函数单调性教材

知识体系：增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。

注意：(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；(2)必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) 函数的单调性：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间： 判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）课前演练1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 A.y =－x +1 B.y =x C.y =x 2－4x +5D.y =x22.函数y =log a （x 2＋2x －3），当x =2时，y ＞0，则此函数的单调递减区间是 A.（－∞，－3）B.（1，＋∞）C.（－∞，－1）D.（－1，＋∞）3.函数y =log 21|x －3|的单调递减区间是__________________.典例解析题型一：函数的单调性的定义1、下列函数中，在区间)2,0(上递增的是 （ ） （A ）xy 1=（B ）x y -= （C ）1-=x y （D ）122++=x x y2、有下列几个命题：①函数y =2x 2+x +1在（0，＋∞）上不是增函数； ②函数y =11+x 在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数；③函数y =245x x -+的单调区间是［－2，+∞）；④已知f （x ）在R 上是增函数，若a +b ＞0，则有f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ）. 其中正确命题的序号是_____________解：①函数y =2x 2+x +1在（0，+∞）上是增函数，∴①错；②虽然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y =11+x 的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y =245x x -+的单调区间，首先被开方数5+4x －x 2≥0，解得－1≤x ≤5，由于［－2，+∞）不是上述区间的子区间，∴③错；④∵f （x ）在R 上是增函数，且a ＞－b ，∴b ＞－a ，f （a ）＞f （－b ），f （b ）＞f （－a ），f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ），因此④是正确的.3．(2010·京)给定函数①21x y =，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解：易知y ＝x 12在(0,1)递增，故排除A 、D 选项；又y ＝log 12(x ＋1)的图象是由y ＝log 12x 的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y ＝log 12x 相同为递减的，所以②符合题意，故选B.题型二：判断证明函数的单调性或求函数的单调区间 1、讨论函数f （x ）=12-xax （a ＞0）在x ∈（－1，1）上的单调性.解：设－1＜x 1＜x 2＜1， 则f （x 1）－f （x 2）=1211-x ax －1222-x ax=)1)(1(222122121221--+--x x ax x ax ax x ax =)1)(1()1)((22212112--+-x x x x x x a .∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2+1＞0，（x 12－1）（x 22－1）＞0.又a ＞0，∴f （x 1）－f （x 2）＞0，函数f （x ）在（－1，1）上为减函数. 2、论函数f （x ）=21++x ax （a ≠21）在（－2，+∞）上的单调性.解：设x 1、x 2为区间（－2，+∞）上的任意两个值，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=21212211++-++x ax x ax =)2)(2()2)(1()2)(1(211221++++-++x x x ax x ax =)2)(2()21)((2112++--x x a x x .∵x 1∈（－2，+∞），x 2∈（－2，+∞）且x 1＜x 2， ∴x 2－x 1＞0，x 1+2＞0，x 2+2＞0. ∴当1－2a ＞0，即a ＜21时，f （x 1）＞f （x 2），该函数为减函数；当1－2a ＜0，即a ＞21时，f （x 1）＜f （x 2），该函数为增函数.3、设函数f （x ）＝bx a x ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性.解：函数f （x ）＝bx a x ++的定义域为（－∞，－b ）∪（－b ，＋∞），任取x 1、x 2∈（－∞，－b ）且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝bx a x ++11－bx a x ++22＝))(())((2112b x b x x x b a ++--.∵a －b ＞0，x 2－x 1＞0，（x 1＋b ）（x 2＋b ）＞0， ∴f （x 1）－f （x 2）＞0，即f （x ）在（－∞，－b ）上是减函数. 同理可证f （x ）在（－b ，＋∞）上也是减函数. ∴函数f （x ）=bx a x ++在（－∞，－b ）与（－b ，＋∞）上均为减函数.点评：本小题主要考查了函数单调性的基本知识。

对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。

4、求函数xx y 1+=的单调区间.剖析：求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y =x 与y =x1的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f （x 2）－f （x 1）的正负.解：首先确定定义域：{x |x ≠0}，∴在（－∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论.任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则f （x 2）－f （x 1）=x 2+21x －x 1－11x =（x 2－x 1）+2121x x x x -=（x 2－x 1）（1－211x x ），要确定此式的正负只要确定1－211x x 的正负即可. 这样，又需要判断211x x 大于1，还是小于1.由于x 1、x 2的任意性，考虑到要将（0，+∞）分为（0，1）与（1，+∞）（这是本题的关键）.（1）当x 1、x 2∈（0，1）时，1－211x x ＜0，∴f （x 2）－f （x 1）＜0，为减函数.（2）当x 1、x 2∈（1，+∞）时，1－211x x ＞0，∴f （x 2）－f （x 1）＞0，为增函数.同理可求（3）当x 1、x 2∈（－1，0）时，为减函数；（4）当x 1、x 2∈（－∞，－1）时，为增函数. 评述：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.5、已知f （x ）是定义在［－1，1］上的奇函数，且f （1）=1，若a 、b ∈［－1，1］，a +b ≠0时， 有ba b f a f ++)()(＞0.判断函数f （x ）在［－1，1］上是增函数还是减函数，并证明你的结论.解：任取x 1、x 2∈［－1，1］，且x 1＜x 2，则－x 2∈［－1，1］.又f （x ）是奇函数，于是f （x 1）－f （x 2）=f （x 1）+f （－x 2）=)()()(2121x x x f x f -+-+·（x 1－x 2）.据已知)()()(2121x x x f x f -+-+＞0，x 1－x 2＜0，∴f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）.∴f （x ）在［－1，1］上是增函数深化拓展求函数y =x +xa （a ＞0）的单调区间.提示：函数定义域x ≠0，可先考虑在（0，+∞）上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在（－∞，0）上的单调性.答案：在（－∞，－a ］，（a ，+∞）上是增函数，在（0，a ］，（－a ，0）上是减函数. .题型三：复合函数的单调性6、求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；解：函数的定义域为),2()1,(+∞⋃-∞， 分解基本函数为t y 7.0log=、 232+-=x x t显然t y 7.0log=在),0(+∞上是单调递减的，而232+-=x x t 在),2(),1,(+∞-∞上分别是单调递减和单调递增的。

根据复合函数的单调性的规则：所以函数20.7log (32)y x x =-+在),2(),1,(+∞-∞上分别单调递增、单调递减。

题型四：函数的单调性的应用7、已知)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且)(x f 在（0，+∞）上是减函数，如果01<x ，02>x 且|,|||21x x <则有（ ）（A ）0)()(21>-+-x f x f （B ）0)()(21<+x f x f （C ）0)()(21>---x f x f （D ）0)()(21<-x f x f8、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为增函数，0)31(=f ，则不等式0)(log81>x f 的解集为 （ ）（A ）)21,0( （B ）),2(+∞ （C ）),2()1,21(+∞⋃ （D ）),2()21,0(+∞⋃9. 函数y =log a （2－ax ）在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是A.（0，1）B.（0，2）C.（1，2）D.（2，+∞）解：题中隐含a ＞0，∴2－ax 在［0，1］上是减函数.∴y =log a u 应为增函数，且u = 2－ax在［0，1］上应恒大于零.∴⎩⎨⎧>->.02,1a a ∴1＜a ＜2.10．已知函数⎩⎨⎧(a －2)x －1 x ≤1log a x x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2，＋∞)解：∵f (x )在R 上单调增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1a －2>0(a －2)×1－1≤log a 1，∴2<a ≤3，故选C.11．(09天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解：∵x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4单调递增，且f (x )≥0；当x <0时，f (x )＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4单调递增，且f (x )<0，∴f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，∴－2<a <1. 12. 若2log a ＜0，1()2b ＞1，则 ( )A ．a ＞1,b ＞0B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜0 解：由2log 0a <得0,a <<由1()12b >得0b <，所以选D 项。