2022年华师大版《成比例线段》公开课教案

第23章图形的相似
成比例线段
【知识与技能】
1.了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例.
2.会利用比例的性质，求出未知线段的长.
【过程与方法】
培养学生灵活解题及合作探究的能力.
【情感态度】
感受数学逻辑推理的魅力.
【教学重点】
成比例线段的定义;比例的根本性质及直接运用.
【教学难点】
比例的根本性质的灵活运用，探索比例的其他性质.
一、情境导入，初步认识
挂上两张照片，问：
1.这两个图形有什么联系？
它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形.
2.这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例.
二、思考探究，获取新知
〔1〕回忆什么叫两个数的比，怎样度量线段的长度，怎样比拟两线段的大小.
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就
说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n ，或写成ABCD=
n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项. 如果把n m 表示成比值k ，那么CD
AB =k 或AB=k ·CD. 注意：在量线段时要选用同一个长度单位.
〔2〕做一做
量出数学书的长和宽〔精确到〕，并求出长和宽的比.
改用m 作单位，那么长为,宽为∶0.148=211∶148.
只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变. 〔3〕求两条线段的比时要注意的问题
①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；
②两条线段的比没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
③两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.
问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？〔学生讨论〕 〔答：线段的长度比与所采用的长度单位无关〕.
2.成比例线段的定义四条线段a 、b 、c 、d 中，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如
d c b a =，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.
3.比例的根本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a 、b 、c 、d 四个数满足
d c b a =，那么ad=bc 吗？反过来，如果说ad=bc ，那么d c b a =吗？与同伴交流. 如果d
c b a =，那么ad=bc. 假设ad=bc(a 、b 、c 、
d 都不等于0〕，那么
d c b a =. 例1 在某市城区地图〔比例尺1∶9000)上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm 、10cm.
〔1〕新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？
〔2〕新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比
呢？
解：〔1〕1440米，900米. 〔2〕8∶5,8∶5.
例2如图，d c b a ==3，求b
b a +和d d
c +;
解：b b a +=4, d
d c +=4.
三、运用新知，深化理解
【教学说明】分组讨论完成并展示.
四、师生互动，课堂小结
1.注意点：〔1〕两线段的比值总是正数；〔2〕讨论线段的比时，不指明长度单位；〔3〕对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.
2.比例尺：图上长度与实际长度的比.
3.熟记成比例线段的定义.
4.掌握比例的根本性质，并能灵活运用.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题”中选取.
2.完成《创优作业》中本课时练习的“课时作业〞局部.
本课时从生活实例情境引入线段的比及成比例线段的概念，并引导学生探究比例的根本性质及其应用，通过互动交流加强对知识的理解，培养学生的合作意识.
第2课时百分率和配套问题
教学目标
1．学会运用二元一次方程组解决百分率和配套问题；
2．进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程。

教学重难点
【教学重点】
根据题中的各个量的关系，准确列出方程组。

【教学难点】
借助列表，数与数之间的关系，分析出问题中所蕴涵的数量关系。

课前准备
课件、教具等。

教学过程
一、情境导入
(1)某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了20%，那么今年的总产值是________万元；
(2)假设该厂去年的总支出为y万元，今年的总支出比去年减少了10%，那么今年的总支出是________万元；
(3)假设该厂今年的利润为780万元，那么由(1)，(2)可得方程________________．
二、合作探究
探究点一：列方程组解决百分率问题
【类型一】列方程组解决增长率问题
例 1 为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费〞．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．
(1)如果按小学每年收“借读费〞500元、中学每年收“借读费〞1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费〞；
(2)如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？
解析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．
解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x 人，在主城区中学学习的民工子女有y 人．那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5000，20%x ＋30%y ＝1160.解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3400，y ＝1600.20%x ＝680，30%y ＝480，500×680＋1000×480＝820000(元)＝82(万元)．
答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费〞；
(2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中学就读的民工子女有1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2＋(2080÷40)×3＝360(名)．
答：一共需配备360名中小学教师．
方法总结：在解决增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：增长率＝(增长后的量－原量)÷原量．
【类型二】列方程组解决利润问题
例2 某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购置甲、乙商品各1件，共付款538元，商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元．
解析：此题中所含的等量关系有：①甲商品的售价＋乙商品的售价＝538元；②甲商品的利润＋乙商品的利润＝88元．
解：设甲商品的进价为x 元，乙商品的进价为y 元，根据题意，得
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋88＝538，x 〔1＋50%〕×80%＋y 〔1＋40%〕×85%＝538. 化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝450，xy ＝538.解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝250，y ＝200. 答：甲商品的进价为250元，乙商品的进价为200元．
方法总结：销售问题中进价、利润、售价、折扣等量之间的关系：利润＝售价－进价，售价＝标价×折扣，售价＝进价＋利润等．
探究点二：列方程组解决配套问题
例3 现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可以做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批
完整的盒子？
解析：此题有两个未知量——制盒身、盒底的铁皮张数．问题中有两个等量关系：(1)制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝190；(2)制成盒身的个数的2倍＝制成盒底的个数．
解：设制盒身的铁皮数为x 张，制盒底的铁皮数为y 张，根据题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝190，2×8x ＝22y .解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝110，y ＝80. 答：110张铁皮制盒身，80张铁皮制盒底．
方法总结：找出此题中的两个等量关系是解题的关键，解决配套问题时一定要抓住题目中的特定的数量关系，根据等量关系列出方程组求解．
三、板书设计
1．百分率问题：增长率问题；利润问题
2．配套问题
教学反思
通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识．。