03数的整除
《数的整除特征》课件
数据存储与传输
在计算机科学中，整除是一个非常重要 的概念。例如，在数据存储和传输中， 我们需要用到二进制数，而二进制数的 整除可以用来进行数据的加密和解密。
VS
算法设计与优化
在算法设计和优化中，整除也是一个非常 重要的概念。例如，在排序算法中，我们 可以利用整除来快速判断一个数是否为整 数，从而优化算法的性能。
数的整除特征
偶数的整除特征
总结词
偶数可以被2整除
详细描述
偶数是能被2整除的整数，其特征是末尾数字为0、2、4、6或8。偶数的整除特 性表明，偶数除以2的余数为0。
奇数的整除特征
总结词
奇数不能被2整除
详细描述
奇数是除以2余数为1的整数，其特征是末尾数字为1、3、5、7或9。奇数的整除特性表明，奇数除以 2的余数只能是1。
《数的整除特征》ppt 课件
目录
• 整除的定义与性质 • 数的整除特征 • 整除的应用 • 数的整除特征的扩展知识 • 练习与思考
CHAPTER 01
整除的定义与性质
整除的定义
整除：如果整数a除以整数b（ b≠0）的余数为0，那么就称a能
被b整除。
整除是数学中的一个基本概念， 是研究整数的一个重要的分支。
Байду номын сангаас
判断题
一个数如果是3的倍数，那么它 一定是9的倍数。（ ）
选择题
一个四位数，千位数字是个位数 字的2倍，百位数字是个位数字 的3倍，十位数字是个位数字的4
倍，这个四位数是（ ）。
填空题
一个四位数，千位数字是百位数 字的2倍，百位数字是十位数字 的3倍，个位数字是十位数字的4 倍，这个四位数的千位数字是（ ），百位数字是（ ），十位数字 是（ ），个位数字是（ ）。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题;理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题,增强孩子的数感;一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b,除得的商正好是整数而且余数是零,我们就说a能被b 整除或b能整除a,记作b/a,读作“b整除a”或“a能被b整除”;a叫做b的倍数,b叫做a 的约数或因数;整除属于除尽的一种特殊情况;二、整除的五条基本性质：1如果a与b都能被c整除,则a+b与a-b也能被c整除；2如果a能被b整除,c是任意整数,则积ac也能被b整除；3如果a能被b整除,b能被c整除,则积a也能被c整除；4如果a能同时被b、c整除,且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立；5任意整数都能被1整除,即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除,即0是任意非0整数的倍数;三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质,可以推导出某些特殊数的整除特征,为解决整除问题带来方便;1如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数,可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征;①若一个整数的个位数字是2的倍数0、2、4、6或8或5的倍数0、5,则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数,则这个数能被8或125整除;推理过程：2、5都是10的因数,根据整除的基本性质2,可知所有整十数都能被10、2、5整除;任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和,如果一个数的个位数字也能被2或5整除,根据整除的基本性质1,则这个数能被2或5整除;又因为4、25都是100的因数,8、125都是1000的因数,根据整除的基本性质2,可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、125整除;同时,任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和,根据整除的基本性质1,可以推导出上面第②条、第③条整除特征;同理可证,若一个数的末四位数能被16或625整除,则这个数能被16或625整除,依此类推;2若一个整数各位上数字和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除;推理过程：因为10、100、1000……除以9都余1,所以几十、几百、几千……除以9就余几;因此,对于任意整数ABCDE…_______________都可以写成下面的形式n为任意整数：9n＋A＋B＋C＋D＋E＋……9n一定能被3或9整除,根据整除的基本性质1,只要这个数各位上的数字和A＋B ＋C＋D＋E＋……能被3或9整除,这个数就能被3或9整除;3用“截尾法”判断整除性;①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的1倍,差是11的倍数,则原数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的4倍,差是13的倍数,则原数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的5倍,差是17的倍数,则原数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的2倍,差是19的倍数,则原数能被19整除;根据整除的基本性质3,以上5条整除特征中,如果差太大,可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程,直到能直接判断为止;推理过程：设任意一个整数的个位数字为y,这个数可以表示成10x＋y的形式,其中x为任意整数;一个数截尾减2后,所得数为x－2y;因为截去这个数的个位数字后,所得数x减去个位数字y的2倍,实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了20个y,截尾一个y,总共减去了21个y,剩下了x－2y个10;如下式：10x－20y＋y－y﹦x－2y×10﹦10x ＋y－21y;根据整除的基本性质,如果x－2y能被7整除,则x－2y×10就能被7整除,即10x＋y－21y能被7整除,21y是7的倍数,可以推出原数10x＋y一定能被7整除;“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了39y13的倍数,得到x＋4y 个10,“截尾加4”所得x＋4y如果能被13整除,原数必能被13整除;同理,“截尾减1”就是原数减去了11个y11的倍数,原数剩下x－y个10,“截尾减1”所得x－y能被11整除,原数必能被11整除；“截尾减5”就是原数减去了51个y17的倍数,原数剩下x－5y个10,“截尾减5”所得x－5y能被17整除,原数必能被17整除；“截尾加2”就是原数加了19y19的倍数,得到x＋2y个10,“截尾加2” 所得x＋2y如果能被19整除,原数必能被19整除;依此类推,可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除,用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等;4 “截尾法”的推广使用;①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差大数减小数能被7、11或13整除,则这个数一定能被7、11或13整除；②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除,则这个数能被23或29整除;比较适合对五位数进行判断推理过程：①设任意一个整数的末三位数为y,则这个数可以表示成1000x＋y的形式,其中x 为任意整数;当x大于y时,这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y;这里x 减y实际上是在原数的千位上减去y,即减去了1000y,加上截去末三位数y,总共减去了1001y,原数剩下x－y个1000;如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000x－y﹦1000x＋y－1001y7×11×13﹦1001,7、11和13都是1001的因数;综上所述,如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y能被7、11或13整除,即1000x＋y－1001y能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;当y大于x时,可得1000y－x﹦1001y－1000x＋y,如果y－x能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;②设任意一个整数的末四位数为y,则这个数可以表示成10000x＋y的形式,其中x 为任意整数;末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x;10000y－5x﹦1005y－510000x＋y因为1005是23和29的公倍数,如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x能被23或29整除,即10000y－5x能被23或29整除,则原数必能被23或29整除;依此类推,如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除,则这个数必能被101整除等等;5若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;推理过程：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1,如1、100、10000……等,除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几,它所表示的数值除以11就余几,所有偶数位上数字之和除以11余几,所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几;一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”余数为10,如10、1000、100000……等,除以11都“缺1”, 因此每个奇数位上数字是几,它所表示的数值要整除11就缺几,所有奇数位上数字之和除以11缺几,所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几;“移多补少”,只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除,原数才能被11整除;。
数的整除
数的整除（背的内容）
1、被3或9整除的数的特点:各位数字的和是3或9的倍数
2、被2整除的数的特点：个位数是偶数。
3、被5整除的数的特点：个位是0或5.
4、被4或25整除的数的特点：末两位数能被4或25整除。
5、被8或125整除的数的特点：末三位数能被8或125整除。
6、被11整除的数的特点:这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。
7、被7或11或13整除的数的特点：这个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差能被7或11或13整除。
写的内容
1、把一个棱长为4厘米的正方体以任意长度横着切两片，以任意长度竖着切两条，在每一条上切三块，共切出12块。
不一样的长方体，则这12块长方体的表面积是多少？
2、有一个长方体和一个正方体，正好可以拼成一个新的长方
体，新长方体的表面积比原长方体的表面积增加60平方厘米，求正方体的表面积？
3、一个长方体，表面积为184平方厘米，底面积是20平方厘
米，底面周长为18平方厘米，求长方体的体积？
4、一个长方形跑道长150米，宽60米，王丽和杨乐同时从一
个顶点同向起跑，王丽每分钟跑500米，杨乐
每分钟跑450米，两人第一次相遇时各跑多少米？
5、一轮船往返于A、B两港运送货物，去时顺水每小时行24
千米，返回时逆水每小时行16千米，返回时比去时
多用4小时，求AB两港间相距多少千米？
6、一架飞机顺风而行每小时飞900千米。
现在它从甲地到乙
地顺风而去，逆风返回，返回时比去时多用2小时，
已知风速每小时为75千米，求往返甲、乙两地共用多长时
间？。
数的整除
2. 与3有同种倍数特征的数据： 9的倍数的特征：一个数的各个数位上的数的和 是9的倍数，这个数就是9的倍数。 例：4536是9的倍数吗？ 解答：（4+5+3+6）÷9=2，是9的倍数， 所以4536是9的倍数。
3. 其他一些数据的倍数的特征：
7的倍数的特征：把一个数的末尾数字割去，从留下的 数中减去所割去的数字的2倍，这样继续 做下去，如果最后的结果是7的倍数，那么 原来这个数就是7的倍数。 例：判断：4151能否被7整除？
判断1884924与2560437， 能否被27或37整除。 能被27（或37）整除的数的特征：对于任何一个 自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若 干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和 能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27 （或37）整除。
判断1884924与2560437，能 否被27或37整除。 解：1884924=1,884,924， 1+884+924=1809。 因为，1809能被27整除，不能被37整除。 所以，1884924能被27整除，但不能被37整除。
所有六位数是：123654、321654
5. 一个整数乘以17后，乘积的后四位数是2002， 这样的整数中最小的是多少？ 解答：用□2002除以17，要求整数中最小的 是多少？这个数字最小就是12002。 12002÷17=706， 符合题目要求的最小的整数是706。
ABC分别是几时，使得七位数A6474BC能分别 被8、9和25整除。 分析：本体可以利用能被8、9和25整除的数的特 征，以及整除的性质3来解决。 ① 能被8整除的数的特征：一个数的末三位能被8整除。 ② 能被9整除的数的特征：一个数各个数位上的数字 之和能被9整除。 ③ 能被25整除的数的特征：一个数的末两位能被25整除。
数的整除特征06339
数的整除特征1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。
2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。
3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。
4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9或3整除。
5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。
6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。
【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一能被15整除，A 与B 可以是哪些数字【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位数。
问：这样的三位数有几个【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了问：每本词典多少钱【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。
【例5】要使27A3B 一一一一一一这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几数的整除专项练习：1、五位数6A25B 一一一一一一一一的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除问：这样的五位数共有几个2、在内填上合适的数使七位数能被72整除。
3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。
4能被11整除，求这个六位数。
5、能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几6、一个六位数37A46B 一一一一一一一一是99的倍数，求这个数除以33的商。
7、在15整除填上什么数字就能被45整除填上什么数字就能被21整除8、四年级有72名学生，共交5月份课间营养加餐费。
最新能被1—31整除的数的特征资料
能被1—31整除的数的特征能被质数整除的数的特征（1—31）7－2 11－1 13＋4 17－5 19＋2 23＋7 29＋3 31－3能被2整除：偶数。
能被3整除：各个数位的和，是3的倍数。
能被5整除：个位为0或5。
能被7整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数的2倍，差是7的倍数。
例如，6139是否7的倍数？613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数。
方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是7的倍数。
例如，6139是否7的倍数？139－6＝133，所以6139是7的倍数。
能被11整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数，差是11的倍数。
方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是11的倍数。
方法3：奇数位的和减去偶数位的和，差是11的倍数。
能被13整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的4倍，和是13的倍数。
方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是13的倍数。
能被17整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数的5倍，差是17的倍数。
方法2（能被17、19整除类似）：末三位数与3倍的非末三位数的差，是17的倍数。
能被19整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的2倍，和是19的倍数。
方法2（能被17、19整除类似）：末三位数与7倍的非末三位数的差，是19的倍数。
能被23整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的7倍，和是23的倍数。
方法2（能被23、29整除相同）：末四位数与5倍的非末四位数的差，是23的倍数。
能被29整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的3倍，和是29的倍数。
方法2（能被23、29整除相同）：末四位数与5倍的非末四位数的差，是29的倍数。
第1章 专题03数的整除单元提优专练(学生版)
专题03数的整除单元提优专练（学生版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．长度分别为24、36、48分米的三段钢管，要把它们截成长度相等的小段（没有剩余），小段钢管的最大长度是（ ） A ．8分米B ．12分米C ．18分米D ．24分米2．两个数的最大公因数是12，最小公倍数是168，其中一个数是24，另一个数是（ ） A ．24B ．84C ．7D ．123．下列分数能化成有限小数的是（ ） A ．56B ．415C ．314D ．7204．小李的打字速度从每分钟40个字提高到每分钟60个字，则小李的打字速度提高了百分之几？列式正确的是（ ） A ．()6040100%-⨯ B ．60100%40⨯ C ．6040100%60-⨯ D ．6040100%40-⨯ 5．下列说法中正确的是（ ） A ．合数都是偶数 B ．两个不同的素数一定互素 C ．偶数不会是素数D ．整数分为合数和素数6．在下列说法中，正确的是（ ）． A ．奇数都是素数 B ．2的倍数都是合数 C ．合数不都是偶数D ．5的倍数都是奇数7．四个不同的质数之和为31，其中最小的质数为（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．7二、填空题8．已知237A =⨯⨯，25711B =⨯⨯⨯，那么A 、B 的最大公因数是_______，最小公倍数是______．9．36的因数有_____________，其中是素数但不是奇数的是______，是合数但不是偶数的是_______．10．四个连续自然数的积是5040，那么这四个数是_______．11．一个两位数是素数，它的十位上数字和个位上数字都是10以内的合数，这个两位数是______．12．如果两个数都是合数，那么这两个数就不可能互素（正确的填“√”，错误的填“×”）_______13．互素的两个数没有公因数（正确的填“√”，错误的填“×”）． _______14．在45、418、2930、3032、4975、3485这些分数中，分子和分母互素的分数是____________．15．23A a =⨯⨯，25B a =⨯⨯，如果A 、B 的最大公因数是34，那么a =______．16．在正整数2到10中，既是合数又是互素数的两个数是______；既是奇数又是互素数的两个数是______．17．两个合数是互素数，它们的最小公倍数是210，这样的数共有________对． 18．教师节这天，小佳同学用24朵百合和32朵康乃馨做成花束送给老师，要求每束花中的百合的朵数相同，康乃馨的朵数也相同，那么这56朵花最多能做成_______束花，每束花中百合有______朵．19．29和87的最小公倍数是_______．20．已知甲数2357=⨯⨯⨯，乙数3511=⨯⨯，则甲数和乙数的最大公因数是_______． 21．计算：510147÷=______． 22．循环小数2.255757…用简便方法写作______． 23．化简比：11:0.65=______．24．如果圆的半径为2厘米，那么45︒的圆心角所对的扇形面积是______平方厘米． 25．某种品牌的衣服，原价每件280元，现价以210元出售，是打______折出售的． 26．一堆苹果，已知比50个多，比70个少，把它们可以分成两堆，也可以分成三堆，还可以分成五堆，这堆苹果有_______个． 27．分解素因数：72=______________．28．已知某学校六年级学生超过100人，而不足140人．将他们按每组12人分组，多3人；按每组8人分组，也多3人，那么学校六年级学生有________人．29．两个互素的合数，它们的最小公倍数是126，则此两数分别是________和________．三、解答题30．“哥德巴赫猜想”是指：任何一个大于4的偶数，都可以写成两个奇素数的和．请把16和20写成两个奇素数的和．31．六（1）班买了28个单价相同的笔记本，用来奖励数学成绩优秀的同学，共支付□□元，已知十位上的□是1到9中最大的合数，个位上的□的素因数是2，2，2，请问每个笔记本多少元？32．根据要求写出下面的素数．（1）它们两个数的和是18；（2）它们两个数的差是17；（3）它们两个数的乘积是77．33．小红到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，她买了3本日记本，售货员阿姨说应付31元，小红认为不对.你能解释这是为什么吗？34．将48名参加义务植树的学生平均分成若干组，使每组人数不少于4人，也不多于30人，应该怎样分组？35．张警官在侦破一起案件时，发现与案件有关的一个保险箱设置了一个六位数的密码.保险箱的主人为了防备忘记密码，在自己的本子上做了如下提示：A是8的最大因数，B是最大的一位数，C的所有因数有1，2，3，6，D既是5的因数又是5的倍数，E 只有一个因数，F是最小的自然数.请根据提示解出保险箱的密码．36．分解素因数．（1）144；（2）306．37．某数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，满足以上条件的数中最小的那个是多少？38．一间客厅长8米，宽4.5米，现要铺正方形的地砖，市场上地砖有2⨯，3030cm 26060cm4040cm⨯，2⨯四种规格．请问选择哪种规格的地砖能整块铺5050cm⨯，2满，并计算出需要这样的地砖多少块？39．在1.8千米长的公路一侧有一排电线杆，相邻两根之间距离都是60米．由于电缆的增多，负荷增大，需要把电线杆之间的距离改为45米，起点那根电线杆不动，那么从起点开始到第一根不必移动的电线杆之间的距离是多少？并计算不用移动的电线杆有多少根？40．一批玩具要送给偏远地区某个幼儿园的小朋友，玩具总数在100~150之间．若按一个小朋友3个玩具这样分，分到玩具的小朋友中就有一个小朋友少2个；若按一个小朋友4个玩具这样分，分到玩具的小朋友中就有一个小朋友少3个；若按一个小朋友5个玩具这样的分，分到玩具的小朋友中就有一个小朋友少4个．求这批玩具有多少个？41．用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数． （1）72和90； （2）125和625； （3）14和15； （4）8、12和30．42．已知甲数235A =⨯⨯⨯，乙数237A =⨯⨯⨯，甲、乙两数的最大公因数是30，求甲、乙两数及它们的最小公倍数．43．在1.5千米长的公路一侧等距离种树（两端都种），原计划每隔10米一棵，并已放好种树的标志，后来改成每隔12米一棵，那么不用移动的标志有几个？44．先求出8和10的最大公因数和最小公倍数，并把最大公因数和最小公倍数相乘，再把8和10相乘，请你观察其中的规律．并用你发现的规律解下面的问题．（1）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，已知甲数是6，则乙数是多少？（2）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，已知甲数是18，则乙数是多少？45．老师将301本笔记本，215支铅笔和86块橡皮分成若干份同样的奖品，不得有剩余，那么得奖的同学有多少人？每个同学各拿到多少笔记本、铅笔、橡皮？46．圆的半径为5厘米，一个圆心角所对的弧长为12.56厘米，求这个圆心角的度数．47．连续两次掷一枚骰子，我们用如下形式表示结果，例如，用1—1表示第一、第二次都是点数1朝上；用2—5表示第一次点数2朝上、第二次点数5朝上．写出所有的结果数，并求出一次是点数3朝上，一次是点数5朝上的可能性的大小．48．某市今年第二季度的工业总产值为214亿元，比第一季度增长了7%．（1）求第一季度的工业总产值；（2）分别根据下列条件求第三季度的产值：①第三季度的产值比第二季度增长2%；②第三季度的增长率在第二季度的基础上提高2个百分点．49．如图，有甲、乙两个圆，它们的半径之比为3:8，每个圆又都被分割成黑、白两个扇形，其中甲圆被分成的黑、白两个扇形的面积之比为1:2，乙圆被分成的黑、白两个扇形的面积之比为1:3，求图中两个黑扇形的面积之和与两个白扇形的面积之和的比．50．如图，有一个钟摆，摆球可以看作一个直径为8厘米的圆形，摆线长20厘米，摆角为90度，求摆球左右摆动时扫过的面积．51．某学校学生做操，把学生分成10人1组，14人一组，18人一组，正好分完．并且知道这个学校学生的人数超过1000人，这个学校至少有多少个学生？52．用短除法求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）42和63．（2）8和20．53．在100至150之间找出两个数，使它们的乘积等于65与231的积，求这两个数．54．一个三位数与一个两位数．差是84．最大公因数是28，求这两个数．55．把144分解成两个因数，使这两个因数的差是10，求这两个数．56．用短除法分解素因数．（1）12（2）10557．用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）12和18（2）24和3658．有一个五位数，它的各位数满足下列条件．①每个数字都不一样；②五个数字乘积是720；③最小数字是2；④个位上的数字比十位上的数字大，十位上的数字比百位上的数字大，百位上的数字比千位上的数字大，千位上的数字比万位上的数字大．求这个五位数．⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯的积的末尾有几个连续的0？59．1234567989910060．如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是1:2．王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达丙地．甲、乙两地相距多少千米？。
数的整除
1、若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
2、若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
3、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
4、最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
5、能被9整除的数各位数和为9的倍数。
6、若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！7、一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被13整除，那么，这个多位数就一定能被13整除．8、末尾的两位数是00，25，50，75四种能被25整除。
奥数辅导－－数的整除(题304-题530)【题304】求360的全部约数的和。
【思路或解法】因为360=23×32×5，所以有360的全部约数的和为：【题305】一位妇女提一篮鸡蛋，三个三个数余两个，五个五个数余四个，七个七个数余六个．这篮子里至少有多少个鸡蛋？【思路或解法】如果加上一个鸡蛋，题目就变成了求能被3、5和7同时整除的数了，能被3、5和7同时整除的数就是3、5和7的公倍数．因为3、5和7的公倍数有105、210、……，而题中所问的是“至少”有多少个，所以应取最小公倍数105，但鸡蛋数被3、5、7除都差一个才为整数商，故而鸡蛋数应为105-1=104（个）。
【题306】15×28×33、9×35×88、12×77×15、22×30×21这四个积中，哪个积与其它积不相等？【思路或解法】根据积不相等，这个积的各个因数所含有的质因数也就不相同的原理，先分解各个积的质因数：15×28×33=32×22×5×7×119×35×88=32×23×5×7×1112×77×15=32×22×5×7×1122×30×21=32×22×5×7×11再比较这些积所分解成的质因数及其个数，我们不难发现：9×35×88的质因数比其它的多一个2，故而，9×35×88的积与其它积不相等。
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总复习
自学提示
1、一个数的因数最小是几？最大的是几？ 2、一个数的倍数最小是几？有最大的吗？ 3、什么是质数？什么是合数？按一个数因数 个数划分，“1”属于什么数？ 4、举例说明2、3、5的倍数的特征分别是什 么？
知识概要
1 2 3 4 5
整除和除尽 数的整除关系图 分解质因数 最大公因数和最小公倍数 实际应用
既有因数3，又有因数5的有（ ）。 360,630
能同时被2、3、5整除的最大的两位
数是（
（ 990 90
），最大的三位数是
）。
¯ 填空
在1至１0之间的十个数中，
都是合数又是互质数的是： 8和9、4和9、9和10 都是质数又是互质数的是： 2和3、2和5、2和7、3和5、3和7、5和7
一个三位数，个位上的数既是偶数又是 质数，十位上的数既是奇数又是合数， 百位上既不是质数也不是合数，这个三 位数是（ 192 ）。
12和18
7和8
1和9
5和11
40和50
12和24
已知A=2×2×3×5，B=2×3×7 A和B的最大公因数是（ ×3×2×5×7=420
¯最大公因数和最小公倍数
@ 分母是12的所有最简真分数有哪些， 它们的和是多少？ @ 一个最简真分数，它的分子与分母的
三个连续奇数的和是27，这三个奇数
从小到大是（ 7 ）、（ 9 ）、（ 11 ）。
一个三位数，百位上既不是质数也不
是合数，十位上是最大的一位奇数，这
个数又是2和3的倍数，这个三位数是
（ 192 ）或（ 198 ）。
¯ 质因数和分解质因数
把一个合数写成几个质数相乘的形 式就叫分解质因数。这几个质数都叫做
¯最大公因数和最小公倍数
@ 求18和24的最大公因数和最小公倍数。
分解质因数法
18=2×3×3 24=2×2×2×3
24 2 18 12 3 9 短除法 3 4 18和24的最大公因数是：2×3=6
18和24的最小公倍数是： 2×3×3×4=72
¯最大公因数和最小公倍数
求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
这个合数的质因数。
60=2×2×3×5 60的质因数 分解质因数
¯判断
正确的分解质因数是（
A.30=5×6
D
）
B.30=1×2×3×5
C.2×3×5=30
D.30=2×3×5
¯练习
找出合数并分解质因数。
19 27 40 23 50 12.4
27=3×3×3
91
40=2×2×2×5
50=2×5×5 91=7×13
@ 一箱橘子，（数量不超过100个），2个 2个的数，3个3个的数，5个5个的数，都 余1个。这箱橘子至少有多少个？最多有多 少个？
@ 为长104分米，宽72分米的房间铺设方
砖。要想不浪费，选择的方砖的边长最长 是多少比较好？
质数有（ 2,3,5,7,11,13,17,19 ）， 合数有（ 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18 ）， 既不是质数又不是合数的是（
３的倍数有（
3,6,9,12,15,18 5,10,15 1
）；
），
含有约数５的数有（
）。
¯ 填空
用3、0、6排列成的三位数中，
有因数2的数有（ 306,360,630 ）， 有因数 5的数有（ 360,630 ），
积是28，这样的分数有哪些？
¯最大公因数和最小公倍数
@ 公共汽车站。五路车每3分钟发一班，
九路车每5分钟发一班。第一次发车后， 两路车下次同时发车是多少分钟后？ @ 有两根铁丝。一根长12m，一根长18 m。要把两根铁丝截成同样长的小段，不 许有剩余。每小段最长是多少米？
¯最大公因数和最小公倍数
（ 13 ）整除，（13 ）是（52）的因 数，（52）是（13）的倍数。
一个数的最小倍数是24，这个数的
因数有（1,2,3,4,6,8,12,24 ）。
¯ 填空
在小于20的自然数中，
奇数有（ 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 偶数有（ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18 ）， ）；
¯整除和除尽
整除定义是：“自然数a除以自然
数b（b≠0），除得的商正好是整数而
没有余数，我们就说：a能被b整除。 a是b的倍数，b是a的因数”。 两个数相除，商没有余数，我们就说这两 个数可以除尽。
¯判断整除和除尽。
400÷50=8 40÷50=0.8 0.4÷5=0.08 400÷5=80
37÷5=7.4 28÷7=4 整除：
37÷3=12……1 4.8÷0.4=12 除尽：
¯ 填空
在自然数范围内，最小的质数是
（ 2 ），最小的合数是（ 4 ），最小 的奇数是（ 1 ），最小的偶数是
（ 0 ），最小的自然数是（ 0 ）。
¯ 填空
在13和52两个数里（ 52 ）能被