浅谈动态几何试题
专题4.3 立体几何的动态问题(解析版)
一．方法综述立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点.究其原因，是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的.动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.二．解题策略类型一立体几何中动态问题中的角度问题例1.【四川高考题】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ，则θcos的最大值为.【答案】2 5281161814552y y t t+=≥++-，当1t =时取等号.所以22112(1)12222cos 511555451144yy y y θ-+-==≤⨯=⋅++⋅++，当0y =时，取得最大值.z yxF ME QPD CBA【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值.当点M 在P 处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M 点向左移动时，EM 与AF 所成角逐渐变小时，点M 到达点Q 时，角最小，余弦值最大. 【举一反三】1、【四川高考题】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（） A ．3[,1]3 B ．6[,1]3 C ．622[,]33 D ．22[,1]3【答案】B111133212222cos ,sin 33322A OC A OC +-∠==∠=⨯，113133622cos ,sin 33322A OC A OC +-∠==-∠=⨯. 又直线与平面所成的角小于等于90，而1A OC ∠为钝角，所以sin α的范围为6[,1]3，选 B. 2、【广东省东莞市2019届高三第二次调研】在正方体中，E 是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB 所成角的正弦值的最小值是A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1， 设0，，，，1，，1，，0，，1，，，1，，1，，设平面的法向量y ，， 则，取，得，平面，，解得，，，设直线与直线AB 所成角为，1，，，，，．直线与直线AB 所成角的正弦值的最小值是．故选：B ．3、如图，已知平面αβ⊥，l αβ=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（ ）A 5B ．12 C3 D ．1【答案】C类型二立体几何中动态问题中的距离问题【例2】【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟】如图，在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（）A．当时，平面B．当为中点时，四棱锥的外接球表面为C．的最小值为D．当时，平面【答案】C【解析】对于，连结，，，则，，，设到平面的距离为，则，解得，∴.∴当时，为与平面的交点．∵平面∥平面，∵平面，∴∥平面，故A正确．又由以上分析可得，当时，即为三棱锥的高，∴平面，所以D正确．对于B，当为中点时，四棱锥为正四棱锥，设平面的中心为，四棱锥的外接球为，所以，解得，故四棱锥的外接球表面积为，所以B正确．对于C，连结，，则，∴，由等面积法得的最小值为，∴的最小值为．所以C不正确．故选：C.【指点迷津】求两点间的距离或其最值.一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值.【举一反三】1、【河南省焦作市2018-2019学年高三三模】在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在棱AA 1和AB 上，且C 1E⊥EF，则|AF|的最大值为（ ）A ．B ．1C ．D ．2【答案】B 【解析】以AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C 1（4，4，4），设E （0，0，z ），z∈[0，4]，F （x ，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x ．＝（4，4，4﹣z ），＝（x ，0，﹣z ）．因为C 1E⊥EF，所以，即：z 2+4x ﹣4z ＝0，x ＝z ﹣．当z ＝2时，x 取得最大值为1．|AF|的最大值为1． 故选：B ．2.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．25 【答案】B【解析】在1BB 上取点K ，使得11B K ＝，则HK ⊥面11BCC B ，连结PK ，则222216HP HK PK PK ＝＋＝＋．在平面11BCC B 上，以1CC 所在直线为x 轴，以GF 所在直线为y 轴，由题意可知，P 点轨迹为抛物线，其方程为221x y -＝，K 点坐标为()04，，设()P x y ，，则221x y =-（其中1[22371],x y ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦，，，()22222421816615PK x y y y y y y =+-=-+-+=-+当17,223y ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，2min 6|PK ＝，故2min |16622HP ＝＋＝．3、如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.【答案】25类型三立体几何中动态问题中的面积、体积问题【例3】在棱长为6的正方体中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（）A. 36B.C. 24D.【答案】B【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥，其底面的面积为不变的几何量，求点P到平面BCD的距离的最大值，选择公式，可求最值.【举一反三】1、《 九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的体积为（ ）A ．83B ．2 C.2 D ．22 【答案】C2、【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知矩形ABCD 中， 6,4AB BC ==， ,E F 分别是,AB CD 上两动点，且AE DF =，把四边形BCFE 沿EF 折起，使平面BCFE ⊥平面ABCD ，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ ） A. 28π B. 287π C. 32π D. 23π【答案】D3、【湖南省衡阳市2019届高三二模】如图，直角三角形，，，将绕边旋转至位置，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，，，分别为，，的中点，作面，作面，连，，易知点即为四面体的外接球心，，，.设，，则，，，.【处理一】消元化为二次函数..【处理二】柯西不等式..所以.类型四立体几何中动态问题中的轨迹问题【例4】如图直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为分别为的中点，所以，，所以平面，平面，又因为,所以平面平面，要使平面，则平面，所以点的轨迹为线段，点的轨迹长度为.故本题正确答案为.【指点迷津】由已知可知平面平面，要始终有平面，点M为定点，所以点P的轨迹为线段HF，求其长度即可.【举一反三】1、【安徽省安庆市2019届高三二模】如图，正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，一只蚂蚁从点出发沿每个侧面爬到，路线为，则蚂蚁爬行的最短路程是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为，宽为，则其对角线的长为最短程. 因此蚂蚁爬行的最短路程为.故选:A.2、在正方体1111ABCD A B C D 中，已知点P 为平面11AA D D 中的一个动点，且点P 满足：直线1PC 与平面11AA D D 所成的角的大小等于平面PBC 与平面11AA D D 所成锐二面角的大小，则点P 的轨迹为（ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线 【答案】DF E P C 1B 1D 1A 1DCBA z yx3、已知平面平面，，且.是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 ( ) A. B. C.D.【答案】 C【解析】根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图1所示，则，，设，易知直线与平面所的角分别为，均为锐角，类型五 立体几何中动态问题中的翻折、旋转问题【例5】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则（ ）A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D.A CB α'∠≤【答案】B. 【解析】试题分析：设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，在A CB '∆中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB '+-+--'∠==='⨯⨯⨯，在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ， 过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，在Rt A ND '∆中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=，【举一反三】1、【四川省宜宾市2019届高三二诊】已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图，若正三棱柱绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，四个选项高都是2，若侧视图为A，中间应该有一条竖直的实线或虚线．若为C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线．若为D，则长应为，而不是1．故选：B．2.【重庆市南开中学2019届高三三月测试】如图，在正方形中，，分别为线段，上的点，，．将绕直线、绕直线各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线与直线所成角的最大值为________．【答案】【解析】由题绕直线、绕直线各自独立旋转一周，形成两个圆锥体，AB和DF成为圆锥的母线，所以无论怎么旋转，都有，．利用几何体性质得：最大角是AB与BE的对称直线B和DF关于直线CD的对称直线D在同一平面内时所成角，为故答案为3.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】415【解析】三．强化训练一、选择题1. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是边AA1，CC1上的中点，点M是BB1上的动点，过点E，M，F的平面与棱DD1交于点N，设BM＝x，平行四边形EMFN的面积为S，设y＝S2，则y关于x的函数y＝f(x)的图象大致是( )A．B． C．D．【答案】A【解析】由对称性易知四边形为菱形，，，．为二次函数，开口向上，顶点为.故选：．2、某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图所示圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】根据几何体的三视图如图所示：由于底面周长为8，得到，解得，所以点M 到N 在下底面上的射影的弧长为，把圆柱的侧面展开得到从M 到N 的路径中的最小值为．故选：C ．3、如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值 D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D4.【河南省郑州市第一中学2019届高三上期中】在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形．所以：，在中，设外接圆的直径为，则：，所以：外接球的半径，则：，故选：C．5．【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】补全截面EFG为截面EFGHQR如图，其中H、Q、R分别为、的中点，易证平面ACD1∥平面EFGHQR，∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，∴D1P∥面ACD1，∴D1P面ACD1，∴P∈AC，∴过P作AC的垂线，垂足为K，则BK=,此时BP最短，△PBB1的面积最小，∴三角形面积的最小值为，故选：C．6.【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A．B．C．D．不能确定【答案】C【解析】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴cos cos cos< cos,又均为锐角，∴，故选C.7．如图，在等腰中，，M为的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为，则二面角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】D【解析】∵等腰直角△BC中，B＝BC＝2，M为C中点，∴折之前C2，BM⊥C，∴折之后AM＝CM，AM⊥BM，CM⊥BM，∴∠AMC是二面角C﹣BM﹣A的平面角，∵折后A，C间的距离为，由余弦定理得cos∠AMC＝，∵∠AMC∴二面角C﹣BM﹣A的大小为，即为120°故选：D．二、填空题8.【安徽省蚌埠市2019届高三第一次检查】如图所示，正方体的棱长为2，E，F为，AB的中点，M点是正方形内的动点，若平面，则M点的轨迹长度为______．【答案】【解析】如图所示，取的中点，的中点，连接，，，．可得：四边形是平行四边形，.同理可得：．．平面平面，点是正方形内的动点，若平面.点在线段上．点的轨迹长度．故答案为．9．已知正方体的棱长为，点为线段上一点，是平面上一点，则的最小值是______________________；【答案】【解析】解：当取得最小时，点必定是点在平面上的射影，即在上.与在二面角的两个面内，为此将绕旋转90°，使得平面与平面在同一平面内，由，故当共线且与垂直时，取得最小.在平面内，因为所以，，又，所以与都是等腰直角三角形，所以得到=，故的最小值为.10、【2017课标3，理16】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③ 【解析】试题分析：由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，在底面内可以过点B ，作BD a ，交底面圆C 于点D ，如图所示，连结DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴，连结AD ，等腰△ABD 中，2AB AD == ,当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=，故2BD =，又在BDE Rt △中，2,2BE DE =∴=，学科&网过点B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连结AF ，由圆的对称性可知2BF DE == ,ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，直线AB 与a 所成的最大角为90°，④错误. 正确的说法为②③. 学科&网11．【2019届湘赣十四校高三联考第二次考试】如图，正三棱锥的高，底面边长为4，，分别在和上，且，当三棱锥体积最大时，三棱锥的内切球的半径为________．【答案】【解析】设，，当时，取得最大值，此时为中点，经过点，且，，所以可求，，因此易求，，，，又∵，∴.12．【河南省六市2019届高三第一次联考】如图，是等腰直角三角形，斜边，D为直角边BC 上一点不含端点，将沿直线AD折叠至的位置，使得在平面ABD外，若在平面ABD 上的射影H恰好在线段AB上，则AH的取值范围是______．【答案】【解析】解：在等腰中，斜边，D为直角边BC上的一点，，，将沿直AD折叠至的位置，使得点在平面ABD外，且点在平面ABD上的射影H在线段AB上，设，，，，平面ABC，，当时，B与D重合，，当时，，为直角边BC上的一点，，的取值范围是故答案为：13．【陕西省榆林市2019届高考模拟第三次测试】如图，是边长为2的正方形，其对角线与交于点，将正方形沿对角线折叠，使点所对应点为，.设三棱锥的外接球的体积为，三棱锥的体积为，则__________．【答案】【解析】由题,易知三棱锥的外接球的球心为，∴，∴，到底面的距离为，∴，∴.故答案为14．【河南省洛阳市2018-2019学年高中三第二次统考】正四面体中，是的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该四面体内切球的体积为_____.【答案】【解析】如下图，正方体中作出一个正四面体将正三角形和正三角形沿边展开后使它们在同一平面内，如下图：要使得最小，则三点共线，即：，设正四面体的边长为，在三角形中，由余弦定理可得：，解得：，所以正方体的边长为2，正四面体的体积为：，设四正面体内切球的半径为，由等体积法可得：，整理得：，解得：，所以该四面体内切球的体积为.15．【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，平面，且，现将以直线为轴旋转一周后，则直线与动直线所成角的范围__________．【答案】【解析】画出图像如下图所示，将平移到的位置，点在以为圆心，半径为的圆上运动.则就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，为定值，故最值由来确定，故当在处线线角最小，在处线线角最大.由于，故.而，故，所以.而，故.所以所求线线角的取值范围是.16．在三棱锥中，,分别为棱和棱上的动点，则△的周长范围___________.【答案】【解析】三棱锥如图：把三棱锥A﹣BCD的侧面展开如图，∵△△，∴, ∴B,A,共线，此时两点间的连接线即是△的周长的最小值8，但此时E，F重合于A，不能构成三角形，所以取不到8．由图观察，当分别在棱和棱上由A向下移动时，的长度先变小，移动至分别与AD，AC 垂直时，的长度最小，再向下移动逐渐变大，所以△的周长最大为=15,故答案为.。
动态几何题
• 7如图1，已知直线l的函数表达式为y=－x+8 且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从 B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速 度向A点移动,同时动点P从A点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向O点移动，设 点Q、P移动的时间为t秒. • （1） 求出点A、B的坐标； • （2） 当t为何值时,△APQ与△AOB相似？ • （3） 求出（2）中当△APQ与△AOB相似时, 线段PQ所在直线的函数表达式. •
一、 平移型问题 此类问题一般是以特殊三角形、 此类问题一般是以特殊三角形、四边形 为问题背景，通过点、线段（直线）、 为问题背景，通过点、线段（直线）、 图形的平移运动出题
如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm， 例1 如图，在钝角三角形 中 ， ， 动点D从 点出发到 点止，动点E从 点出发到 点止， 点出发到B点止 点出发到A点止 动点 从A点出发到 点止，动点 从C点出发到 点止， 运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为 运动的速度为2cm/s，如果 点D运动的速度为 运动的速度为 ， 运动的速度为 ， 两点同时开始运动，那么当以点A、 、 为顶点的三角 两点同时开始运动，那么当以点 、D、E为顶点的三角 形与△ABC相似时，运动的时间是多少秒？ 形与△ 相似时，运动的时间是多少秒？ 相似时
二、 旋转问题 此类问题要搞清旋转中心，分清楚旋转前后的图形，特别是线 段和角.
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例3 如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30° 角的直角三角形DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边 为DE，长直角边为DF），将直线三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转. （1） 在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N. ① 证明DM=DN； ② 在这一旋转过程请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是 如何变化的？若不发生变化，求出其面积； （2） 继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N， DM=DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3） 继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M， DM=DN是否仍然成立?请写出结论，不用证明.
初中数学压轴题动态几何证明及实验题
动态几何证明及实验题所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．此类题目注重对几何图形运动变化能力的考察．动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考察学生的多种能力，有较强的选拔功能。
解这类题目要“以静制动〞，即把动态问题，变为静态问题来解。
解动态几何题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系〔如等量关系、变量关系〕、图形位置关系〔如图形的特殊状态、图形间的特殊关系〕等进展研究考察．抓住变化中的“不变量〞，以不变应万变．实验操作【要点导航】通过实验操作——观察猜测——科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法. 实验操作探索——理解题意、实验操作是根本保证，观察猜测、探索结论是关键，论证猜测的结论是落实.【典例精析】例1取一张矩形纸片进展折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形对折，折痕为，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线上，折痕为，点B在上的对应点为B'，得△'E，如图2；第三步：沿'线折叠得折痕，使A点落在的延长线上，如图3．利用展开图4探究：〔1〕△是什么三角形？证明你的结论；〔2〕对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由．【思路分析】1．图形翻折后能重叠局部的图形全等，所以∠∠'=∠，它们都是60°角，所以△是等边三角形．2．由操作可知>时，不能完整折出这种三角形．当图3中的点F 、D 重合时，便可求得矩形的长与宽的比例为2︰3．解〔1〕△是等边三角形．由折叠过程可得：60BEA AEF FEC ∠=∠=∠=︒．因为∥，所以60AFE FEC ∠=∠=︒．所以△是等边三角形．〔2〕不一定．当矩形的长恰好等于等边△的边时，即矩形的宽∶长＝∶＝2:3时正好能折出．如果设矩形的长为A ，宽为B ，可知当时，按此种方法一定能折叠出等边三角形；当时，按此法无法折出完整的等边三角形． 〖方法点睛〗要从操作实验题中抽象出数学模型来，并借助图形运动的根本性质求解．例2 ：在△中，∠90°，M 为中点．操作：将三角板的90°角的顶点与点M 重合，并绕着点M 旋转，角的两边分别与边、相交于点E 、F ．〔1〕探究1：线段、、是否能构成三角形？如果可以构成三角形，那么是什么形状的三角形？请证明你的猜测．图1 图2图3 图4BCM〔2〕探究2：假设改变为：“角的两边分别与边、直线相交于点E 、F ．〞其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证明你的猜测． 〖思路分析〗1．由点M 是中点，所以构造绕点M 旋转180°重合的全等三角形，将线段、、移到同一个三角形中．2．当角的两边分别与边、直线相交于点E 、F 时，构造和证明的方法不变．证明〔1〕线段、、可以构成直角三角形．如图1，延长到G ，使得，联结、．因为M 为中点，所以，又因为∠ =∠，，所以△≌△，所以，，∠∠．因为垂直平分，所以．又因为∠90°，所以∠∠90°，所以∠ +∠90°，即∠90°，所以222FG FC GC =+，所以222EF FC BE =+．〔2〕如图2，当点F 在的延长线上时，延长到G ，使得，联结、．因为M∠ =∠，，所以△≌△，所以，，∠∠．直平分，所以．又因为∠90°，所以∠∠90所以∠ +∠90°，即∠90°，所222FG FC GC =+，所以222EF FC BE =+．如图3，当点F 证222EF FC BE =+．〖方法点睛〗线段之间常见的关系是和差关系或者满足勾股定理．假设能将所要求线段移动到同一条直线上，那么线段之间是和差关系的可能性较大，假设能将所要求线段移动后能构成三角形，那么线段之间满足勾股定理的可能性较大．【星级训练】第 天 ，年 月 日1. ★★★如图，在正方形中，点E 在边上〔点E 与点A 、B 不重合〕，过点E 作⊥，与边相交于点F ，与边的延长线相交于点G ．〔1〕操作：由几个不同的位置，分别测量、、的长，从中你能发现、、的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；〔2〕连结，如果正方形的边长为2，设x ，△的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；〔3〕如果正方形的边长为2，的长为25，求点C 到直线的距离．2. ★★★操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形上，并使它的直角顶点P 在对角线上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线相交于点Q ．GFD A CBD AC B供试验操探究：设A 、P 两点间的距离为x ．〔1〕当点Q 在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；〔2〕当点Q 在边上时，设四边形的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；〔3〕当点P 在线段上滑动时，△是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由．〔图5、图6、图7的形状大小一样，图5供操作、实验用，图6和图7备用〕3. ★★★在△中，，⊥交的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．〔1〕在图1中请你通过观察、测量与的长度，猜测并写出与满足的数量关系，然后证明你的猜测；〔2〕当三角尺沿方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与边在同一直线上，另一条直角边交边于点D ，过点D 作⊥于点E ．此时请你通过观察、DC B图DC B图DCB图测量、与的长度，猜测并写出＋与之间满足的数量关系，然后证明你的猜测；〔3〕当三角尺在〔2〕的根底上沿方向继续平移到图3所示的位置〔点F 在线段上，且点F 与点C 不重合〕时，〔2〕中的猜测是否仍然成立？〔不4. ★★如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：〔1〕由图观察易知A 〔0，2〕关于直线l 的对称点A '的坐标为〔2，0〕，请在图中分别标明B (5,3) 、C (-2,5) 关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标：B '、C '；归纳与发现：〔2〕结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P ()关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为〔不必证明〕； 运用与拓广：图3图1〔3〕两点D(13)、E(-14)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E 两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．探索性问题探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：〔1〕条件探索型问题；〔2〕结论探索型问题；〔3〕探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．条件探索【要点导航】“探索〞是人类认识客观世界过程中最生动、最活泼的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，数学中的“条件探索〞题型，是指命题中缺少一定的题设，需经过推断、补充并加以证明的命题，因而必须利用题设大胆猜测、分析、比拟、归纳、推理，由结论去探索未给予的条件。
“动态”立体几何题面面观
“动态”立体几何题面面观本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。
一．定值问题例1 如图 3，在棱长为 a 的正方体ABCD -A1B1C1D1 中，EF 是棱AB 上的一条线段，且 EF＝b＜a，若 Q 是A1D1 上的定点，P 在C1D1 上滑动，则四面体 PQEF 的体积（）．（A)是变量且有最大值（B）是变量且有最小值（C）是变量无最大最小值（D）是常量分析：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点．这个图形有很多不确定因素，线段 EF 的位置不定，点P 在滑动，但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素？求四面体的体积要具备哪些条件？仔细观察图形，应该以哪个面为底面？观察∆PEF ，我们发现它的形状位置是要变化的，但是底边 EF 是定值，且 P 到 EF 的距离也是定值，故它的面积是定值．再发现点 Q 到面 PEF 的距离也是定值．因此，四面体PQEF 的体积是定值．我们没有一点计算，对图形的分析帮助我们解决了问题．(1 - CP ) 2+ BQ 2MBON=二、最值问题例 2.如图，正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且平面CABCD 、ABEF 互相垂直。
点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN= a (0 < a <2). （1）求 MN 的长；D（2）当 a 为何值时，MN 的长最小； （3）当 MN 长最小时， 求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小。
E解析：（1）作 MP ∥AB 交 BC 于点 P ，NQ ∥AB 交 BE 于点 Q ，连接 PQ ，依题意可得 MP ∥NQ ，且 MP=NQ ，即 MNQP 是 A平行四边形。
中考数学动态几何试题研究
中考数学动态几何试题研究一、中考数学动态几何问题研究的背景和意义1、研究背景：时代在进步，科学在发展，随着改革开放以来，我国的生活水平发展迅速，教育依然是发掘人才的重要战略，培养人才成了中国的重中之重。
教育成为了我国最看重的问题，我国开展的九年义务教育就可以看出我国认真发展教育的决心。
在我国人才紧缺的背景下，考试成了选拔人才的一种必要方式，所以中考无论在老师眼中还是在家长眼中都很关心。
如今国家正在快速的发展之中，世界各地都很重视教育，教育的发展直接影响一个国家的发展情况，而数学思想在显示生活中是不可或缺的。
只有良好的基础教育才能为培养中国人才打下良好的基础，而数学几何动态问题是中考的必考试题，数学动态几何问题在试卷中占有至关重要的位置，也是让许多学生对数学失去信心的原因，动态几何问题作为中考数学很难的一部分，如果学生长期对动态几何无能为力，会严重打击学生的积极性和自信心，逐渐让学生对数学失去兴趣甚至出现厌学的心理。
只有对动态几何进行研究把动态几何问题的解题思维方式传授给学生，培养学生的学习兴趣，激发学生的自信心。
2意义：数学思想方法在现代金融学、建筑学等中必不可少，数学动态几何问题在数学教育中显得格外精彩，数学是一门理论灵活多变的教学，动态几何问题使数学教学更加丰富多彩，能够调动学生的脑力，开发学生的思维空间，对开发学生的大脑起着很重要的作用，掌握好动态几何问题对学生的发展有着很重要的意义。
二、中考数学动态几何问题国内外的发展历史和现状1、国内外发展历史：公元前两百多年，伟大的科学家、数学家、物理学家阿基米德说：“给我一个支点，我能撬起整个地球。
”阿基米德、高斯、牛顿被誉为世界三大数学家数学发展史氛围四个时期，第一时期人类才建立最基本的数学概念，简单的计算法并认识最基本的几何形式。
第二时期从公元前5世纪开始直到17世纪是常量数学时期，逐渐形成了几何、代数、算数。
从17世纪开始就是第三时期：变量数学时期，解析几何的产生，积分学的产生。
2006年中考动态几何题赏析
2006年中考动态几何题赏析
近年来，涉及动态几何的题目成为中考考试中经常考查的内容。
动态几何是一门研究定义为动态变量的几何问题的学科，具有较强的动手能力与推理能力，是学生自学能力的重要考查对象。
一般而言，动态几何题的特点是：简单、常见、有效。
从简单动态变量的角度来看，可以
从四个方面来分析：（1）通过实验判断解的变化规律，把调整变量理论转化为实践操作；（2）根据运动物体的路径与夹角判断几何图形；（3）联系实际对空间位置进行变换；（4）把动态变量转化为几何关系，有助于理解解题。
此外，中考动态几何题通常出现在解答问题或有关图形变换等形式，要求考生根据运动物
体的变化，来确定直线、点以及圆形等图形上的关系，变换几何图形的位置等。
因此，在应考动态几何题的过程中，应对解题思路进行科学的分析，从多方面解析同一问题，并要灵活地运用几何图形变换的方法来解决实际问题。
此外，还要加强实践能力的训练，把考点用具体的操作来解释。
综上所述，当我们应对动态几何题时，应注重实践能力的发展，以解决实际问题为目标，加强对空间知识的积累，培养解题的分析、研究归纳能力，做到及时发现解题中的问题，
以及把握解题思路的有效解决。
浅谈初中数学中的动态几何问题
三、动态几何问题的课堂教学
在日常教学中，总有部分学生感到几何难学， 在日常教学中，总有部分学生感到几何难学，老师也感 到几何难教。 到几何难教。“难”的原因之一就是图形关系复杂，变化多 的原因之一就是图形关系复杂， 样。而原先在几何教学中往往是以静态的居多，静态的亦已 而原先在几何教学中往往是以静态的居多， 如此，何况动态！几何难教、难学问题凸现。 如此，何况动态！几何难教、难学问题凸现。
二、动态几何的几点认识
动态几何问题，即随着图形中的某些元素的运动变化， 动态几何问题，即随着图形中的某些元素的运动变化， 导致问题的结论或者改变或者保持不变的几何问题。它是命 导致问题的结论或者改变或者保持不变的几何问题。 题的一种构造方法，同时也展示了一种数学的创造过程， 题的一种构造方法，同时也展示了一种数学的创造过程， 反 映了几何本身的实质。 映了几何本身的实质。 动态几何问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景， 动态几何问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景， 渗透运动变化的观点，通过点、 形的运动，图形的平移、 渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、 翻折、 翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置 关系看作是在变化的、相互依存的状态之中， 关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变 化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究。 化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究。对学 生分析问题的能力，对图形的想象能力， 生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维
能力的培养和提高有着积极的促进作用。 能力的培养和提高有着积极的促进作用。 动态几何问题， 动态几何问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合 题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型 它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身， 新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注， 新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时 也得到了命题者的青睐，动态几何问题， 也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的 中考数学试卷中。但这类试题却对学生提出了较高的要求， 中考数学试卷中。但这类试题却对学生提出了较高的要求， 不少学生感到困惑。 不少学生感到困惑。
初中数学-试题解析 动态几何试题
中考数学考试25题解析动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动和图形形状的变换四大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称）等，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题。
对动态几何问题的分析，旨在帮助同学们在遇到类似问题时能够灵活的应用适当方法求解。
原题重现：25.如图①，C 为线段BE 上的一点，分别以BC 和CE 为边在BE 的同侧作正方形ABCD 和正方形CEFG ，M ,N 分别是线段AF 和GD 的中点，连接MN 。
（1）线段MN 和GD 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）将图①中的正方形CEFG 绕点C 逆时针旋转900，其他条件不变，如图②（1）的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC =7，CE =3，将图中①的正方形CEFG 绕点C 旋转一周，其他条件不变，直接写出MN 的最大值和最小值。
试题解析：通常情况下一个中点时，中线倍长法构造全等三角形，两个中点时，构造三角形的中位线，从而使问题得到解决。
（1）,,21DG MN DG MN ⊥= 理由如下：如图 ①，连接GM 并延长，与AD 交于点H ，∵四边形ABCD 和四边形EFGC 都是正方形，∴∠D =∠CGF =90O ，AD =CD ，CG =GF ，∴AD ∥GF,∴∠HAF =∠AFG ，∠AHG =∠FGH ,∵M 是AF 的中点， ∴AM =FM ,∴△AHM ≌△FGM (AAS ),25题图① 25题图② ①∴AH=GF=GC,HM=GM,∴AD-AH=CD-CG ,即DH=DG ,∵N 是DG 的中点，∴MN 是△DHG 的中位线， ∴,//,21AD MN DH MN = ∴∠MNG =∠D =90O ,∴DG MN 21=,MN ⊥DG . （2）成立(方法一）理由如下：如图②，连接GM 并延长，与BA 的延长线交于点H ，连接DH ，∵四边形ABCD 和四边形EFGC 都是正方形， ∴∠ABC=∠FGC=∠C=∠BAD=∠DAH=∠ADC=90O ，AD=CD ，CG=GF ，∴AB ∥GF∴∠HAF=∠AFG ，∠AHG=∠FGH,∵M 是AF 的中点，∴AM=FM,∴△AHM ≌△FGM(AAS),∴AH=GF=GC,HM=GM,∴△AHD ≌△GCD(SAS),∴DH=DG,∠HDA=∠GDC∴∠HDA+∠ADG=∠ADG+∠GDC=90O ,即∠HDG=90O ,∵N 是DG 的中点，∴MN 是△DHG 的中位线，∴,//,21HD MN DH MN =∴∠MNG=∠HDG=90O ,∴DG MN 21=,MN ⊥DG.其它方法如图③，④，⑤.③ ④⑤②（3）最小值如图⑥2)37(2121=-⨯==DG MN 最大值如图⑦5)37(2121=+⨯==DG MN⑥⑦变式训练（一）：如图，将上题图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转ɑ0，其他条件不变，如图（1）的结论是否成立？说明理由；变式一图变式训练（二）：如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点M是线段AF的中点，连接MD,MG。
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在 Ｒ ＡＦ Ｋ 中 。 Ｉ Ｅ 由勾 股 定 理 得 ：Ｆ ＝Ｅ ２ Ｋ Ｅ ２ Ｋ ＋Ｆ
即 ：４一 ） （ ｔ ＝（ ｔ ） ３ 一４ ＋２
解 之 得 ｔ 至Ｌ 上 ：
，
而 １＜ ｔ ＇． ： ＿ － 兰－ ． ｔ
（ 去） 舍
．
． ．
当ｔ 为
二
秒 时 ， Ｆ与 半 圆 相 切 ， Ｅ
考。
一
、
点 的 运 动
例 １ 如 图 １ １ ， 方 形 Ａ Ｃ 中 ， 一 直 径 为 Ｂ 的半 圆 ，Ｃ ＝ ｍ 现 有 两 点 Ｅ、 ， 别 从 点 Ｂ点 Ａ 同时 出发 点 Ｅ沿 线 段 ， （ ）正 ＢＤ 有 Ｃ Ｂ ２ｃ ， Ｆ分 Ａ 以 １ ｍ 秒 的 速度 向 点 Ａ运 动 ， Ｆ沿 折 线 Ａ 一Ｃ以 ２ｃ ／ 的速 度 向 点 Ｃ运 动 ， 点 Ｅ离 开 点 Ｂ的 时 间为 ｔ Ｂ ／ ｃ 点 一 ｍ 秒 设 秒 （） ｔ 何值时 ， 段 Ｅ １当 为 线 Ｆ与 Ｂ Ｃ平 行 ；
（） １ ３ 当 ≤ｔ 证明 ： １ 设 ≤ｔ
ＡＥ ２一ｔ
时 ， Ｐ的 位 置 不 会 发 生 变 化 。 点 时 ， Ｆ出 发 后 运 动 了 ｔ 时 Ｅ、 Ｅ、 秒 Ｆ位 置 如 图 １４ 所 示 ， Ｂ （） 则 Ｅ＝ｔＡ ， Ｅ＝ ２一ｔＣ ４— ｔ ， Ｆ＝ ２
１
一 Ｆ Ｃ ４ —２ｔ
（） １ ＜ ２设 ｔ ， ｔ 当 为何 值 时 ， Ｆ与 半 圆 相 切 ； Ｅ
（） １ ３ 当 ≤ｔ 时， Ｅ 设 Ｆ与 Ａ Ｃ相 交 于 点 Ｐ 问 点 Ｅ、 ， Ｆ运 动 时 ， Ｐ的 位 置 是 否 发 生 变 化 ， 发 生 变 化 ， 说 明理 由 ； 不 发 点 若 请 若 生变化 ， 给予证明 。 求 Ａ Ｐ 请 并 Ｐ：Ｃ的 值 。
【 关键 词 】 点动 线 动 面 动 旋 转
平 面 几 何 中 的 动 态 试 题 是 一 种 常 见 的 题 型 ， 涉 及 的 知 识 面 广 ， 合 性 强 ， 生 解 答 时 往 往 感 到 棘 手 。如 何 抓 住 无 素 运 动 它 综 学
中暂 进 静 止 的 瞬 间 ， 动 转 化 为静 ， 将 以寻 求 变 量 之 间 的 关 系 ， 解 决 这 类 问 题 的关 键 ， 面 浅 谈 一 下 这 类 问题 类 型 和 解 法 ， 参 是 下 供
１ ４２
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任 清 义 ： 浅谈 动 态 几何 试 题
（ ） 证 ： Ｂ Ｅ＝ Ｄ Ｆ １求 Ａ Ａ
（ ） 把 直 线 ＭＮ 向 上 平 行 移 动 ， 之 与 Ａ ２若 使 Ｂ相 交 ， 他 条 件 不 变 ， 把 变化 后 的 图 形 画 出来 ， 指 出 Ｂ Ｅ＝ Ｄ Ｆ是 否 其 请 并 Ａ Ａ 仍 然 相 等 （ 接 回答 ， 必 证 明 ） 直 不
Ｓ｝．０ ２ ｅ ｔ２ ０ ｐ
浅谈 动态 几何 试题
任 清 义
（ 灵璧县崔楼初 中 安徽 ・ 灵璧 ２ ４ ０ ） ３ ２ ０
【 摘 要】 抓住 元素运动 中暂 时静止 瞬间 ， 将动 转化 为静 ， 以寻求 变量之 间的关 系， 是解 决动 态几何 试题的一般方 法。
翻 折 叠 加 动 态设 计
２
又 ‘Ａ ／ Ｃ ． Ｂ／ Ｄ ‘
‘
△ ＡＥＰ △ ＣＦＰ
ＡＰ ＡＥ １
一 ＰＣ
ＣＦ
２
即点 Ｐ 的位 置 与 ｔ 的取 值 无 关 ， 以 当 １ 所 ≤ｔ 二 、 的 运 动 线
时 ， Ｐ的 位 置 不会 发 生 变 化 且 Ａ ：Ｃ＝１２ 点 ＰＰ ：
解 ：１ （ 段 Ｅ Ｆ和 Ｂ Ｃ平 行 。
（ ） Ｅ、 ２设 Ｆ出 发 运 动 了 ｔ ，Ｆ与 半 圆相 切 。 秒 Ｅ
如图 １ ３ ， （ ） 过点 Ｆ和 Ｋ ／ Ｂ Ｆ ／ Ｃ交 Ａ Ｂ于 Ｋ， Ｂ ｔ 则 Ｅ＝
Ｃ ４—２， Ｋ＝ｔ ４—２ ） ｔ ， Ｆ＝Ｅ Ｆ＝ ｔＥ 一（ ｔ ＝３ 一４ Ｅ Ｂ＋Ｆ ｔ ４— ｔ ＝ Ｃ＝ ＋（ ２ ） ４一ｔ 。
（ ） ｔ ３秒 时 ， Ｓ的值 ； １当 ＝ 求 （ ） ｔ 秒 时 ， Ｓ的值 ； ２ 当 ＝５ 求 （ ） ５秒 ≤ｔ ３当 ≤８秒 时 ， Ｓ与 ｔ 函数 关 系式 ， 求 出 Ｓ的 最 大 值 。 求 的 并
证 明：略） （
（ ） 线 ＭＮ 与 Ａ ２直 Ｂ交 点 的 不 同 ， 得 到 的 结 论 不 同 ， 下 图所 示 ， 将 如
ＢＡＥ ≠ ＤＡＦ ＢＡＥ ＝ ＤＡＦ ＢＡＥ ＝ ＤＡＦ ＝ ０。
要 注意抓住直线在运动 中交点的位置不 同。 三、 的运动 面
例 ３ 如 图 ３ １ ， 一 边 长 为 ５ｍ 的 正 方 形 Ａ Ｅ 和等 腰 ＡＰ Ｒ， Ｒ＝５ｍ， Ｒ＝８ｍ， Ｂ Ｃ Ｑ、 ， （ ）有 ｃ ＢＤ Ｑ Ｐ ｃ Ｑ ｃ 点 、 、 Ｒ在 同一 条 直线 上 Ｌ上 ， 当点 Ｅ 、Ｑ两 点 重合 时 ， 腰 △Ｐ Ｒ 以 Ｉｍ／ 的 速 度 沿 直 线 Ｌ按 箭 头 表 示 所 示 的 方 向 开 始 匀 速 运 动 ｔ 等 Ｑ ｃ 秒 秒后 正 方 形 Ａ Ｅ Ｂ Ｄ与 等 腰 ／Ｐ Ｒ 重 合 部 分 的面 积 为 Ｓ『 ， 答 下 列 各 题 ： ｘＱ ｃ ２解 ｎ
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第 ５卷 ・第 ３期 ２０ ０ ２年 ９月 宿 州 教 育 学 院 学 报
Ｊ ｒ １ ｆ ＳＵ ｈＯ ｄ ｔ １ Ｉ ｔ ｕ ０Ｕ ｎａ ｏ ｚ Ｕ Ｅ ｕＣ １０３ ｎ ｔ ｔｅ ａ Ｓ Ｖｏ ． Ｎｏ ３ １５。 ．
图（） ２
例 ２如 图 ２ 已知 Ａ ， ， Ｂ是 ０Ｏ 的直 径 ， 线 Ｍ 与 ００ 相 交 于 点 Ｅ ， Ｄ上ＭＮ， 点 头 为 Ｄ。 直 Ｎ ＦＡ 垂 【 稿 日期 】０ ２— 收 ２ ０ ７—３ ０
【 者 简 介 】 清 义 ， ， 徽 省 灵 璧 县 崔 楼 初 中教 师 。 作 任 男 安