考研数学大纲详解教材分析讲解
高等数学
考研指定教材：同济大学数学系主编《高等数学》（上下册）（第六版）第一章函数与极限(7天)（考小题）
学习内容复习知识点与对应习题大纲要求
第一节：映射函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与1．理解函数的概与函数偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反念，掌握函数的表(一般章节)函数、初等函数具体概念和形式.（集合、映射示法，并会建立应不用看；双曲正弦，双曲余弦，双曲正切不用看）用问题中的函数习题1－1：4，5，6，7，8，9，13，关系.
15，16（重点）2．了解函数的有界性、单调性、周第二节：数列定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、期性和奇偶性．数列的极限保号性 )（本节用极限定义证明极限的题目考纲3．理解复合函数(一般章节)不作要求，可不看，如P26例1，例2，例3，定及分段函数的概理1,2,3的证明都不作要求，但要理解；定理4念，了解反函数及不用看）隐函数的概念．习题1－2：14．掌握基本初等第三节：函数极限的基本性质（不等式性质、极限的保号函数的性质及其函数的极限性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,图形，了解初等函(一般章节)函数极限与数列极限的关系等） P33(例4,例数的概念.
5)（例7不用做，定理2,3的证明不用看，定理5．理解极限的概4不用看）念，理解函数左极习题1－3：1，2，3，4限与右极限的概以及函数极限念，无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及第四节：存在与左、右极限无穷大与无与极限的关系（无穷小重要，无穷大了解）之间的关系．穷小（重要）（例2不用看，定理2不用证明） 6．掌握极限的性习题1－4：1，6质及四则运算法第五节：极限的运算法则(6个定理以及一些推论) 则.
极限的运算（注意运算法则的前提条件是否各自极限存在）7．掌握极限存在法则（掌握）（定理1,2的证明理解，推论1,2,3，定理6的的两个准则，并会证明不用看）P46(例3,例4),P47(例6) 利用它们求极限，习题1－5：1，2，3，4,5（重点）掌握利用两个重要极限求极限的，要注意极限成立的两个重要极限（要牢记在心第六节：方法．条件，不要混淆，应熟悉等价表达式，要会证明极限存在准理解无穷小量、8．函数极限的存在问题（夹逼定两个重要极限）,（理解）则无穷大量的概念，理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求两个重要极掌握无穷小量的数列极限，利用夹逼法则求极限，求递归数列的限（重要）会用等比较方法，第一个重要极限的证的证明理解，1极限（准则．
明一定要会，另一个重要极限的证明不用看，柯价无穷小量求极西存在准则不用看）限．
P51(例1)习题1－6：1，2，49．理解函数连续性的概念（含左连第七节：无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高续与右连续），会无穷小的比阶无
穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤判别函数间断点较（重要）其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质的类型．和确定方法（定理1,2的证明理解） 10．了解连续函数P57(例1)P58(例5)习题1－7：全做的性质和初等函第八节：函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间数的连续性，理解函数的连续断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连闭区间上连续函性与间断点续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的性质（有界（重要，基本数的连续性）和间断点的类型。性、最大值和最小必考小题）例1－例5习题1－8：1，2，3，4，5（重点）值定理、介值定理），并会应用这,包括和连续函数的运算与初等函数的连续性(第九节：些性质．连续函数的差,积,商的连续性,反函数与复合函数的连续运算与初等性,初等函数的连续性) （定理3,4的证明不用函数的连续看）
性（了解）例4－例8 习题1－9：1，2，3，4，5，6（重点）
第十节：理解闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理闭区间上连(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法续函数的性).（一致连续性不用看）例1（重要，不－例2
质习题1－10：1，单独考大题，2，3，5（要会用5题的结论）
但考大题特别是证明题会用到）总复习题一：除了7，8，9以外均做，
3,5,11,14（重点）
本章测试题－检验自己是否对本章的复习合格自我小结(合格成绩为80分以上)，如果合格继续向前复习，如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性的对本章的内容进行复习或者到总部答疑。
第二章导数与微分(6天)（小题的必考章节）
学习内容复习知识点与对应习题大纲要求
理解导数和微分的1. 导数的定义、几何意义、物理意义（数三不:
第一节．
导数的概念作要求，可不看，数三要知道导数的经济意概念，理解导数与微分（重要）义：边际与弹性），单侧与双侧可导的关系，的关系，理解导数的几可导与连续之间的关系（非常重要，经常会何意义，会求平面曲线出现在选择题中），函数的可导性，导函数,的切线方程和法线方奇偶函数与周期函数的导数的性质，按照定程，了解导数的物理意义求导及其适用的情形，利用导数定义求极义，会用导数描述一些限. 会求平面曲线的切线方程和法线方程.物理量，理解函数的可（导数定义年年必考）例1－例6 导性与连续性之间的习题2－1：3,4,5，6，7,8，11，15，16，17，关系．
18,19,（重点）20
第二节：复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的导数，函数的求导由复合函数求导法则导出的微分法则，（幂、指数函数求导法，反函数求导法则
法），分段函数求导法（基本求导法则与求导（考小题）
公式要非常熟）（定理1，3的证明不用看，例1，17不用做，定理2的证明理解，
例6,7,8重点做）
习题2－2：除2,3,4,12不用做，其余全做， 2．掌握导数的四则13,14重点做
运算法则和复合函数高阶导数和N阶导数的求法（归纳法，分解法，第三节：的求导法则，掌握基高阶导数用莱布尼兹法则）（用泰勒展开式求高阶导）本初等函数的导数公（重要，考11不用做，习题7 2－3：5,6,7，例1－例式．了解微分的四则的可能性很其余全做，4,12重点做运算法则和一阶微分大）形式的不变性，会求第四节：函数的微分．由参数方程确定的函数的求导法（数三不用隐函数及由3看），变限积分的求导法，隐函数的求导法（相．了解高阶导数的概参数方程所念，会求简单函数的1－例10 关变化率不用看）例确定的函数 9,10,11,12－4：均不用做，数三高阶导数．2习题的导数（考4．会求分段函数的导5,6,7,8也可以不做，其余全做，4重点做小题）数，会求隐函数和由参数方程所确定的函第五节：微分运算法则，函数微分的定义，微分几何意数以及反函数的导数.函数的微分（微分在近似计算中的应用不用看，义考纲不（考小题）作要求）
11,12习题－例例16 29,10，，：－55,6,7,8均不用做，其余全做自我小结均不用做，4,10,15,16,17,18总复习题二：数三不用做2,3,6,7,14其余全做，重点做，12,13
第二章测试题
第三章微分中值定理与导数的应用（8天）考大题难题经典章节
学习内容复习知识点与对应习题大纲要求
第一节：微分中值定理及其应用（费马定理及其几何意1．理解并会用罗尔(Rolle)定理、及其几何意义，拉格朗日定理及拉格微分中值定义，罗尔定理朗日(Lagrange)中理（最重要，其几何意义、柯西定理及其几何意义）（四个值定理和泰勒与中值定理定理要会证明，及其重要）(Taylor)不用做，其余全定理，了－1：除了13,15应用有关的例1，习题3解并会用柯西证明题）部重点做(Cauchy)中值定第二节：洛洛比达法则及其应用（洛比达法则要会证明，理．必达法则重要） 2．掌握用洛必达法（重要，基例1－例10，习题3－2：全做，1,3,4重点做则求未定式极限的本必考）方法．
第三节：泰勒中值定理，麦克劳林展开式 3．理解函数的极值泰勒公式（可不看公式的证明）概念，掌握用导数（掌握其应例1－例3 习题3－3：8,9不用做，其余全做判断函数的单调性用）10（1）（2）（3）重点做和求函数极值的方法，掌握函数最大拐点、极值点、求函数的单调性、凹凸性区间、第四节：值和最小值的求法12 －例函数的单调渐近线（选择题及大题会用到）例1及其简单应用．），）（25）,5（1－习题34：3（1）（2）（性与曲线的会用导数判断函4．）不25），10（）（1）（2），9（1）（3凹凸区间8（数图形的凹凸性，（考小题）用做，其余全做，3,4,5,6,13,15重点做会求函数图形的拐第五节：函数的极值(一个必要条件,两个充分条件),点以及水平、铅直函数极值与最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最和斜渐近线，会描最大值最小值问题，与最值问题有关的综合题绘函数的图形．
值（考小题例5,6,7不用看习题3-5:1（2）（3）（6）5．了解曲率和曲率为
主）（9）8,9,10,11,12,13,14，15,16均不用做，半径的概念，会计其余全做算曲率和曲率半径．简单了解利用导数作函数图形（一般出选择题第六节：函数图形的及判断图形题），对其中的渐进线和间断点要描绘（重要）熟练掌握，一元函数的最值问题（三种情形）。
例1－例3 习题3－6：2－5
第七节：曲率、曲率的计算公式，与曲率相关的问题
（弧微分、曲率中心计算公式、渐屈线、渐伸（数三曲率线不用看）不作要求，例1－例3,习题3－7仅数一、数：1－6
二要求）第八节：方
程近似解
（不用看）．
自我小结总复习题三：数一、数二全做，数三15不用做；其中2（2）,3,7,8,9,10,（3）（4），11（3），12,17,18,20重点做
第三章测试题总结
第四章不定积分（7天）（重要，本章数二考大题可能性更大）
学习内容复习知识点与对应习题大纲要求
第一节：不定原函数与不定积分的概念与基本性质（它们各1．理解原函数概念，之间的关系，求不定积分与求微分理解不定积分积分的概念与自的定义，的概念．性质（重要）或导数的关系），基本的积分公式，原函数2（数．掌握不
定积分的存在性，原函数的几何意义和力学意义的基本公式，掌握三不作要求）不定积分换元积－例16 习题4－1：1，2,3,4,6例1分法与分部积分第二节：换元不定积分的换元积分法，第二类换元法法．积分法（重要，例1－例27 3．会求有理函数、第二类换元积习题4－2：1,2（1）（2）（3）（8）（9）三角函数有理式分法更为重（10）（13）（25）均不用做，其余全做及简单无理函数要）的积分．
第三节：分部不定积分的分部积分法
积分法例1－例10 习题4－3：1－24
（考研必考）
第四节：有理有理函数积分法，可化为有理函数的积分，
函数积分例1－例8 习题4－4：1－24
（重要）不定积分计算
总复习题四：1－40
第五节:积分表的使用
（不用看）
自我小结总结本章
第五章定积分(6天）（重要，考研必考）
学习内容复习知识点与对应习题大纲要求
1．理解原函数概念，第一节：定积定积分的概念与性质(可积存在定理)(定积分的概念与分的7个性质理解及熟练应用，性质7理解定积分的概念．积分性质（理解）．掌握定积分的基2中值定理要会证明)
（定积分近似计算不用看）掌握定积分本公式，
习题5－1：1,2,3,6,8,9,10均不用做，其的性质及定积分中余全做，5,11,12重点做值定理，掌握换元积分法与分部积分法．第二节：微积微积分的基本公式积分上限函数及其导数3．会求有理函数、分基本公式（极其重要，要会证明）牛顿－莱布尼兹三角函数有理式及（重要）公式（重要，要会证明）简单无理函数的积例5不用做，例6极其重要，记住结论习分．题5－2：6（1）（2）（4）（5）（6）（7）,7,84．理解积分上限的均不用做，其余全做，2数三不做，9（2），函数，会求它的导10,11,12,13重点做数，掌握牛顿－莱布第三节：定积定积分的换元法与分部积分法尼茨公式．
分的换元积例1－例10 例5，例6，例7，例12经典例5．了解广义反常积分法与分部题，记住结论分的概念，会计算广积分法（重习题5－3：1（1）（2）（3）（6）（12）义反常积分．
要，分部积分（14）（15）（16），7（1）（3）（8）（9）
法更为重要）不用做，其余全做，重点做1（4）（7）（17）（18）（25）（26）,2,6,7（7）（10）（12）（13）
第四节：反常反常积分无界函数反常积分与无穷限反常积分（考小积分例1－例5
题）习题：5－4：全做，3题结论记住
第五节：反常总复习题五：1（3），2（3）（4）（5）,15,16积分的审敛不用做，其余全做，重点做3,5,7,8,9,10法（不用看）（1）（2）（3）（8）（9）（10）,13,14,17自我小结总结本章
第六章定积分的应用(4天)（考小题为主）
学习内容复习知识点与对应习题大纲要求
1. 掌握用定积分第一节：定定积分元素法
积分的元素表达和计算一些几
法（理解）何量与物理量（平
面图形的面积、平面曲线的弧长、旋第二节：定一元函数积分学的几何应用（求平面曲线的弧转体的体积及侧面长与曲率（仅数一看），求平面图形的面积，积分在几何积、平行截面面积求旋转体的体积，学上的应用求平行截面为已知的立体体为已知的立体体积（面积最重(数三不作要求)，求旋转面的面积定积分的积、功、引力、压几何应用相关计算要）力、质心等）及函定积分应用的一些计算习题6－2：数一全数的平均值等．不用做21-30做；数二、数三．
第三节：定定积分的物理应用（用定积分求引力，用定积分求液体静压力，用定积分求功）。综合题目积分在物理的求解。（数三不用看，数一数二了解）学上的应用
例1－例5 （数三不用习题6－3：数一、数二做
总复习题六：数一全做；数二6不用做；数三看，数一数只做3，4,5 二了解）总结本章自我小结
第七章常微分方程 (9天)（本章对数二相对重要，必考章节）
学习内容复习知识点与对应习题大纲要求
微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解，第一节：微1．了解微分方程及其例1、2、3、4，（例2分方程基数三不用看）阶、解、通解、初始条习题7-1：1（3）（4），2（2）（本概念 4），3（2），件和特解等概念.
4（2）（3），5 （了解） 2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性第二节：可可分离变量的微分方程的概念及其解法微分方程的解法．分离变量例1、2、3、4，（例2,3,4数三不作要求）3．会解齐次微分方程、的微分方习题7-2：1，2伯努利方程和全微分程（理解）方程，会用简单的变量第三节：齐一阶齐次微分方程的形式及其解法代换解某些微分方程．
次方程（例2不用看，可化为齐次的方程不用看） 4．会用降阶法解下列（理解）习题7－3：1，2微分方程：第四节：一一阶线性微分方程、伯努利方程（仅数一考，记和. ，
阶线性微住公式即可）5．理解线性微分方程8仅数一做17-4：，2，3，1分方程例，3，4，习题解的性质及解的结构．熟（重要，6．掌握二阶常系数线记公式）性微分方程的解法，并第五节：可全微分方程（会求全微分方程）会解某些高于二阶的降解的高会用降阶法解下列微分方程：和常系数齐次线性微分阶微分方，例1—6 方程. 程（仅数习题：7-5：数三不用做、数一数二只做1,2 7．会解自由项为多项一、数二式、指数函数、正弦函考，理解）数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系（微分方程的特线性微分方程解的结构（重要）第六节：高数非齐次线性微分方解、通解）（二阶线性微分方程举例不用看；常阶线性微程．分方程（理数变易法不用看）定理1,2，3,4重点看
8．会解欧拉方程．解）习题7-6：1，3,4
9．会用微分方程解决第七节：常特征方程，微分方程通解中对应项一些简单的应用问题．不用做）4,5（例7，6，3，2，1例系数齐次．
线性微分习题7－7：1，2
方程（最重要，考大题）
第八节：常会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次系数非齐线性微分方程次线性微例1－4分方程（最，（例5不用看）
习题7－重要，考大8：1，2,6重点做
题）欧拉方程的通解第九节：欧习题7－拉方程（仅9：数一只做5,8
（第十节不用看）数一考，了解）自我小结总复习题十二：1（1）（2）（4），2（2），3（1）（3）（5）（7）（8），4（3）（4），5，7,8，10 其中8,10仅数一做
第八章空间解析几何和向量代数(4天)（仅数一考，考小题，了解）
第九章多元函数微分法及其应用 (10天)（考大题的经典章节，但难度一般不大）
学习内容复习知识点与对应习题大纲要求
1．理解多元函数的概第一节：二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小念，理解二元函数的几多元函数值定理、介值定理何意义.
4，5，6，8 1基本概念例1—8，习题8—：2，3，2 ．了解二元函数的极（了解）限与连续性的概念以高阶偏导数的求解（重要）偏导数的概念，第二节：及有界闭区域上连续9 6，，，，23，4：，习题例偏导数1—88—21函数的性质．（理解）3．理解多元函数偏导第三节：全微分的定义，可微分的必要条件和充分条件数和全微分的概念，会全微分（全微分在近似计算中应用不用看）求全微分，了解全微分4 ，：—831，23，，习题，，例（理解） 123存在的必要条件和充分条件，了解全微分形第四节：多元复合函数求导，全微分形式的不变性式的不变性． 12 —1：—8，习题—1例多元复合644．理解方向导数与梯函数的求度的概念并掌握其计导法则.
算方法（理解，
重要） 5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求 3个定理（方程组的情形不用看）第五节：隐函数存在的法． 9 8—5：1—隐函数的例1—4，习题6．会用隐函数的求导求导公式法则.
（理解，7．了解曲线的切线和小题）法平面及曲面的切平了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线第六节：面和法线的概念，会求的概念，会求它们的方程（一元向量值函数及其多元函数它们的方程．
微分学的导数不用看）8．了解二元函数的二9 —，习题几何应用例2—78—6：1阶泰勒公式．
（仅数一9．理解多元函数极值考，考小和条件极值的概念，掌题）握多元函数极值存在的必要条件，了解二元方向导数与梯度的概念与计算第七节：函数极值存在的充分10 8，：—71—，习题例方向导数1—58条件，会求二元函数的与梯度极值，会用拉格朗日乘（仅数一数法求条件极值，会求考，考小简单多元函数的最大题）值和最小值，并会解决多元函数极值与最值的概念，二元函数极值存在第八节：一些简单的应用问题．
的必要条件和充分条件，会求二元函数的极值，多元函数会用拉格朗日乘数法求条件极值的极值及10 ，习题—18—8：1其求法例－9（重要，大题的常考题型）阶泰勒公式，拉格朗日型余项n第九节：（极值充分条件的证明不用看）二元函数不用看）最小二乘法的泰勒公（第十节
3
，式（仅数：—，习题例18912，一考，了解）自我小结总复习题八：1—3，5，6，8，11—19
本章测试题——检验自己是否对本章的复习合格(合格成绩为80分以上)，如果合格继续向前复习，如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性的对本章的内容进行复习或者到总部答疑。