2.1.1 倾斜角与斜率-人教A版(2019)高中数学选修第一册课件(共24张PPT)
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2.1.1直线的倾斜角与斜率+课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
k tan y2 y1 y2 y1
x1 x2 x2 x1
1、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，
上述公式还适用吗？为什么？
y
P1(x1, y1)
P2 (x2, y2 )
x1 o x2 x
k y2 y1 x2 x1
( x1
x2 )
P2 P1
例4 已知点A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），
求直线AB,BC,CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝
角还是锐角。
解：
直线AB的斜率K AB
y2 x2
y1 x1
1 2 4 3
1 7
直线BC的斜率KBC
1 1 0 (4)
1 2
直线CA的斜率KCA
2 (1) 30
探究直线两点与斜率关系
y
•
P1(x1, y1)
•
P2 (x2, y2 )
o
x
(1)
y
P1(x1, y1) •
• P2 (x2, y2 )
o (2)
x
探究直线两点与斜率关系
k tan
能不能构造一个
y
直角三在角R形t去P求2P？1Q中
y2
P2 (x2, y2 )
P2P1Q,
y1
Q(x2, y1)
练习 下列哪些说法是正确的_E_______
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大 C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或1800 D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等
已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜 率？
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
k tan y2 y1 y2 y1
x1 x2 x2 x1
1、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，
上述公式还适用吗？为什么？
y
P1(x1, y1)
P2 (x2, y2 )
x1 o x2 x
k y2 y1 x2 x1
( x1
x2 )
P2 P1
例4 已知点A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），
求直线AB,BC,CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝
角还是锐角。
解：
直线AB的斜率K AB
y2 x2
y1 x1
1 2 4 3
1 7
直线BC的斜率KBC
1 1 0 (4)
1 2
直线CA的斜率KCA
2 (1) 30
探究直线两点与斜率关系
y
•
P1(x1, y1)
•
P2 (x2, y2 )
o
x
(1)
y
P1(x1, y1) •
• P2 (x2, y2 )
o (2)
x
探究直线两点与斜率关系
k tan
能不能构造一个
y
直角三在角R形t去P求2P？1Q中
y2
P2 (x2, y2 )
P2P1Q,
y1
Q(x2, y1)
练习 下列哪些说法是正确的_E_______
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大 C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或1800 D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等
已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜 率？
2.1.1 直线的倾斜角与斜率(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)
3
3
O
x
新课探究
问题2
在平面直角坐标系中, 设直线l 的倾斜角为 .
类似地, 如果直线l 经过P1 ( 1,1), P2 ( 2, 0), 与P1 , P2 的坐标又有什么关系 ?
y
如图，P2 P1 ( 1 2,1 0) ( 1 2,1). 平移
向量 P2 P1至OP , 则点P 的坐标( 1 2,1), 且直线
y
因此, 若直线l 的斜率为k , 它的一个方向向量的坐标为( x , y ), 则k .
x
y2 - y1
a =(1,tan )=(1,k )=(1,
)
x2 - x1
应用新知
牛刀小试 （1）完成下列表格
a 的范围
a 0
0 a 90
a 90
90 a 180
k 的范围
( x1 x2 ), 那么 与P1 , P2的坐标有怎样的关系 ?
P
P1 ( x1 , y1 )
•
α
α
O
一般地, 如图, 当向量 P1 P2 的方向向上时, P1 P2 ( x2 x1 , y2 y1 ),
平移向量 P1 P2 到OP , 则点P 的坐标为( x2 x1 , y2 y1 ), 且直线OP 的倾斜
新课探究
日常生活中常用坡度表示倾斜面的倾斜程度：
铅直高度
坡度=
.
水平宽度
当直线的倾斜角为锐角时,
直线的斜率与坡度是类似的.
思考：倾斜角为90°的直线斜率是多少？
水平宽度
倾斜角是90 的直线没有斜率, 倾斜角不是90 的直线都有斜率, 例如,
3
倾斜角 30 时, 这条直线的斜率k tan 30
3
O
x
新课探究
问题2
在平面直角坐标系中, 设直线l 的倾斜角为 .
类似地, 如果直线l 经过P1 ( 1,1), P2 ( 2, 0), 与P1 , P2 的坐标又有什么关系 ?
y
如图，P2 P1 ( 1 2,1 0) ( 1 2,1). 平移
向量 P2 P1至OP , 则点P 的坐标( 1 2,1), 且直线
y
因此, 若直线l 的斜率为k , 它的一个方向向量的坐标为( x , y ), 则k .
x
y2 - y1
a =(1,tan )=(1,k )=(1,
)
x2 - x1
应用新知
牛刀小试 （1）完成下列表格
a 的范围
a 0
0 a 90
a 90
90 a 180
k 的范围
( x1 x2 ), 那么 与P1 , P2的坐标有怎样的关系 ?
P
P1 ( x1 , y1 )
•
α
α
O
一般地, 如图, 当向量 P1 P2 的方向向上时, P1 P2 ( x2 x1 , y2 y1 ),
平移向量 P1 P2 到OP , 则点P 的坐标为( x2 x1 , y2 y1 ), 且直线OP 的倾斜
新课探究
日常生活中常用坡度表示倾斜面的倾斜程度：
铅直高度
坡度=
.
水平宽度
当直线的倾斜角为锐角时,
直线的斜率与坡度是类似的.
思考：倾斜角为90°的直线斜率是多少？
水平宽度
倾斜角是90 的直线没有斜率, 倾斜角不是90 的直线都有斜率, 例如,
3
倾斜角 30 时, 这条直线的斜率k tan 30
人教版高中数学(2019)选择性必修一第二章2.1.1倾斜角与斜率PPT
Q （x2，y1）
αPP21（（xx21，y12））
O
x
PP12（（xx1，2，yy1）2）
Q （x2，y1）
α
O
x
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )是直线l上的两个不同点
k tan | PP2 |
| PP1 |
| PP2 | y2 y1 | PP1 | x2 x1
1.(1)若三点 A(－2,3)，B(3，－2)，C 12，m 共线，则 m 的值为 ___1___．
2 (2)直线 l 过点 P(－1,2)且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的
线段相交，则直线 l 的斜率取值范围是________________．
－∞，－12∪[5，＋∞)
学以致用：
2.点 M(x，y)在函数 y＝－2x＋8 的图象上，当 x∈[2,5]时， 求 yx＋＋11的取值范围．
③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有
斜率。
（）
④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平
行于y轴的直线的倾斜角不存在
（）
⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )
小结：
直线的倾斜角
定义
三要素
范围 0an k y2 y1
x2 x1
k , k ,
学以致用：
y
o
（1）
y
x
o
（2）
y
x o
（3）
y
x
o
x
（4）
2、直线的斜率
前进
升高量
升高
坡度= 前进量
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正
切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
2.1.1 倾斜角与斜率 (教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
P P
P₂
α
0
0
X
yA
P₁
P
P₂
α
α
O
x
二 、探究本质得 出新知
探究二：直线的斜率
1.直线的斜率：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这 条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k=tana.
2.斜率与倾斜角的对应关系
图示
y 1
0
x
y1
0
x
yl
0O x
y
a
0
x
倾斜角 (范围) 斜率 (范围)
α=0° k=0
1.知识方面：
(1)掌握了倾斜角的概念及范围、斜率的概念. (2)能够利用两点的斜率公式求斜率. 2.思想方面：提升了数学运算素养和观察归纳的能力.
六、作业布置 检测目标
教材P57习题2. 1第2,3,4题
三 、举例应用掌握定义
例1 . (1)已知直线l的倾斜角为θ—25°,则角θ的取值范 围为( D )
A.25°≤0<155°
B.—25°≤0<155°
C.0°≤0<180°
D.25°≤θ<205°
(2)若直线l 经过第二、三、四象限，则直线l的倾斜角 的范围是( C )
A.0°≤α<90° C.90°<α<180°
5.已知A(m,—m+3),B(2,m—1),C
(一1,4),直线AC
的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值 . 【解析】由题意直线AC 的斜率存在，即m≠—1.
所以
,
事
整理得： —m—1=(m—5)(m+1),
即(m+1)(m—4)=0, 所以m=4.
2.1.1 倾斜角与斜率 课件PPT 人教A版选修一
OP ( 3,1)
y
P( 3,1)
1
3
tan
3
3
x
O
(2)如果直线经过P(-1,1),P( 2 ,0), 与P1 ,P2的坐标又有什么关系?
P2 P1 (1 2,1)
OP P2 P1 (1 2,1)
1
tan
1 2
1 2
(3)一般地, 如果直线l经过两点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ), x1 x2 ,
高中数学人教A版选修一
第二章直线和圆的方程
2.1.1倾斜角与斜率
感悟历史，引入课题
在以往的几何学习中，我们常常通过直观
感知、操作确认、思辨论证、度量计算等
01
02
方法研究几何图形的形状、大小和位置关
系，这种方法通常称为综合法。
从本节开始，我们要学习一门全新的数学
分支学科— 解析几何。解析几何是17世纪
升高量
坡度（比）
前进量
升
高
量
前进量
y2 y1
tan
（x1 x2）
x2 x1
信息交流，揭示规律
1.定义:
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫
做这条直线的斜率，用小写字母 k 表示，即：
k tan （ 90 ）
注意：
倾斜角是90°的直线斜率不存在。
问题4：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，斜率如何变
用角
l4
l3
l2
x
O
A
l1
学生探索，尝试解决
一.直线的倾斜角:
1.定义:
y
2.1.1倾斜角与斜率 课件
适用吗？为什么？
当直线平行于 y 轴或与 y 轴重合时
x1=x2，分母为零，式子无意义，即斜率不存在。
典例精析
例1
如图，已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB，BC，
CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解：直线AB的斜率
=
直线BC的斜率 =
直线CA的斜率
确定一条直线的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，两者
缺一不可。
设A，B为直线上的两点，则AB
就是这条直线的方向向量。所以，两点确定一条直
线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.
新知讲解
在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线（下图所
示），它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？
规定：在平面直角坐标系中，水平直线的方向向右，其他直线
当直线 P1P2 与 x 轴平行或重合时，上述式子还成立，因为此时
y1= y2 而 x1≠x2 ，式子有意义，且值为零，即此时直线的倾斜角为
零，斜率为零。
新知讲解
斜率
一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率（slope）.
通常用小写字母 k 表示，即
斜率 k＝tanα.
直线的斜率公式
(1)定义式：若直线 l 的倾斜角 ≠
y
l
y
l
l
直线
O
O
x
3 斜率的概念
4 斜率公式
5 斜率与倾斜角的关系
l
x
O
x
O
x
板书设计
设直线的倾斜角为 ，斜率为 k .
的大小
°
k的范围
k=0
k的增减性
2.1.1直线的倾斜角与斜率课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(1)若直线的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线的斜率k= ；
(2)直线的一个方向向量是（1，) ，则直线的斜率是k.
典型例题
例1：如图，已知A(3,2)，B(−4,1)，C(0, −1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断
这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解：直线AB的斜率k AB =
有如下关系： =
2 −1
.①
2 −1
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写
字母k表示，即k = tan α.②
小组讨论
直线l经过两点P1 x1, y1 ，P2 x2, y2 ，直线的斜率
K= =
−
−
（1）当直线平行或重合时，上述式子还成立吗？
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
2 − 1
k = tan α =
2 − 1
斜率范围： ∈（-∞，+∞）
∈ [0°, 90°)时,斜率越大,倾斜角越大;
∈ (90°, 180°)时,斜率越大,倾斜角越大.
3, 1 ，与，的坐标有什么关系？
（2）如果直线l经过P1 −1,1 ，P2
2, 1 ，α与P1，P2的坐标又有什么关系？
（3）一般地，如果直线l经过两点P1 x1, y1 ，P2 x2, y2 ，1 ≠ 2 ，那么
α与P1，P2的坐标有怎样的关系？
探究
向量 = （ 3 − 0，1-0），根据三角函数定义，
问题导入
问题1：确定一条直线的几何要素是什么？
两点确定一条直线
l
y
B
O A
x
过某点和方向向量平行
2.1.1倾斜角与斜率(2)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3. (多选)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有
公共点，则直线 l 的斜率可能是( )
A. －2
1 B. 2
C. 1
D. 3
12345
内容索引
【解析】
如图，当直线
l
过点
B
时，设直线的斜率为
k1，则
k1＝
3－0 0－1
＝－ 3；当直线 l 过点 A 时，设直线的斜率为 k2，则 k2＝12－－01＝1，故要
【解析】 由题意，得直线 PA 的斜率是 k1＝5, 直线 PB 的斜率是 k2 ＝－12.
当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行位置 PC 时， 它的倾斜角由锐角 α(tanα＝5)增至 90°，斜率的变化范围是[5，＋∞)；当直线 l 由 PC 变化到 PB 位置时，它的倾斜角由 90°增至 βtanβ＝－12，斜率的变化范围是 －∞，－12.
内容索引
【解析】 由题意，得 kMN＝2m＋m3－－1m－2＝mm－＋15. (1) 当倾斜角为锐角时，则 kMN＝mm－＋15>0， 解得 m>1 或 m<－5. (2) 当倾斜角为钝角时，则 kMN＝mm－＋15<0， 解得－5<m<1. (3) 当倾斜角为直角时，则 kMN 不存在， 此时 2m＋3＝m－2，解得 m＝－5.
内容索引
直线的倾斜角和斜率都是反映该直线的倾斜程度，它们之间的关系是 k＝tanα，而当知道直线上两点的坐标时，k＝xy22－－xy11(x1≠x2)．
内容索引
已知M(2m＋3，m)，N(m－2,1)． (1) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？ (2) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？ (3) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？