《指数函数及其性质》
高中数学《指数函数及其性质》教案
高中数学《指数函数及其性质》精品教案一、教学目标1. 让学生理解指数函数的定义，掌握指数函数的性质。
2. 培养学生运用指数函数解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的探究和运用能力。
二、教学内容1. 指数函数的定义与表达式2. 指数函数的单调性3. 指数函数的奇偶性4. 指数函数的图像与性质5. 实际问题中的指数函数应用三、教学重点与难点1. 重点：指数函数的定义、性质及其应用。
2. 难点：指数函数图像的特点，以及如何运用指数函数解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生探究指数函数的性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解指数函数的图像与性质。
3. 通过实际问题的引入，培养学生的应用能力。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的指数知识，引发学生对指数函数的好奇心。
2. 新课讲解：介绍指数函数的定义、表达式，分析指数函数的单调性和奇偶性。
3. 案例分析：分析实际问题中的指数函数应用，让学生体会数学与生活的联系。
4. 课堂练习：设计相关练习题，巩固学生对指数函数的理解。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评价1. 通过课堂提问、练习题和课后作业，评估学生对指数函数定义、性质的理解程度。
2. 观察学生在解决问题时的思维过程，评价其运用指数函数解决实际问题的能力。
3. 鼓励学生参与课堂讨论，评价其合作交流和探究能力。
七、教学资源1. 教材：高中数学教材相关章节。
2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解指数函数的性质。
3. 练习题：设计具有梯度的练习题，巩固学生对指数函数的理解。
4. 实际问题：收集与生活相关的指数问题，激发学生的学习兴趣。
八、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解指数函数的定义与表达式，分析单调性和奇偶性。
2. 第3课时：探讨指数函数的图像与性质。
3. 第4课时：分析实际问题中的指数函数应用。
九、课后作业1. 复习指数函数的定义、性质及其图像。
指数函数及其性质
研究初等函数性质的基本方法和 步骤：1、画出函数图象
2、研究函数性质
①定义域 ②值域 ③单调性 ④奇偶性 ⑤其它
画函数图象通常采用：列表、描点、连线．有时，也可以利用函数的
有关性质画图.
指数函数的图象和性质：
在同一坐列表如下：
y 1 x 2
x -3 -2 -1
指数函数及其性质
情景 2：某种机器设备每年按 6% 的折旧率折旧，设机器的原来价值为 1，经过 x 年后，机 器的价值为原来的 y 倍，则 y 与 x 的关系为 y 0.94 x .
问题 1：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？
➢指数幂形式 ➢自变量在指数位置 ➢底数是常量
• 一、指数函数的定义
• 一般地，函数y＝___a_x__(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中
x是_自__变__量_． 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征： • (1)底数：大于零且不等于1的常数； • (2)指数：仅有自变量x； • (3)系数：ax的系数是1.
问题2：为什么要规定a>0,且a 1呢？
2 x 0.13 0.25 0.5
1
x
8
4
2
2
- 0.5 0 0.71 1
1.4 1
0.5 1 2 3 1.4 2 4 8
0.71 0.5 0.25 0.13
y 2x
y 1 x
88
2
77
66
55
44
gx = 0.5x 33
22
11
--66
--44
--22
fx = 2x
22
44
66
• 2．指数函数的图象和性质 • 指数函数的图象和性质如下表所示：
高中数学《指数函数及其性质》教案
高中数学《指数函数及其性质》精品教案一、教学目标：1. 让学生理解指数函数的定义，掌握指数函数的表达式和基本的运算规则。
2. 让学生理解指数函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等，并能运用这些性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养，提高学生解决数学问题的能力。
二、教学内容：1. 指数函数的定义与表达式2. 指数函数的运算规则3. 指数函数的单调性4. 指数函数的奇偶性5. 指数函数的周期性三、教学重点与难点：1. 教学重点：指数函数的定义、表达式、运算规则、单调性、奇偶性和周期性。
2. 教学难点：指数函数的单调性和周期性的证明及应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究指数函数的性质。
2. 利用多媒体课件，直观展示指数函数的图像，帮助学生理解指数函数的性质。
3. 运用例题讲解，让学生在实践中掌握指数函数的性质及应用。
4. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神和沟通能力。
五、教学过程：1. 导入：通过回顾幂函数的知识，引导学生思考指数函数的定义和表达式。
2. 新课讲解：讲解指数函数的定义、表达式和运算规则，通过示例让学生掌握基本的运算方法。
3. 性质探究：引导学生自主探究指数函数的单调性、奇偶性和周期性，并提供相应的证明。
4. 应用练习：布置一些具有代表性的练习题，让学生运用指数函数的性质解决问题。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调指数函数的性质及其应用。
6. 课后作业：布置一些巩固知识的作业，让学生进一步掌握指数函数的性质。
六、教学目标：1. 让学生理解指数函数的图像特征，包括增长速度和渐近行为。
2. 培养学生运用指数函数模型解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的应用能力和创新思维。
七、教学内容：1. 指数函数的图像特征2. 指数函数的增长速度3. 指数函数的渐近行为4. 实际问题中的指数函数模型八、教学重点与难点：1. 教学重点：指数函数的图像特征、增长速度和渐近行为。
指数函数及其性质
y
图
ya (a 1)
x
y
y ax (0 a 1)
象
y 1
(0,1)
o
x
o
(0,1)
当 x < 0 时，y > 1； 当 x > 0 时， 0< y < 1。
x
相 同
(1)定 ： , 义域
(2)值域 :
0,
没有最值 没有奇偶性
性 质
点
(3)过 （ 0， ， x 0时, y 1 点 1） 当
即: a 3 a 3
1 3
f x ( ) f 0 1
0 0 3
1 3 x
x 3
f 1
1
1 3
f 3
3 3
1
截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今 后能将人口年平均增长率控制在1％，那么经 过20年后，我国人口数最多为多少（精确到 16亿 亿）？
∴ 0.8 0.1 <
0.8 0.2
(1) 1.72.5 , 1.73 （2）0.8-0.1， 0.8-0.2 解（1）底数都是1.7 , 故考查指数函数 f x 1.7 x 1.7 2.5 与1.73 可以看作函数f x 1.7 x的两个不同函数值
(1)两个同底的指数幂比较大小，可运用以该底数为底的指 数函数的单调性，转化为比较指数的大小
③ ④
3
0.9
.
0.8
0.9
( )
1 0.5 6
.
( )
1 0.5 2
指数相同， 底数不同时， 利用函数图象求解。
y
y 0.8
高中数学必修一《指数函数及其性质》PPT课件
②若函数f(x)=(2a-1)x是指数函数，则实数a 的取值范围是什么?
1
由题可得2a-1>0且2a-1≠1， 解得a> 2 且a≠1满足题意。
③已知指数函数f(x)的图象经过点（2，9）， 则f(0)、 f(1)、 f(-2)的值分别为多少？
设这f种(x)求=a解x（析a式>0方且法a≠叫1)做,由待f(定2)=系9得数a法2=。9,解得a=3
例2.在同一直角坐标系中，观察函数 y 2 x , y 3x ,
y
(1)x 2
,
y
(1)x 3
y
的图象。
y
1
x
yy
3
3x
y
1 2
x
4
3
y 2x
2
1
-3 -2 -1
01
23
x
-1
指数函数图象的性质
y=ax 图象
a >1
y
0<a<1
y
定义域 值域 定点
o
x
ox
(--∞，+∞) （左右无限延伸）
-1 2 2、若函数 y (k 2)a x 2 b(a 0,且a 1) 是指数函数，则 k
，b
。
3、若指数函数的图象经过点 (4, 1 ), 则 f (3)
8
16
（3,4） 4、函数 y a x3 3(a 0,且a 1) 的图象恒经过定点
。
课堂小结
1.说说指数函数的概念。 2.记住指数函数图象和性质。
特别提醒：
(1) 有些函数貌似指数函数，实际上却不是， 如 y 3x 1
指数函数及其性质教案
“指数函数及其性质教案”教学目标：1. 理解指数函数的定义和表达形式；2. 掌握指数函数的性质，包括单调性、奇偶性和周期性；3. 能够应用指数函数的性质解决实际问题。
教学内容：一、指数函数的定义与表达形式1. 引入指数函数的概念；2. 介绍指数函数的一般形式；3. 解释指数函数的参数含义。
二、指数函数的单调性1. 探讨指数函数的单调性；2. 证明指数函数的单调性；3. 应用指数函数的单调性解决实际问题。
三、指数函数的奇偶性1. 探讨指数函数的奇偶性；2. 证明指数函数的奇偶性；3. 应用指数函数的奇偶性解决实际问题。
四、指数函数的周期性1. 探讨指数函数的周期性；2. 证明指数函数的周期性；3. 应用指数函数的周期性解决实际问题。
五、实际问题中的应用1. 引入实际问题；2. 应用指数函数的性质解决实际问题；3. 总结指数函数在实际问题中的应用。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解指数函数的定义、表达形式以及性质；2. 利用多媒体演示，直观展示指数函数的图像和性质；3. 通过例题和练习题，巩固学生对指数函数性质的理解和应用。
教学评估：1. 课堂问答，检查学生对指数函数定义和表达形式的理解；2. 布置课后练习题，评估学生对指数函数性质的掌握程度；3. 组织小组讨论，评估学生在解决实际问题中的应用能力。
教学资源：1. 教材或教辅资料；2. 多媒体教学设备；3. 练习题和实际问题。
教学时间：1. 第一课时：指数函数的定义与表达形式；2. 第二课时：指数函数的单调性；3. 第三课时：指数函数的奇偶性；4. 第四课时：指数函数的周期性；5. 第五课时：实际问题中的应用。
六、指数函数的图像与性质1. 分析指数函数的图像特点；2. 探讨指数函数的性质，包括单调性、奇偶性和周期性；3. 应用指数函数的性质解决实际问题。
七、指数函数的应用1. 引入实际问题；2. 应用指数函数的性质解决实际问题；3. 总结指数函数在实际问题中的应用。
指数函数及其性质
指数函数及其性质
指数函数是数学中的一种常见函数形式，可以表示为f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不为1，x是任意实数。
指数函数的性质如下：
1. 定义域：指数函数的定义域是全部实数集。
2. 值域：当a>1时，指数函数的值域是(0, +∞)，即正数集；当0<a<1时，指数函数的值域是(0, 1)，即(0,1)开区间。
3. 增减性：当a>1时，指数函数是递增的；当0<a<1时，指数函数是递减的。
4. 对称轴：指数函数没有对称轴。
5. 对称性：指数函数不具有对称性。
6. 极限性质：当x趋于正无穷大时，指数函数的极限是正无穷大；当x趋于负无穷大时，指数函数的极限是0。
7. 交叉性：当a>1时，指数函数与x轴交于点(0,1)；当0<a<1时，指数函数与y轴交于点(0,1)。
8. 垂直渐近线：指数函数没有垂直渐近线。
9. 水平渐近线：指数函数没有水平渐近线。
10. 切线性质：指数函数在任意一点的切线都与该点对应的指数函数图像相切。
总结起来，指数函数具有增减性、无对称性、极限性质和交叉性等基本性质。
指数函数在实际问题中经常用于描述增长或衰减的规律，具有重要的应用价值。
指数函数及其性质(含知识点、例题、练习、测试)
指数函数及其性质 知识点一 指数函数及图像性质1.指数函数概念：定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ，a 是底数.2. 指数函数的图象和性质：作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y =图像性质总结 底数 a >1 0<a <1图象性质 函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1； 当x <0时，恒有y >1 函数在定义域R 上为增函数 函数在定义域R 上为减函数题型一 指数函数求值【例1】已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.题型二 比较大小【例2】比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1题型三 指数函数性质【例3】求下列函数的定义域与值域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =【过关练习】1、 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .2、 比较大小：0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===； 01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.思考探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域问题？知识点二 指数函数应用1. 指数函数的应用模型（应用题）2. 指数形式的函数定义域、值域题型 函数综合【例1】 2017年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？【例2】指数函数与函数性质综合1、已知函数[]2,1,2329∈+•-=x y xx ，求这个函数的值域；2、求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.【过关练习】1、 一片树林中现有木材30000m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 32. ① 求函数y =的定义域和值域.② 求下列函数的定义域、值域：21x y =+; y =110.4x y -=.【补救练习】 1、已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )2、比较下列各组数的大小： 13222()0.45--与（） ； 0.760.75333-（）与（）.【巩固练习】1、函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )2、下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－x C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1 D ．y ＝1－2x 【拔高练习】1、当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)2、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．【补救练习】 B ＞＜【巩固练习】B B 【拔高练习】 C 24。
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C 1＜a ＜b＜ c ＜ d D a＜b ＜1 ＜d ＜ c
y2
x
• 引例2：一种放射性物质不断变化成其他物 质，每经过一年的残留量是原来的84%， 那么以时间x年为自变量，残留量y的函数 关系式是 y 0.84x • 在 y 2 x , y 0.84x 中指数x是自变量，底数是 一个大于0且不等于1的常量.
• 我们把这种自变量在指数位置上而底数是 一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指 数函数.
。
。
练习 1、 求下列函数的定义域：
（1）
y3
1 x4
（2 ）
1 y 1 ( )x 2
2 、比较下列题中两个值的大小： （1）
32.5 , 33
（2）
0.750.1 , 0.750.2
3、填空 (1)、函数y=a x 1 +2(a>0且a 1)恒过定点____; (2)、已知函数f(x)=a x(a>0且a 1)过（2,2）点，则a=______
x
二、作函数图象
16 14
y 2 y 3
x
x x
y=
1 3
x
12
y=3x y=2x
y=
1 2
10
x
8
6
1 y 2
5 10
4
2
10
5
2
1 y 3
15
x
4
6
a>1
图
0<a<1
象
(1)定义域为R，值域为(0，+ ∞ ) 性 (2)图像都过点(0，1)，当x=0时，y=1 （3）在R上增函数 （3）在R上减函数 ⑷当x＞0时，y＞1 ⑷当x＞0时， 0＜y＜ 质 当x＜0时，0＜y＜1 1 当x＜0时， y＞1
一、指数函数
x 一般地，函数y=a （a＞0，且a≠1）
叫做指数函数 （1）形如：y=ax （2）a＞0，且a≠1
探究1：为什么要规定a>0,且a≠1呢？
①若a 0，则当x 0时，a x 0；当x 0时，a x无意义.
②若a 0，则对于x的某些数值，可使a x无意义.如(-2)x， 1 1 这时对于x ，x ， 等等，在实数范围内函数值不存在. 4 2
0.1
0.2
0.3
3.1
例2 截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后 能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后， 我国人口数量最多为多少（精确到亿）
• 解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后， 我国人口数为y亿： • 经过1年（即2000年），人口数为： 13+13×1%=13×（1+1%）（亿）； • 经过2年（即2001年），人口数为： • 13×（1+1%）+13×（1+1%）×1% 2 13 ( 1 1 %) • = （亿）； • 经过3年（即2002年），人口数为： 2 2 13 ( 1 1 %) 13 ( 1 1 %) 1% • 13 (1 1%)3
4、在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像：
y2
x
y4
x
1 y 2
x
1 y 4
x
• 教学小结 • 问题：这节课同学们在知识和方法上有哪 些收获呢？
• 布置作业 • 1、阅读教材P54—P57 • 2、书面作业：P59，5、7、8
思考题、此图是①y＝ax，②y＝bx， ③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b， c，d与1的大小关系是（ ） ③ ④ A a＜b ＜1 ＜ c ＜ d ① ②
……
• 所以，经过x年，人口数为： x x y 13 (1 1%) 131.01 (亿）
20 y 13 1 . 01 16(亿） • 当x=20时,
，
所以，经过20年后，我国人口数最多为16亿。
在实际问题中，经常回遇到类似例2的指数 增长模型：设原有量为N，每次增长率为p, 经过x次增长，该量增长到y，则 y N (1 p) x ( x N ) 形如 y ka x (k R, 且k 0; a 0, 且a 1) 的函数是一种指数型函数，这是非常有用的 函数模型
16
y=
1 3
x
14
y=3x
12
y=
a = 1.31厘米 g( x ) = ax
动画点
1 2
x
10
y=2x
8
6
4
2
y = g(x)
2
4
6
讲授新课
例1 比较下列各题中两个值的大小：
① 1.7 ，1.7 ； ② 0.8
－0.1 0.3
2.5
3
，0.8
－0.2
；
③ 1.7 ，0.9 .
3.1
• 解：利用函数单调性 • ①1.7 2.5与1.7 3的底数是1.7，它们可以看成函数 y= ， x 1 . 7 当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y= 在R是增函数，而2.5<3，所以 < ；1.7 2.5 1.7 3 • ② 0.80.1与0.80.2的底数是0.8，它们可以看成函数 y=0.8 x，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为 0<0.8<1，所以函数y= 0.8 x 在R是减函数，而 0.8 < 0.8 ； • -0.1>-0.2，所以， • ③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或 0.3 1 . 7 0 . 9 1 . 7 等号： >1； <1； > 0.9 3.1
1 探究3：y a 与y 图象间关系 a
xxΒιβλιοθήκη 1 y a 与y 图象关于y轴对称 a
x
x
探究4：底数a的变化对函数图像的影响
图像
性质归纳 1、函数图象在X轴上方； 2、图像都过（0，1）点； 3、图像在Y轴右侧， 底数a>1，图像单调递增，且底越大图像越陡； 底数0<a<1,图像单调递减，且底数月接近0， 图像越靠近X轴。 4、第一象限，顺时针比较函数的底数，越来越小。
指数函数的解析式y a x中，a x的系数是1.有些函数貌似 指数函数，实际上却不是，如y a x k (a 0且a 1，k Z)；
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y a x (a 0, 且a 1)， 1 1 因为它可以化为y ，其中 0，且a 1 a a
③若a 1，则对于任何x R，a x 1，是一个常量，没有研究 的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a 0且a 1。在规定以后， 对于任何x R，a x 都有意义，且a x 0.因此指数函数的定义域是R， 值域是(0, ).
探究2：函数y=2 3x是指数函数吗？
磁县第一中学 李俊强
引例1（P57）：
• 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分 裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后， 得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？ • 分裂次数：1，2，3，4，…，x • 细胞个数：2，4，8，16，…，y • 由上面的对应关系可知，函数关系是.