信号系统-44

E f1 ( t ) 0
(0 t ) ( t T )
1 F ( s) F1 ( s) 1 e sT
E 1 e s F ( s) S 1 e sT
E[U (t ) U (t )]
E F1 (s) (1 e s τ) s
at
: (a, ) : (, a )
双边拉普拉斯变换的收敛域
F (s) f (t )est dt

: ( , ) : ( , )
1 j st f (t ) F ( s ) e ds 2j j
s j
4.3.2、时移性：
若f(t)U(t) F(s)， 则
f(t t0 ) F ( s)e st0
例1:用延时性求F(s)，
f (t ) etU (t 2)
2 (t 2) 解 f (t ) e e U (t 2)
e 2 2 s F ( s) e s1
1 e j0t e j0t u (t ) 2j


1 1 1 0 F ( s) 2 2 2 j s j0 s j0 s 0
4.3.4、尺度变换性：
若f(t) F(s)，则
f(at)
1 s F( ) a a
x(t ) x(s), ROC R
F ( s ) e U (t )e dt e ( s a )t dt
at
1 sa
: (, a )
即反因果信号f (t)U (–t)的LT的收敛 区为s平面上某一左半开平面。
1 e U (t ) sa 1 at e U ( t ) sa
F[ f (t )e
t
]

f (t )e t e jt dt F (s)
对 f(t)e-t求傅里叶反变换可推出
1 jt f (t )e F ( s ) e d 2 1 t jt f (t ) F ( s ) e e d 2 ds 因为 s j 所以 d j 当 s j
f (t )e s0t F ( s
s0 )
例 求e t cos(0t )u (t )的拉氏变换。
解：
s cos(0t )U （t） s 2 2 0
t
e
cos(0t )U (t )
s 2 ( s )2 0
对于e t sin(0t )u (t ),同样
f (t )
1 2 j

j j
F ( s )e ds
L
st
f (t ) L [ F (s)]
1
f (t ) F (s)
物理意义： 信号f(t)可分解成复指数est的线性组合 F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。 s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。
F[ f (t )e
t
]

f (t )e e

t jt
( j )t f ( t ) e dt dt

令s= +j
f (t )e st dt F (s)

定义： F (s)



f (t )est dt
拉普拉斯正变换
F(s)称为f (t)的像函数， 而f (t)称为F(s)的原函数。
例2: 求图示信号的拉氏变换。
解
f (t ) tU (t )

1 s2
f1 (t ) (t t0 )U (t t0 ) f 2 (t ) (t t0 )U (t )
1 st0 e 2 s
1 1 t0 2 s s
例3: 求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。 t
0
【解】设
sin 0 t U (t )

0
e
j0 t
e 2j
j0t
U (t )
0 1 1 1 ( ) 2 2 2 j s j0 s j0 s 0
0
(t ), ( n) (t )

L[ (t )] (t )e st dt

' ' st
第四章 连续信号与系统的复频域分析 x(t)=est y(t)=H(s)est
s
h(t)

H ( s) h( )e d
F ( )
1 f (t ) 2


f (t )e jt dt



F ( )e jt d
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
f (t)=eatU(t) >0的傅里叶变换？
t
ROC包括R {Re{s} 0}
4.3.5、时域卷积定理：若 则
f 1 (t ) F1 ( s )
f 2 (t ) F2 ( s)
f1 (t ) * f 2 (t ) F1 (s)F2 (s)
f 1 (t ) F1 ( s )
f 2 (t ) F2 ( s)
原函数f (t)定义在无限时间区间，称为双边拉氏变换。 把f (t)的拉氏变换存在的 取值范围称为LT的收敛区。 在给出拉氏变换的同时，必须给出其相应的收敛区。
f (t ) F (s)
: ( , )
j 左半平面
S平面 收 敛 α 区 β 右半平面
1.收敛域是平行于j轴的带状区域
1 s

( n)
(t )
s
n
1 s2
n! s n 1
3. e U(t) -e-at U(t)
te-at U(t )
t e U(t )
n -at
-at
1 sa 1 sa 1 ( s a )2 n! ( s a) n 1
4. cos 0 tU(t)
s s 2 0 2
sin 0 tU ( t )

F ( s ) [U (t ) U (t )]e st dt
s 1 e st 0 e dt s
: (, )
即时限信号f (t)的LT F(s)的收敛区为s全平面。
常用信号的拉氏变换 1. (t ) 1 (t ) s
2. U (t ) tU (t ) t nU (t )
α < <β 称收敛条件
2.收敛域内不含任何极点
3.右边信号的收敛域是最大极点的右侧 4.左边信号的收敛域是最小极点左侧 5.双边信号的收敛域是带状区域 6.时限信号的收敛域是整个S平面
例4.3；例4.4；例4.5
例4.7：求时限信号f (t)=U(t)–U(t–)的双边拉氏变换及其收敛 区。式中， >0。 解：
拉氏变换与傅氏变换的关系
• LT是FT的推广，FT则是LT在 =0时的特殊情况。 • FT: 实频率， 是振荡频率 • LT: 复频率s， 是振荡频率，控制衰减速度
傅立叶变换的局限性
1、某些信号存在傅立叶变换，但从傅立叶定义不能直接求出； 2、某些信号不存在傅立叶变换，但存在拉氏变换，如e2tU(t)； 3、傅立叶变换只能求系统的零状态响应，而拉氏变换可以求全响应； 4、傅立叶变换只能分析稳定系统，拉氏变换可以分析不稳定系统。
0 sin(0t )U (t ) 2 s 0 2
e
t
0 sin(0t )U (t ) ( s )2 0 2
4.3.6、时域微分
若
则
x(t ) X ( s ), ROC R
dx(t ) sX ( s), dt
ROC包括R
4.3.8、s域微分
例：信号 f (t ) e U (t ) ，求LT。
解： 根据拉氏变换的定义得
at
F (s) e U (t )e dt e
at st 0


( s a )t
dt
由于 s= +j，该积分要存在， 应满足 +a>0，即 >-a， 或Re[s]>-a。 于是
若
则
x(t ) X ( s ), ROC R
dX ( s ) tx(t ) , ROC = R ds
k d X (s) k (t ) x(t ) , k ds
4.3. X ( s ), ROC R
1 x ( ) d X ( s ), s
不存在!
将f(t)乘以衰减因子e-σt
F[ f (t )e
t
]

f (t )e e
t jt
dt e e
0
t ( j )t 0
dt
令s j
若
e ( s )t dt
1 s
4-1 连续信号双边拉普拉斯变换
1
Re(s)
d st L[ (t )] (t )e dt (e ) t 0 s dt n d L[ ( n ) (t )] ( n ) (t )e st dt (1)n n (e st ) s n t 0 dt
解：
-
(2) f2 (t ) U (t )
st
(1) F1 (s) (t )e dt 1
st st - 0
:( , )
:(0, )
(2) F2 ( s) U (t )e dt
1 e dt s
正弦信号
e j0t e j0t cos 0 t U (t ) U (t ) 2 1 1 1 s ( ) 2 2 2 s j0 s j0 s 0