2019-2020年高三上学期12月月考数学(理)试题2含解析

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号
的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1.若集合}02|{2
>-=x x x A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A .
2.设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e e a +=与21e e m b -=平行，则实数
=m .
3.在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3
π
=C ，
则=b .
4.在n
x )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .
5.若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*
N n ∈）的距离为n d ，则
=∞
→n n d lim .
6.函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1
x f
.
7.已知椭圆13
42
2=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 .
8.数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 2
11=
++（*
N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a .
9.若函数x x x f 1
)(+
=，则不等式2
5)(2<≤x f 的解集为 .
10.如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若直线C B 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 .
11.数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2
cos
1πn n a n +=（*
N n ∈），则=2014S
.
12.已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为
},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若
43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有 种.
第10题
13.正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点
D 是线段BC 的中点，过D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为 .
OD ==
，从上面分析可知面积最小的截面圆半径为
3
2
r ==，面积为294S r ππ==．
考点：球的截面的性质．
14.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0
),1(0
,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的
取值范围是 .
考点：方程的解与函数图象的交点．
二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
15.若)(x f 和)(x g 都是定义在R 上的函数，则“)(x f 与)(x g 同是奇函数或偶函数”是“)()(x g x f ⋅是偶函数”的………………………………………………………………（ ）
)(A 充分非必要条件. )(B 必要非充分条件. )(C 充要条件. )(D 既非充分又非必要条件
16.若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（ ）
)
(A ||2
|
|ab b a ≥+. )
(B 2≥+b
a
a b . )(C 4)1
1)((≥++b
a b a . )
(D 222)2(2b a b a +≥+. 【答案】D
17.将函数)(x f y =的图像向右平移
4
π
个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2
sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（ ）
)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .
18.若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点，且i ⋅=⋅. 给出下列说法：
①||||||||21OA OA OA OA n ==== ； ②||i OA 的最小值一定是||； ③点A 、i A 在一条直线上；
④向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影必相等.
其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ）
三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.（本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
2019-2020
已知点)0,2(P ，点Q 在曲线C ：x y 22
=上.
（1）若点Q 在第一象限内，且2||=PQ ，求点Q 的坐标； （2）求||PQ 的最小值.
20.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=
（1）求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值； （2）若6
0π
θ<
<，且3
4
)(=
θf ，计算θ2cos 的值.
21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.
如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管内液体忽略不计. （1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？
（2）在条件(1)下,设输液开始后x （单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h （单位：厘米），已知当0=x 时，13=h .试将h 表示为x 的函数.（注3
3
10001mm cm =）
22.（本题满分16分）
本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3 小题满分6分. 第21题
已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.
（1）证明数列{}
2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；
（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.
23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.
定义在()0,+∞上的函数()f x ，如果对任意()0,x ∈+∞，恒有()()f kx kf x =（2k ≥，*k N ∈）成立，则称()f x 为k 阶缩放函数.
（1）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()121log f x x =+，求(f 的值；
（2）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()f x =()y f x x =-在()1,+∞上无零点；
（3）已知函数()f x 为k 阶缩放函数，且当(]1,x k ∈时，()f x 的取值范围是[)0,1，求()f x 在(10,n k +⎤⎦（n N ∈）上的取值范围.
所以函数()y f x x =-在()1,+∞上无零点。

……10分。