河南省南阳市高一下学期期中数学试卷
河南省南阳市2023-2024学年高一下学期4月期中质量评估数学试题
河南省南阳市2023-2024学年高一下学期4月期中质量评估数学试题一、单选题1．与角20244'-o 终边相同的角是（ ） A ．4044'-oB ．2244'-oC ．31556'oD ．67556'o2．已知()1,2A ，()4,3B ，(),6C x ，若AB AC ∥u u u r u u u r，则x =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．133．在扇形AOB 中，2AOB ∠=，弦2AB =，则扇形AOB 的面积是（ ） A ．1sin1B ．()21sin1 C ．sin1D ．()2sin14．在梯形ABCD 中，90BAD CDA ∠=∠=︒，5AD =，则AD BC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．25B ．15C ．10D ．55．在ABC V 与111A B C △中，已知11111π,3AB A B x BC B C C C =====，若对任意这样两个三角形,总有111ABC A B C ≅△△，则（ ）A ．30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．(x ∈C ．)x ∞∈+D ．)32x ∞⎧⎫∈+⋃⎨⎬⎩⎭6．小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为G u r，两人手臂上的拉力分别为1F u u r ，2F u u r ，且12F F =u u r u u r ，1F u u r 与2F u u r 的夹角为θ，下列结论中正确的是（ ）A ．θ越小越费力，θ越大越省力B ．始终有122G F F ==ru u r u u rC ．当2π3θ=时，1F G =u u r r D ．当π2θ=时，1F G =u u r r7．若π,,0,2αβθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且c o s t a n αα=，cos ββ=，cos sin θθ=，则α，β，θ的大小是（ ）A ．αθβ<<B ．αβθ<<C ．βαθ<<D ．βθα<<8．已知()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<.其部分图象如下图，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1-B ．C ．12-D ．二、多选题9．下列等式恒成立的是（ ） A ．()sin πsin αα+=B ．πcos sin 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．3πsin cos 2αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭D ．()tan πtan αα+=-10．已知向量()1,2a =r，2b =r ，a b +=r r ）A ．a r 在b r 上的投影数量是12-B ．b r 在a r 上的投影向量是⎛ ⎝⎭C ．a r 与b rD ．()4a b b +⊥r r r11．设函数f x =A sin ωx +φ （其中0A >，0ω>，π0ϕ-<<），若()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π5ππ266f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）A ．2A =B ．23ω=C ．π2ϕ=-D ．当π3π,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ⎡∈-⎣ 12．在ABC V 中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，则（ ）A ．ABC V 的周长是5B ．BCC ．BCD ．BC三、填空题13．若[]0,2πx ∈，满足条件sin cos 0x x +>的x 的集合是.14．将函数1sin 22y x =的图象上各点向左平移π3个单位长度，再把横坐标缩短为原来的13，得到的图象的函数解析式是.15．已知5πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭19πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭. 16．在ABC V 中，D 为BC 边上的任一点，若1cos 3B =，22AB AD BD DC =+⋅，则sin C =.四、解答题17．如图，以Ox 为始边作角α与π0π2ββα⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点Q 的坐标为x ⎛ ⎝⎭.(1)求2sin 5cos 3sin 2cos ββββ+-的值；(2)若OP OQ ⊥，求P 的坐标.18．如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为AB 中点，点N 在BD 上，3BN BD =.(1)设AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，用a r ，b r 表示向量u u u rNC ； (2)求证：M ，N ，C 三点共线.19．（1）已知()1,0A -，()0,2B ，求满足5AB AD ⋅=u u u r u u u r，210AD =u u u r 的点D 的坐标；（2）设a r ，b r 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c r 与a b +r r 共线，求b c +r r 的最小值.20．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =-. (1)求C ；(2)若5b =，c =ABC V 的面积.21．已知()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在5,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，且对任意的x ∈R ，都有()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 解析式；(2)若函数()()()g x f x m m =-∈R 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点1x ，2x ，求()12f x x +的值.22．已知a ，b ，c 分别为ABC V 中角A ，B ，C 的对边，G 为ABC V 的重心，AD 为BC 边上的中线.(1)若ABC V 60CGD ∠=o ，1CG =，求AB 的长； (2)若GB GC ⊥，求cos BAC ∠的最小值.。
2021-2022学年河南省南阳市高一下学期期中考试数学试题(解析版)
河南省南阳市2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．把5π化成角度制是( ) A ．36︒B ．30︒C ．24︒D ．12︒〖解 析〗根据180π=︒，可得11803655π=︒⨯=︒． 〖答 案〗A 2．55sin()(6π-= )A ．12-B ．12C ． D〖解 析〗因为55551sin()sin(10)sin sin 66662πππππ-=--===．〖答 案〗B3．(AB AD BC -+= ) A ．CDB ．DCC ．DBD ．BD〖解 析〗AB AD BC DB BC DC -+=+=． 〖答 案〗B4．已知向量(1,1)a =-，(3,2)b =，则sin a <，(b >= )A ．B ．CD 〖解 析〗根据题意，向量(1,1)a =-，(3,2)b =，则||11a =+=||94b =+，则321a b ⋅=-=，则有cos a <，1||||26a b b a b ⋅>===，则sin a <，1126b >=-=． 〖答 案〗C5．如图，圆1O 内切于圆心角为3π，半径为3的扇形OAB ，则图中阴影部分面积为( )A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 〖解 析〗设圆1O 的半径为r ，圆1O 与OA 切于E ，与弧AB 切于F ，如图：依题意可得16AOO π∠=，1122OO O E r ==，根据对称性可知，O ，1O ，F 三点共线，所以23r r +=，所以1r =， 所以图中阴影部分面积为22131232πππ⨯⨯-⨯=．〖答 案〗D6．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“cos cos A B <” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件〖解 析〗在ABC ∆中，“sin sin A B >”，由正弦定理可得a b >，A B ⇔>， 又A ，(0,)B π∈，cos cos A B ∴<．∴在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“cos cos A B <”的充要条件．〖答 案〗C7．已知点P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足2BP PC =-，若AP xAB y AC =+，则2(x y +=) A ．1B ．2C ．3D ．4〖解 析〗由点P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足2BP PC =-， 则22()2AP AB BP AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+， 又AP xAB y AC =+，则1x =-，2y =，则21223x y +=-+⨯=． 〖答 案〗C8．函数cos sin y x x x =+在区间[π-，]π上的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．〖解 析〗()cos sin y f x x x x ==+，则()cos sin ()f x x x x f x -=--=-， ()f x ∴为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C ，D ，当x π=时，()cos sin 0y f πππππ==+=-<，故排除B ． 〖答 案〗A9．将函数4cos(2)5y x π=+的图象上各点向右平行移动2π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数〖解 析〗式是( ) A ．4cos(4)5y x π=- B ．4sin(4)5y x π=+C ．44cos(4)5y x π=-D ．44sin(4)5y x π=+〖解 析〗由题意函数4cos(2)5y x π=+的图象上各点向右平移2π个单位长度， 得到4cos(2)cos(2)55y x x πππ=-+=-，再把横坐标缩短为原来的一半， 得到cos(4)5y x π=-，再把纵坐标伸长为原来的4倍，得到4cos(4)5y x π=-， 考察四个选项知，A 是正确的． 〖答 案〗A10．函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，02)ϕπ<<的部分图象如图所示，则( )A ．3()4sin(2)4f x x π=+B ．13()4sin()24f x x π=+C ．15()4sin()24f x x π=+D ．5()4sin(2)4f x x π=+〖解 析〗由函数()f x 图象可得4A =， 又函数的周期72()422T ππππω=--==，可得12ω=， 可得1()4sin()2f x x ϕ=+，又函数图象经过点3(2π，0)，即：134sin()022πϕ⨯+=， ∴解得：13222k πϕπ⨯+=，k Z ∈，可得：324k πϕπ=-，k Z ∈， 02ϕπ<<，∴取1k =，得54πϕ=． 〖答 案〗C11．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则点O 是ABC ∆的( ) A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心〖解 析〗设OA a =，OB b =，OC c =，则BC c b =-，CA a c =-，AB b a =-． 由题可知，222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，2222||||||||a c b b a c ∴+-=+-， 化简可得c b a c ⋅=⋅，即()0b a c -⋅=，∴0OC AB ⋅=，∴AB OC ⊥，即OC AB ⊥．同理可得OB AC ⊥，OA BC ⊥． O ∴是ABC ∆的垂心．〖答 案〗C12．已知()f x 是定义在R 上周期为2的偶函数，若当[0x ∈，1]时，()sin2f x x π=，则函数||()()x g x f x e -=-在区间[2021-，2022]上零点的个数为( ) A ．2021B ．2020C ．4043 D．4044〖解 析〗当[1x ∈-，0]时，()()sin()2f x f x x π=-=-，函数()y f x =在[1-，1]上的图象与函数||x y e -=的图象如图：由图可知，函数()y f x =在[1-，1]上的图象与函数||x y e -=的图象有2个交点， 又因为()f x 是定义在R 上周期为2的偶函数， 因为2022(2021)4043220221--==⨯+，所以函数()y f x =的图象与函数||x y e -=的图象在[2021-，2022]上的交点个数为4043． 〖答 案〗C二、填空题（本大题共4小题、每小题5分，共20分）13．已知向量(1,2)a =，(,1)b λ=，且a b +与a b -垂直，则实数λ= ． 〖解 析〗向量(1,2)a =，(,1)b λ=，且a b +与a b -垂直，222()()5(1)0a b a b a b λ∴+⋅-=-=-+=， 则实数2λ=±． 〖答 案〗2±14．函数(1tan )y lg x π=++ ．〖解析〗对于函数(1tan )y lg x π=++21tan 0140x x π+>⎧⎨-⎩， 即2tan 114x x π>-⎧⎪⎨⎪⎩，即,421122k x k k Z x πππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，求得1122x-，故该函数的定义域为1[2-，1]2． 〖答 案〗1[2-，1]215．如图，O 为ABC∆的外心，||2,||4AB BC ==，则()BA BC BO +⋅= ．〖解 析〗22221111()||||24102222BA BC BO BA BO BC BO BA BC +⋅=⋅+⋅=+=⨯+⨯=． 〖答 案〗1016．下列6个函数：①|sin |y x =，②sin ||y x =，③|cos |y x =，④cos ||y x =，⑤|tan |y x =，⑥tan ||y x =，其中最小正周期为π的偶函数的编号为 ．〖解 析〗①|sin |y x =是偶函数，且周期为1221ππ⨯=，故满足条件；②sin ||y x =是偶函数，但它不是周期函数，故不满足条件； ③|cos |y x =是偶函数，最小正周期是π，故满足条件； ④cos ||y x =不是周期函数，故不满足条件； ⑤|tan |y x =是偶函数，周期为π，故满足条件； ⑥函数tan ||y x =是偶函数，没有周期，故不满足条件． 〖答 案〗①③⑤三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，(2,)P m -是角α终边上一点，且sin α= （1）求m 的值；（2）求sin()cos()tan(2022)23sin(2023)sin()2παπαπαππαα-++--++的值．解：（1）因为角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，(2,)P m -是角α终边上一点，且sin α==，所以解得1m =；（2）由（1）可得11tan 22α==--， 所以1sin()cos()tan(2022)1cos (cos )(tan )cos sin 1tan 12231sin cos sin cos tan 13sin(2023)sin()122παπαπαααααααπαααααπαα-++--+--++=====-----++--． 18．（12分）已知(1,3)A ，(2,2)B -，(4,1)C ． （1）若AB CD =，求D 点的坐标；（2）设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值． 解：（1）(1,3)A ，(2,2)B -，(4,1)C ，设(,)D x y ，则由AB CD =，可得(1，5)(4x -=-，1)y -，41x ∴-=，15y -=-，求得5x =，4y =-，可得(5,4)D -．（2）向量(1,5)a AB ==-，(2,3)b BC ==，故a 、b 不共线， 若ka b -与3a b +平行，则113k -=，∴实数13k =-． 19．（12分）已知O 是坐标原点，(1,3)OA =-，(4,0)OB =，点P 满足0PA PB PO ++=． （1）求||OP ；（2）设t R ∈，求||OA tOP +的最小值． 解：（1）0PA PB PO ++=，∴0OA OP OB OP OP -+--=，故3(3,3)OP OA OB =+=，故(1,1)OP =，故||2OP =（2）|||(1OA tOP t +=-，3)|t +=1022=； 当且仅当1t =-时，等号成立；故||OA tOP +的最小值为20．（12分）“南昌之星”摩天轮于2006年竣工，总高度160m ，直径153m ．匀速旋转一圈需时30min ．以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，画示意图，如图1．设座舱A 为起始位置如图2，经过xmin 后，OA 逆时针旋转到OP ，此时点P 距离地面的高度()()h x m 满足()sin()h x M x K ωϕ=++，其中0M >，0ω>，[ϕπ∈-，]π． （1）根据条件求出()()h x m 关于()x min 的〖解 析〗式；（2）在摩天轮转动的第一圈内，有多长时间P 点距离地面不低于45.25m ？ 解：（1）由题意得160160153M K M K +=⎧⎨-+=-⎩，可得76.583.5M K =⎧⎨=⎩，又23015ππω==， 由于(0,7)A 在函数图象上，可得776.5sin 83.5ϕ=+，可得sin 1ϕ=-，又[ϕπ∈-，]π，所以2πϕ=-，所以()76.5sin()83.5152h x x ππ=-+，0x ．（2）由76.5sin()83.545.25152x ππ-+，可得1sin()1522x ππ--，又030x 时，可得321522x ππππ--，所以761526x ππππ--， 解得525x ，故在摩天轮转动的第一圈内，有20分钟P 点距离地面不低于45.25m ． 21．（12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且c b c ac b a b++=+-． （1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆外接圆半径1R =，求ABC ∆面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状． 解：（1）由于c b c ac b a b++=+-，整理可得222a b c ab +-=， 可得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又(0,)C π∈，可得3C π=．（2）由题意3C π=，ABC ∆外接圆半径1R =，根据正弦定理2sin cR C=，可得2sin c R C = 由余弦定理，基本不等式可得2232a b ab ab ab ab =+--=，当且仅当a b =时等号成立，可得11sin 3222ABC S ab C ∆=⨯⨯=，可得ABC ∆，此时三角形为等边三角形． 22．（12分）已知向量(2,2)m a a b =+（其中0)a >，(sin(2)6n x π=+，1)-，函数()f x m n =⋅，当3[,]44x ππ∈时，函数()f x 的值域为[1]-．（1）求实数a ，b 的值；（2）设函数()()g x f x λ=-在[0,]2π上有两个零点，求实数λ的取值范围；（3）若对x R ∀∈，都有2()(8)()40f x k f x k +--恒成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）由向量(2,2)m a a b =+（其中0)a >，(sin(2)6n x π=+，1)-，则函数()2sin(2)26f x m n a x a b π=⋅=+--，由3[,]44x ππ∈，则252[,]633x πππ+∈，又0a >，则函数()f x 的值域为[4a b --2]a b --，又函数()f x 的值域为[1]-，即4321a b a b --=-⎧⎪--=，则1a =，1b =-；（2）由（1）得()2sin(2)16g x x π=+-，又[0,]2x π∈，易得()g x 在[0，]6π为增函数，在[,]62ππ为减函数，又(0)0g =，()16g π=，()22g π=-，又函数()()g x f x λ=-在[0,]2π上有两个零点，则实数λ的取值范围为[0，1)； （3）设()t f x =，则[3t ∈-，1]，则原不等式可转化为对[3t ∀∈-，1]，都有2(8)40t k t k +--恒成立， 设2()(8)4h t t k t k =+--，([3,1])t ∈-，则(3)0(1)0h h -⎧⎨⎩，即95k ，即实数k 的取值范围为9[,)5+∞．。
2019-2020学年河南省南阳市高一下学期期中质量评估数学试题(解析版)
秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为 ．
10．某研究机构在对具有线性相关的两个变量 和 进行统计分析区时，得到如下数据：由表中数据求得 关于 的回归方程为 ，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先利用已知条件求出回归直线方程，然后结合点与直线的位置关系求解即可.
【详解】
解：对于①，由于总体容量较小，较为合理的抽样方法为简单随机抽样；
对于②，由于高中三个年级的人数存在明显的差异，较为合理的抽样方法为分层抽样；
对于③，由于总体容量较大，较为合理的抽样方法为系统抽样，
故较为合理的抽样方法依次是①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样，
故选：D.
【点睛】
本题考查了抽样方法，重点考查了简单随机抽样、分层抽样、系统抽样，属基础题.
对于B，事件 发生的概率为 ，则 ，即B正确；
对于C，概率是稳定的，频率是随机的，即C错误；
对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为 ，即D错误，
即叙述正确的是选项B，
故选：B.
【点睛】
本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基础题.
C．输入 ， ， 三个数，将其按从大到小的顺序输出
D．输入 ， ， 三个数，求 ， ， 的平均数
【答案】C
【解析】先阅读题意，然后结合算法判断即可.
【详解】
解：由题意可得：该算法要解决的问题是输入 ， ， 三个数，将其按从大到小的顺序输出，
故选：C.
【点睛】
本题考查了算法，重点考查了阅读能力，属基础题.
3．我国宋代数学家秦九韶完成数学巨著《数书九章》，其中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1533石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷56粒，则这批米内夹谷约为（）
河南省南阳市2019-2020学年高一下期中数学测试卷-附答案(精校版)
2019-2020学年河南省南阳市高一（下）期中数学测试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是（）A．都是从总体中逐个抽取B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同D．将总体分成几层，分层进行抽取2．已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（）A． B．C．D．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取学生数为（）A．10 B．15 C．20 D．304．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过2，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件5．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）A．07 B．04 C．02 D．016．甲盒子里装有分别标有数字1，2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2张卡片上的数字之积为奇数的概率为（）A．B．C．D．7．10名同学参加投篮比赛，每人投20球，投中的次数用茎叶图表示（如图），设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．要从已编号（1～360）的360件产品中随机抽取30件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本，若在抽出的样本中有一个编号为105，则在抽出的样本中最大的编号为（）A．355 B．356 C．357 D．3589．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜910．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=11．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为12，16，0，则输出a和i的值分别为（）A．4，3 B．4，4 C．4，5 D．3，412．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．下列程序执行后输出的结果为．14．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生3000人，根据统计图计算该校共捐款元．15．为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出M尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出m尾鱼，查看其中有记号的鱼有n尾．由此可以估计水库内鱼的尾数为．16．一组数据x1，x2，…，x5的平均数为5，x，x，…，x的平均数为33，则数据x1，x2，…，x5的方差为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．观察如图所示的算法框图（1）说明该算法框图所表示的函数；（2）用基本语句描述该算法框图．18．某校100名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次100名学生数学成绩的平均数及中位数．19．设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2个球．（1）求这两只球都是白球的概率．（2）求这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率．20．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线性相关关系，下表为抽样试验的结果：（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多有10个，那么机器的运转速度应控制在设么范围内？参考公式：=﹣，==．21．设关于x的一元二次方程为x2+2ax+b2=0．（1）若a是从﹣2，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[﹣3，0]中任取的一个数，b是从区间[﹣2，0]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．22．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．2019-2020学年河南省南阳市高一（下）期中数学测试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是（）A．都是从总体中逐个抽取B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取C．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同D．将总体分成几层，分层进行抽取【考点】分层抽样方法．【分析】要求分析三种抽样的共同点，这三种抽样只有简单随机抽样是从总体中逐个抽取，只有系统抽样是事先按照一定规则分成几部分，只有分层抽样是将总体分成几层，再抽取．【解答】解：三种抽样方法有共同点也有不同点，它们的共同点就是抽样过程中每个个体被抽取的机会相同．故选C．2．已知x，y的值如表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（）A． B．C．D．【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．【解答】解：根据所给的三对数据，得到=3，=5，∴这组数据的样本中心点是（3，5）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴5=3b+，∴b=，故选B．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取学生数为（）A．10 B．15 C．20 D．30【考点】分层抽样方法．【分析】根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取×50=15．故选：B．4．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过2，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由已知得A与B能同时，B与C不能同时发生，但能同时不发生，由此利用对立事件、互斥事件的定义能求出结果．【解答】解：一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，则事件A包含的基本事件有：1，3，5，事件B表示向上的一面出现的点数不超过2，则事件B包含的基本事件有：1，2，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则事件C包含的基本人：4，5，6，∴A与B能同时发生，故A与B不是互斥事件，故A和B错误；B与C不能同时发生，但能同时不发生，故B与C是互斥而非对立事件，故C正确，D错误．故选：C．5．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）（）A．07 B．04 C．02 D．01【考点】收集数据的方法．【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，04，其中第二个和第⑤个都是02，重复．可知对应的数值为．08，02，14，07，01，04则第6个个体的编号为04．故选：B．6．甲盒子里装有分别标有数字1，2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2张卡片上的数字之积为奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出2张卡片上的数字之积为奇数包含的基本事件个数，由此能求出2张卡片上的数字之积为奇数的概率．【解答】解：甲盒子里装有分别标有数字1，2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片，从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，基本事件总数n==8，2张卡片上的数字之积为奇数包含的基本事件个数m==2，∴2张卡片上的数字之积为奇数的概率为p==．故选：C．7．10名同学参加投篮比赛，每人投20球，投中的次数用茎叶图表示（如图），设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数、中位数与众数的定义，分别求出即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得：该组数据的平均数为a=×（9+9+12+15+16+17+17+17+18+20）=15，中位数为b==16.5，众数为c=17，所以a＜b＜c．故选：D．8．要从已编号（1～360）的360件产品中随机抽取30件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本，若在抽出的样本中有一个编号为105，则在抽出的样本中最大的编号为（）A．355 B．356 C．357 D．358【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义先求出样本间隔，然后进行求解．【解答】解：样本间隔为360÷30=12，若在抽出的样本中有一个编号为105，则105÷12=8+9，则第一个编号为9，则在抽出的样本中最大的编号为9+12×29=357，故选：C9．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】由题目要求可知：该程序的作用是统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm））的学生人数，由图1可知应该从第四组数据累加到第七组数据，故i值应小于8．【解答】解：现要统计的是身高在160﹣180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，当i＜8时就会返回进行叠加运算，当i≥8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，故i＜8．故答案为：i＜8．10．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【考点】程序框图．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．11．如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为12，16，0，则输出a和i的值分别为（）A．4，3 B．4，4 C．4，5 D．3，4【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=12，b=16，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=16﹣12=4，i=2满足a＞b，a=12﹣4=8，i=3满足a＞b，a=8﹣4=4，i=4不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为4，i的值为4．故选：B．12．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出．【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，若△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=，设AD=y，AB=x，则DE=x，PE=DE=x，则PC=x+x=x，则PB2=AB2时，PC2+BC2=PB2=AB2，即（x）2+y2=x2，即x2+y2=x2，则y2=x2，则y=x，即=，即=，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．下列程序执行后输出的结果为5050．【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，得出该程序的作用是累加并输出S的值，由此求出结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，知该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+…+100的值．且S=1+2+3+…+100==5050．故答案为：505014．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生3000人，根据统计图计算该校共捐款37770元．【考点】频率分布直方图．【分析】根据统计图计算出高一、高二、高三的学生数，再求出捐款数．【解答】解：根据统计图，得；高一人数为3000×32%=960，捐款数是960×15=14400元；高二人数为3000×33%=990，捐款数是990×13=12870元；高三人数为3000×35%=1050，捐款数是1050×10=10500元；所以该校学生共捐款为14400+12870+10500=37770元．故答案为：37770．15．为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出M尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出m尾鱼，查看其中有记号的鱼有n尾．由此可以估计水库内鱼的尾数为．【考点】收集数据的方法．【分析】由题意得出有记号的鱼所占的比例数，再设水库内鱼的尾数是x，由比例数相等列出方程，即可求出x的值．【解答】解：由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为，设水库内鱼的尾数是x，则有=，解得x=．故答案为：．16．一组数据x1，x2，…，x5的平均数为5，x，x，…，x的平均数为33，则数据x1，x2，…，x5的方差为8．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据平均数以及方差的定义代入计算即可．【解答】解：∵x1+x2，…+x5=25，x+x，…+x=5×33，∴[++…+]=[x+x，…+x﹣10（x1+x2，…+x5）+5×25]=（5×33﹣10×25+5×25）=8，即数据x1，x2，…，x5的方差为8，故答案为：8．三、解答题（共6小题，满分70分）17．观察如图所示的算法框图（1）说明该算法框图所表示的函数；（2）用基本语句描述该算法框图．【考点】程序框图．【分析】（1）分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序和判断框的功能，可得该算法程序的功能是计算并输出分段函数的函数值．（2）对照流程图写成语句即可．【解答】解：（1）分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的值．故该算法框图所表示的函数为：y=．（2）程序语句如下：INPUT xIf x＜﹣2 Theny=1﹣2*xElseIf x＜=2 Theny=5Elsey=2*x+1End IfEnd IfPRINT yEND18．某校100名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次100名学生数学成绩的平均数及中位数．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率和为1，列出方程求出a的值；（2）根据频率分布直方图计算出平均数与中位数的值．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知：2a+0.04+0.03+0.02=0.1，所以a=0.005；（2）根据频率分布直方图，估计平均数为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）．估计中位数为：70+×10=（分）．19．设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2个球．（1）求这两只球都是白球的概率．（2）求这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）用a，b，c，d表示4个白球，用E，F表示2个黑球，利用列举法能求出这两只球都是白球的概率．（2）设取出的两球中一只是白球另一只是黑球为事件B，利用列举法能求出这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率．【解答】解：（1）用a，b，c，d表示4个白球，用E，F表示2个黑球，取2个球的所有可能情况有：ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF共15种不同的结果．设取出的两球都是白球为事件A，则事件A包含其中的6种结果，所以P（A）==．（2）设取出的两球中一只是白球另一只是黑球为事件B，由（1）可知事件B包含其中的8种结果，所以P（B）=．20．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线性相关关系，下表为抽样试验的结果：（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多有10个，那么机器的运转速度应控制在设么范围内？参考公式：=﹣，==．【考点】线性回归方程．【分析】（1）先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出系数，求出a，写出线性回归方程．（2）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解出不等式．【解答】解：（1）=12，=8，40+70+96+126+176﹣5×12×8=28，64+100+144+196+256﹣5×144=40，∴b=0.7，a=8﹣0.7×12=﹣0.4∴回归直线方程为：y=0.7x﹣0.4；（3）由上一问可知0.7x﹣0.4≤10，解得x≤14.85．21．设关于x的一元二次方程为x2+2ax+b2=0．（1）若a是从﹣2，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[﹣3，0]中任取的一个数，b是从区间[﹣2，0]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据古典概型的概率公式，利用列举法进行求解即可．（2）作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：设事件A为“方程为有实数根”，事件A发生时a，b满足△=4a2﹣4b2≥0，就|a|≥|b|，（1）基本事件共有12个：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个数表示a，第二个数表示b的取值．事件A包含11个基本事件，故事件A发生的概率P（A）=．（2）实验的全部结果构成的区域为{（a，b）|}，其面积为6构成事件A的区域为{（a，b）|}，其面积为4故事件A发生的概率P（A）=．22．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．【考点】古典概型及其概率计算公式；程序框图．【分析】（I）由题意可知，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；（II）当n=2100时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．【解答】解：（I）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1=；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2=；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3=；∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下：_._ _._。
河南省南阳市高一下学期数学期中考试试卷
河南省南阳市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是（ ）A.B.C.D.2. （2 分） (2018 高二上·新乡月考) 已知等差数列的前三项依次为 为（ ），则此数列的第 项A.B.C.D.3. （2 分） (2019 高二上·佛山月考) 如果，那么下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D.4. （2 分） (2020 高一下·台州期末) 在，则（）中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若，，第 1 页 共 16 页A. B. C.2 D.5. （2 分） (2020 高一下·吉林期中) 在等比数列 的值为（ ）中， ， 是方程的根，则A.B.C.D.26. （2 分） (2020 高一下·金华期中) 在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若A.当（ 为非零实数），则下列结论错误的是（ ）时，是直角三角形B.当时，是锐角三角形C.当时，是钝角三角形D.当时，是钝角三角形7. （2 分） 等比数列{an}的各项均为正数，且 A . 12 B . 10 C.8，则（）第 2 页 共 16 页D . 148. （2 分） (2016 高二上·洛阳期中) 设 x，y 满足约束条件 b＞0）的最大值为 8，则 a+b 的最小值为（ ），若目标函数 z=abx+y（a＞0，A.2B.4C.6D.89. （2 分） 设锐角 为（ ）的三内角 A、B、C 所对边的边长分别为 a、b、c，且 a=1，B=2A,则 b 的取值范围A.B.C. D.10. （2 分） 化简 A.5的结果为（）B.C.－ D . －5二、 双空题 (共 4 题；共 4 分)11. （1 分） (2017 高二下·惠来期中) 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b=2，c=2 ，第 3 页 共 16 页且 C= ，则△ABC 的面积为________．12. （1 分） (2020 高三上·石家庄月考) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 且 Sn＋an＝1，记 bm 为数列{an}中能使成立的最小项，则数列{bm}的前 99 项之和为________．13. （1 分） (2018·长春模拟) 设实数 满足约束条件14. （1 分） (2019 高三上·新洲月考) 已知中，角，，，则________.三、 填空题 (共 3 题；共 3 分)，则的最大值为________.所对边分别为，15. （1 分） (2018 高二上·赣榆期中) 函数的最小值为________．16. （1 分） (2019 高一上·哈尔滨月考) 设函数对的一切实数都有，则=________17. （1 分） (2019 高一上·台州期中) 已知函数________；若在上是单调函数，则 的取值范围是________．，若为偶函数，则四、 解答题 (共 5 题；共 40 分)18. （10 分） (2019 高一下·杭锦后旗期中) 在中的内角 , , 所对的边分别为 ， ，，且.（1） 求角 的大小；（2） 若，且，求的值.19. （10 分） (2017 高二上·阳朔月考) 解下列不等式并将结果用集合的形式表示。
河南省南阳市六校2023-2024学年高一下学期期中联考试题 数学含答案
2023—2024学年（下）南阳六校高一年级期中考试数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知角θ的终边经过点(,1)P m -，且3cos 5θ=-，则m =（）A ．43-B ．34-C ．43±D ．34±2．已知非零向量(4,0)a k =- ，(6,2)b k =+，若a b ∥ ，则||a = （）A ．8B ．C ．6D ．3．17tan6π=（）A ．3-B ．3C ．D ．4．如图，在ABC △中，E 为边AB 的中点，2BD DC =，则DE = （）A ．1263AB AC-+B ．5163AB AC+C ．1263AB AC+D ．1263AB AC-5．如图所示的是为纪念南阳解放50周年于1998年11月4日建立的南阳解放纪念碑，某学生为测量该纪念碑的高度CD ，选取与碑基C 在同一水平面内的两个测量点A ，B ．现测得30BAC ∠=︒，105ABC ︒∠=，156AB =米，在点B 处测得碑顶D 的仰角为30︒，则纪念碑高CD 为（）A ．262米B ．392米C ．266米D ．393米6．已知向量,a b 满足||2||||2a b a b ==+=，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．14-B ．12-C ．14D ．127．已知函数()2cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若函数()f x θ+的图象关于y 轴对称，则||θ的最小值为（）A ．16B ．13C ．12D ．18．如图，在ABCD 中，60DAB ∠=︒，2AB AD =，E 为边AB 的中点，线段AC 与DE 交于点F ，则cos AFE ∠=（）A ．32114-B ．217-C ．714-D ．17-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3b =，60A =︒，a 为常数，满足条件的ABC △唯一确定，则a 的值可能为（）A ．2B 3C ．112D ．3210．已知向量(1,3)a =，(,2)(0)b x x =-> ，且()a b b +⊥ ，则（）A ．与b 同向的单位向量为55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．a 与b 的夹角为4πC ．||a b +=D ．a 在b上的投影向量是(1,2)-11．已知函数()|sin |cos f x x x =（注：sin 22sin cos x x x =⋅），则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的图象关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D ．()f x 图象的一条对称轴为直线2x π=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若扇形的弧长为43π，圆心角为6π，则扇形的面积为__________．13．设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()()sin sin sin sin a b c A B C a B +++-=，则C =__________．14．如图，在面积为3的ABC △中，E ，F 分别为边AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则254PB PC BC⋅+ 的最小值为__________．．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量,a b 满足||a = ，||2b = ，且|2|a b +=（Ⅰ）求,a b 〈〉；（Ⅱ）在ABC △中，若AB a = ，AC b = ，求||BC．16．（15分）已知函数()sin(2)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线8x π=对称．（Ⅰ）求()f x 的解析式及零点；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移524π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的23，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递减区间．17．（15分）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的图象与x 轴的相邻的两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最高点为7,26M π⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）完善下面的表格，并画出()f x 在[0,]π上的大致图象；x6ππx ωϕ+π32π2π()f x 02-0（Ⅲ）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．18．（17分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知8a =，且()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B -+=-．（Ⅰ）求ABC △面积的最大值；（Ⅱ）若8,AB AC D ⋅=为边BC 的中点，求线段AD 的长度．19．（17分）如图，记OA a = ，OB b = ，OC c = ，已知||2||2b a ==，,60a b ︒〈〉= ．（Ⅰ）若点D 在线段OA 上，且13OD OA =，求BD BA ⋅ 的值；（Ⅱ）若向量c a - 与b 方向相同，且||3c =，求ACB ∠；（Ⅲ）若()0b c c -⋅=，求||a c - 的最大值．2023—2024学年（下）南阳六校高一年级期中考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案B命题意图本题考查由三角函数的定义求参数．解析由题知3cos 5θ==-，解得34m =-．2．答案C命题意图本题考查由向量平行的坐标表示求出k ，再求向量的模．解析a b ∥ ，(4)(2)0k k ∴-+=，4k ∴=（舍去），或2k =-，(6,0)a ∴= ，即||6a =．3．答案A 命题意图本题考查正切函数的诱导公式．解析173tantan 3tan tan 66663πππππ⎛⎫⎛⎫=-+=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．4．答案D命题意图本题考查平面向量基本定理在平面几何中的应用．解析E 为AB 的中点，2BD DC =，212112()323263DE DB BE CB AB AB AC AB AB AC ∴=+=-=--=- ．5．答案C命题意图本题考查利用正弦定理解决高度测量问题．解析在ABC △中，1803010545ACB ︒︒︒︒∠=--=，由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC=∠∠，即156sin 45sin 30BC =︒︒，解得BC =，在Rt BCD △中，tan 303CD BC =⋅︒==6．答案B命题意图本题考查投影数量的定义及平面向量数量积的运算．解析222||2524a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅= ，12a b ∴⋅=- ，a ∴ 在b方向上的投影数量为1||cos ,||2||||||a b a b a a b a a b b ⋅⋅〈〉=⋅==- ．7．答案D命题意图本题考查利用余弦函数图像求解析式，利用余弦函数的对称性求参数．解析由图可知(0)2cos 1f ϕ==，则1cos 2ϕ=，又02πϕ-<<，3πϕ∴=-，又502f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据五点法作图原理，得5232ππω⨯-=，解得,()2cos 333f x x πππω⎛⎫=∴=- ⎪⎝⎭，从而()2cos (1)33f x x ππθθ⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦，()f x θ+ 的图象关于y 轴对称，()f x θ∴+为偶函数，(1),3k k πθπ∴-=∈Z ，得min ||1θ=．8．答案C命题意图本题考查余弦定理．解析因为60DAB ∠=︒，AE AD =，所以ADE △是等边三角形，所以60AED ∠=︒．因为AFE CFD ∽，所以EF DF =12AE CD =，所以1133EF ED AE ==．设1EF =，则3AE =，在AEF △中，由余弦定理可得AF==，所以222cos 14AFE ∠=-．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案ABD 命题意图本题考查判定三角形解的个数问题．解析若满足条件的ABC △唯一确定，则3sin sin 602a b A ==︒=或a b ≥=，故A ，B ，D 正确．10．答案ACD 命题意图本题考查向量的垂直、夹角、模、投影向量及单位向量等概念．解析()a b b +⊥ ，()0a b b ∴+⋅=，(1,1)(,2)0x x ∴+⋅-=，解得1x =或2x =-（舍去）．对于A ，(1,2)b =- ，∴与b 同向的单位向量为525,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，2cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==-⋅，则3,4a b π〈〉= ，故B 错误；对于C ，(1,3)(1,2)(2,1)a b +=+-=，||a b ∴+=，故C 正确；对于D ，a 在b上的投影向量是||cos ,,(1,2)255||b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅〈〉⋅=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确．11．答案BC命题意图本题考查诱导公式，求正（余）弦型函数的最小正周期、单调性、对称中心及对称轴．解析对于A ，()|sin()|cos()|sin |(cos )()f x x x x x f x πππ+=++=-=- ，π∴不是()f x 的周期，故A 错误；对于B ， 当3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0x >，1()|sin |cos sin cos sin 22f x x x x x x ∴===，又3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1()sin 22f x x ∴=在3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故B 正确；对于C ，设()f x 图象上任意一点(,)M x y ，则M 关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭的对称点为(,)M x y π'---，()|sin()|cos()|sin |(cos )()f x x x x x f x πππ--=----=-=- ，()f x ∴的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；对于D ，设()f x 图象上任意一点(,)P x y ，则P 关于直线2x π=的对称点为(,)P x y π'-，()sin()cos()sin (cos )()()f x x x x x f x f x πππ-=--=-=-≠ ，()f x ∴的图像不关于直线2x π=对称，故D 错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案163π命题意图本题考查扇形的弧长、面积的有关计算．解析设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ．l r θ= ，即436r ππ=⋅，8r ∴=，1141682233S l r ππ∴=⋅=⨯⨯=扇形．13．答案23π命题意图本题考查正（余）弦定理的应用．解析()(sin sin sin )sin a b c A B C a B +++-= ，由正弦定理变形得()()a b c a b c ab +++-=，222a b c ab ∴+-=-，又由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==-，23C π∴=．14．答案6命题意图本题考查平面向量在平面几何中的应用．解析如图，取BC 边的中点D ，连接PD ．22221()()()()4PC PB PD DC PD DB PD DC PD DC PD DC PD BC ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，22252||||4PB PC BC PD BC PD BC ∴⋅+=+⋅≥ ，当且仅当||||PD BC =时取等号．设点A 到BC 边的距离为h ，则1||||||32PD BC h BC ⋅≥= ，当PD BC ⊥时取等号，254PB PC BC ∴⋅+ 的最小值为6，当且仅当PD BC ⊥且PD BC =时取得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图本题考查平面向量及其应用．解析（Ⅰ）22222(2)447a b a b a a b b +=+=+⋅+=，342cos ,167a b ∴+〈〉+=，cos ,2a b ∴〈〉=- ，又[],0,a b π∈，5,6a b π∴= ．（Ⅱ）在ABC △中，BC AC AB b a =-=-，2222||()2BC b a b a a b ∴=-=+-⋅ 34322132⎛⎫=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，||BC ∴=．16．命题意图本题考查三角函数的对称性、单调性以及图象变换．解析（Ⅰ）()sin(2)22x f x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭ 的图象关于直线8x π=对称，2()82k k ππϕπ∴⨯+=+∈Z ，得()4k k πϕπ=+∈Z ，又22ππϕ-<< ，4πϕ∴=，()sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．令2()4x k k ππ+=∈Z ，得()28k x k ππ=-∈Z ，()f x ∴的零点为()28k x k ππ=-∈Z ．（Ⅱ）355()sin 3sin 32241246g x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3232262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，可得22253939k k x ππππ+≤≤+，k ∈Z ，故()g x 的单调递减区间为2225,()3939k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．17．命题意图本题考查求函数解析式、用“五点法”画图、求三角函数的值域．解析（Ⅰ）由()f x 的图象与x 轴的相邻的两个交点之间的距离为2π，可知最小正周期T π=，222T ππωπ∴===．由一个最高点为7,26M π⎛⎫⎪⎝⎭，得2A =，由72sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即7sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得72()32k k ππϕπ+=+∈Z ，得112()6k k πϕπ=-∈Z ，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，6πϕ∴=，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）完善表格如下：x6π512π23π1112ππx ωϕ+6π2ππ32π2π136π()f x 122-01()f x 在[0,]π上的大致图象如图：（Ⅲ）,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，故()f x 的值域为[1,2]-．18．命题意图本题考查正（余）弦定理、三角形面积公式以及不等式的应用．解析（Ⅰ）()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B -+=- ，由正弦定理可得()()()a b a b c c b -+=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<，故3A π=．2222a b c bc bc bc bc =+-≥-= ，64bc ∴≤，当且仅当b c =时取等号．1sin 24ABC S bc A bc ∴==≤△故ABC △面积的最大值为．（Ⅱ）D 是边BC 的中点，1()2AD AB AC ∴=+ ，()()2222221111()||2||4442AD AB AC AB AB AC AC b c AB AC ∴=+=+⋅+=++⋅ ．8AB AC ⋅= ，cos 8bc A ∴=，16bc ∴=，又由（Ⅰ）知22264b c bc a +-==，2280b c ∴+=，2118082442AD ∴=⨯+⨯=，||AD ∴= 即线段AD的长度为．19．命题意图本题考查向量的基本运算．解析（Ⅰ）由题可知13BD BO OD a b =+=- ，BA a b =- ，又||||cos ,12cos601a b a b a b ⋅=〈〉=⨯︒= ，2211414()4333333BD BA a b a b a a b b ⎛⎫∴⋅=-⋅-=-⋅+=-+= ⎪⎝⎭ ．（Ⅱ）设(0)c a b λλ-=> ，则c a b λ=+ ，222222()21423c a b a b a b λλλλλ∴=+=++⋅=++= ，解得12λ=或1λ=-（舍去）．12CA a c b ∴=-=- ，12CB b c b a =-=- ，1||||12CA b ∴==，||1CB == ，211111cos 22422||||CA CB b b a b a b CA C A B CB ⋅⎛⎫∴==-⋅-=-+⋅=- ⎭∠⎪⎝ ，120ACB ∴=∠︒．（Ⅲ）()0b c c -⋅= ，0CB OC ∴⋅= ，22()112cos600a b a a a b -⋅=-⋅=-⨯︒= ，0OA BA ∴⋅= ．,,,O A C B ∴四点均在以OB 为直径的圆上，AC ∴的最大值为该圆的直径，为2，即||a c - 的最大值为2．。
河南省南阳市高一下学期期中数学试题(解析版)
高一下学期期中数学试题一、单选题 1．（ ） 14πsin 3=A B ．C ．D 12-12【答案】D【分析】根据给定条件，利用诱导公式结合特殊角的三角函数值计算作答.【详解】14π2π2πππsin sin(4πsin sin(π)sin 33333=+==-==故选：D2．在中，内角的对边分别为，且，，则满足条件的三角形有ABC ,,A B C ,,a b c 30A =︒3,4a b ==（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】C【分析】根据与的大小判断可得. sin b A ,a b 【详解】因为，，， 30A =︒3,4a b ==1sin 422b A =⨯=所以，所以满足条件的三角形有2个. sin b A a b <<故选：C3．若为第三象限角且 ，则（ ）α()3sin π5α-=-πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．45-35-3545【答案】B【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值.【详解】因为，则.()3sin πsin 5αα-==-π3cos sin 25αα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭故选：B.4．下列说法正确的是（ ）A ．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．若向量满足且同向，则,a b a b > ,a b a b >C ．若三点满足则三点共线P A B ，，3OP OA OB =+，P A B ，，D ．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为 π3【答案】A【分析】根据象限角的概念判断A ，利用向量的定义以及共线定理判断B,C ，利用任意角的定义判断D.【详解】因为斜三角形的内角是锐角或钝角，且锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，所以A 正确； 因为两个向量不能比较大小，所以B 错误； 由可得，3OP OA OB =+ ，1341+=≠根据向量的共线定理可知，三点不共线，所以C 错误； P A B ，，将钟表的分针拨快10分钟，则顺时针旋转了， 60 所以分针转过的角的弧度数为，所以D 错误，π3-故选:A.5．将函数的图象沿轴向左平移 个单位后，得到的函数的图象关于原点对称，()cos 3y x φ=+x 12π则的一个可能值为（ ） ϕA ． B ． C ．D ．712π-4π-4π512π【答案】C【分析】先求平移后的函数解析式，然后根据对称性求解可得. 【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位后的函数为()cos 3y x φ=+x 12π，因为的图像关于原点对称，所以cos 3()cos(3)124y x x ϕϕππ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭cos(3)4y x ϕπ=++，即，当时，.π42k ππϕ+=+π4k πϕ=+0k =4πϕ=故选：C6．已知函数，的部分图象如图，则 （ ）()()tan f x A x ωϕ=+π02ϕϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,()y f x =7π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．BC ．D ．2【答案】C【分析】由图象可求得，.然后根据，结合的取值即可推出，根据π2T =2ω=3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕπ4ϕ=，求出，即可得出.然后将代入，即可得出答案.()01f =1A =()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7π24x =【详解】由图象可知，，所以.3πππ8842T -==π2T =由可得，，所以. ππ2T ω==2ω=()()tan 2f x A x ϕ=+又，所以，3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3πtan 04A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，所以.3ππ,4k k ϕ+=∈Z 3ππ,4k k ϕ=-+∈Z 因为，所以，.π2ϕ<π4ϕ=()πtan 24f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又，所以，所以，()01f =πtan 14A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭1A =所以，()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以. 7π7ππ5πtan 2tan242446f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.7．在中，．P 为边上的动点，则的取值范围是（ ）ABC 1,90AC BC C ==∠=︒AB PB PC ⋅A ．B ．C ．D ．1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设C AB 1y x =-+，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域.(),1P t t -+231248PB PC t ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭ 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，C CA CB x y则，直线所在直线方程为，()()0,1,1,0A B AB 1y x =-+设，，则，，(),1P t t -+[]0,1t ∈()1,1PB t t =--(),1PC t t =-- ，()()223111248PB PC t t t t ⎛⎫⋅=--+-=-- ⎪⎝⎭ 当时，，当时，，0=t ()max1PB PC ⋅= 3t 4=()min18PB PC⋅=-故其取值范围为，1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B.8．在锐角三角形ABC 中，下列结论正确的是（ ） A ． B ． ()()cos cos cos sin C B >()()cos sin cos cos A B >C ． D ．()()cos sin cos cos C B >()()cos sin cos cos A A >【答案】A【分析】利用，即，结合余弦函数的单调性可判断ABC ，取特值可判2B C π+>022C B ππ<-<<断D.【详解】因为为锐角三角形，所以，ABC 2B C π+>所以，所以022C B ππ<-<<1sin sin()cos 02B C C π>>-=>所以，故A 正确；()()cos cos cos sin C B >同理，，所以，故B 错误； 1sin cos 0A B >>>cos(sin )cos(cos )A B <同上，，所以，故C 错误； 1sin cos 0C B >>>()()cos sin cos cos C B <又时，，故D 错误. 4A π=cos(sin )cos(cos 44ππ=故选：A二、多选题9．下列四个命题为真命题的是（ ）A ．若向量、、，满足，，则a b c//a b r r //b c //a c B ．若向量，，则、可作为平面向量的一组基底()1,3a =- ()2,6b = a bC ．若向量，，则在上的投影向量为()5,0a = ()4,3b = a b 1612,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．若向量、满足，，，则mn 2m = 3n = 3m n ⋅= m n +=【答案】BC【分析】取，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 0b =选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若且，，则、不一定共线，A 错；0b = //a b r r //b c a c对于B 选项，若向量，，则，则、不共线， ()1,3a =- ()2,6b = ()1623⨯≠⨯-a b所以，、可作为平面向量的一组基底，B 对；a b对于C 选项，因为向量，，()5,0a =()4,3b = 所以，在上的投影向量为 a b ()2220cos ,4,325b a b a b a a b a b b b a b b⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅，C 对； 1612,55⎛⎫= ⎪⎝⎭对于D 选项，因为向量、满足，，， mn 2m = 3n = 3m n ⋅= 则D 错.m n +===故选：BC.10．已知函数，则下面结论正确的是（ ） ()()11sin cos sin cos 22f x x x x x =+--A ．的对称轴为 ()f x ()ππ4x k k =+∈Z B ．的最小正周期为()f x 2πC ．，最小值为()f x 1-D ．在上单调递减()f x π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC【分析】化简函数的解析式，作出函数的图象，逐项判断可得出合适的选项.()f x ()f x 【详解】因为，πsin cos 4x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当时，即当时，()π2π2ππ4k x k k ≤-≤+∈Z ()π5π2π2π44k x k k +≤≤+∈Z ，即，sin cos 0x x -≥sin cos x x ≥此时，； ()()()11sin cos sin cos cos 22f x x x x x x =+--=当时，即当时， ()π2ππ2π4k x k k -≤-≤∈Z ()3ππ2π2π44k x k k -≤≤+∈Z，即，sin cos 0x x -≤sin cos x x ≤此时，. ()()()11sin cos cos sin sin 22x x x x f x x =+--=所以，. ()()3ππsin ,2π2π44π5πcos ,2π2π44x k x k f x k x k x k ⎧-≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪+<<+⎪⎩Z 作出函数的图象如下图中实线所示：()fx对于A 选项，由图可知，函数的图象关于直线、、对称， ()f x 3π4x =-π4x =5π4x =对任意的，k ∈Zπ1ππ1ππ2πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π2222222f k x k x k x k x k x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-++--+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()()()1111cos sin cos sin sin cos sin cos 2222x x x x x x x x f x =+--=+--=所以，函数的对称轴为，A 对； ()f x ()ππ4x k k =+∈Z 对于B 选项，对任意的， x ∈R ()()()()()112πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π22f x x x x x +=+++-+++⎡⎤⎣⎦， ()()11sin cos sin cos 22x x x x f x =+--=结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，B 对； ()f x 2π对于C 选项，由A 选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为()f x ()ππ4x k k =+∈Z ，2π要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，()f x ()f x π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为函数在上单调递减，在上单调递增，()f x π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，当时，，π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()min πcos π1f x f ===-因为ππsin 44f ⎛⎫== ⎪⎝⎭5π5ππsin sin 444f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭所以，，()max π4f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭因此，，最小值为，C 对；()f x 1-对于D 选项，由C 选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，D 错.()f x π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的基本性质，解题的关键在于化简函数解析式，结合函数的图象进行判断.11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，O ABC 、、的面积分别为、、，则.设是锐角BOC AOC AOB A S B S C S 0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=O 内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）ABC BAC ∠ABC ∠ACB ∠ABCA ．若，则230OA OB OC ++=::1:2:3A B C S S S =B ．，，，则2OA OB == 5π6AOB ∠=2340OA OB OC ++= 92ABC S = C ．若为的内心，，则O ABC 3450OA OB OC ++= π2C ∠=D ．若为的重心，则 O ABC 0OA OB OC ++=【答案】ACD【分析】利用“奔驰定理”可判断A 选项；求出，结合“奔驰定理”可判断B 选项；利用“奔驰定C S 理”可得出的值，结合勾股定理可判断C 选项；利用重心的几何性质结合“奔驰定理”可判断::a b c D 选项.【详解】对于A 选项，因为，由“奔驰定理”可知，A 对； 230OA OB OC ++=::1:2:3A B C S S S =对于B 选项，由 ，，可知， 2OA OB == 5π6AOB ∠=1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=又，所以， 2340OA OB OC ++=::2:3:4A B C S S S =由可得，，， 1C S =12A S =34B S =所以，B 错； 1391244C ABC A B S S S S ++==++= 对于C 选项，若为的内心，，则， O ABC 3450OA OB OC ++=::3:4:5A B C S S S =又（为内切圆半径）， 111::::::222A B C ar br cr a b c S S S ==r ABC 所以，，故，C 对； 222a b c +=π2C ∠=对于D 选项，如下图所示，因为为的重心，延长交于点，则为的中点，O ABC CO AB D D AB 所以，，，且，，2OC OD =12AOD BOD C S S S ==△△12AOD B S S =△12BOD A S S =△所以，，由“奔驰定理”可得，D 对. A B C S S S ==0OA OB OC ++=故选：ACD.12．已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的()()sin (0)f x x ωϕω=+>()f x 2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭有（ ）A ．的最小正周期是()f x π3B ．若，则2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．若的图象与的图象重合，则满足条件的有且仅有1个π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x ωD ．若，则的取值范围是π6ϕ=-ω[]221,24,5⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围即可判断A ；根据中心对称求值即可判断B ；利用函数平移求出，再结合A 选项即可判断C ；结合已知单调区间得出6k ω=()k ∈Z ω范围后即可判断D ．【详解】对于A ，因为函数在区间上单调递减，所以， ()f x 2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭5π2ππ2636T ≥-=所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A 错误；()f x π3T ≥()f x π3对于B ，由，则的图像关于点对称，所以，故B 正2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭确；对于C ，由的图象与的图象重合，则为函数的周期或周期的倍数，π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π3()f x 所以，所以，再结合A 选项知，所以， 2ππ3k ω⨯=6k ω=()k ∈Z π3T ≥2π6T ω=≤又，所以，所以，即满足条件的有且仅有1个，故C 正确；0ω>06ω<≤6ω=ω对于D ，由题意可知为单调递减区间的子集，2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，其中，解得， 2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩k ∈Z 123125k k ω+≤≤+()k ∈Z 当时，，当时，， 0k =12ω≤≤1k =2245ω≤≤故的取值范围是，故D 正确．ω22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：BCD ．【点睛】思路点睛：本题考查正弦型函数的奇偶性、单调性、周期性等知识的综合应用；求解此类问题的基本思路是采用整体对应的方式，将看作一个整体，对应正弦函数的图象和性质来研x ωϕ+究正弦型函数的性质．三、填空题13．请写出终边落在射线上的一个角___________ (用弧度制表示). y =()0x ≥【答案】（满足即可，答案不唯一）π3π2π,3k k +∈Z 【分析】写出射线上一点，根据三角函数的定义，可求得，进而即可求得答案. tan θ=【详解】设的终边落在射线上，则为第一象限角，θy =()0x ≥θ取上的一个点， y =()0x≥(A 根据三角函数的定义可得， tan θ==又为第一象限角， θ所以，取，可得. π2π,3k k θ=+∈Z 0k =π3θ=故答案为：. π314．在平行四边形中，点为的中点，点在上，三点共线，若ABCD M AB N BD M N C ，，，则_______________.DN NB λ=λ=【答案】2【分析】由已知可推得，.结合图象及已知，用表示出11NB DB λ=+,AB AD 以及.然后根据三点共线，得出，有111211MN AB AD λλ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-+ 12MC AB AD =+ μ∃∈R .然后列出方程组，即可求出答案.MN MC μ=【详解】取基底， {},AB AD 由图可知，DB AB AD =-因为，所以，DN NB λ=()1B D DN N B B N λ=++= 所以，显然. 11NB DB λ=+1λ≠-又是的中点，所以，M AB 12MB AB = 所以MN MB BN MB NB =+=- ()11112211AB DB AB AB AD λλ=-=-+-+112111AB AD λλ=⎛⎫ ⎪++⎝⎭-+.又， 12MC MB BC AB AD =+=+三点共线，所以，有，M N C ，，μ∃∈R MN MC μ=即. 1112211AB AD AB AD λμμλ-⎫+⎛ ⎪++⎝+⎭= 因为不共线，所以有，解得.,AB AD 1121211μλμλ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩213λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩故答案为：.215．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数s (6)6co y a A x π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦（x =1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃. 【答案】20.5/412【分析】根据题意列出方程组，求出，A ，求出年中12个月的平均气温与月份的关系，将x ＝10a 代入求出10月份的平均气温值．【详解】据题意得 ， 28A a =+18A a =-+解得 ，5A =23a =所以235cos (6)6y x π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦令 得 . 10x =2235cos (106)235cos20.563y ππ⎡⎤=+-=+=⎢⎥⎣⎦故答案为：20.5四、双空题16．为所在平面内一点，且满足H ABC 222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ |则点为的_________心.若,，，则 ___________H ABC 7AB = 5AC =u u u r π3C =AH AC ⋅= 【答案】垂5【分析】由平面向量数量积的运算性质可得出，同理可得，，结合垂HC AB ⊥HA BC ⊥HB AC ⊥心的定义可得出结论；由平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用垂心的几何性质AB AC ⋅u u u r u u u r结合平面向量数量积的运算性质可求得的值. AH AC ⋅【详解】因为， 222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则，即，2222HA CB HB CA +=+ 2222HA HB CA CB -=- 即，()()()()HA HB HA HB CA CB CA CB -⋅+=-⋅+ 即，()()BA HA HB BA CA CB ⋅+=⋅+ 即， ()()20BA HA CA HB CB BA HA AC HB BC BA HC ⋅-+-=⋅+++=⋅= 所以，，同理可得，， HC AB ⊥HA BC ⊥HB AC ⊥故点为的垂心，H ABC 因为()222222π22cos 3AB CB CACB CA CA CB CB CA CA CB =-=+-⋅=+-⋅ ，即，252549CB CB =-+= 25240CB CB --=因为，解得， 0CB ≥8CB = 因此，，()222224925264CB AB ACAB AC AB AC AB AC =-=+-⋅=+-⋅=解得，5AB AC ⋅=因此，. ()5AH AC AB BH AC AB AC BH AC AB AC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=故答案为：垂；.5五、解答题17．已知向量，满足，. a b2a = 3b = (1)若，求;//a ba b ⋅ (2)若与的夹角为，求.a b60︒()()2a b a b -⋅+ 【答案】(1)或 66-(2)2【分析】（1）分为，方向相同，以及方向相反，分别计算，即可得出答案；a b（2）根据数量积的定义求出，然后根据数量积的运算律，展开即可得出答案.3a b ⋅=【详解】（1）若，方向相同，则； a b236a b a b ⋅=⋅=⨯= 若，方向相反，则. a b236a b a b ⋅=-⋅=-⨯=- （2）由已知可得，，1cos 602332a b a b ⋅=⋅=⨯⨯︒= 所以.()()22222222332a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯+-= 18．某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列()()(sin >0)2f x A x πωϕωϕ=+<，表并填入了部分数据，如表：(1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；()f x (2)若在上有两根，求的取值范围.()()f x m m =∈R 0,2π⎡⎤⎢⎣⎦m【答案】(1)表格见解析，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)【分析】（1）根据表格数据可得A 和周期，然后可得，带点可得； ωϕ（2）令，将问题转化为在上有两个根，然后根据正弦函数的性质求24t x π=+sin t =[,]44t π5π∈解可得.【详解】（1）补充表格:最小值为可知又，故 A =12522882T ωππππ=⋅=-=2ω=再根据五点作图法，可得，得 282ϕππ⋅+=4πϕ=，故()2.4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)令，则 24t x π=+[,]44t π5π∈所以=在上有两个根.()f x m t m =[,44t π5π∈即上有两个根.sin t =[,]44t π5π∈由在, sin y t =[,]44t π5π∈1≤<所以1m ≤<故实数的取值范围为m 19．已知向量，．()1,2cos a x =()sin ,cos b x x = (1)求的取值范围；a r (2)求的最大值．a b ⋅【答案】(1)⎡⎣(2) 178【分析】（1）依题意先求出，再结合的二次式即可求得的取值范围；a = cos x a r （2）依题意先求出，再结合的二次式即可求得的最大值．21172sin 48a b x ⎛⎫⋅=--+ ⎪⎝⎭ sin x a b ⋅ 【详解】（1）因为，所以，()1,2cos a x = a == 又，则，所以， cos 1x ≤20cos1x ≤≤2114cos 5x ≤+≤所以．a ⎡=⎣ （2）因为，，()1,2cos a x =()sin ,cos b x x = 则，222117sin 2cos 22sin sin 2sin 48a b x x x x x ⎛⎫⋅=+=-+=--+ ⎪⎝⎭ 所以当时，取得最大值，且最大值为．1sin 4x =a b ⋅ 17820．的内角，，的对边分别为，，. ABC A B C 3a =5b =7c =（1）求的三个角中最大角的大小；ABC （2）秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”.他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术.试用余弦定理推导该公式，并用该公S =式求的面积.ABC 【答案】（1）；（2. 120︒【解析】（1）根据大边对大角得到C 为最大角，利用余弦定理求出cos C 的值，即可确定出C 的度数；（2）利用三角形面积公式，以及，且，从而证明1sin 2S ac B =22sin cos 1B B +=222cos 2a c b B ac+-=结论的成立，代入、、即可求出三角形ABC 面积． 3a =5b =7c =【详解】（1）∵、、∴角最大.由余弦定理得：3a =5b =7c =C，又角为内角，2222223571cos 22352a b c C ac +-+-===-⨯⨯C ABC ∴.120C =︒（2）在中， ABC 1sin 2S ac B =∵，且22sin cos 1B B +=222cos 2a c b B ac+-=∴111sin 222S ac B ===. =当、、时，3a =5b =7c =， S ===即. ABC 【点睛】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题.21．已知的内角，，所对的边分别为，，．向量，，ABC A B C a b c (),e b c =()sin ,sin f C B = ．(),g c a b a =--(1)若，求证：为等腰三角形； e fABC (2)若，，求的面积．e g ⊥ 2a =π3A =ABC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据题意得到，再根据正弦定理可得到，进而即可证明结论； sin sin b B c C =²²b c =（2）根据题意化简整理可得到，再根据余弦定理即可得到，进而即可求得的bc b c =+4bc =ABC 面积．【详解】（1）因为，，且，所以， (),e b c = ()sin ,sin f C B = e fsin sin b B c C =由正弦定理可得，所以，所以为等腰三角形． 22b c b c R R⋅=⋅²²b c =ABC （2）因为，，且 ，(),e b c = (),g c a b a =-- e g ⊥所以， ()()(),,20b c c a b a bc a b c ⋅--=-+=又，则， 2a =bc b c =+因为， ，2a =π3A =则由余弦定理可得，解得， 22π42cos3b c bc =+-4bc =所以的面积为ABC 11sin 422ABC S bc A ==⨯=22．已知函数 请在下面的三个条件中任选两个解答问()()π2cos 202f x x ωϕωϕ=+<<<<，题.①函数的图像过点；②函数的图像关于点 对称；③函数相邻()f x (0()f x 12⎛ ⎝()f x 两个对称轴之间距离为. 2(1)求函数的解析式；()f x (2)当时，是否存在实数满足不等式？若存在，求出的范围，若不存()2,0a ∈-a ()322f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭a 在，请说明理由.【答案】(1)()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)存在，35,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】对于小问(1)，由图像过可以求的值，由函数相邻两个对称轴之间距离可以(0ϕ()f x求的值，结合上述两个条件之一，再由函数的图像关于点对称可以求或的值.对ω()f x 12⎛ ⎝ωϕ于小问(2)，由轴对称的性质把不等式转化为进行求解.()322f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭()221124a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭【详解】（1）选择①②:因为函数的图像过点， ()f x (0所以， ()02cos f ϕ==cos ϕ=因为 所以 π02ϕ<<，π4ϕ=，因为函数的图像关于点对称，则 ()f x 12⎛ ⎝()1πππZ 242k k ω⨯+=+∈，可得，因为，所以，()π2πZ 2k k ω=+∈02ω<<π02k ω==，所以.()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①③:若函数的图像过点()f x (所以，因为所以 ()02cos f ϕ==cos ϕ=02πϕ<<，4πϕ=，因为函数相邻两个对称轴之间距离为， ()f x 2所以，所以，解得：.22T =2π44T ω==，π2=ω所以.()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择②③:因为函数相邻两个对称轴之间距离为， ()f x 2所以，所以，解得：.22T =2π44T ω==，π2=ω若函数的图像关于点对称，则()f x 12⎛ ⎝()π1ππZ 222k k ϕ⨯+=+∈可得，因为 所以，()ππZ 4k k ϕ=+∈02πϕ<<，π04k ϕ==，所以.()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)当时，，()2,0a ∈-3532,222a ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭令，则，记，53,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()πππ,π24x +∈-ππ24x m +=则()12π3πππ3ππ2πππ,π,2242444m a a m a ⎛⎫⎛⎫=++=+∈-=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为在轴对称，()322cos 2f a f a y m ⎛⎫+>= ⎪⎝⎭，()π,πm ∈-所以，即，m m <₁₂ππππ24a a +<+所以，即， ()221124a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭()()21228150,23650a a a a ++<++<解得： 3526a -<<-所以实数的范围是：.a 35,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
河南省南阳市南阳五校2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题
河南省南阳市南阳五校2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题一、单选题1．已知0,6πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin (sin )a αα=，sin (cos )b αα=，sin (tan )c αα=，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c<a<b2的军事基地C 和D ，测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且30,30ADB BDC ∠=︒∠=︒，60,45DCA ACB ∠=︒∠=︒，如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为（ ）．A ．aB C D 3．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin b C c B a +=，6b =，则2sin 2sin a bA B+=+（ ）A ．4B ．6C ．D ．4．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()f x f a ≤对x R ∈恒成立，则函数 A ．()f x a -一定为奇函数 B ．()f x a -一定为偶函数 C ．()f x a +一定为奇函数 D ．()f x a +一定为偶函数5．下列命题为真命题的是（ ）A ．55π1sin 62⎛⎫-=- ⎪⎝⎭B ．已知π3cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2π3sin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．已知函数()()tan f x x ωϕ=+，π0,2ωϕ⎛⎫≠< ⎪⎝⎭，点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭和5π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则π3ϕ=D ．设函数()()sin f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ是常数，0,0)A ω>>.若()f x 在区间ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎦⎣上具有单调性，且ππ5π326f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为π2 6．在ABC V 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，D 为BC 的中点，满足2AE CF ABEB FA AC===u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，0DE DF ⋅=u u u r u u u r，则cos A =（ ）．A ．0B C ．34D ．9167．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus ）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知2,,AB BC CD AB BC AC CD ===⊥⊥，若DB AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．BCD 8．如图，在ABC V 中，AB a u u u r r=，AC b =u u u r r ，D ，F 分别为,BC AC 的中点，P 为AD 与BF 的交点，且2AE EB =u u u r u u u r .若BP xa yb =+u u u r r r ，则x y +=________；若π3,4,3AB AC BAC ==∠=，则BP ED ⋅=u u u r u u u r________．则求解正确的是（ ）A ．13-，34B ．12-，43C ．13-，43D ．12，34二、多选题9．已知函数()5sin 2()4f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，对于下列说法正确的有（ ）A ．要得到函数()5sin 2g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移π4个单位长度即可B ．()y f x =在[]π,π-内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()y f x =的图象关于直线38x π=对称D ．5π8y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数10．设P 为ABC V 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）A ．若0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，则点P 是ABC V 的重心B ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则点P 是ABC V 的垂心C ．若()||||AB ACAP AB AC λ=+u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ，,[)0λ∈+∞，则点P 是ABC V 的内心 D ．若()()()0PA PB BA PB PC CB PC PA AC +⋅=+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则点P 是ABC V 的外心11．下列结论不正确的是（ ）A ．已知向量()3,0a =r ，向量(),5b k =r 且向量a r 与b r的夹角是45o ，则5k =± B ．若向量,a b rr 满足4,3a b ==r r ，且()()23261a b a b -⋅+=r r r r ，则a r 在b r上的投影向量为23b vC ．函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移ϕ个单位π02ϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭得到()g x ，若()g x 是偶函数，则5π12ϕ= D ．若cos 0<θ，则θ是第二或第三象限的角12．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC V 的周长为3,60B =︒，则（ ）A ．若2b a c =+，则ABC V 是等边三角形B ．存在非等边ABC V 满足2b ac =C ．ABC VD ．可以完全覆盖ABC V三、填空题13．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩ ，则()5f ＋41()6f ＝.14．若P 为ABC V 的外心，且PA PB PC +=u u u r u u u r u u u r，则ABC V 的内角C 等于． 15．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若存在12,x x ，使得2212[()][()]2f x g x +=，则12min x x -=．16．已知ABC V 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =．四、解答题17．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且)222222tan a c b A a b c +-=--.(1)求角B 的大小；(2)若ABC V 的面积为14b =，求ABC V 的周长.18．已知函数π()2sin 24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在[0,2π]上的单调递增区间；(3)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值．19．如图，在OAB V 中，C 是AB 的中点，D 是线段OB 上靠近点O 的四等分点，设,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ．(1)若OA 长为2,OB 长为π8,3AOB ∠=，求OC 的长；(2)若E 是OC 上一点，且2OC OE =u u u r u u u r，试判断,,A D E 三点是否共线？并说明你的理由．20．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，设向量(2cos ,),(,1)22c am C b n =-=u r r ，且m n ⊥u r r ．(1)求角A 的值；(2)若2a =，求ABC V 的周长l 的取值范围．21．已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，若()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的对称中心及在[]0,π上的减区间；(3)若方程()()230f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相同的解，求实数m 的取值范围．22．如图，在ABC V 中，已知4,10,60,AB AC BAC BC ∠===o 边上的中点为M ，点N 是边AC 上的动点（不含端点），,AM BN 相交于点P .(1)求BC ；(2)当点N 为AC 中点时，求：MPN ∠的余弦值；(3)求：NA NB ⋅u u u r u u u r 的最小值；当NA NB ⋅u u u r u u u r 取得最小值时设BP BN λ=u u u r u u u r，求λ的值.。
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河南省南阳市高一下学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数为（）
A . 20，15，15
B . 20，16，14
C . 12，14，16
D . 21，15，14
2. （2分） (2018高一上·新宁月考) tan150°的值为（）
A .
B . -
C .
D . -
3. （2分）曲线在区间上截直线y=2及y=-1所得的弦长相等且不为0，则下列对A，a的描述正确的是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2018高一下·沈阳期中) 若点在第一象限,则在内的取值范围是（）
A .
B .
C .
5. （2分）执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）
A .
B .
C . 5
D .
6. （2分） (2016高一下·衡阳期中) 已知α是第三象限的角，则是（）
A . 第一或二象限的角
B . 第二或三象限的角
C . 第一或三象限的角
D . 第二或四象限的角
7. （2分） (2016高二上·芒市期中) 某大学有A、B、C三个不同的校区，其中A校区有4000人，B校区有3000人，C校区有2000人，采用按校区分层抽样的方法，从中抽取900人参加一项活动，则A、B、C校区分别抽取（）
A . 400人、300人、200人
B . 350人、300人、250人
C . 250人、300人、350人
D . 200人、300人、400人
8. （2分） (2019高一上·汉中期中) 若扇形的圆心角为2弧度，半径为2，,扇形的面积是（）
A .
B . 2
C . 4
D .
9. （2分）若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2016高一下·连江期中) 点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧，的长度小于1的概率为（）
A .
B .
C . 1
D .
二、填空题 (共5题；共5分)
11. （1分）若六进制数10k5（6）（k为正整数）化为十进制数为239，则k=________
12. （1分） (2019高二下·上海期末) 已知经停某站的高铁列车有100个车次,随机从中选取了40个车次进行统计,统计结果为：10个车次的正点率为0.97,20个车次的正点率为0.98,10个车次的正点率为0.99,则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为________（精确到0.001）.
13. （1分）已知f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1，应用秦九韶算法计算x=2时的值时，v2的值为________ ．
14. （1分） (2019高一下·诸暨期中) 是等腰直角斜边上的三等分点，则
________．
15. （1分） (2019高一下·上海期中) 已知角的终边上有一点P 若将角逆时针旋转角60°后得到角则的值是________.
三、解答题 (共4题；共30分)
16. （10分） (2016高一下·承德期中) 某网站针对2015年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下
观众年龄支持A支持B支持C
20岁以下100200600
20岁以上（含20岁）100100400
（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．
（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取5人作为一个总体，从这5人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．
17. （5分） (2017高一下·双流期中) 已知．
（I）求sinβ的值；
（II）求的值．
18. （5分） (2017高三上·成都开学考) 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（Ⅰ）将T表示为X的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．
19. （10分） (2018高二上·太和月考) 学生会有共名同学,其中名男生名女生,现从中随机选出名代表发言.求：
（1）同学被选中的概率；
（2）至少有名女同学被选中的概率.
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
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答案：4-1、
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、
考点：
解析：
答案：10-1、
考点：
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二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、
考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共4题；共30分)
答案：16-1、
答案：16-2、
考点：
解析：
答案：17-1、
考点：
解析：
答案：18-1、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：。