG ，∵∠PNM=∠G+∠GQN=72°，∴∠G=∠GQN=36°，∴QN=NG ，∵PM=PN=12，MQ=a ，∴NG=QN=12-a ，故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解决本题的关键．12.如图，已知30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A 、…在射线ON 上，点1B 、2B 、3B 、…在射线OM 上，112A B A ∆、223A B A ∆、334A B A ∆…均为等边三角形，若11OA =，则889A B A ∆的边长为A. 16B. 64C. 128D. 256【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．【详解】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A8B8=27B1A2=27=128．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．二、填空题(共6个小题，每题3分，共18分)13.生物学家发现一种病毒的长度约为0.0000603毫米，用科学记数法表示为____________毫米；【答案】6.03×10-5．【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.0000603=6.03×10-5．故答案为：6.03×10-5．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．14.m 的取值范围是__________【答案】3m ≤【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，即可求m 的取值范围．【详解】解：根据题意得：3-m≥0，解得3m ≤．【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15.若22x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是____________.【答案】±2.【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．【详解】∵22x mxy y ++是一个完全平方式，∴m=±2，故答案为：±2.【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．16.已知实数x 、y满足50x -+=，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是____________.【答案】27【解析】【分析】利用非负数的性质求出x 、y ，再根据三角形的三边关系定理确定等腰三角形的三边即可解决问题．【详解】∵50x -+，又∵|x-0≥，∴x=5，y=11，以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长为11+11+5=27，∵5+5=10＜11，∴5，5，11不可能构成三角形．故答案为：27．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质、三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．17.若分式方程122a x x x -=++的解是负数，则a 的取值范围是____________. 【答案】a ＜2且a≠-2．【解析】【分析】直接解分式方程，进而得出a 的取值范围，注意分母不能为零．【详解】去分母得：a-x-2=x ，解得：x=22a -，∵分式方程122a x x x -=++的解是负数， ∴a-2＜0，解得：a ＜2，当x=22a -=-2时，a=-2，此时分式方程无解，故a ＜2且a≠-2．故答案为：a ＜2且a≠-2．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键．18.如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点D 是AC 的中点，直角EDF ∠的两边分别交AB 、BC 于点E 、F ，给出以下结论：①AE BF =；②12ABC BEDF S S ∆=四边形；③EF BD =；④BFE CDF ∠=∠；⑤DEF ∆是等腰直角三角形. 当EDF ∠在ABC ∆内绕顶点D 旋转时(点E 不与点A 、B 重合)，上述结论始终成立的有____________个.【答案】4【解析】【分析】由ED 垂直于FD ，BD 垂直于AC ，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ABC 为等腰直角三角形得到BD=CD ，且∠EBD=∠C=45°，利用ASA 得到三角形BED 与三角形CFD 全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等即可做出判断．【详解】∵ED ⊥FD ，BD ⊥AC ，∴∠BDE+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDC=90°，∴∠BDE=∠FDC ，∵B 、E 、D 、F 四点共圆，∴∠BFE=∠BDE ，∴∠BFE=∠CDF ，选项④正确；∵△ABC 为等腰直角三角形，BD ⊥AC ，∴∠EBD=∠C=45°，BD=CD ，在△BED 和△CFD 中，45EBD C BD CDBDE FDC ∠∠︒∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△BED ≌△CFD （ASA ），∴BE=CF ，∴AE=BF ，选项①正确；DE=DF ，∴△DEF 为等腰直角三角形，选项⑤正确；∴S 四边形BEDF =S △BED +S △BDF =S △CFD +S △BDF =S △BDC =12S △ABC ，选项②正确． ∵BD 是定值，EF 随DF 的变化而变化，只有当DF ⊥BC 时，EF=BD ，∴③不正确，∴上述结论中始终成立的有4个．故答案为：4．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质是本题的关键．三、解答题(共8个小题，共66分)19.计算：10112-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.【答案】1-【解析】【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简、绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】10112-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，=211⨯-=1-【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20.先化简，再求值：()()222553252x x x x x x x -+-⋅---，其中x =.【答案】2x -，【解析】【分析】先根据分式的混合运算的顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．【详解】原式(2)(5)53(5)(5)(2)x x x x x x x x-+-=⋅-+-- =13x x- =2x -，当x 时，原式== 【点睛】本题主要考查分式的混合运算-化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21.如图，ABC ∆三个顶点的坐标分别为()1,1A 、()4,2B 、()3,4C .(1)若111A B C ∆与ABC ∆关于y 轴成轴对称，则111A B C ∆三个顶点坐标分别为1A _________，1B ____________，1C ____________；(2)若P 为x 轴上一点，则PA PB +的最小值为____________；(3)计算ABC∆的面积.【答案】（1）作图见解析，A1（-1，1）、B1（-4，2）、C1（-3，4）；（2）（3）72.【解析】【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）作出点A的对称点，连接A'B，则A'B与x轴的交点即是点P的位置，则PA+PB的最小值=A′B，根据勾股定理即可得到结论；（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，由图知，A1的坐标为（-1，1）、B1的坐标为（-4，2）、C1的坐标为（-3，4）；（2）如图所示：作出点A的对称点，连接A'B，则A'B与x轴的交点即是点P的位置，则PA+PB的最小值=A′B，=，∴PA+PB的最小值为（3）△ABC的面积=1117 333112232222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=.【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径．22.为了积极响应国家新农村建设，某市镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为800米，假使宣讲车P 周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：（1）请问村庄能否听到宣传，并说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是每分钟300米，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？【答案】（1）村庄能听到宣传. 理由见解析；（2）村庄总共能听到4分钟的宣传．【解析】【分析】（1）根据题意村庄A 到公路MN 的距离为800米＜1000米，即可解答（2）假设当宣讲车行驶到P 点开始影响村庄，行驶Q 点结束对村庄的影响【详解】解：（1）村庄能听到宣传.理由：因为村庄A 到公路MN 的距离为800米＜1000米，所以村庄能听到宣传（2）如图，假设当宣讲车行驶到P 点开始影响村庄，行驶Q 点结束对村庄的影响，利用勾股定理进行计算即可解答则AP =AQ =1000米，AB =800米.∴BP =BQ =600米.∴PQ =1200米.、∴影响村庄的时间为：1200÷300=4（分钟）.∴村庄总共能听到4分钟的宣传．【点睛】此题考查解直角三角形，利用勾股定理进行计算是解题关键23.如图，在等腰Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为BC 的中点，过点C 作CG AD ⊥于点G ，过点B 作FB CB ⊥于点B ，交CG 的延长线于点F ，连接DF 交AB 于点E .∆≅∆；(1)求证：ACD CBF(2)求证：AB垂直平分DF；∆的形状，并说明理由.(3)连接AF，试判断ACF【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△ACF是等腰三角形，理由见解析. 【解析】【分析】（1）先由CG⊥AD得到∠AGC=90°，证得∠CAD=∠FCB，再由AC=BC，FB⊥BC，根据“ASA”即可得出结论；（2）由（1）△ACD≌△CBF，得出CD=BF，证得BD=BF，由△ABC是等腰直角三角形，得出∠DBE=45°，再证得∠DBE=∠FBE=45°，由“SAS”证出△DBE≌△FBE即可得出结论；（3）由△CBF≌△ACD，得出CF=AD，由AB垂直平分DF，得出AF=AD，证得CF=AF，即可得出结论．【详解】证明：（1）∵CG⊥AD，∴∠AGC=90°，∴∠GCA+∠CAD=90°，∵∠GCA+∠FCB=90°，∴∠CAD=∠FCB，∵FB⊥BC，∴∠CBF=90°，∵Rt△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠CBF=∠ACB，在△ACD和△CBF中CAD FCB AC BCACB CBF ∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝， ∴△ACD ≌△CBF （ASA ）；（2）∵△ACD ≌△CBF ，∴CD=BF ，∵D 为BC 的中点，∴CD=BD ，∴BD=BF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠DBE=45°，∵∠CBF=90°，∴∠DBE=∠FBE=45°，在△DBE 和△FBE 中BD BF DBE FBE BE BE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DBE ≌△FBE （SAS ），∴DE=FE ，∠DEB=∠FEB=90°，∴AB 垂直平分DF ；（3）△ACF 是等腰三角形，理由为：连接AF ，如图所示，由（1）知：△CBF ≌△ACD ，∴CF=AD ，由（2）知：AB 垂直平分DF ，∴AF=AD ，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键．24.某公司举行周年庆典，决定订购一批印有公司logo的记事本赠送给客户，购买甲种记事本共花费3000元，购买乙种记事本共花费2100元，购买甲种记事本的数量是购买乙种记事本数量的2倍，且购买一个乙种记事本比购买一个甲种记事本多花20元.(1)求购买一个甲种记事本，一个乙种记事本各需多少元？(2)由于公司业务的扩大，公司决定再次购买甲、乙两种记事本共40个，且乙种记事本不少于23个，预算金额不超过2400元，购买时恰逢该店对两种记事本的售价进行调整，甲种记事本售价比第一次购买时提高了10%，乙种记事本售价比第一次购买时降低了10%，请问该公司有哪几种方案购买这批记事本？【答案】（1）购买一个甲种记事本需要50元，购买一个乙种记事本需要70元．（2）该公司有三种购买方案：①购进甲种记事本17个，乙种记事本23个；②购进甲种记事本16个，乙种记事本24个；③购进甲种记事本15个，乙种记事本25个．【解析】【分析】（1）设购买一个甲种记事本需要x元，则购买一个乙种记事本需要（x+20）元，根据数量=总价÷单价结合用3000元购买甲种记事本的数量是用2100元购买乙种记事本数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该公司购进乙种记事本m个，则购进甲种记事本（40-m）个，根据总价=单价×数量结合预算金额不超过2400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出m的值，进而可找出各购买方案．【详解】（1）设购买一个甲种记事本需要x元，则购买一个乙种记事本需要（x+20）元，依题意，得：30002100220x x=⨯+，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，∴x+20=70．答：购买一个甲种记事本需要50元，购买一个乙种记事本需要70元．（2）设该公司购进乙种记事本m 个，则购进甲种记事本（40-m ）个，依题意，得：()()()2350110%4070110%2400m m m ≥⨯+-+⨯-≤⎧⎨⎩，解得：23≤m≤25．又∵m 为正整数，∴m=23，24或25，∴该公司有三种购买方案：①购进甲种记事本17个，乙种记事本23个；②购进甲种记事本16个，乙种记事本24个；③购进甲种记事本15个，乙种记事本25个．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．25.阅读材料：(一)如果我们能找到两个实数x 、y 使x y a +=且xy b =，这样==为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”.1===+(二)一样的式子，其实我们)()22212111⨯⨯===-，那么我们称这个过程为分式的分母有理化.根据阅读材料解决下列问题： (1)=___________，②___________；(2)已知m =，n=m n m n-+的值； (3)b12b b+. 【答案】，②2；（2）（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可；（2）先根据阅读材料（一）化简m 与n 的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可；（3b 的值，再证明即可．【详解】（12===2====-（2）m n ======Qm n ∴-==-，m n +==m n m n -∴==+；（36===12<<Q21∴-<<-2b ∴=-122(2426b b ∴+=+=-=12b b=+ 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，二次根式的性质与化简，考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，弄懂题意，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键．26.如图(1)，在ABC ∆中，90C ∠=︒，20cm AC =，15cm BC =，若动点P 从点A 开始沿着A C B A →→→的路径运动，且速度为每秒2cm ，设点P 运动的时间为t 秒.(1)当3t =时，ABP ∆的面积是___________2cm ；(2)如图(2)当t 为何值时，AP 平分CAB ∠；(3)当t 为何值时，BCP ∆为等腰三角形.【答案】（1）45；（2）403；（3）t=2.5秒或25或26.5或23.75. 【解析】【分析】（1）当t=3时，求出AP 的长，再根据三角形面积公式即可得出结果；（2）作PD ⊥AB 于D ，由勾股定理求出AB 的长，由角平分线性质得出PD=PC=2t-20（cm ），AD=AC=20cm ，求出BD 的长，得出PB=BC-PC=35-2t （cm ），在Rt △PBD 中，由勾股定理求出t 的值即可；（3）由于点P 是动点，故应分点P 在AC 上与AB 上两种情况进行讨论，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质即可得出结果．【详解】（1）当t=3时，AP=2×3=6（cm ），△ABP 的面积=12AP×BC=12×6×15=45（cm 2）；故答案为：45cm 2；（2）作PD ⊥AB 于D ，如图2所示：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，∴25=（cm），∵AP平分∠CAB，∴PD=PC=2t-20（cm），AD=AC=20cm，∴BD=AB-AD=5cm，∴PB=BC-PC=15-（2t-20）=35-2t（cm），在Rt△PBD中，由勾股定理得：BD2+PD2=PB2，即52+（2t-20）2=（35-2t）2，解得：t=403，∴当t为403时，AP平分∠CAB；（3）当点P在AC上时，CP=CB=15cm，∴AP=AC-CP=5cm，∴t=2.5秒；当点P AB上时，分三种情况：若BP=BC=15cm，t=（20+15+15）÷2=25（秒）；若CP=BC=15cm，作CM⊥AB，则BM=PM，∵∠B=∠B ，∠BMC=∠BCA ，∴△ABC ∽△CBM ， ∴AB BC AC BC BM CM ==，即25152015BM CM==，解得：CM=12cm ，BM=9cm ，∴PB=2BM=18cm ，∴t=（20+15+18）÷2=26.5（秒）；若PC=PB ，则∠B=∠BCP ，∵∠B+∠A=90°，∠BCP+∠ACP=90°，∴∠A=∠ACP ，∴AP=CP=BP=12AB=12.5cm ， ∴t=（20+15+12.5）÷2=23.75（秒）；综上所述，当t=2.5秒或25或26.5或23.75秒时，△BCP 为等腰三角形．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解。

雅礼期末考试数学试卷初二

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，是质数的是（）A. 15B. 21C. 17D. 142. 下列各式中，正确的是（）A. 5x + 3y = 8x - 2yB. 2x + 3y = 5x - 2yC. 3x - 2y = 4x + 3yD. 4x + 2y = 3x - 3y3. 下列各式中，完全平方公式正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^24. 下列各式中，正确的是（）A. 5x^2 - 4x + 1 = (5x - 1)^2B. 4x^2 - 6x + 1 = (2x - 1)^2C. 3x^2 - 2x + 1 = (3x - 1)^2D. 2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)^25. 下列各式中，正确的是（）A. 3x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2B. 4x^2 - 6x + 1 = (2x - 1)^2C. 2x^2 - 3x + 1 = (x - 1)^2D. 5x^2 - 4x + 1 = (x - 1)^26. 下列各式中，正确的是（）A. 5x^2 - 4x + 1 = (x - 1)^2B. 4x^2 - 6x + 1 = (2x - 1)^2C. 3x^2 - 2x + 1 = (3x - 1)^2D. 2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)^27. 下列各式中，正确的是（）A. 5x^2 - 4x + 1 = (x - 1)^2B. 4x^2 - 6x + 1 = (2x - 1)^2C. 3x^2 - 2x + 1 = (3x - 1)^2D. 2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)^28. 下列各式中，正确的是（）A. 5x^2 - 4x + 1 = (x - 1)^2B. 4x^2 - 6x + 1 = (2x - 1)^2C. 3x^2 - 2x + 1 = (3x - 1)^2D. 2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)^2二、填空题（每题5分，共50分）9. 若x = 2，则x^2 - 3x + 2的值为______。

湖南省长沙雅礼集团2024届八年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

湖南省长沙雅礼集团2024届八年级数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下表，则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（）年龄（岁） 12 13 14 15 16 人数 3 12 5 1 A ．15岁和14岁B ．15岁和15岁C ．15岁和14.5岁D ．14岁和15岁 2．已知函数y kx b =+的部分函数值如下表所示，则该函数的图象不经过( )x …-2 -1 0 1 ... y 03 6 9 … A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．如图，点P 是∠AOB 平分线I 上一点，PD ⊥OB ，垂足为D ，若PD ＝3，则点P 到边OA 的距离是（）A 3B ．2C ．3D ．44．下列各数，准确数是( )A ．小亮同学的身高是1.72mB ．小明同学买了6支铅笔C ．教室的面积是260mD ．小兰在菜市场买了3斤西红柿5．下列计算正确的是（）A ．224a a a +=B ．248a a a •=C ．352()a a =D ．624a a a ÷= 6．在△ABC 中，∠C =100°，∠B =40°，则∠A 的度数为（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°7．点P （－5，4）到y 轴的距离是（）A ．5B ．4C ．－5D ．3 8．已知是正比例函数，则m 的值是( ) A ．8 B ．4 C ．±3 D ．39．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC 的依据是（）A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．SAS10．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于( )A ．80°B ．70°C ．60°D ．50°二、填空题(每小题3分,共24分)11．一个n 边形的内角和为1080°，则n=________. 12．（-2a-3b ）(2a-3b)=__________．13．已知ABC ∆中，3AB =，8AC =，BC 长为奇数，那么三角形ABC 的周长是__________．14．如图，已知△ABC 是等边三角形，D 是AC 边上的任意一点，点B ，C ，E 在同一条直线上，且CE ＝CD ，则∠E ＝_____度．15．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．16．一个容器由上下竖直放置的两个圆柱体A ，B 连接而成，向该容器内匀速注水，容器内水面的高度h(厘米)与注水时间t(分钟)的函数关系如图所示，若上面A 圆柱体的底面积是10厘米2，下面B 圆柱体的底面积是50厘米2，则每分钟向容器内注水________厘米1．17．如图，△ABC 中，5BC =，AB 边的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，AC 边的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F 、G ，则△AEG 周长为____．18．已知方程2x 2n ﹣1﹣3y 3m﹣n+1=0是二元一次方程，则m=_____，n=_____．三、解答题(共66分) 19．（10分）化简：2344111x x x x x -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，请选择一个绝对值不大于2的整数，作为x 的值代入并求值. 20．（6分）求证：有两个角和其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．21．（6分）已知22211xy y A y x x y x y ⎛⎫-=÷- ⎪--+⎝⎭．（1）化简A ；（2）当2213,6x y xy +==-时，求A 的值；（3）若20x y y -+=，A 的值是否存在，若存在，求出A 的值，若不存在，说明理由．22．（8分）如图，已知△ABC 的顶点分别为A (－2，2)、B (－4，5)、C (－5，1)和直线m （直线m 上各点的横坐标都为1）．（1）作出△ABC 关于x 轴对称的图形111A B C ∆，并写出点1A 的坐标；（2）作出点C 关于直线m 对称的点2C ，并写出点2C 的坐标；（3）在x 轴上画出点P ，使PA ＋PC 最小．23．（8分）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地.两人之间的距离y （米）与时间t （分钟）之间的函数关系如图所示.（1）根据图象信息，当t=________分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为________米/分钟；（2）求出线段AB 所表示的函数表达式.24．（8分）如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB 和OCD 叠放在一起，并且有公共的直角顶点O .（1）在图1中，你发现线段AC BD 、的数量关系是______．直线AC BD 、相交成_____度角．（2）将图1中OAB ∆绕点O 顺时针旋转90°，连接AC BD 、得到图2，这时（1）中的两个结论是否成立？请作出判断说明理由．25．（10分）阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：a b c ++，abc ，22a b +，…含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是+a b 和ab ，像22a b +，()()22a b ++等对称式都可以用+a b ，ab 表示，例如：()222=2-++a b a b ab ．请根据以上材料解决下列问题：(1)式子：①22a b ，②22a b -，③11a b +，④22a b ab +中，属于对称式的是 (填序号) (2)已知()()2=++++x a x b x mx n ．①若=2=4，-m n ，求对称式22a b +的值②若4＝-n ，求对称式b a a b+的最大值 26．（10分）父亲两次将100斤粮食分给兄弟俩，第一次分给哥哥的粮食等于第二次分给弟弟的2倍，第二次分给哥哥的粮食是第一次分给弟弟的3倍，求两次分粮食中，哥哥、弟弟各分到多少粮食？参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据众数和中位数的定义判断即可.【题目详解】解:该组数据中数量最多的是15,所以众数为15;将该组数据从小到大排列:12,12,12,13,14,14,15,15,15,15,15,16其中位数为1415=14.52+.故选:C.【题目点拨】本题主要考查数据统计中众数与中位数的定义,理解掌握定义是解答关键.2、D【解题分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y=3x+1的图象经过第一、二、三象限，此题得解．【题目详解】解：将（-2，0），（-1，3）代入y=kx+b，得：203k bk b-+=⎧⎨-+=⎩，解得：36 kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y=3x+1．∵3＞0，1＞0，∴一次函数y=3x+1的图象经过第一、二、三象限．故选：D．【题目点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象与系数的关系，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．3、C【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．【题目详解】作PE⊥OA于E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=3，故选C．【题目点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．4、B【解题分析】根据准确数与近似数的概念逐一判断即可．【题目详解】解：A 、小亮同学的身高是1.72m ，是近似数，故A 错误；B 、小明同学买了6支铅笔，是准确数，故B 正确；C 、教室的面积是260m ，是近似数，故C 错误；D 、小兰在菜市场买了3斤西红柿，是近似数，故D 错误；故答案为：B ．【题目点拨】本题考查了准确数与近似数的概念，掌握并理解基本概念是解题的关键．5、D【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除运算可进行排除选项．【题目详解】A 、22242a a a a +=≠，故错误；B 、2468a a a a ⋅=≠，故错误；C 、6523()a a a =≠，故错误；D 、624a a a ÷=，故正确；故选D ．【题目点拨】本题主要考查合并同类项及同底数幂的乘除运算，熟练掌握合并同类项及同底数幂的乘除运算是解题的关键． 6、B【分析】直接根据三角形内角和定理解答即可．【题目详解】解：ABC ∆中，40B ∠=︒，100C ， 1801804010040A B C ．故选：B ．【题目点拨】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180︒是解答此题的关键．7、A【分析】根据一个点到y 轴的距离即为横坐标的绝对值即可得出答案.【题目详解】点P （－5，4）到y 轴的距离为55-=故选：A.【题目点拨】本题主要考查点到坐标轴的距离，掌握点到坐标轴的距离的计算方法是解题的关键.8、D【解题分析】直接利用正比例函数的定义分析得出即可．【题目详解】∵y ＝(m +2)x m 2﹣8是正比例函数，∴m 2﹣8＝2且m +2≠0，解得m ＝2．故选：D ．【题目点拨】考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y ＝kx 的定义条件是：k 为常数且k ≠0，自变量次数为2．9、A【分析】连接NC ，MC ，根据SSS 证△ONC ≌△OMC ，即可推出答案．【题目详解】解：连接NC ，MC ，在△ONC 和△OMC 中，0OM ON NC MC OC C =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ONC ≌△OMC （SSS ），∴∠AOC=∠BOC ，故选A ．【题目点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中． 10、C【分析】根据在△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°求出∠ABC 的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE ，即∠A=∠ABE=20°即可得出答案.【题目详解】在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，所以∠ABC=80°，因为DE垂直平分AB，所以AE=BE，所以∠ABE=∠A=20°,所以∠CBE=80°－20°=60°,所以答案选C.【题目点拨】本题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质．关键是熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.二、填空题(每小题3分,共24分)11、1n-⋅︒计算即可求解.【分析】直接根据内角和公式()2180【题目详解】（n﹣2）•110°=1010°，解得n=1．故答案为1．【题目点拨】n-⋅︒.主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：()218012、9b1-4a1【分析】根据平方差公式：（a-b）(a+b)= a1-b1计算即可．【题目详解】解：（-1a-3b）(1a-3b)=（-3b -1a）(-3b+ 1a)=（-3b）1-（1a）1=9b1-4a1故答案为：9b1-4a1．【题目点拨】此题考查的是平方差公式，掌握平方差公式是解决此题的关键．13、18或20【分析】根据三角形三边关系定理得到第三边的范围，再根据BC为奇数和取值范围确定三角形ABC的周长即可．【题目详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜BC＜8+3，即：5＜BC＜11，∵BC为奇数，∴BC的长为7或9，∴三角形ABC的周长为18或20.故答案为：18或20.【题目点拨】本题主要考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理即三角形任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边．14、1．【分析】根据等边三角形的性质得出∠ACB ＝60°，然后根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可求得∠E ．【题目详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，∵CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE ，∵∠ACB ＝∠E +∠CDE ，∴∠E ＝12ACB ∠＝1°，故答案为1．【题目点拨】本题考查等边三角形的性质,关键在于牢记基础知识,通过题目找到关键性质.15、30°【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．【题目详解】解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∠BEA =∠BDA ，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC ，∴BE=BC ，∴△EBC 是等边三角形，∴∠BEC =60°，EB=EC ，又∵AB=AC ，EA=EA ，∴△AEB ≌△AEC （SSS ），∴∠BEA =∠CEA =1302BEC ∠=︒， ∴∠ADB =30°．【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D 关于直线AB 的对称点E ，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．16、2【分析】设每分钟向容器内注水a 厘米1，圆柱体A 的高度为h ，根据10分钟注满圆柱体A ；再用9分钟容器全部注满，容器的高度为10，即可求解．【题目详解】解：设每分钟向容器内注水a 厘米1，圆柱体A 的高度为h ，由题意得由题意得：()105030109a h h a =⎧⎨-=⎩，解得：a=2，h=4，故答案为：2．【题目点拨】主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．17、1．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE ，AG=GC ，据此计算即可．【题目详解】解：∵ED ，GF 分别是AB ，AC 的垂直平分线，∴AE=BE ，AG=GC ，∴△AEG 的周长为AE+AG+EG=BE+CG+EG=BC=1．故答案是：1．【题目点拨】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握性质是解题关键．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．18、131 【分析】含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数是都是1的方程是二元一次方程，根据定义解答即可.【题目详解】由题意得：2n-1=1，3m-n+1=1，解得n=1，13m = ，故答案为：13，1 . 【题目点拨】此题考查二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键.三、解答题(共66分)19、22x x +--；1 【分析】先根据分式的运算法则将所给代数式化简，然后选一个绝对值不大于2且使分式有意义的整数代入计算即可. 【题目详解】2344111x x x x x -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭=23(1)(1)11(2)x x x x x --++⨯+- =2(2)(2)11(2)x x x x x +-+⨯+- =22x x +--， x=0符合题意，则当x=0时，原式=0202+--=1. 【题目点拨】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．20、见解析【分析】将原命题写出已知和求证，然后进行证明，根据角平分线定义可得∠ABD=∠A′B′D′=12∠ABC ，然后证明△ABD ≌△A′B′D′可得A B=A′B′，再证明△ABC ≌△A′B′C′即可．【题目详解】已知：△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A'，∠ABC=∠A'B′C′，∠ABC 、∠A'B′C′的角平分线BD=B′D′，求证：△ABC ≌△A′B′C′．证明：∵∠ABC=∠A'B′C′且∠ABC 、∠A'B′C′的角平分线分别为BD 和B′D′，∴∠ABD=∠A′B′D′=12∠ABC ， ∵在△ABD 和△A′B′D′中''''''A A ABD A B D BD B D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△A′B′D′（AAS ），∴AB=A′B′，在△ABC 和△A′B′C′中''''''A A AB A B ABC A B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△A′B′C′（ASA ）．【题目点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．21、（1）2x y --；（2）A=52-或52；（3）不存在，理由见详解. 【分析】（1）先把括号里面的通分，再计算整式除法即可；（2）利用完全平方公式，求出x-y 的值，代入化简后的A 中，求值即可；（3）利用非负数的和为0，确定x 、y 的关系，把x 、y 代入A 的分母，判断A 的值是否存在．【题目详解】解：（1）22211xy y A y x x y x y ⎛⎫-=÷- ⎪--+⎝⎭ =()()()()()y x y x y x y y x y x x y x y-+-⨯-++-+ =()()()()()2y x y x y x y x y x y y-+--⨯-+ =2x y --；（2）∵x 2+y 2=13，xy=-6∴（x-y ）2=x 2-2xy+y 2=13+12=25∴x-y=±5，当x-y=5时，A=52-；当x-y=-5时，A=52．（3）∵20x y y -++=， ∴x-y=0，y+2=0当x-y=0时，A 的分母为0，分式没有意义．∴当20x y y -++=时，A 的值不存在.【题目点拨】本题考查了分式的加减乘除运算、完全平方公式、非负数的和及分式有无意义的条件．题目综合性较强．初中阶段学过的非负数有：a 的偶次幂，a （a ≥0）的偶次方根，a|的绝对值．22、 (1)图见解析，A （-2，-2）；(2)图见解析，C 2（7,1）；(3)图见解析【分析】（1）根据轴对称关系确定点A 1、B 1、C 1的坐标，顺次连线即可；（2）根据轴对称的性质解答即可；（3）连接AC 1，与x 轴交点即为点P .【题目详解】（1）如图，A 1（-2，-2）；（2）如图，C 2的坐标为（7,1）；（3）连接AC1，与x轴交点即为所求点P.【题目点拨】此题考查轴对称的性质，利用轴对称关系作图，确定直角坐标系中点的坐标，最短路径问题作图，正确理解轴对称的性质是解题的关键.23、（1）24；40；（2）线段AB的表达式为：y=40t（40≤t≤60）【解题分析】分析：（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度=路程÷时间可得甲的速度；（2）由t=24分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，用A点的横坐标乘以甲的速度得出A点的纵坐标，再将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段AB所表示的函数表达式．详解：（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400÷60=40米/分钟．（2）∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t=24分钟时甲乙两人相遇，∴甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，∴乙的速度为100-40=60米/分钟．乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40分钟，40×40=1600，∴A点的坐标为（40，1600）．设线段AB所表示的函数表达式为y=kt+b，∵A（40，1600），B（60，2400），∴401600602400k bk b+⎧⎨+⎩＝＝，解得40kb⎧⎨⎩＝＝，∴线段AB所表示的函数表达式为y=40t（40≤t≤60）．点睛：本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．24、(1)AC=BD，直线相交成90°；(2)结论成立,详见解析.【分析】(1)由图可知线段AC，BD相等，且直线AC，BD相交成90°角.(2)以上关系仍成立.延长CA交BD于点E，根据勾股定理可证得AC=BD，即可证明△AOC≌△BOD，根据两全等三角形对应角的关系，即可证明CE⊥BD.【题目详解】(1)因为∆OAB和△OCD是等腰直角三角形,所以OC=OD,OA=OB,∠O=90°所以OC-OA=OD-OB,所以AC=BD，直线AC BD、相交成90°；(2)(1)中的两个结论仍然成立，理由如下：∵∆OAB和∆OCD都是等腰直角三角形∴OA=OB,OC=OD，∠COD=∠AOB=90°∴△AOC≌△BOD∴AC=BD,∠ACO=∠BDO延长CA交BD于点E.∵∠DBO+∠BDO=90°∴∠DBO+∠ACO=90°∴∠CEB=90°即：直线AC，BD相交成90度角.【题目点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，涉及到等腰直角三角形的性质、旋转的相关知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.25、（1）①③④；（1）①11，②-1．【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择，（1）已知2()()x a x b x mx n ++=++．则m a b =+，n ab =，①2m =，4n =，利用整式变形可求出22a b +的值； ②4n =-时，即4ab =-，由2222()284b a a b a b ab m a b ab ab ++-++===-可以求出b a a b+的最大值；【题目详解】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”，故答案为：①③④，（1）①2()()x a x b x mx n ++=++．m a b ∴=+，n ab =，①当2m =，4n =-时，即2a b ∴+=，4ab =-，222()24812a b a b ab ∴+=+-=+=，②当4n =-时，即4ab =-22222()28=244a b ab b a a b m m a b ab ab +-+++===---，所以当m=0时，224m --有最大值-1，故代数式b a a b+的最大值为2-．【题目点拨】本题考查“新定义”的意义、整式、分式的变形以及求代数式的最值的等知识，理解“新定义”的意义和最值的意义是解决问题的关键．26、第一次，哥哥分到80斤，弟弟分到20斤，第二次，哥哥分到60斤，弟弟分到40斤【分析】设哥哥第一次分到粮食为x 斤，弟弟第二次分到的粮食为y 斤，根据题中给出已知条件，找到等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可求解．【题目详解】设哥哥第一次分到粮食为x 斤，弟弟第二次分到的粮食为y 斤，依题意得： 21003(100)x y y x =⎧⎨-=-⎩ 解得8040x y =⎧⎨=⎩第一次弟弟分到：1008020-=（斤）第二次哥哥分到：1004060-=（斤）∴第一次，哥哥分到80斤，弟弟分到20斤，第二次，哥哥分到60斤，弟弟分到40斤故答案为：第一次，哥哥分到80斤，弟弟分到20斤，第二次，哥哥分到60斤，弟弟分到40斤．【题目点拨】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找到题中等量关系列出方程组是解题的关键．。

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2019-2020学年湖南省长沙市雅礼八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题3分，共36分）1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（x3）3=x6C．x5+x5=x10D．（﹣x）6÷x2=x43．（3分）已知x﹣y=2，xy=3，则x2y﹣xy2的值为（）A．2B．3C．5D．64．（3分）若a、b、c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）2=c2﹣2ab，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形5．（3分）若把分式的x、y同时扩大10倍，则分式的值（）A．扩大10倍B．缩小10倍C．不变D．缩小2倍6．（3分）下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别相等B．一组对边平行且相等C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线互相平分7．（3分）计算： =（）A．a B．C．D．8．（3分）若=a﹣2，则a与2的大小关系是（）A．a=2B．a＞2C．a≤2D．a≥29．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是12，BC=4，则AC的长是（）A．8B．10C．12D．1610．（3分）顺次连接矩形的四边形中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形11．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AD=8，AB=6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．512．（3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB =S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（每题3分，共18分）13．（3分）使分式有意义的x的取值范围是．14．（3分）若，则xy的立方根为．15．（3分）因式分解：2m2﹣8n2= ．16．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6cm，AD平分∠BAC，E是AC的中点，则DE的长度为cm．17．（3分）如图，在▱ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为10，AB=4，那么对角线AC+BD= ．18．（3分）如图，∠AOB=90°，OA=25m，OB=5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是m．三、计算题（19、20题每题6分，21、22题每题8分）19．（6分）计算：（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）20．（6分）计算：|1﹣|+（π+1）0+21．（8分）先化简，再化简：，请你从﹣2＜a＜2的整数解中选取一个合适的数代入求值．22．（8分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB=60°，AF是∠DAB的平分线，若AD=3，求DC的长度．四、解答题（每题9分，共18分）23．（9分）位迎接2019-2020国庆长假，长沙某商家用1200元购进一批多肉盆栽，很快售完，接着又用了1800购进第二批多肉盆栽，已知两批盆栽的数量相等，且第一批盆栽的单价比第二批的单价少5元．（1）这两批多肉盆栽的单价各是多少元？（2）第一批盆栽以20元每盆售出后，若想两批所得的利润不低于50%，则第二批的盆栽每盆售价最少应该为多少元？24．（9分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥BD交BA的延长线于点E．（1）当▱ABCD是菱形时，证明：AE=AB；（2）当▱ABCD是矩形时，设∠E=α，问：∠E与∠DOA满足什么数量关系？写出结论并说明理由．五、探究题（每题10分，共20分）25．（10分）我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y=4，求点A的坐标；（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．①不管t为何值，E点总是“完美点”；②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是平行四边形，已知点C在x轴正半轴上，连接AC．（1）若点A、C的坐标分别为（1，2）、，求B点坐标和平行四边形的面积．（2）若点A的坐标为（3，4），当OA=OC时，点D在线段上，且DC=1，问：在线段AC 上是否存在一点P，使OP+PD值最小？若存在，求出OP+PD的最小值；若不存在，请说明理由；（3）在（1）的条件下，将△ABC沿AC翻折得到△AB’C，AB’交OC于点Q，若CO恰好平分∠ACB’，求的值．2019-2020学年湖南省长沙市雅礼八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共36分）1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选：A．【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．（x3）3=x6C．x5+x5=x10D．（﹣x）6÷x2=x4【分析】根据同底数幂的乘法、除法法则、合并同类项法则、幂的乘方法则计算，判断即可．【解答】解：a2•a3=a5，A错误；（x3）3=x9，B错误；x5+x5=2x5，C错误；（﹣x）6÷x2=x4，D正确，故选：D．【点评】本题考查的是同底数幂的乘法、除法、合并同类项、幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．3．（3分）已知x﹣y=2，xy=3，则x2y﹣xy2的值为（）A．2B．3C．5D．6【分析】首先分解x2y﹣xy2，再代入x﹣y=2，xy=3即可．【解答】解：x2y﹣xy2=xy（x﹣y）=3×2=6，故选：D．【点评】此题主要考查了提公因式分解因式，关键是正确确定公因式．4．（3分）若a、b、c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）2=c2﹣2ab，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】根据题意，利用完全平方公式展开求得a、b、c之间的关系，从而可以解答本题．【解答】解：∵（a﹣b）2=c2﹣2ab，∴a2+b2﹣2ab=c2﹣2ab，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，故选：B．【点评】此题主要考查了完全平方公式，合并同类项，勾股定理的逆定理，掌握完全平方公式是解本题的关键．5．（3分）若把分式的x、y同时扩大10倍，则分式的值（）A．扩大10倍B．缩小10倍C．不变D．缩小2倍【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：原式==，故选：C．【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．6．（3分）下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别相等B．一组对边平行且相等C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线互相平分【分析】直接根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确；C、一组对边平行，另一组对边相等不能判定是平行四边形，错误；D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．7．（3分）计算： =（）A．a B．C．D．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=•=故选：D．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．8．（3分）若=a﹣2，则a与2的大小关系是（）A．a=2B．a＞2C．a≤2D．a≥2【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a﹣2≥0，∴a≥2，故选：D．【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．9．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是12，BC=4，则AC的长是（）A．8B．10C．12D．16【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，进而根据等腰三角形的性质可得出结论．【解答】解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD．∵△BCD的周长是12，BC=4，∴AB=BD+CD=12﹣4=8，∵AB=AC，∴AC=8．故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．10．（3分）顺次连接矩形的四边形中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【解答】解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：C．【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．11．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AD=8，AB=6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】求出AC的长度；证明EF=EB（设为λ），得到CE=8﹣λ；列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，DC=AB=6；由勾股定理得：AC2=AD2+DC2，∴AC=10；由题意得：∠AFE=∠B=90°，AF=AB=6；EF=EB（设为λ），∴CF=10﹣6=4，CE=8﹣λ；由勾股定理得：（8﹣λ）2=λ2+42，解得：λ=3，∴EF=3．故选：B．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答12．（3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB =S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠DAE，然后证明∠ABF+∠BAO=90°，再得到∠AOB=90°，从而得出AE⊥BF，判断②正确；假设AO=OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE＞BC，即BE＞AB，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF =S△ADE，然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确．【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，∵CE=DF，∴AD﹣DF=CD﹣CE，即AF=DE，在△ABF 和△DAE 中，，∴△ABF ≌△DAE （SAS ），∴AE=BF ，故①正确；∠ABF=∠DAE ，∵∠DAE+∠BAO=90°，∴∠ABF+∠BAO=90°，在△ABO 中，∠AOB=180°﹣（∠ABF+∠BAO ）=180°﹣90°=90°，∴AE ⊥BF ，故②正确；假设AO=OE ，∵AE ⊥BF （已证），∴AB=BE （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt △BCE 中，BE ＞BC ，∴AB ＞BC ，这与正方形的边长AB=BC 相矛盾，所以，假设不成立，AO ≠OE ，故③错误；∵△ABF ≌△DAE ，∴S △ABF =S △DAE ，∴S △ABF ﹣S △AOF =S △DAE ﹣S △AOF ，即S △AOB =S 四边形DEOF ，故④正确；综上所述，错误的有③．故选：B ．【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ABF 和△DAE 全等是解题的关键，也是本题的突破口．二、填空题（每题3分，共18分）13．（3分）使分式有意义的x 的取值范围是 x ≠﹣3 ．【分析】分式有意义的条件是分母不为0．【解答】解：若分式有意义，则x+3≠0，解得：x≠﹣3．故答案为x≠﹣3．【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．14．（3分）若，则xy的立方根为﹣2 ．【分析】根据绝对值的非负性求出x、y的值，求出xy的值，再根据立方根定义求出即可．【解答】解：，x+2=0，4﹣y=0，x=﹣2，y=4，xy=﹣8，所以xy的立方根是=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了立方根和绝对值的性质，能根据绝对值的非负性求出x、y的值是解此题的关键．15．（3分）因式分解：2m2﹣8n2= 2（m+2n）（m﹣2n）．【分析】根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系数的最大公约数2，进一步发现提公因式后，可以用平方差公式继续分解．【解答】解：2m2﹣8n2，=2（m2﹣4n2），=2（m+2n）（m﹣2n）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，因式分解一定要进行到每个因式不能再分解为止．16．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6cm，AD平分∠BAC，E是AC的中点，则DE的长度为 3 cm．【分析】利用三角形的中位线定理即可解决问题；【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=DC，∵AE=EC，∴DE=AB=3cm，故答案为3．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（3分）如图，在▱ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为10，AB=4，那么对角线AC+BD= 12 ．【分析】△AOB的周长为10，则AO+BO+AB=10，又AB=4，所以OA+OB=6，根据平行四边形的性质，即可求解．【解答】解：因为△AOB的周长为10，AB=4，所以OA+OB=6；又因为平行四边形的对角线互相平分，所以AC+BD=12．故答案为12．【点评】此题主要考查平行四边形的对角线互相平分．在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．18．（3分）如图，∠AOB=90°，OA=25m，OB=5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是13 m．【分析】设BC=xm，根据题意用x表示出AC和OC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设BC=xm，则AC=xm，OC=（25﹣x）m，由勾股定理得，BC2=OB2+OC2，即x2=52+（25﹣x）2，解得x=13．答：机器人行走的路程BC是13m．故答案为：13【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．三、计算题（19、20题每题6分，21、22题每题8分）19．（6分）计算：（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案．【解答】解：（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）=4a2+4ab+b2﹣4a2+b2=2b2+4ab．【点评】此题主要考查了公式法的应用，正确应用公式是解题关键．20．（6分）计算：|1﹣|+（π+1）0+【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：原式=﹣1+1+2=3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21．（8分）先化简，再化简：，请你从﹣2＜a＜2的整数解中选取一个合适的数代入求值．【分析】根据分式的减法阿和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2＜a＜2中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：===，当a=1时，原式==2．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．（8分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB=60°，AF是∠DAB的平分线，若AD=3，求DC的长度．【分析】（1）由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE⊥AB，可得结论（2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度，则可得BF的长度，即可求CD的长度．【解答】证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB，DC=AB∵CF=AE∴DF=BE且DC∥AB∴四边形DFBE是平行四边形又∵DE⊥AB∴四边形DFBE是矩形；（2）∵∠DAB=60°，AD=3，DE⊥AB∴AE=，DE=AE=∵四边形DFBE是矩形∴BF=DE=∵AF平分∠DAB∴∠FAB=∠DAB=30°，且BF⊥AB∴AB=BF=∴CD=【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．四、解答题（每题9分，共18分）23．（9分）位迎接2019-2020国庆长假，长沙某商家用1200元购进一批多肉盆栽，很快售完，接着又用了1800购进第二批多肉盆栽，已知两批盆栽的数量相等，且第一批盆栽的单价比第二批的单价少5元．（1）这两批多肉盆栽的单价各是多少元？（2）第一批盆栽以20元每盆售出后，若想两批所得的利润不低于50%，则第二批的盆栽每盆售价最少应该为多少元？【分析】（1）设第一批多肉盆栽的单价是x元，根据两批盆栽的数量相等，且第一批盆栽的单价比第二批的单价少5元，列出方程，求出x的值即可得出答案；（2）设第二批的盆栽每盆售价应该为y元，根据两批所得的利润不低于50%和利润率=×100%，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设第一批多肉盆栽的单价是x元，依题意有=，解得x=10，经检验，x=20是原方程的解，10+5=15（元）．答：第一批多肉盆栽的单价是10元，第二批多肉盆栽的单价是15元；（2）设第二批的盆栽每盆售价应该为y元，根据题意得：（y﹣10）+（y﹣15）≥50%×（1200+1800），解得：y≥18.75，答：第二批的盆栽每盆售价最少应该为18.75元．【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，关键是根据价格做为等量关系列出方程，根据利润做为不等量关系列出不等式求解．24．（9分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥BD交BA的延长线于点E．（1）当▱ABCD是菱形时，证明：AE=AB；（2）当▱ABCD是矩形时，设∠E=α，问：∠E与∠DOA满足什么数量关系？写出结论并说明理由．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形可得AC⊥BD，AB=CD，根据DE⊥BD，可证四边形ACDE 是平行四边形，可证得结论．（2）由题意可得∠DOA=2∠OBA，∠E=90°﹣∠OBA，即可求∠E与∠DOA的数量关系．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，AB=CD；∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，且CD∥AB，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD且AB=CD，∴AE=AB；（2）∠E=90°﹣，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO，∴∠OBA=∠OAB；∵DE⊥BD，∠DOA=∠OBA+∠OAB，∴∠E=90°﹣∠OBA，∠DOA=2∠OBA，∴∠E=90°﹣．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．五、探究题（每题10分，共20分）25．（10分）我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y=4，求点A的坐标；（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．①不管t为何值，E点总是“完美点”；②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．【分析】（1）根据“完美点”定义可求点A坐标；（2）①由题意可求直线OB的解析式y=x，点E在直线OB上移动，则可证结论；②根据题意可证△EFQ≌△APE，可求PE=FQ，则可求四边形AFQP的面积．【解答】解（1）∵点A（x，y）是“完美点”∴x=y∵x+y=4∴x=2，y=2∴A点坐标（2，2）（2）①∵四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），∴AO=AB=BC=4∴B（4，4）设直线OB解析式y=kx过B点∴4=4k∴直线OB解析式y=x设点E坐标（x，y）∵点E在直线OB上移动∴x=y∴不管t为何值，E点总是“完美点”．②∵E点总是“完美点”．∴EQ=OQ∵∠BAO=∠AOC=90°，PQ⊥x轴∴四边形AOQP是矩形∴AP=OQ，AO=PQ=4∴AP=EQ∵AE⊥EF∴∠AEP+∠FEQ=90°，∠EAP+∠AEP=90°∴∠FEQ=∠EAP∵AP=EQ，∠FEQ=∠EAP，∠APE=∠EQF=90°∴△APE≌△EFQ∴PE=FQ==2（PE+EQ）=2×PQ=8∵S四边形AFQP∴当E点运动时，四边形AFQP的面积不变，面积为8【点评】本题考查四边形综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是平行四边形，已知点C在x轴正半轴上，连接AC．（1）若点A、C的坐标分别为（1，2）、，求B点坐标和平行四边形的面积．（2）若点A的坐标为（3，4），当OA=OC时，点D在线段上，且DC=1，问：在线段AC 上是否存在一点P，使OP+PD值最小？若存在，求出OP+PD的最小值；若不存在，请说明理由；（3）在（1）的条件下，将△ABC沿AC翻折得到△AB’C，AB’交OC于点Q，若CO恰好平分∠ACB’，求的值．【分析】（1）作AE⊥OC、作BF⊥x轴，证△AOE≌△BCF可得CF=OE=1、BF=AE=2、OF=OC+CF=，继而可得答案；（2）连接BO交AC于点Q，连接BD交AC于点P，由OA=OC知四边形AOCB是菱形，根据对角线互相垂直平分知点P即为所求，且PO+PD=PB+PD=BD，再求出BD的长即可；（3）由平行四边形知∠AOQ=∠B，结合翻折变换知∠B=∠B′，从而得∠AOQ=∠B′，由∠AQO=∠CQB′知∠OAQ=∠B′CQ，再根据CO恰好平分∠ACB′知∠B′CQ=∠ACO，从而得∠OAQ=∠ACO，据此可证△AOQ∽△COA得=，将有关线段长度代入求得OQ 的长，依据=可得答案．【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥OC于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠AEO=∠BF C=90°，∵四边形AOCB是平行四边形，∴OA=BC，OA∥CB，∴∠AOE=∠BCF，∴△AOE≌△BCF（AAS），则CF=OE=1、BF=AE=2，∵OC=，∴OF=OC+CF=+1=，=OC•BF=×2=5．则点B坐标为（，2），S平行四边形AOCB（2）如图2，连接BO交AC于点Q，连接BD交AC于点P，由A（3，4）知OE=CF=3、AE=4，则OA=OC=BC=5，∵四边形AOCB是平行四边形，且OA=OC，∴四边形AOCB是菱形，则AC、BD互相垂直平分，∴点P即为所求，PO+PD=PB+PD=BD，∵DC=1、CF=3，∴DF=4，∵BF=4，∴PO+PD=PB+PD=BD=4；（3）∵四边形AOCB是平行四边形，∴∠AOQ=∠B，由翻折变换知∠B=∠B′，∴∠AOQ=∠B′，∵∠AQO=∠CQB′，∴∠OAQ=∠B′CQ，∵CO恰好平分∠ACB′，∴∠B′CQ=∠ACO，∴∠OAQ=∠ACO，∴△AOQ∽△COA，∴=，∵A（1，2）、C（，0），∴OA=、OC=，∴=，解得：OQ=2，则===．【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质、菱形和全等三角形、相似三角形的判定与性质及翻折变换的性质．。