直线与抛物线位置关系的另类判别方法
直线与抛物线的位置关系
即：y 2 pmy p 0
2 2
p x my 2
y A F B x
y1 y2 p （定值）
2
例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 2 px( p 0)于 A ，B两点，设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 p 2 .
解 由题意, 设直线 l的方程为 y 1 k x 2.
由方程组
2
y 1 k x 2 , y 4x ,
2
①
可得 ky 4 y 4 2k 1 0
1 当k 0时,由方程 ① 得 y 1,
1 把 y 1代入 y 4 x, 得 x . 4
y
C H D E F A
B O
x
例4、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线 交于A、B，求AB中点的轨迹方程.
y
解： 设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y)
2 y 1 2 x1 y1 y2 2 由 2 相减得： ( x1 x2 ) x1 x2 y1 y2 y2 2 x2
x
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到 准线l的距离分别为 d A , dB .
由抛物线的定义可知 AF d A x1 1, BF d B x2 1,
B’
所以 AB AF BF x1 x2 2 8
变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切．
考点102直线与抛物线的位置关系
考点102直线与抛物线的位置关系一、课本基础提炼1．研究直线与抛物线的位置关系,一般是联立两曲线方程,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．2．有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式二级结论必备过抛物线焦点的动直线与抛物线交于点A,B,则该抛物线在点A,B处的两切线的交点轨迹是抛物线的准线.1.直线与抛物线相交时的弦长问题若直线过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用|AB|＝x1＋x2＋p；若直线不过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用,对于此类问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,另外注意与面积有关的问题,常用到弦长公式.例1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求的最小值．【解析】(1)由题可知F,则该直线方程为代入y2＝2px(p＞0),得设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1＋x2＝3p.∵|MN|＝8,∴x1＋x2＋p＝8,即3p＋p＝8,解得p＝2,∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)设直线l的方程为y＝x＋b,代入y2＝4x,得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.∵l为抛物线C的切线,∴Δ＝0,解得b＝1.∴l的方程为y＝x＋1.设P(m,m＋1),则＝(x1－m,y1－(m＋1)),＝(x2－m,y2－(m＋1)),∴＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.由(1)可知：x1＋x2＝6,x1x2＝1,∴(y1y2)2＝16x1x2＝16,y1y2＝－4.,＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14,当且仅当m＝2,即点P的坐标为(2,3)时,的最小值为－14.例2.抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O 或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积.【解析】由题意,可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ,①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5,0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m,x1•x2=m2,点A到直线l的距离为,从而=4(1－m)(5+m)2,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.故直线l的方程为y=x－1,△AMN的最大面积为2．抛物线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.例3．已知抛物线y2=4x的一条弦的斜率为3,它与直线交点恰为这条弦的中点M,则点M的坐标为_______．【解析】设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2),弦PQ的中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0=1,y1+y2=2y0,又两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)即2y0(y1-y2)=4(x1-x2),∴点M的坐标为3.抛物线的切线问题由于抛物线x2=2py(p≠0),可转化为函数,因此我们可以借助导数的几何意义来研究抛物线的切线.例4. 已知抛物线x2＝2y,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________．【解析】由x2＝2y,得,∴y′＝x.设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴抛物线在P,Q两点处的切线的斜率分别为x1,x2,∴过点P的抛物线的切线方程为y－y1＝x1(x－x1),又∴切线方程为,同理可得过点Q的切线方程为,两切线方程联立解得又抛物线焦点F的坐标为,易知直线l的斜率存在,可设直线l的方程为,由,得x2－2mx－1＝0,所以x1x2＝－1,所以4．面积问题求三角形或四边形的面积最值是高考中的常见问题,解决这类问题的基本方法是把面积表示为某一变量的函数,再转化为函数求最值,或利用基本不等式求最值.例5．(2014•高考四川卷)已知F为抛物线y2＝x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA→•OB→＝2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A．2 B．3【解析】设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1x2＋y1y2＝2.∴y1y2＝－2.联立得y2－ny－m＝0, ∴y1y2＝－m＝－2,∴m＝2,即点M(2,0)．又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO当且仅当时,等号成立．例6．已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且|AB|≤2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.【解析】(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点 C(x,y),由(1)知,y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,则有∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）点N到AB的距离为从而当a有最大值时,S有最大值为5.对称问题根据圆锥曲线上存在不同两点关于某直线对称求参数范围，是一类典型问题，解决此类对称问题,要抓住三点：(1)中点在对称轴上；(2)两个对称点的连线与对称轴垂直；(3)两点连线与曲线有两个交点,故Δ＞0.一般通过“设而不求”、“点差法”得到对称点连线的方程,再与曲线方程联立,由判别式不等式求出参数范围.例7.已知抛物线y＝ax2－1(a≠0)上总有关于直线x＋y＝0对称的相异两点,求a的取值范围.解：设A(x1,y1)和B(x2,y2)为抛物线y＝ax2－1上的关于直线x＋y＝0对称的两相异点,则两式相减,得y1－y2＝a(x1－x2)(x1＋x2).再由x1≠x2,得设线段AB的中点为M(x0,y0),则由M点在直线x＋y＝0上,得∴直线AB的方程为联立直线AB与抛物线的方程并消去y,得依题意,上面的方程有两个相异实根,∴a的取值范围是1.(2014•潍坊模拟)过抛物线y2＝4x的焦点且斜率为的直线l与抛物线y2＝4x交于A,B两点,则|AB|的值为( )【答案】A【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线的焦点为(1,0),则直线l的方程为,代入抛物线方程得3x2－10x＋3＝0.根据抛物线的定义,可知|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝2．已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C:y2=8x相交A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )【答案】D【解析】由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2,0）,由|FA|=2|FB|知x A+2=2(x B+2) 联立方程用根与系数关系可求3．抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点,且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0解方程组,得ax2－kx－b=0,可知,代入验证即可.4.已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_______．答案】y2=4x【解析】设抛物线为y2＝kx,与y＝x联立方程组,消去y,得：x2－kx＝0, x1+x2＝k＝2×2,故y2=4x.1.设抛物线x2＝12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,若点P恰为AB的中点,则|AF|＋|BF|＝( )A.12B.10C.6D.8 【答案】D【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1＋y2＝2×1＝2,|AF|＋|BF|＝(y1＋3)＋(y2＋3)＝(y1＋y2)＋6＝8.故选D.2.已知双曲线(a＞0,b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3,则p＝( )A.1 C.2 D.3 【答案】C【解析】由双曲线的离心率.∴双曲线的渐近线方程为.由题意可设得p＝2或－2(舍去).故选C.3.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为( )A．48 B．56 C．64 D．72 【答案】A【解析】由题不妨设A在第一象限,联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6),B(1,－2),而准线方程是x＝－1,所以|AP|＝10,|QB|＝2,|PQ|＝8,故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)•|PQ|＝48.4.过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点,则这样的直线有条_______．注意到点(2,4)是抛物线上的点,用数形结合知满足题意的直线有两条,其一是过该点的切线；其二是过该点且与对称轴平行的直线.故填2.5.设F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若FQ＝2,则直线l的斜率等于_______．【答案】±1【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y＝k(x＋1),联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0,x1＋x2y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝,设Q(x0,y0),则,又F(1,0),,解得k＝±11.（2015福建文19）已知点F为抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）已知点G(-1,0) ,延长AF交抛物线E于点B,求证：以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直GB相切．【答案】（1）y2=4x；（2）见解析【解析】（1）由抛物线的定义得．因为|AF|=3,即,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x．（2）解法一：因为点A(2,m),在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),所以所以k GA+K GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．解法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2,m)在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),故直线GA的方程为从而又直线GB的方程为所以点F到直线GB的距离这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．2.设不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y＝2x2上,l是AB的垂直平分线.(1)当且仅当x1＋x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.【查看答案】【答案】(1) x1＋x2＝0 ；(2)【解析】(1)F∈l⇔|FA|＝|FB|⇔A,B两点到抛物线的准线的距离相等,∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意y1,y2不同时为0,∴上述条件等价于∵x1≠x2,∴上述条件等价于x1＋x2＝0,即当且仅当x1＋x2＝0时,l经过抛物线的焦点F.(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为由y＝2x2,得过A,B的直线方程为∵直线AB与抛物线有两个不同交点,∴联立得32x2＋8x＋5－16b＝0,Δ＝－9＋32b＞0,.因此直线l在y轴上截距的取值范围是3.如图,已知直线l与抛物线x2＝4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0)．(1)若动点M满足,求点M的轨迹C；(2)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同的两点E,F(E在B,F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．(1) 以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆；(2)【解析】(1)由x2＝4y,得∴直线l的斜率为y′|x＝2＝1,故直线l的方程为y＝x－1,∴点A坐标为(1,0)．设M(x,y),则由得整理得∴动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆．(2)由题意知直线l′的斜率存在且不为零,设l′的方程为y＝k(x－2)(k≠0),①将①代入整理,得(2k2＋1)x2－8k2•x＋(8k2－2)＝0,由Δ＞0得设E(x1,y1),F(x2,y2),由此可得,且0＜λ＜1.由②知(x1－2)•(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4又∵0＜λ＜1,∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是。
直线与抛物线的位置关系
典型例题：
例1、已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为A、 B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程.
解法二：由题意可知， 直线l斜率一定存在，故可设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y 2（ ) x1 x 2） , 则x1 x 2 4, y1 y 2 2
2 y y2 4 y1 4 x1 由 2 1 2 x1 x2 y1 y2 y 2 4 x2
即k AB 2
此时直线l的方程为y -1 2(x - 2),即2x - y - 3 0
y 2 4x 由 消x得y 2 - 2y - 6 0 0 2x - y - 3 0
2
即m2 - 2m -3 = 0.∴ m = 3或m = -1 此时直线方程为2x -6y +9p = 0或2x +2y + p = 0. 综上可得l的方程为2x -6y +9p = 0或2x +2y + p = 0或y = p.
练习：
2 （1）求过定点P（0，1）且与抛物线 y 2x只有一个公共 点的直线的方程.
由点到直线的距离公式得 d= 2 x0 x0 2 4 5 5 2 x 1 0 3 5 3 5 5 5 2 x0 2 x0 4 5
由上式可知 : 当x0 1时, d min
P点坐标为1,1 .
3 5 5
二、弦长问题选讲：
例1、已知直线l：y＝－x＋1和抛物线 C：y2＝4x，设直线与抛物线的交点为 A、B，求AB的长.
A
B
说明：直线被曲线截得的弦︱AB︱＝ 1＋k2 ︱x1－x2︱
三、中点弦问题
例1、已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为A、 B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程.
直线与抛物线的位置关系
点 F 交抛物线于 A ， B 两点， O 为坐标原点，则△ ABO 的面积为
64
.
(2)依题意，抛物线 C ： y 2＝16 x 的焦点为 F (4，0)，
直线 l 的方程为 x ＝ 3 y ＋4.
＝ 3 + 4，
由൝ 2
= 16，
消去 x ，整理得 y 2－16 3 y －64＝0.
12
2
− 2 ，
22 ＝
22
2
− 2 ，
即 x 1， x 2是方程 x 2－4 x －4p 2＝0的两根，
2
2
2 − 1
2 2
2 −1
2
2
所以 x 1＋ x 2＝4， x 1 x 2＝－4 p ，所以 kAB ＝
＝
＝ ，
2 −1
2 −1
所以｜ AB ｜＝ 1 + 2 · (1 ＋2 )2 − 41 2 ＝
直线与抛物线的位置关系
考点一
直线与抛物线的位置关系
过点(0，3)的直线 l 与抛物线 y 2＝4 x 只有一个公共点，则直线 l 的
1
y ＝ x ＋3或 y ＝3或 x ＝0
方程为
.
例1
3
1
当直线 l 的斜率 k 存在且 k ≠0时，由相切容易求出直线 l 的方程为 y ＝ x
3
＋3；当 k ＝0时，直线 l 的方程为 y ＝3，此时直线 l 平行于抛物线的对称
(6)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最
短的弦.
跟踪训练
2.
3
2
(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线 C ： y ＝3 x 的焦点为 F ，斜率为 的直线 l
抛物线的简单几何性质1
作业 101页 7,8,9
y
O
x
； / 澳门葡京官网 ；
看鞠言战申了吧?自混元诞生以来,到现在为止,一共才有拾二位……”一名公爵开口说道,但他说到呐里便没有再说下去.他想说の是,混元空间诞生以来至今,天庭一共才有拾二位大王.“是啊！已经很久,没有善王能进入天庭了.但俺隐约有一种感觉,呐位鞠言战申,是有一些希望の.所以,俺认 为,现在俺们花费一些代价拉拢鞠言,是有希望给俺们带来丰厚回报の.”毕微王尪道.“你们都是俺临高王国の元老级人物,对王国の情况也比较清楚.在天庭内,可没有与俺们临高王国亲近の存在.俺们临高王国在天庭の话语权,目前来说几乎等于零！”毕微王尪继续说道,他说呐句话の事候,心 情很是沉叠.在场の临高王国众人,都不说话了.“呐件事,你们各自也好好考虑一下.俺,也利用呐几天再想一想.”毕微王尪转目又环视在场の众人,而后说道.毕微王尪本人,现在也没有想好,到底要不要授与鞠言名誉大公爵の头衔.呐个头衔,确实是无比の叠要,对王国意义非凡,是一件王国大事 .毕微王尪,也无法随意の独断专行.“是！”众人应声散去.而就在临高王国派人与鞠言接触后不久,便又有王国派人去见鞠言了.第二个派人の王国,就是举办呐一届战申榜排位赛の法辰王国.法辰王国,直接派出了一名公爵与鞠言见面,也体现出法辰王国对鞠言の叠视.法辰王国当然也是想招揽 鞠言加入王国,成为其王国一员の,不过鞠言仍是毫不犹豫の拒绝了法辰王国の橄榄枝.第三个向鞠言抛出橄榄枝の是天轮王国,天轮王国也是一名公爵出面,同样是没有得到想要の结果.接下来巴克王国等等,也都做出了相似の行为.……“你们听说了没有?混元七大王国,都向龙岩国鞠言战申抛 出橄榄枝了！”“怎么没听说,呐件事都已经传开了！”“是啊！真是令人羡慕,若是有任何一个王国想要招揽俺,俺都不知道会兴奋成哪个样子.而现在,竟是七大王国都想招揽鞠言战申.”“你也不看看自身の实历,你一个普通善王,七大王国会招揽你?就算你主动上门跪在那些王尪面前,人家 怕都不会多看你一眼.”“呐话太难听了吧！”那善王黑了黑脸道.“难听?不要嫌难听,呐是事实.人家鞠言战申是何等实历,那可是杀死了丁水云战申の存在.丁水云战申,战申榜排名第三拾の强者！就你呐实历若是面对丁水云战申,怕是连一根手指都挡不住.”“哈哈……”四周传出一阵笑声 .“嗯,鞠言战申确实非常强大,七大王国想要招揽他加入也正常.耐人寻味の是,鞠言战申对七大王国の邀请,竟全部都拒绝掉了.就是说,他不打算加入任何一个王国,还要留在那个龙岩国.”“是啊,不知道鞠言战申是怎么想の.如果能够加入一个王国,那会得到怎样の帮助?七大王国,可都是有修 炼秘境の,不说那些高端の稀有资源,就一个修炼秘境,那都不知道要羡慕死多少人了.”“一些顶级尪国也想招揽鞠言,但是听说七大王国都被拒绝了,呐些顶级尪国也就不好随便出手了.”在呐座临事城市内,很多人都在谈论七大王国对鞠言招揽呐件事.鞠言战申拒绝了七大王国の招揽,让很多 人感到诧异,很多人都无法理解鞠言战申为何拒绝加入王国而继续留在龙岩国呐个弹丸小国.法辰王国国都皇宫之中.仲零王尪,与王国一些叠要人物在宫殿之中议事.“陛下,龙岩国鞠言战申呐到底是哪个意思?难道,他是想待价而沽吗?”鲍一公爵站在那里出声说道.“鞠言战申拒绝了俺们法辰 王国の橄榄枝,其他陆个王国也都派人与他接触,但似乎是同样の结果.”一名叠臣大声说道.“俺们法辰王国给他开出の条件已经非常好了！俺们已经承诺,能够让他在王国秘境之中修行万年.呐在正常情况下,是不可能有の待遇.”又一名公爵微微有些愤怒の表情说道.坐在尪座之上の仲零王尪 ,却是轻轻摇头.仲零王尪说道：“鞠言战申,应该是真の不想离开龙岩国.或许,俺们该换一个方式来招揽他.”“陛下の意思是?”柳涛公爵看向仲零王尪问道.“他不想离开龙岩国,他想一直作龙岩战申,那俺们也没必要一定要求他加入法辰王国.”仲零王尪微笑说道：“或许,如果给他更多の 自由,那他就会愿意与俺们谈了.”(本章完)第三零零八章授与仲零王尪想の,倒是与临高王国毕微王尪相似.鞠言既然坚持不想离开龙岩国,那就让鞠言继续留在龙岩国.龙岩国只是一个很小の国家,无论从哪方面看,都无法对混元王国形成竞争威胁.所以,法辰王国全部能够换一个方式来与鞠言 战申建立更为亲近の关系.“陛下,那俺们该如何做?”鲍一公爵出声询问.“俺暂事也没有想好,所以才让诸位过来,大家一起商议.”仲零王尪缓缓说道.“陛下,俺从临高王国那边听说了一些消息,但不能确定真假.俺听说,临高王国の毕微王尪有意授与鞠言战申名誉大公爵の头衔.”一名公爵低 沉の声音道.“哦?”在场不少人眼申都一凝.“真の假の?”有人不敢置信の语气道.“真实性很高,但不能全部确定,也有可能是临高王国故意放出の烟雾弹来迷惑俺们.”那位公爵摇摇头说道.“呵呵,毕微王尪是一个很有魄历和手腕の人,常常做出出人预料の举动.此事,并不是不可能.”仲零 王尪笑了笑道.“如果是真の,也太……鞠言战申又不是混元无上级强者.再者说,即便是混元无上级强者,想得到一个王国の名誉大公爵身份也并不那么简单吧！”有大臣觉得此事不太可能,他继
如何用代数法判断直线与抛物线的位置关系
谈学论教在解答圆锥曲线问题时，我们经常会遇到判断直线与抛物线位置关系的问题.此类问题侧重于考查直线的方程、弦长公式、点到直线的距离公式、抛物线的方程、一元二次方程的根的判别式、韦达定理等.判断直线与抛物线的位置关系，主要有代数法和几何法两种方法.本文主要探讨一下如何用代数法判断直线与抛物线的位置关系.一、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相交、相切、相离.如下图所示.其中相交的有两种情况，即相交于一点（当直线与抛物线的对称轴平行或重合时）、相交于两点.相交于一点相交于两点相离相切于一点二、用代数法判断直线与抛物线的位置关系的思路设抛物线的方程为y 2=2px (p >0),直线l 的方程为：y =kx +b ,则直线与抛物线的位置关系有如下几种情况：1.当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +b ,将此方程代入抛物线的方程y 2=2px (p >0),得k 2x 2+(2kb -2p )x+b 2=0()1，由于方程（1）的二次项系数中含有字母k ，因此方程的最高次数可能是2，也可能是1.若k =0，则方程（1）可化为-2px +b 2=0，由于p >0,所以方程（1）是一元一次方程，此时方程有1个解x =b 22p.由于k =0，所以直线l 与x 轴平行或重合，由图形知，直线与抛物线相交于一点.若k ≠0,则方程（1）是关于x 的一元二次方程.若∆>0，则方程有2个解x 1,x 2(x 1≠x 2)，此时直线与抛物线相交于两点；若∆=0，则方程有1个解x 1=x 2,此时直线与抛物线相切于一点；若∆<0，则方程无解，此时直线与抛物线相离.2.当直线l 的斜率不存在时，设l ：x =n ,将此方程代入到抛物线的方程，得y 2=2pn ()2,这是关于y 的一元二次方程.若∆>0，即2pn >0，则方程（2）有2个解y 1,y 2(y 1≠y 2),此时直线与抛物线相交于两点；若∆=0，即2pn =0，则方程（2）有1个解y 1=y 2,此时直线与抛物线相切于一点；若∆<0，即2pn <0，则方程（2）无解，此时直线与抛物线相离.综上所述，不管直线的斜率是否存在，要判断直线与抛物线的位置关系，只需将直线的方程代入抛物线的方程中，若得到的方程是一元一次方程，则直线与抛物线必相交于一点，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合；若得到的方程是一元二次方程，则需分三种情况进行讨论.当∆>0时，直线与抛物线相交于两点；当∆=0时，直线与抛物线相切于一点；当∆<0时，直线与抛物线相离.这也就是说，当k =0时直线与抛物线相交于一点⇔k =0;当k ≠0时直线与抛物线相交于两点⇔{k ≠0,Δ>0;直线与抛物线相切于一点⇔{k ≠0,Δ=0;直线与抛物线相离⇔{k ≠0,Δ<0.例题：已知直线l 的方程为y =kx +1和抛物线C 的方程为y 2=4x ,请讨论直线l 与抛物线C 的公共点的个数.分析：直线与抛物线的公共点个数有三种情况：（1）2个公共点.即直线l 与抛物线C 相交于两点；（2）1个公共点.即直线l 与抛物线C 相交或相切于一点；（3）没有公共点.即直线l 与抛物线C 相离.这些位置关系与所得的一元二次方程的二次项系数及∆有关.解：将直线的方程代入抛物线的方程中得k 2x 2+(2k -4)x +1=0,若k =0，则l 与C 相交于一点；若{k ≠0,(2k -4)2-4k 2=0，即当k =1时，l 与C 相切于一点；若{k ≠0,(2k -4)2-4k 2>0，即当k <1,且k ≠0时，l 与C 相交于两点；当{k ≠0,(2k -4)2-4k 2<0，即k >1时，l 与C 相离.综上所述，当k =0,或1时，l 与C 有1个公共点；当k <1,且k ≠0时，l 与C 有2个公共点；当k >1时，l 与C 无公共点.利用代数法判断直线与抛物线的位置关系，关键是要构造出关于x 或y 的一元二次方程，讨论其二次项的系数和判别式.只要抓住了这个关键点，就能顺利解题.（作者单位：陕西省神木市第七中学）55。
直线与抛物线位置关系的另类判别方法
本文链接：/Periodical_zxsxjx201303020.aspx
≠ ０） ，
抛物线 ｙ２
＝ ２ ｐｘ （ｐ ≠ ０） ，焦点 Ｆ
－
ｐ ２
，０
，
准线
ｌ１
：ｘ
＝
－
ｐ ２
，直线 ｌ２ ：ｘ ＝
ｐ ２
，直线 ｌ 与 ｌ１ 、ｌ２
交点坐标分别为 ｙ１ 、ｙ２ ，则（１） 直线 ｌ 与抛物线相
切 骋 （ｙ１ ＝ ｙ２ ）（ｙ１ ＋ ｙ２ ） ＝ － ｐ２ ；
（２） 直线 ｌ 与抛物线相交 骋 （ｙ１ ＋ ｙ２ ）（ｙ１ －
则（１） 直线 ｌ 与抛物线相切
骋
ｐ
＝
２ＡＣ Ｂ２
；
（２） 直线
ｌ 与抛物线相交
骋
ｐ
＞
２ＡＣ Ｂ２
；
（３） 直线
ｌ 与抛物线相离
骋
ｐ
＜
２ＡＣ Ｂ２
．
证明 联立 Ａ ｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０
①
ｙ２ ＝ ２ ｐｘ
②
由
②
：ｘ
＝
ｙ２ ２ｐ
③
③
代入
①
：Ａ
·
ｙ２ ２ｐ
＋
Ｂｙ
＋
Ｃ＝
０，
Ａｙ２ ＋ ２ ｐＢｙ ＋ ２ ｐＣ ＝ ０ ，
２０１３ 年第 ３ 期
中学数学教学
５３
直线与抛物线位置关系的另类判别方法
安徽省阜阳市红旗中学 张 震 吴冬梅 （邮编 ：２３６１１２）
文［１］ 、文［２］ 分别研究了直线与椭圆 、双曲
线位置关系的不同判别方法 ，本文将给出有关直
线与抛物线位置关系的另类判别方法 ．
直线与抛物线的位置关系
通径：经过抛物线的焦点并且垂直于抛物线的轴 所得的弦叫作抛物线的通径，长为2p.
Y
P ( , P) 2
P ( , 0) 2
X
P ( , P) 2
练习、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，
焦点在直线3x-4y-12=0上，求抛物线通径长.
考点三、直线与抛物线位置关系 1、相离；2、相切；
3、相交（一个交点，两个交点）
一、点与抛物线的位置关系
复习：
点与圆的位置关系及判断方法.
点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0),即y2-2px= 0(p>0),
的位置关系及判断方法：
1.点在抛物线外 2.点在抛物线上 3.点在抛物线内 y02-2px0>0 y02-2px0=0 y02-2px0<0
考点一、抛物线的定义及焦半径 练习、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点 M的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
三.判断直线与抛物线位置关系的操作程序
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
例3、已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定 点P（-2，1）,斜率为k,当k为何值时，直线l 与抛物线： （1）两个公共点；
由
y=x-1 y 2 4x
，整理得 : x 6 x 1 0
2
得 x1+x2=6 于是 |AB|=6+2=8
说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量， 提高了解题效率.
考点四、与弦长、中点有关的问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中学数 学教 学
５ ３
直 线 与 抛 物 线 位 置 关 系 的 另 类判 别 方 法 ’
安徽 省 阜 阳 市红旗 中学 张 震 吴冬 梅 （ 邮编： ２ ３ ６ １ １ ２ ）
文Ｌ １ Ｊ 、 文Ｌ ２ 分 别 针 究 直 线 与 椭 圆 、 双 曲
Ａｙ ４ － ２ ｐ Ｂｙ － ２ ４ ｐ Ｃ 一 ０。
△ 一 （ ２ ｐ Ｂ） 一 ４ Ａ・ ２ ｐ ｃ＝ ： ＝ ４ ｐ（ ｐ Ｂ 一 ２ ＡＣ ） ，
令 △ 一ｏ ， Ｎ
－２ ＡＣ 一
，
口ｐ 一
，
（ ２ ） 直线 ｚ 与抛物 线相 交 甘 户＞ ２ Ａ Ｃ；
＝ －
证明 先 联立
号
，
＿
。
解 钮 得 徂 一 一
一 Ａ ｐ－ －２ Ｃ
一
（ ３ ）直线 ｚ 与抛 物线 相离 骨 ＜ ２ Ｂ Ｃ
．
ｒ Ａ： ｃ＋ Ｂｙ＋ Ｃ 一 ０
Ａｘ ＋ Ｂ ｙ＋ ｃ 一 。
① ② ③
证明
联立
Ｉ
由 ①： 一 ｚ２一２再 联 立 １ ｚ 一 号
Ｂ。
肌
Ｃ
√ 丽 口 一口
图６
ｌ ∞ １ ｌ— ｄ （ ｄ ＜ ６ ） ， 点 Ｐ 是 椭 圆 上 任 意 一 点 ，‘记 Ｇ。 Ｐ Ｇ２ 一 ｑ ， 则
ａ ｄ
Ｂ
。
（ Ⅱ）若 ６ ＋ ＞２ 口 ， 则 。 一７ ｃ —ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ
口 一 口
的张角有 怎样 的最 值 ？
参 考 文 献
１ 贺德光． 椭 圆 中两 类 张 角 最 大值 的 推 求 及 其 应 用Ｅ Ｊ ］ ．
数学通讯 ， ２ ０ ０ ５ （ ２ ４ ）
（ 收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ４— ２ ７ ）
５ ４
中学数 学教 学
２ ０ １ ３年 第 ３期
由②： ｚ一 ｙ Ｚ ③ 代入 ① ： Ａ・ ｙ Ｚ＋ ＋ ｃ一 ０
，
③
线 位置关 系 的不 同判 别方 法 ， 本 文 将 给 出有关 直 线 与抛 物线 位置 关 系 的另 类判 别方 法 ．
结 论 １ 直线 Ｚ ： Ａ ｘ４ － Ｂ ｙ４ － Ｃ一 ０ （ Ａ ＢＣ≠ ０ ） 抛物 线 ｙ 。＝ ＝ ＝ ２ ｐ ｘ（ ≠ Ｏ ） 则（ １ ）直线 ｚ 与抛 物 线相 切 ㈢户一 ；
西， 当且 仅 当点 Ｐ
位 于短轴 端 点时取 到 ． ４ 可 以进一 步研 究的 问题
图５
（ Ｉ） 若 ａ 。 －ｄ ４ ＞ ２ ｂ ， 则
（ １ ） 定理 ５ 与 定理 ６的推 证过 程较 繁琐 ， 限于
篇幅， 此处从略． 寻 求 定 理 的简 洁 证 明 自然 成 为 个 可 以进一 步研 究 的问题 ；
（ Ⅱ）若 ａ ４ －ｄ ＜ ２ ｂ 。 ， 则
＝ ａ ｒｃ ｔ ａｎ
一
２ ａ ｄ
（ ２ ） 在 定理 ６中 ， 当点 Ｇ 、 Ｇ （ 非 焦 点 ）在 长
轴上 且关 于 中心 ０对称 时 ， 椭 圆上 的点对 这 两 点
当且仅 当点 Ｐ位于 长轴 端点 时取 到． 继续 研 究 ， 我们 得到 ： 定理 ６ 如图 ６ ， 点Ｇ 、 Ｇ 是 椭 圆 长 轴延 长 线 上 关 于 中 心 Ｏ 对 称 的两 点 ， 令 ｌ Ｏ Ａ ｌ — ａ ， ｌ Ｏ Ｂ ｌ —ｂ ，ｌ ∞ ｌ —ｄ （ ｄ＞ ｎ ） ， 点 Ｐ是椭 圆上 任 意一 点 ， 记 Ｇ。 Ｐ Ｇ 一 ｑ ， 则
于是 （ １ ）直 线 Ｚ与 抛 物 线 相 切 ㈢△ 一
Ｏ 甘 一 ２ ＡＣ
；
（ ３ ） 直线 ｚ 与抛物 线相 离 甘 ＜
ｒ Ａ ｚ ｃ －Ｂ ４ ｙ － Ｃ一 ０ ４
．
①
（ ２ ）直线 ｚ 与抛物线相交 甘△ ＞ ｏ ＞
（ ３ ）直线 ｚ 与抛物线相离 ㈢△ ＜ ０ 甘 ＜
（ ＂ － ￣Ｙ ２
）一
・
△ 一［ ２ （ Ｂ Ｃ一
２ Ｂ Ｃ ・
） ］ 一４ Ｂ Ｃ 一４ （ Ｂ。 Ｃ 。 一
最后 联立 直线 ｚ 与抛 物线 ：
ｒ Ａｘ ＋ Ｂｙ＋ Ｃ 一 ０
１ ｙ。一 ２ ｐ ｘ
。＋ Ｐ。 Ａ ）一 ４ Ｂ Ｃ 一 ４ Ｐ Ａ。 （ 一 ２ Ｂ Ｃ
结论 ２ 直线 ｌ ： Ａ ｘ＋Ｂ ｙ ＋Ｃ— Ｏ （ Ａ Ｂ Ｃ≠ ０ ） ， 抛 物线 ｚ ＝ ＝ ＝ ２ ｐ ｙ（ ≠ ０ ） ， 则（ １ ） 直线 ｚ 与抛 物线 相 切 甘 一 （ ２ ）直线 ｚ 与抛 物线相 交 甘 ＞ ； ；
．
ｒ Ａｘ ＋ Ｂ ｙ＋ Ｃ 一 ０
（ ２ ） 直线 ｚ 与抛物线相交 甘△ ＞ ０ 管 ＞ ２ Ｂ Ｃ；
；
．
．
．
～
证 明 联 立 １ ｚ 一 ２
②
定理 ５ 如图 ５ ， 点Ｇ 、 Ｇ 。 是 椭 圆短轴 上 关
于 中心 Ｏ对 称 的两 点 ， 令 ｌ Ｏ Ａ ｌ —ａ ， ｆ ｏ Ｂ ｌ —ｂ ，
．
（ Ｉ）若 ｂ 。 －ｄ ４
＜ ２ ａ 。 ， 则 。 一 ７ 【 一
② ③ ④
＋ 以 。 ） ，
令 △ 一ｏ ， Ｎ 户一
，
由②： 一
于 是 （ １ ）直 线 Ｚ与 抛 物 线 相 切 ∞ △ 一
Ｏ 甘 一 ２ ＢＣ
；
④ 代 入 ③ ： （ 一
） 。 一 ２ ，
整 理得 ： Ａ。 。 ＋２ （ ＡＣ — Ｂ ） ｚ＋ Ｃ ： ＝ ＝ ０ ，
一 ＿ 。
解 得 ｚ
一
一
—
旨一 一
Ａｐ一 ２ ｃ
，
③ 代 入 ② ： （ 一
） 一 ２ ｐ ｙ ，
所以 ． ｙ ｌ ＋ ２一 － ２ Ｃ，
一
２ 一
譬，
①
Ｂ ｙ ＋ ２ Ｂ Ｃｙ ＋ Ｃ 一 ２ ｐ Ａ Ｙ，
Ｂ。 Ｙ ＋ ２ （ Ｂ Ｃ— ｐ Ａ ） ＋ Ｃ 一 ０ ．