2020-2021高中必修五数学上期中模拟试题(带答案)(7)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试题(附答案)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试题(附答案)一、选择题1．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20472．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．5．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n n n a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n6．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14± D ．148．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B．()-+∞C ．[)3,-+∞D．)⎡-+∞⎣9．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，a=4b =，则B =（ ）A ．30B =︒或150B =︒B ．150B =︒C ．30B =︒D ．60B =︒11．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<12．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，73b c +=，则ABC V 的面积为______．15．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 16．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．18．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ． 19．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，1||2||a a b+取得最小值. 20．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 三、解答题21．已知函数()3sin cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围． 22．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求出数列{}n b 的前n 项和.23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =,求的面积．24．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1．（1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．25．如图，Rt ABC V 中，,1,32B AB BC π===.点,M N 分别在边AB 和AC 上，将AMN V 沿MN 翻折，使AMN V 变为A MN '△，且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=（1）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （2）求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积，26．数列{}n a 中，11a = ，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足21()2n n n S a S =⋅-．（1）求n S 的表达式； (2)设n b ＝21nS n +,求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.2．D解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．4．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.5．B解析：B 【解析】试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23n nn a +=； 考点：累加法求数列通项公式6．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >-即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．7．A解析：A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．8．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.9．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．10．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q ，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b >Q60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.11．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.12．A解析：A 【解析】 【分析】 分析题意，取3x y +倒数进而求3x y+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。
2020-2021高中必修五数学上期中试题(及答案)
解析：D
【解析】
【分析】
将所给条件式变形，结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性，从而由 可得 和 的符号，即可判断 的最小值.
【详解】
由已知，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以等差数列 为递增数列.
又 ，即 ，
所以 ， ，
即数列 前7项均小于0，第8项大于零，
所以 的最小值为 ，
故选D.
18．设 ， ，则当 _____时， 取得最小值.
19．如图所示，在平面四边形 中， ， ， ， ， ，则 __________．
20．如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________．
三、解答题
21．已知等差数列 满足 （ ）.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
解析：
【解析】
【分析】
由无穷等比数列 的各项和为4得, ,， 且 ,从而可得 的范围.
【详解】
即有n≥2时，an-an-1=n，
可得an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+2+3+…+n= n（n+1）， 也满足上式
= =2（ - ），
则 =2（1- + - +…+ - ）
=2（1- ）= ．
故选:B．
【点睛】
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
【详解】
根据正弦定理 可转化为
，化简得
由余弦定理得
因为
所以 ，当且仅当 时取
2020-2021高中必修五数学上期中模拟试卷及答案(7)
2020-2021高中必修五数学上期中模拟试卷及答案(7)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--3．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1824．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．5．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或76．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．167．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．38．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）9．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．510．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=)222S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒二、填空题13．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 14．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．15．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________．16．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 17．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．19．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）.20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,b c ==，求ABC ∆的面积. 22．已知数列{}n a 的首项123a =，且当2n ≥时，满足1231312n n a a a a a -++++=-L ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n nb a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 23．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求12231111+++⋯+n n a a a a a a . 26．等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC Cπππ=-=-=-，那么，2222A B Cπ++=，矛盾，所以222A B C∆是钝角三角形，故选D.2．B解析：B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值.【详解】作出不等式组110750310x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y=+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z=-+，（1）当0a<时，直线z ax y=+的斜率为正，要使得z的最大值、最小值分别在,C A处取得，则直线z ax y=+的斜率不大于直线310x y--=的斜率，即3a-≤，30a∴-≤<.（2）当0a>时，直线z ax y=+的斜率为负，易知最小值在A处取得，要使得z的最大值在C处取得，则直线z ax y=+的斜率不小于直线110x y+-=的斜率1a-≥-，01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.3．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．4．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.5．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.6．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．7．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.由韦达定理有：1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。
2020-2021高中必修五数学上期中一模试题(带答案)(20)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试题(带答案)(20)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-3．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20474．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或55．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-36．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞8．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720209．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．2310．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += ()22234S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒11．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S二、填空题13．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.14．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________15．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________． 16．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？ 17．在中，若，则__________．18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______. 19．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； ②a +b ≤2； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =,求的面积．22．已知数列{}n a 是等差数列，111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，L ，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列，求12n n S b b b =+++L .23．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 24．设等差数列{}n a 满足35a =，109a =- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值 25．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*n S n N∈，{}nb 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.26．已知数列{}n a 满足111,221n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足12n n nb a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.3．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.4．B【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．5．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小．由6{0x y x y +=-=得A(3,3)， ∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．6．A【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．7．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.8．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．9．A解析：A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ，由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===， 所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =， 所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34． 故选A ． 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．10．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．11．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ．【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础12．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.二、填空题13．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在解析：1【解析】 【分析】利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】由0x >，可得11x +>.可令()11t x t =+>，即1x t =-，则()()22113331111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥，当且仅当t =1x =时，等号成立.故答案为：1． 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13-【解析】 【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-.【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.15．【解析】【分析】【详解】当时代入题中不等式显然不成立当时令 都过定点考查函数令则与轴的交点为时均有也过点解得或（舍去）故 解析：32a =【解析】 【分析】 【详解】 当时，代入题中不等式显然不成立 当时，令，，都过定点考查函数，令，则与轴的交点为时，均有也过点解得或（舍去），故16．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n 项和为由等差数列前n 项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)解析：9 【解析】解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ，由题意有：()()1111031131390,97197222n na n nb n n ⎛⎫=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭， 故：111871222n n n c a b n =+=+ ，满足题意时，数列{}n c的前n项和为112522250nS=⨯=，由等差数列前n项和公式可得：11111871218712222222502nn⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯=，解得：9n= .即二马相逢，需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题.(1)解决数列应用题的基本步骤是：①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型；③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论．(2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n－1的递推关系，或前n项和S n与S n－1之间的递推关系．17．2π3【解析】∵由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=7:8:13∴a：b：c=7：8：13令a=7kb=8kc=13k（k>0）利用余弦定理有cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64解析：【解析】∵由正弦定理可得，∴，令，，（），利用余弦定理有，∵，∴，故答案为.18．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求解析：【解析】【分析】根据等差数列的前n项和转化为关于1a和d的数量关系来求解【详解】Q等差数列{}n a的前n项和为n S，39S=，636S=，则有()()31613313926616362S a d S a d ⎧⨯-=+=⎪⎪⎨⨯-⎪=+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=⨯+⨯=故答案为45 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。
2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷及答案(10)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷及答案(10)一、选择题1．在ABC V 中，4ABC π∠=，2AB =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A ．10 B ．105C ．310D ．5 2．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．163．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n+B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +4．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40375．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B 53C 73D ．83236．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A 37B ．34C ．32或D ．347．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞8．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720209．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．12524310．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6611．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，a=4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒12．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a <二、填空题13．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 14．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 15．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______16．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．18．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 19．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 20．在中，若，则__________． 三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 22．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S 32，求sin C 的值． 23．已知数列{}n a 的首项123a =，且当2n ≥时，满足1231312n n a a a a a -++++=-L ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n nb a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()3cos 23cos a C b c A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T26．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC =∠sin BAC ∠= 考点：解三角形.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.3．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 设公差为d 则解得，故选A.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.5．B解析：B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，3534623v ==（米/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．6．C解析：C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线12BD c =，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】解：3,33,30b c B ===o Q ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得23927233a a =+-⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则13322BD c ==，∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：22233333626CD =+-⨯222333333()23CD =+-⨯，∴解得AB 边上的中线32CD =或37． 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．7．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >, 所以()214422242448x y x yx y x y y x y x ⎛⎫++=+++≥+⋅=+=⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.8．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．9．A解析：A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.解法二 ＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.10．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.11．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q ，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b >Q 60B ∴<︒30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.12．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题 解析：238【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的174417a a ab b b +=+，再由等差数列的求和公式，转化为77S T ，从而得到答案. 【详解】因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列 所以7474141422a a b b a a b b ==++ ()()1771777272a a S b b T +==+37223718⨯+==+ 【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.14．【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设等差数列的首项为公差为2前n 项和为且成等比数列则：解得：所以：所以：所以：故答案为：【点睛】本题考查的 解析：200201【解析】 【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．则：()2111(22)412a a a +=+，解得：11a =，所以：()12121n a n n =+-=-， 所以：111411(1)(1)2121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-⋅+ ⎪-+⎝⎭，所以：10011111 1335199201S⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋯-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12001201201=-=，故答案为：200 201【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两解析：[－2，+∞）【解析】【分析】根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥-（|x|+1x），由基本不等式的性质，易得a的范围，综合两种情况可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（x2+1），即a≥-（|x|+1 x）,又由|x|+1x≥2，则-（|x|+1x）≤-2；要使不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可；综上可得，a的取值范围是[-2，+∞）；故答案为[-2，+∞）．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．16．【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛解析：1 4【解析】【分析】结合已知条件，结合余弦定理求得π4C =，然后利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①，由余弦定理得221cos 2a b C ab +-=②，由①②得sin cos C C =，由于()0,πC ∈，所以π4C =.故221cos 22a b C ab +-==，化简221a b =+-22121a b ab =+-≥-，化简得ab ≤所以三角形面积1121sin 22224S ab C =≤⨯=.故答案为14. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.17．【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列从而得到进而得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足 解析：{5,6}【解析】 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n n a -=，进而得到n b ；利用10n n b b +-<可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==- 11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n n n n a S S a a --\=-=-，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 12n n a -\=2920n n a b n n =-+-Q 219202n n n n b --+-∴=()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >Q ()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N 5n ∴=或6∴满足条件的n 的取值集合为{}5,6本题正确结果：{}5,6 【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果.18．【解析】【分析】先利用累加法求出an ＝33+n2﹣n 所以设f （n ）由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an ＝2n ∴当n≥2时an ＝（an ﹣an ﹣1）+（a 解析：212【解析】 【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到n an的最小值．【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33． 从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞，则f （n ）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值． 又因为55355a =，66321662a ==， 所以n a n 的最小值为62162a =故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．19．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析解析：32m ≤-或32m ≥ 【解析】 【分析】先化简不等式，再变量分离转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值以及解不等式得结果. 【详解】2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+Q22222()14(1)(1)14(1)xm x x m m∴---≤--+- 即2221(41)230m x x m+---≥ 即222123341,()2m x m x x +-≥+≥ 因为当32x ≥时22323839324x x +≤+=所以2221834134m m m +-≥∴≥∴3m ≤-或3m ≥ 故答案为：32m ≤-或32m ≥ 【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.20．2π3【解析】∵由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=7:8:13∴a ：b ：c=7：8：13令a=7kb=8kc=13k （k>0）利用余弦定理有cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64 解析：【解析】 ∵由正弦定理可得，∴，令，，（），利用余弦定理有，∵，∴，故答案为.三、解答题21．(1)13n n a -=，;(2)()223n nn T +=-.【解析】 【分析】（Ⅰ）由数列递推式求出a 1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n }为等比数列，则数列{a n }的通项公式可求，再由b 1=3a 1，b 3=S 2+3求出数列{b n }的首项和公差，则{b n }的通项公式可求；（Ⅱ）把数列{a n }、{b n }的通项公式代入3nn nb c a =，直接由错位相减法求数列{c n }的前n 项和为T n ． 【详解】（Ⅰ）当1n =时，111231,1S a a =-∴=当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即13nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴=.设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+ ,（Ⅱ）1232135721,33333n nn nn n c T ++==++++L ① 则234113572133333n n n T ++=++++L ②， 由①—②得，2312111211233333n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 142433n n ++=+∴223n n n T +=- . 【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n 项和，是中档题． 22．（1）56π；（27【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=56π.(2)先根据△ABC的面积S2得到b＝c，再利用余弦定理得到ac，再利用正弦定理求出sin C的值．【详解】(1)因为asin B＝－bsin)3Aπ+（，所以由正弦定理得sin A＝－sin)3Aπ+（，即sin A＝－12sin A，化简得tan A因为A∈(0，π)，所以A＝56π.(2)因为A＝56π，所以sin A＝12，由S2＝12bcsin A＝14bc，得bc，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则ac，由正弦定理得sin C＝sinc Aa=.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.23．（1）23n na=（2）3231443n nnT+=-⋅【解析】【分析】（1）由题可得1231312n na a a a a+++++=-L,与已知作差可得13322n n na a a+-=-+,整理可得113nnaa+=,进而利用等比数列的通项公式求解即可；（2）由（1）可得23n n nn nb a=⋅=,利用错位相减法求和即可.【详解】解:（1）当2n≥时,由1231312n na a a a a-++++=-L,则1231312n na a a a a+++++=-L,两式相减得13322n n na a a+-=-+,即11322n na a+=,∴113n n a a +=, 当2n =时,由12312a a =-,得229a =, ∴2113a a =, 综上,对任意1n ≥,113n n a a +=, ∴{}n a 是以23为首项,13为公比的等比数列, ∴23n n a =. （2）由（1）23n n n n nb a =⋅=, ∴231111233333n n T n =+⋅+⋅++⋅L , 2311111112(1)33333n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅L , ∴231211111333333n n x T n +=++++-⋅L 1111233nn n +⎛⎫=--⎪⎝⎭, 则3231443n n n T +=-⋅ 【点睛】本题考查了根据数列的递推公式求解数列通项,考查等比数列通项公式的应用,考查利用错位相消求解数列前n 项和. 24．（Ⅰ）6π；（Ⅱ）2+. 【解析】分析：（12sin cos B B A =． （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-结合基本不等式进行求解．cos 2sin cos cos A C B A C A =()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A = 又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos A = 又A 为三角形内角，所以6A π=．（Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：224222b c bc bc =+-≥，所以(42bc ≤+，所以1sin 22S bc A ==. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．25．（1）23n a n =-，14n n b -=；（2）4(1)nnT n =+【解析】 【分析】（1）将1250,15a a S +==转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式，由此化简131(2)n n n n n nb a b a b ++++=，判断出数列{}n b 是等比数列，进而求得数列{}n b 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，所以11120,1,2,23545152n a d a d a n a d +=⎧⎪∴=-==-⎨⨯+=⎪⎩； 由1311(2),(6n 12n 1)b 4nb n n n n n n n n nb a b a b nb +++++=⇒=--+=，14n nb b +∴=，所以数列{}n b 是以4为公比，首项121b a ==的等比数列，14.n n b -∴= （2）因为2111111(),(5)log (22)(2)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++1211111111b b b (1).42233414(n 1)n n nT n n ∴=+++=-+-+-++-=++L L【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式，考查等比数列的通项公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题. 26．（1）72（2）3a >- 【解析】 【分析】（1）由题得()122f x x x=++，再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值；（2）等价于22y x x a =++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解.【详解】 （1）当12a =时，()122f x x x =++， ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =. （2）在区间[)1,+∞上，()220x x af x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立．设22y x x a =++，[)1,x ∈+∞，因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增， ∴当1x =时，min 3y a =+，于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-. 【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2020-2021高中必修五数学上期中试卷(及答案)
那么： =4a+ ．
∵a＜0，
∴-（4a+ ）≥2 = ，即4a+ ≤-
故 的最大值为 ．
故选D．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
【详解】
∵对于任意n＞1，n∈N*，满足Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1），
∴n≥2时，Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+2，
∴an+1﹣an＝2．
∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2．
则 ＝1+9×2 91．
故答案为91
【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+2可得an+1﹣an＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n＞1n∈N*满足Sn+
解析：91
【解析】
【分析】
由Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1），可得Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+2，可得an+1﹣an＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
3．C
解析：C
【解析】
对于 ，若 ， ，则 不成立；对于 ，若 ，则 不成立；对于 ，若 ，则 ，则 正确；对于 ， ， ，则 不成立.
2020-2021高中必修五数学上期中一模试题(及答案)(6)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试题(及答案)(6)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形3．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b4．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．35．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1826．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．167．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．138．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-9．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．4037202010．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．5D ．5211．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++12．已知正项数列{}n a*(1)()2n n n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．设0,0,25x y x y >>+=______.14．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．15．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________． 16．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____．17．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．18．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 19．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．20．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y+的最小值为______． 三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．22．在ABC V 中，3B π∠=，b =，________________，求BC 边上的高．从①sin 7A =， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．23．已知向量11,sin 222x x a ⎛⎫+ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线，设函数()y f x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值.（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C，若有3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，边BC B ==，求ABC ∆的面积. 24．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．25．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 26．在等比数列{}n a 中,()*10a n N >∈,且328aa -=,又15,a a 的等比中项为16.（1）求数列{}n a 的通项公式:（2）设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得1231111nk S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．B解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅=所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2313111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.3．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C4．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．6．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.7．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，∴1134101313()13()1322a a a a S ++===，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.8．D解析：D 【解析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.9．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．10．B【解析】【分析】设f（x）1221x x=+-，根据形式将其化为f（x）()1152221x xx x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x13=时()11221x xx x-+-的最小值为2，得到f（x）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m≤（1221x x+-）min，由此可得实数m的最大值．【详解】解：设f（x）11222211x x x x=+=+--（0＜x＜1）而1221x x+=-[x+（1﹣x）]（1221x x+-）()1152221x xx x-=++-∵x∈（0，1），得x＞0且1﹣x＞0∴()11221x xx x-+≥-=2，当且仅当()112211x xx x-==-，即x13=时()11221x xx x-+-的最小值为2∴f（x）1221x x=+-的最小值为f（13）92=而不等式m1221x x≤+-当x∈（0，1）时恒成立，即m≤（1221x x+-）min因此，可得实数m的最大值为9 2故选：B．【点睛】本题给出关于x的不等式恒成立，求参数m的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．11．A解析：A【解析】【分析】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 12．B 解析：B 【解析】 【分析】()()1122n n n n +-=-的表达式，可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】(1)(1),(2)22n n n n n n +-=-=≥1=，所以2,(1),n n n a n =≥= ，选B.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.二、填空题13．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立解析：【解析】 【分析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值．,xy xy=Q0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴Q22343xy xy xy⋅≥=， 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立， 故所求的最小值为43． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．14．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC 及其内部其中A （53）B （﹣13）C （20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x ﹣y 有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画解析：7 【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x ﹣y 有最大值，并且可以得到这个最大值． 详解：根据约束条件2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩画出可行域如图，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0） 平移直线l ：z=2x ﹣y ，得当l 经过点A （5，3）时， ∴Z 最大为2×5﹣3=7． 故答案为7．点睛：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题解析：()4031,404.【解析】【分析】根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可.【详解】由题意知11x =，11y =211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 解得155k k x k T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=； 115k k y T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，20161403404y =+=. 故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404.故答案为：()4031,404.【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.16．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b 将转为（a ﹣b ）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b ＞0的解集为{x|x解析：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b 将227a b a c+++转为（a ﹣b ）+9a b-，利用基本不等式求得它的范围． 【详解】 因为一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a ＞0，二次函数的对称轴为x=1a-=c ，△=4﹣4ab=0， ∴ac=﹣1，ab=1，∴c=1a -，b=1a ，即c=-b, 则227a b a c +++=()29a b a b-+-=（a ﹣b ）+9a b -， 当a ﹣b ＞0时，由基本不等式求得（a ﹣b ）+9a b-≥6， 当a ﹣b ＜0时，由基本不等式求得﹣（a ﹣b ）﹣9a b -≥6，即（a ﹣b ）+9a b -≤﹣6, 故227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）， 故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.17．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得解析：30【解析】【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．18．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析解析：2m ≤或2m ≥ 【解析】【分析】 先化简不等式，再变量分离转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值以及解不等式得结果.【详解】2()4()(1)4()x f m f x f x f m m-≤-+Q 22222()14(1)(1)14(1)x m x x m m∴---≤--+- 即2221(41)230m x x m +---≥ 即222123341,()2m x m x x +-≥+≥ 因为当32x ≥时22323839324x x +≤+=所以2221834134m m m +-≥∴≥∴m ≤或m ≥故答案为：2m ≤-或2m ≥ 【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 19．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为 解析：23π 【解析】由正弦定理得::3:5:7a b c =,由余弦定理得2223571cos 2352C +-==-⨯⨯,故2π3C =,也就是最大内角为2π3. 20．【解析】【分析】变形之后用基本不等式：求解即可【详解】原式可变形为：当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等 解析：94【解析】【分析】 变形14141444x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭之后用基本不等式：求解即可. 【详解】 原式可变形为：()14141914544444x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当43x =，83y =时取等． 故答案为：94【点睛】 本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题21．（1）21n a n =+；（2）()1212n n +-⋅【解析】【分析】()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项和公差，由此能求出21n a n =+．(2()111)2,2212n n n n n n nb b a n a ---==⋅=+⋅，由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T ．【详解】解：(1)Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．()()1121113254355022312a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪∴⎨⎪+=⋅+⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+，21n a n ∴=+(2)n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭Q 是首项为1公比为2的等比数列， ()1112,2212n n n n n n nb b a n a ---∴==⋅=+⋅ ()0121325272212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯++⋅...①()()12312325272212212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅...②两式相减得：()()12123221212n n n T n --=--⨯++⋅-()1212n n =+-⋅【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，还考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题。
2020-2021高中必修五数学上期中第一次模拟试卷带答案(17)
2020-2021高中必修五数学上期中第一次模拟试卷带答案(17)一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或55．在ABC V 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）ABCD6．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7 B ．5C ．5-D ．7-7．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-9．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-10．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++11．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 4二、填空题13．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 14．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .15．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．16．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 17．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是__________．18．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．19．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．20．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 22．已知数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若1342,,a a a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n n b a -=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ,求满足0n S ≥成立的n 的最小值.23．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：对任意的n ∈N *，都有a n +1+S n +1＝1，又a 112=． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）令b n ＝log 2a n ，求12231111n n b b b b b b L ++++（n ∈N *） 24．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．25．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c()cos 2cos C b A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．26．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．D解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．3．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．4．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．5．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC =∠sin BAC ∠= 考点：解三角形.6．D解析：D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.7．B解析：B 【解析】 试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B.考点：比较大小.8．C解析：C 【解析】试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.9．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础10．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 11．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.12．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2， ∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.二、填空题13．【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设等差数列的首项为公差为2前n 项和为且成等比数列则：解得：所以：所以：所以：故答案为：【点睛】本题考查的 解析：200201【解析】 【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．则：()2111(22)412a a a +=+，解得：11a =，所以：()12121n a n n =+-=-，所以：111411(1)(1)2121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-⋅+ ⎪-+⎝⎭， 所以：100111111335199201S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12001201201=-=， 故答案为：200201【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．14．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式 解析：21n -【解析】 【分析】 【详解】 由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==， 即3418a q a ==，所以2q =， 因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.15．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC 及其内部其中A （53）B （﹣13）C （20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x ﹣y 有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画解析：7 【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x ﹣y 有最大值，并且可以得到这个最大值． 详解：根据约束条件2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩画出可行域如图，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0） 平移直线l ：z=2x ﹣y ，得当l 经过点A （5，3）时， ∴Z 最大为2×5﹣3=7． 故答案为7．点睛：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出【详解】解：根据等比数列的性质数列是首项为公比为的等比数列又因为公比所以故答案为：【点睛】本题考查了无穷等比数列的求和公式考查了推理能力与计算能力属 33 【解析】 【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出． 【详解】解：根据等比数列的性质，数列1321,,,n a a a -⋯是首项为1a ，公比为2q 的等比数列。
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2020-2021高中必修五数学上期中模拟试题(带答案)(7)一、选择题1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f ＝ A ．1242B ．1116C ．82D ．322．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40363．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1824．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．3 5．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．366．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞7．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．98．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．29．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a=4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒10．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ）A ．14B ．21C ．28D ．3511．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n n n a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________15．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 16．不等式211x x --<的解集是 ．17．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．18．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______. 20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S22．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若6c =，ABC ∆的面积为32，求+a b 的值； 23．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.24．在等比数列{}n a 中,()*10a n N >∈,且328aa -=,又15,a a 的等比中项为16.（1）求数列{}n a 的通项公式:（2）设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得1231111nk S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.25．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()3m a b =r与()cos ,sin n =A B r平行．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7a =2b =求C ∆AB 的面积．26．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，234848a a a =+=，．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设4log .n n b a =证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。
【详解】：设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，那么1q n n a a -=，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，11212132q q 2a a a ==⇒=，所以47213q a f f a ===D 【点睛】：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列。
2．D解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．4．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.5．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C6．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >, 所以()214422242448x y x yx y x y y x y x ⎛⎫++=+++≥+⋅=+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<,【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.7．D解析：D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.8．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =，综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.9．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q ，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b >Q 60B ∴<︒30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.10．C解析：C 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则()()174127477272822a a a a a a a +⨯+++====L考点：等差数列的前n 项和11．A解析：A 【解析】【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 12．D 解析：D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =, 故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈二、填空题13．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要【解析】 【分析】 根据正弦定理将()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为()()()a b a b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求解. 【详解】 根据正弦定理()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为()()()a b a b c b c +-=-，化简得222bc a bc +-=由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==sin ==A 因为2222+=+≥b c a bc bc 所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=所以1sin 42∆==≤=ABC S bc A则ABC ∆【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发 解析：20462047-【解析】 【分析】 对于()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得345a =10a =-22a =46...，，发现规律， 利用()()112121n n nn a b ++=--，求出10S .【详解】 由()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得2345634567a =32-2a =-32+2a =32-2a =-32+2a =32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律， 利用()()112121n n nn a b ++=--，得b 1=-43，234510224694b =b =-b =b =-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，， ，求出1020462047S =-. 故答案为20462047- 【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.15．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为解析：4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴Q 可得24sin 1cos 5B B =-=，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =，故答案为4.16．【解析】【分析】【详解】由条件可得 解析：{}|02x x <<【解析】 【分析】 【详解】 由条件可得17．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB 两类产品的情况为下表所示:产品设备 A 类产品（件）（≥50） B 类产品（件）（≥140解析：2300 【解析】【分析】【详解】 设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示: 产品设备A 类产品（件）（≥50） B 类产品 （件）（≥140） 租赁费（元）甲设备5 10 200乙设备 6 20 300则满足的关系为5650{10201400,0x y x y x y +≥+≥≥≥即:105{2140,0x y x y x y +≥+≥≥≥, 作出不等式表示的平面区域,当200300z x y =+对应的直线过两直线610{5214x y x y +=+=的交点（4,5）时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元．18．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公解析：63n a n =-【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.19．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求 解析：【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解【详解】Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则有()()31613313926616362S a d S a d ⎧⨯-=+=⎪⎪⎨⨯-⎪=+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩ 78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=⨯+⨯=故答案为45【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。