【原创】《分类与整合思想》
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第2篇核心素养谋局思想方法导航第3讲分类与整合思想课件
【分析】 利用体积相等求出点A到平面A1BD的距离即可判断选项 A和B；求A点到C1的最短距离，由两点之间直线段最短，想到需要把长 方体剪开再展开，把A到C1的最短距离转化为求三角形的边长问题，根 据实际图形，应该有三种展法，展开后利用勾股定理求出每一种情况中 AC1的长度，比较三个值的大小后即可得到结论，进而判断C和D.
典例1 (1) (2023·河南校联考模拟预测)已知 a＝ln 1.1，b＝ln 1112，
c＝111，则下列判断正确的是( D )
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．b<c<a
【分析】 结合对数函数、导数的知识确定正确答案．
【解析】 ①比较 a，b 的大小：因为 1.1>1112，所以 ln 1.1>ln 1112， 所以 a>b.②比较 b，c 的大小：令 f(x)＝ln x－(x－1)，则 f′(x)＝1x－1＝1－x x. 当 0<x<1 时，f′(x)>0；当 x>1 时，f′(x)<0，所以当 x>0 时，f(x)≤f(1) ＝0，即 ln x≤x－1，所以 ln 1112<111，即 b<c.③比较 a，c 大小：因为 ln x≤x －1，所以 ln 1x≤1x－1，即 ln x≥1－1x，所以 ln 1.1＝ln 1110>1－1110＝111， 即 a>cБайду номын сангаас综上，a>c>b.故选 D.
【分析】 对于①，根据点P到平面C1D1M的距离即为点P到平面 A1B1C1D1的距离为2即可判断；对于②，异面直线AP与A1D所成角即为直 线AP与B1C所成角，转化为在△AB1C中，AP与B1C所成角即可判断；对于 ③ ， 根 据 N 为 底 面 ABCD 的 中 心 和 正 方 体 的 性 质 ， 证 明 得 AN ⊥ 平 面
分类与整合
“分类与整合思想”专题及专项训练一、大纲解读分类与整合思想是数学中的一种重要思想,是历年高考考查的重点之一,此类试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点,在考试中的难度属中高档.高考对分类与整合思想的考查,主要有四个方面:一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类;二是如何分类,即要科学地分类,分类标准要统一,不重不漏;三是分类之后解题如何展开;四是如何整合.纵观近几年高考试题,通常是由参数的变化及变化过程需要一些条件限制而引起的分类讨论.归纳起来引起分类讨论的原因大致有五种:一是涉及的数学概念是分类定义的;二是运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;三是求解的数学问题的结论有多种可能性;四是数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同的结果;五是对较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决.二、高考预测预计2009年高考对分类与整合思想的考查可能会呈现以下趋势:试题将会在求解函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、排列组合、概率等数学问题中出现,在解决含参数问题、绝对值问题、导数问题、最值问题上运用较多,在高考中所占的比重较大,且对理科要求较高,而对文科在这方面的要求可能相对较低.三、重点剖析重点1 对等比数列公比q 的分类讨论；对n 奇偶性的讨论；解分式不等式时分类讨论各因式的符号；运用比较法时对式子符号的讨论等等．例1 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n ．(Ⅰ)求q 的取值范围； (Ⅱ)设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小． 分析：由于涉及等比数列的前n 项和公式的应用，须分1q =和1q ≠讨论．欲比较n S 与n T 的大小，只须求出n S 与n T 后，再用作差法比较．解：(Ⅰ)因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得当;0,11>==na S q n 时1(1)11,0,0,(1,2,)11n nn a q q q S n q q--≠=>>=-- 当时即 上式等价于不等式组：),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n ① 或),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧>->-n q q n ② 解①式得q >1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q <1．综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃- (Ⅱ)由2132n a n b a a ++=-得.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-= 于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n 又∵n S >0且－1<q <0或q >0．①当112q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S >； ②当122q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S <； ③当12q =-或q =2时，0n n T S -=即n n T S =． 点评：该例中在使用等比数列的前n 项和公式n S ，须分1q =和1q ≠讨论，不要忽视1q =的情况．在第二小问中，抓住2132n a n b a a ++=-，利用等比数列的通项公式，巧妙的把n b 转化成.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=最后，作差比较n S 与n T ，即)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n ，为确定差的符号，故对q 进行分类讨论． 重点2 指数函数(01)x y a a a =>≠且和对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的单调性研究时对底数进行分类讨论例2 如果函数22()(31)(01)x x f x a a a a a =-+>≠且在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是( )Ａ．203⎛⎤⎥⎝⎦， Ｂ．13⎫⎪⎪⎣⎭， Ｃ．(1 Ｄ．32⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，∞ 分析：本题在用复合函数单调性判断时，需要对底数a 进行分类讨论． 解：令x u a =，则外层函数为22(31)y u a u =-+．①若a >1，则内层函数xu a =在[)0+，∞上是增函数，其值域是{|1}u u ≥， 要使函数22()(31)x x f x a a a =-+在区间[)0+，∞上是增函数，所以需要外层函数22(31)y u a u =-+在[1,)u ∈+∞上是增函数，所以对称轴23112a u +=≤，213a ∴≤，这与a >1矛盾；②若0<a <1，则xu a =在[)0+，∞上是减函数，其值域是{|01}u u <≤．要使函数22()(31)x x f x a a a =-+在区间[)0+，∞上是增函数，所以需要外层函数22(31)y u a u =-+在(0,1]u ∈上是减函数，所以对称轴23112a u +=≥，∴213a ≥，∴实数a 的取值范围是，选B ． 点拔：复合函数单调性判断要注意四点：①内层函数x u a =的值域是外层函数22(31)y u a u =-+的定义域．②内层函数x u a =与复合函数22()(31)x x f x a a a =-+定义域相同，都是[)0+，∞；③分类与整合的思想方法的运用；④一元二次函数单调性要依其图象对称轴的位置来判断．重点3 对于含有参数函数问题，在研究导函数时往往要运用分类与整合的思想例3 求函数323()(1)3(1)2f x ax a x x a x R =+-->-∈，取极小值时x 的值． 分析：首先确定2'()33(1)3f x ax a x =+--是否为二次函数，故分0a =和0a ≠讨论，若0a ≠时，求f ′(x )=0的实根，进而划分其单调区间，确定极小值．解：2'()33(1)3f x ax a x =+--.(1)当0a =时，'()f x = 33x --.令'()f x =0，得1x =-，下面列出x ，'()f x ，()f x 的对应值表如下：(2)当0a ≠时，'()f x = 13(1)(1)3()(1)ax x a x x a -+=-+，令'()f x =0，得1x a=或1x =-，则 ①当a >0时，11>-，下面列出x ，'()f x ，f (x )的对应值表如下： 所以，函数f (x )在x a =处取得极小值()f a． ②当1-<a <0时，因11(1)0a a a+--=>， 所以1< —1，则下面列出x ，'()f x ，f (x )的对应值表如下： 此时，函数f (x )在x a =处取得极小值()f a． 综上所述：当a >0或1-<a <0时，函数f (x )在1x a =处取得极小值． 点拔：结合函数、导数内容考查分类与整合思想是近几年高考热点．本题首先弄清导函数是否为二次函数，分0a =与0a ≠讨论，做第一层面讨论；当0a ≠时，f ′(x )为二次函数，其图象为抛物线，但开口方向不确定，所以做第二层面的讨论；为了划分单调区间，应该比较'()f x =0的两根的大小．重点4 整体观察，化繁为简例4 (08年高考四川卷理11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( )（Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213解析：∵函数()f x 满()()213f x f x ⋅+=，∴ ()()1342=+⋅+x f x f ， ∴()()()()1313242=+⋅+⋅+x f x f x f x f ， ∴()()x f x f =+4， ∴函数()x f 为周期是4的周期函数.∴()()()21244197==⨯+=f f f ， ∴()()139799=⋅f f ,故()21399=f . 点评：该题主要考察学生的整体观察能力，即不要()()213f x f x ⋅+=将割裂来求，否则加大了运算难度.如: ∵()()213f x f x ⋅+=且()12f =，∴()12f =，()()1313312f f ==，()()13523f f ==，()()1313752f f ==，()()13925f f ==， ， ∴()221132n f n n ⎧⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数 ，∴()()1399210012f f =⨯-= ，故选C. 重点5 整体构造（式或形），化难为易例5 (07年高考陕西卷理5)已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，且14,23==n n S S ，则n S 4=( ).A.80B.30C.26D.16解析：此题若考虑用求和公式，不仅计算量较大，而且对公比q 还要考虑1,1≠=q q 进行分类讨论，若注意到n S ，n S 2，n S 3,n S 4依次相差n 项，以此构造四个整体：n n n n n S S S S S 232,,--，n n S S 34-通过分析可知这三个数构成等比数列。
分类与整合,高中数学解题中重要思想论文
分类与整合,高中数学解题中的重要思想分类与整合是解决问题的一种逻辑方法；是中学数学重要的思想方法之一。
分析近几年高考中分类与整合的试题可知：分类与整合思想在高考中占有十分重要的地位，是一个热点问题。
其原因是：分类与整合试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，能体现“着重考察数学能力”的要求。
那么，引起分类的原因究竟有哪些？分类与整合有何标准和方法？分类能否避免？这都是我们必须从理论层面上需要弄清的问题.下面结合具体题型来回答这些问题。
一、由数学概念引起的分类例1：设且，比较与| |的大小.解: .①当时，，所以| .②当时，所以| .由①、②可知| .评：本题是由对数函数的概念内涵引发的分类，称为概念分类型，由概念内涵分类的还有很多，如：绝对值；直线的斜率；指数函数等.二、由定理、公式引起的分类例2：设等比数列的公比为，前项和（ =0，1，2，3…）（1）求的取值范围；（2）设，记的前项和为，试比较与的大小。
分析：本题的两问都需要进行分类求解，其分类的对象主要是等比数列的公比.解：（1）因为是等比数列，，可得，，当时，；当时，，即（ =1，2，3，…），上式等价于①（ =1，2，3，…）或②（ 1，2，3，…），解①式得；解②式，由于可为奇数、可为偶数，故 .综上，的取值范围是（-1，0）（0，+∞）.（2）由，得，，于是 .又因为，且或，所以，当或时，，即；当且时，，即；当或时，，即评：数列是高考必考内容之一.而等差、等比数列的通项、前项和是数列的基础，在研究一个数列的通项时，对与要分别予以研究，而涉及等比数列或用错位相减法去求解时，要对公比是否为零，进行分类。
三、由变量或参数的取值范围引起的分类例3：已知在区间［-2,2］上，恒为非负数,求实数的取值范围. 解：设，，由题意知, , ,恒成立,故只须在［-2,2］上的最小值为非负即可.⑴当- <-2,即时, 在区间［-2,2］上递增,所以 .解得，这与矛盾,故舍去.⑵当-2 ,即-4 时, ，解得:-6 ，又因为-4 ,所以 .⑶当 ,即a<-4时, 在区间［-2,2］上递减,所以 ,解得 ,又因为<-4,所以 .由⑴、⑵、⑶知: .评:首先等价转换命题,结合对称轴与区间的各种位置关系分类讨论,函数图像的对称轴为 ,由于为参数不确定,所以要分在区间［-2,2］的左、右侧和区间上三种情况.四、几何元素的形状、位置的变化引起的分类例4：如图，已知一条直线ab，它的两个端点分别在直二面角－－的两个面内移动，若和平面所成的角分别为，试讨论的范围. 解：（1）当时， .（2）与不垂直时，在平面内作，为垂足，连接 .∵平面∴ .∴是与平面所成的角，即 .在平面内作，垂足为，连结 .同理， .在中，，在和中，即。
分类与整合思想例析
分类与整合思想例析1.分类与整合的思想的含义分类与整合的思想,就是当问题所给的对象因一些不确定的因素而不能进行统一研究时 (如不能用同一种标准,或同一种运算,或同一个类型,或同一个定理,或同一种方法去解决等),就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略. 分类讨论既是一种重要的数学方法，也是一种重要的数学思想．由于有关分类讨论的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，并能训练人的思维的条理性与概括性，因而在高考试题中往往占有较大的比重对问题实行分类与整合,确定分类标准后等于增加了一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.2.运用分类与整合思想解题的基本步骤：确定标准→合理分类→逐类讨论→归纳总结。
(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结：将各类情况总结归纳3.明确引起分类讨论的原因，有利于掌握分类整合的思想方法解决问题.分类讨论的主要原因有：(1)由数学概念引起的分类讨论：有些数学概念本身就是以分类形式定义的，如直线与平面所成的角、三角函数值所在象限的符号、绝对值等．有些数学概念本身也有一定的限制，如直线的斜率 ，二次曲线中又包括椭圆、双曲线及抛物线，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的斜率与倾斜角、两条直线所成的角，指数函数,对数函数,空集，直线的截距式等.(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响，三角函数的定义域，一元二次方程解的情况是按“∆”的正负给出的等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学性质、定理、公式是分类给出的,在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否分类讨论。
分类与整合思想
分类与整合思想、转化与化归思想一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论．汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合．1．若一条直线过点(5,2)，且在x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为( ) A ．x ＋y －7＝0 B ．2x －5y ＝0C ．x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0D ．x ＋y ＋7＝0或2y －5x ＝02．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A ．8 B ．10 C ．16D ．323．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，B ＝{x |mx －1＝0，m ∈R }，若A ∩B ＝B ，则所有符合条件的实 数m 组成的集合是( ) A ．{0，－1,2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，1 C ．{－1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，124．已知函数f (x )＝x |x －a |－a ，a ∈R ，若对任意x ∈[3,5]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值 范围是________．二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.5．已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.833B ．4 3 C.239D ．43或8336．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( ) A ．－12B.12 C ．0D ．0或－127．已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为______．8．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三 角形，则这样的点P 的个数为________．9．已知实数a ，x ，a >0且a ≠1，则“a x >1”的充要条件为( ) A ．0<a <1，x <0 B ．a >1，x >0 C ．(a －1)x >0D ．x ≠010．若函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)11．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时 成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(7，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞) C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪(7，＋∞)一、特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.1．据统计某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天价格分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…， b n ，令M ＝{m |a m ＜b m ，m ＝1,2，…，n }，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A ＜B ，现有三种蔬菜A ，B ，C ，下列说法正确的是( ) A ．若A ＜B ，B ＜C ，则A ＜CB ．若A ＜B ，B ＜C 同时不成立，则A ＜C 不成立C ．A ＜B ，B ＜A 可同时不成立D ．A ＜B ，B ＜A 可同时成立2．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a3．已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在[－1,1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[12，＋∞) C ．[－1,12] D.⎣⎡⎦⎤－32，12 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.5．若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实 数m 的取值范围是________．6.如图所示，已知三棱锥P －ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三 棱锥P －ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．2407．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是 ________________．8．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________．9．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为________． 10．在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20， 则点P 的横坐标的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足 －1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．12．已知函数f (x )＝ln x ．若不等式mf (x )≥a ＋x 对所有m ∈[0,1]，x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 2都成立，则实数 a 的取值范围为________．1．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( )A ．a 1a 8>a 4a 5B ．a 1a 8<a 4a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 52．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－23．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( ) A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对5.如图，在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量且有最大值和最小值D ．是常数6．设点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －xy的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－32，32 C.⎣⎡⎦⎤－32，1 D ．[－1,1]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，m x ，x <0，若f (x )－f (－x )＝0有四个不同的实根，则m 的取值范围是()A ．(0,2e)B ．(0，e)C ．(0,1)D.⎝⎛⎭⎫0，1e 8．已知函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 的定义域为[－3,3]，则不等式f (x 2＋1)>f (－2)的解集为( )A ．[－2，－1]B ．[－2，2]C ．[－2，－1)∪(1，2]D ．(－2，－1)∪(1，2)9．在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.10．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．11．(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________， 最大值是________．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆C 离心率的取值范围是______________．。
分类与整合的思想
分类与整合的思想【知识归纳】所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略. 有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置． 分类讨论是一种重要的数学思想方法，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： (1)由数学概念引起的分类讨论，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算引起的分类讨论，如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数运算中真数和底数的要求等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论，如角的终边所在象限、点、线、面的位置关系等． (5)由参数的变化引起的分类讨论，如含参数的方程不等式等．⑹较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的．2．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；3．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元．如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．【基础演练】1. 已知集合A ＝{1.3.}，B ＝{1，m} ，A B ＝A ，则m= ．解析：因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ．2. 已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为 ．解析：由22＋42>4得点P 在圆x 2＋y 2＝4外，由几何性质分析知过点P 且与圆相切的直线有两条，设直线斜率为k ，则切线方程为y －4＝k (x －2)，由圆心到切线的距离为2，解得k ＝34.由此可知斜率不存在时也满足题意，解得切线方程为3x －4y ＋10＝0或x ＝2.3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34.4. 若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是________．解析：当m >5时，105＝m －5m，解得m ＝253； 当m <5时，105＝5－m 5，解得m ＝3.答案：3或253 5. 一个均匀的正四面体上分别有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c . 若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，则方程为“漂亮方程”的概率是 ▲ ．①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.综合①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316. 6. 已知平面单位向量a ，b ，c 夹角两两相等，则|a ＋b ＋c |＝________.解析：由题意知夹角为2π3或0.当夹角为2π3时，a ＋b ＝－c ，|a ＋b ＋c |＝0；当夹角为0时，|a ＋b ＋c |＝3|a |＝3. 答案：0或3【考点例析】例题1（南京市、盐城市2013届高三期末）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.（1）试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由； （2）若函数3()1x ag x x +=+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围； （3）若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值.解: (1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,所以()f x 的值域为[-3,0]………2分 而[-1,0][2,1]⊄-,所以()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的……………… 4分(2)因为,①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a++, 由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得303119104aa +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得,故331a <≤……………………7分③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意 …………………8分 综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分(3)因为3()3h x x x =-,所以2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-,所以()h x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上递减，在(1,)+∞上递增．①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以,此时无解………10分②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………11分③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩, 又33()3()3a h a a a b h b b b⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩ ………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b ah a b ≥⎧⎨≤⎩(*),而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解 ……………15分综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分变式题：设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g ′(x )＝3(1－2x )x 4>0，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4.综上a ＝4.例题2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }是首项为1，公比为b 的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；331 a≤≤ 33 ()3 11xaa gx xx +-==+++ () () haa hbb ≥ ⎧ ⎨≤ ⎩(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)当b ＝1时，a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.此时T n ＝2＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2＋1；当b ≠1时，a n b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，(2n －1)b n －1，n ≥2. 此时T n ＝2＋3b ＋5b 2＋…＋(2n －1)b n －1， ①两端同时乘以b 得，bT n ＝2b ＋3b 2＋5b 3＋…＋(2n －1)b n . ②①－②得，(1－b )T n ＝2＋b ＋2b 2＋2b 3＋…＋2b n －1－(2n －1)b n＝2(1＋b ＋b 2＋b 3＋…＋b n －1)－(2n －1)b n－b ＝2(1－b n )1－b－(2n －1)b n －b ，所以T n ＝2(1－b n )(1－b )2－(2n －1)b n 1－b －b1－b. 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋1，b ＝1，2(1－b n )(1－b )2－(2n －1)b n 1－b －b1－b ，b ≠1.变式题：三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是________．解析：设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d (d ≠0)，由于d ≠0，所以a －d ，a ，a ＋d 或a ＋d ，a ，a －d 不可能成等比数列；若a －d ，a ＋d ，a 或a ，a ＋d ，a －d 成等比数列，则(a ＋d )2＝a (a －d )，即d ＝－3a ，此时q ＝a a －3a ＝－12或q ＝a －3a a ＝－2；若a ，a －d ，a ＋d 或a ＋d ，a －d ，a 成等比数列，则(a －d )2＝a (a＋d )，即d ＝3a ，此时q ＝a －3a a ＝－2或q ＝a －3a a ＋3a＝－12.故q ＝－2或－12.例题3 已知函数f (x )＝12ax 2－2x sin 2α和函数g (x )＝ln x ，记F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)当α＝π3时，若f (x )在[1,2]上的最大值是f (2)，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，判断F (x )在其定义域内是否有极值，并予以证明；(3)对任意的α∈⎝⎛⎭⎫π6，23π，若F (x )在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a 的取值范围． 解：(1)α＝π3时，f (x )＝12ax 2－32x .①当a ＝0时，f (x )＝－32x ，不合题意；②当a <0时，f (x )＝12ax 2－32x 在⎝⎛⎦⎤－∞，32a 上递增，在⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞上递减，而[1,2]⊆⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞，故不合题意；③当a >0时，f (x )＝12ax 2－32x 在⎝⎛⎦⎤－∞，32a 上递减，在⎣⎡⎭⎫32a ，＋∞上递增，f (x )在[1,2]上的最大值是max{f (1)，f (2)}＝f (2)，所以f (1)≤f (2)，即12a －32≤2a －3，所以a ≥1.综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．(2)a ＝1时，F (x )＝12x 2－2x sin 2α＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，F ′(x )＝x ＋1x－2sin 2α≥2－2sin 2α＝2cos 2 α≥0.①当cos α≠0时，F ′(x )>0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增，从而F (x )在其定义域内没有极值； ②当cos α＝0时，F ′(x )＝x ＋1x －2＝(x －1)2x ，令F ′(x )＝0，有x ＝1，但是x ∈(0,1)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )也单调递增，所以F (x )在其定义域内也没有极值．综上，F (x )在其定义域内没有极值．(3)据题意可知，令F ′(x )＝ax ＋1x－2sin 2α＝0，即方程ax 2－2x sin 2α＋1＝0在(0，＋∞)上恒有两个不相等的实数根．即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4sin 4α－4a >0，a >0恒成立，因为α∈⎣⎡⎭⎫π6，23π，sin α∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以0<a <116. 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，116 变式题：已知F (x )＝F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，若|F (x )|在[0,1]上单调递增，则实数m 的取值范围是 ▲ ．[解] 由题设得F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，对称轴方程为x ＝m 2，Δ＝m 2－4()1－m 2＝5m 2－4.由于|F (x )|在[0,1]上单调递增，则有①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，有⎩⎨⎧m2≤0，－255≤m ≤255，解得－255≤m ≤0.②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，(ⅰ)若m >255，则m 2>55，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1，x 1<0⇔F (0)＝1－m 2<0.解得m ≥2；(ⅱ)若m <－255，即m 2<－55，有x 1<0，x 2≤0；∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2<0⇒m <0，x 1x 2≥0⇒1－m 2≥0⇒－1≤m ≤1，m <－255，解得－1≤m <－255.由(ⅰ)(ⅱ)得－1≤m ＜－255或m ≥2.综合①②有－1≤m ≤0或m ≥2.例题4已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆其中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值； （I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x y y ==-因为11(,)P x y 在椭圆上，因此2211132x y +=①又因为OPQ S ∆=所以11||||x y ⋅=②由①、②得11||| 1.x y ==此时222212123,2,x x y y +=+= （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知m 0≠，将其代入22132x y +=，得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->即2232k m +>…………（*）又212122263(2),,2323km m x x x x k k-+=-=++所以||PQ ==因为点O 到直线l 的距离为d = 所以1||2OPQ S PQ d ∆=⋅==又OPQ S ∆=整理得22322,k m +=且符合（*）式，此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k-+=+-=--⨯=++ 222222121212222(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+=综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立．（II ）解法一：（1）当直线l 的斜率不存在时，由（I ）知11|||||2||2,OM x PQ y ====因此||||22OM PQ ⋅== （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知123,22x x km+= 22212122222212122222222222222332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)y y x x k k m k m m m m mx x y y k m OM m m m m k m m PQ k k m m ++-+1=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++所以2222111||||(3)2(2)2OM PQ m m ⋅=⨯-⨯⨯+2222211(3)(2)113225().24m mm m =-+-++≤= 所以5||||2OM PQ ⋅≤，当且仅当221132,m m m-=+=即. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5.2解法二：因为222222121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-222212122[()()]10.x x y y =+++=所以224||||102|||| 5.25OM PQ OM PQ +⋅≤==即5||||,2OM PQ⋅≤当且仅当2||||OM PQ == |OM|·|PQ|的最大值为5.2点评：处理直线与圆锥曲线的位置关系时，待定直线方程需要考虑斜率不存在这种情况，需分类讨论．【方法技巧】分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它可以将整体化为局部，将复杂问题化为单一问题，以便于“各个击破”．但由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述较为烦琐，且极易在完备上造成失误，因此它并非一定是解决问题的上策或良策，我们提倡在熟悉和掌握分类思想的同时，要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论．简化分类讨论的常用策略通常有：消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解．【专题训练】一、填空题1. 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4< 0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________．(－2,2]2. 在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________.323或16 33. 设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________．5或524. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．43或8335. 设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________.12或26. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为__________．32或67. 若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__________．⎣⎡⎦⎤0，14 8. 若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围为__________．a >0且b ≤0 9. 设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________．由题意可设：|PF 1|＝4m ，|F 1F 2|＝3m ，|PF 2|＝2m ，当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4m ＋2m ＝6m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ， 所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 6m ＝12；当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝4m －2m ＝2m ，焦距为2c ＝|F 1F 2|＝3m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m 2m ＝32.10. 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，对于任意的x ∈[－2,2]总有f (x )≥0成立，则a 的取值范围是 ．[解] 法一：设f (x )的最小值为g (a )，则只需要g (a )≥0.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，又a >4，故不存在；(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；(3)当－a2>2，即a <－4，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4. 综上所述a 的取值范围为[－7,2]．法二：原题可等价转化为x 2＋3≥(1－x )a 对于任意的x ∈[－2,2]恒成立． (1)若1－x ＝0即x ＝1时，显然成立，此时a ∈R .(2)若1－x >0即－2≤x <1，不等式a ≤x 2＋31－x 恒成立，设g (x )＝x 2＋31－x ，利用求导的方法得到g (x )min ＝2，得到a ≤2，(3)若1－x <0即1<x ≤2，不等式a ≥x 2＋31－x 恒成立，设g (x )＝x 2＋31－x ，利用求导的方法得到g (x )max ＝－7，得到a ≥－7.综上所述a 的取值范围为[－7,2]． 二、解答题11. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)若x ∈[－2，－1]，不等式f (x )≤f ′(x )恒成立，求a 的取值范围；(2)解关于x 的方程f (x )＝|f ′(x )|；(3)设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )，f (x )≥f ′(x )f (x )，f (x )<f ′(x )，求g (x )在x ∈[2,4]时的最小值．解：(1)因为f (x )≤f ′(x )，所以x 2－2x ＋1≤2a (1－x )．又因为－2≤x ≤－1，所以a ≥x 2－2x ＋12(1－x )在x ∈[－2，－1]时恒成立．因为x 2－2x ＋12(1－x )＝1－x 2≤32，所以a ≥32.(2)因为f (x )＝|f ′(x )|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a |，所以(x ＋a )2－2|x ＋a |＋1－a 2＝0， 则|x ＋a |＝1＋a 或|x ＋a |＝1－a .①当a <－1时，|x ＋a |＝1－a ，所以x ＝－1或x ＝1－2a ； ②当－1≤a ≤1时，|x ＋a |＝1－a 或|x ＋a |＝1＋a ， 所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a )；③当a >1时，|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝1或x ＝－(1＋2a )．(3)因为f (x )－f ′(x )＝(x －1)[x －(1－2a )]，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )，f (x )≥f ′(x )，f (x )，f (x )<f ′(x ).①若a ≥－12，则x ∈[2,4]时，f (x )≥f ′(x )，所以g (x )＝f ′(x )＝2x ＋2a .从而g (x )的最小值为g (2)＝2a ＋4；②若a <－32，则x ∈[2,4]时，f (x )<f ′(x )，所以g (x )＝f (x )＝x 2＋2ax ＋1，当－2≤a <－32时，g (x )的最小值为g (2)＝4a ＋5；当－4<a <－2时，g (x )的最小值为g (－a )＝1－a 2； 当a ≤－4时，g (x )的最小值为g (4)＝8a ＋17.③若－32≤a <－12，则x ∈[2,4]时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋1，x ∈[2，1－2a )，2x ＋2a ，x ∈[1－2a ，4]，当x ∈[2,1－2a )时，g (x )最小值为g (2)＝4a ＋5； 当x ∈[1－2a,4]时，g (x )最小值为g (1－2a )＝2－2a .因为－32≤a <－12，(4a ＋5)－(2－2a )＝6a ＋3<0，所以g (x )最小值为4a ＋5.综上所述，[g (x )]min＝⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋17，a ≤－4，1－a 2，－4<a <－2，4a ＋5，－2≤a <－12，2a ＋4，a ≥－12.12. 已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．解 f (x )＝2a ·12(1－cos 2x )－ 3a sin 2x ＋a ＋b＝－2a ⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎫2x ＋π6＋2a ＋b ， 又∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 因此，由f (x )的值域为[－5,1]可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝1，－2a ×1＋2a ＋b ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a ×1＋2a ＋b ＝1，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1.13. 已知椭圆C 的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝4，P 为准线上一动点，直线PF 1、PF 2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F 1F 2为直径的圆O 交于点M 、N . (1)求椭圆的标准方程；(2)探究是否存在一定点恒在直线MN 上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意得c a ＝22，a 2c ＝4，解得c ＝2，a ＝22，则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)由(1)易知F 1F 2＝4，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.设P (4，t )，则直线PF 1方程为y ＝t6(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝t 6(x ＋2)，得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4(t 2－36)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝－2(t 2－36)t 2＋36，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2(t 2－36)t 2＋36，24t t 2＋36，同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(t 2－4)t 2＋4，－8t t 2＋4.①若MN ⊥x 轴，则－2(t 2－36)t 2＋36＝2(t 2－4)t 2＋4，解得t 2＝12，此时点M ，N 的横坐标都为1，故直线MN 过定点(1,0)；②若MN 与x 轴不垂直，即t 2≠12，此时k MN ＝－8t t 2＋4－24tt 2＋362(t 2－4)t 2＋4＋2(t 2－36)t 2＋36＝－8tt 2－12， 所以直线MN 的方程为y －－8t t 2＋4＝－8t t 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2(t 2－4)t 2＋4，即y ＝－8tt 2－12(x －1)，所以直线MN 过定点(1,0)．综上，直线MN 过定点(1,0)．14. 已知函数f (x )＝|ax 2－2x ＋1|,0≤x ≤4.(1)a <0时，求f (x )≥12的解集；(2)求f (x )的最大值．解：(1)a <0时，f (x )草图如下，由f (0)＝1，f (4)＝7－16a >1， 可令⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2x ＋1＝12，x >0，解得x 1＝2－4－2a2a.又令⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2x ＋1＝－12，x >0，解得x 2＝2－4－6a2a，由图可知f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－4－2a 2a ∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－4－6a 2a ，4. (2)a <0时，f (x )＝|ax 2－2x ＋1|，记g (x )＝ax 2－2x ＋1,0≤x ≤4， g (x )图象对称轴x ＝1a ，1a <0，∴g (x )在[0,4]上单调递减．∴f (x )max ＝max{f (0)，f (4)}＝max{1，|16a －7|}＝7－16a ； a ＝0时，f (x )＝|－2x ＋1|，f (x )max ＝7； a >0时，如果0＜1a ≤4，即a ≥14时，f (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (0)，f ⎝⎛⎭⎫1a ，f (4)＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，⎪⎪⎪⎪1a －1，|16a －7|， ①14≤a ≤716，即167≤1a≤4时， f (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1a －1，7－16a ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a －1，7－16a ，由于⎝⎛⎭⎫1a －1－(7－16a )＝1a ＋16a －8≥0， ∴f (x )max ＝1a －1.②716＜a ≤1时，f (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1a －1，16a －7， 12＜a ≤1时，⎝⎛⎭⎫1a －1－1＝1a －2＝1－2a a<0， (16a －7)－1＝16a －8＝8(2a －1)>0，∴f (x )max ＝16a －7. 716＜a ≤12时，⎝⎛⎭⎫1a －1－1＝1a －2＝1－2a a ≥0， (16a －7)－1＝16a －8＝8(2a －1)≤0，∴f (x )max ＝1a －1.③a >1时，f (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1－1a ，16a －7＝16a －7，又0＜a ＜14时，1a>4，f (x )max ＝{f (0)，f (4)}＝{1，|16a －7|}＝7－16a .综上所述f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧7－16a ，a ≤14，1a －1，14＜a ≤12，16a －7，a >12.。
高考数学第3讲 分类与整合思想——巧分善合
33a，
33a，＋∞.
大二轮复习 数学（文）
几种常见的由参数变化引起的分类与整合 (1)含有参数的不等式的求解． (2)含有参数的方程的求解． (3)对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性的问题． (4)二元二次方程表示曲线类型的判定等． (5)直线与圆锥曲线位置关系的分类．
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2．(2019·东营模拟)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲 线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线 C 的离心 率等于________．
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解析：不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中，t≠0.若该曲 线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，
解析：选 A.①当 2－a≥2，即 a≤0 时，22－a－2－1＝1，解得 a＝－1， 则 f(a)＝f(－1)＝－log2[3－(－1)]＝－2； ②当 2－a<2 即 a>0 时，－log2[3－(2－a)]＝1， 解得 a＝－12，舍去． 所以 f(a)＝－2.故选 A.
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(2)(2019·阜阳二模)等比数列{an}中，a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18， 则{an}的前 9 项和 S9＝________．
解析：由题意得 q2＝aa13＋＋aa46＋＋aa79＝9，q＝±3， ①当 q＝3 时，a2＋a5＋a8＝3(a1＋a4＋a7)＝6， S9＝2＋6＋18＝26 ②当 q＝－3 时，a2＋a5＋a8＝－3(a1＋a4＋a7)＝－6，S9＝2－6＋18 ＝14， 所以 S9＝14 或 26. 答案：14 或 26
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分类与整合思想例析
分类与整合思想例析1.分类与整合的思想的含义分类与整合的思想,就是当问题所给的对象因一些不确定的因素而不能进行统一研究时 (如不能用同一种标准,或同一种运算,或同一个类型,或同一个定理,或同一种方法去解决等),就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略. 分类讨论既是一种重要的数学方法，也是一种重要的数学思想．由于有关分类讨论的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，并能训练人的思维的条理性与概括性，因而在高考试题中往往占有较大的比重对问题实行分类与整合,确定分类标准后等于增加了一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.2.运用分类与整合思想解题的基本步骤：确定标准→合理分类→逐类讨论→归纳总结。
(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结：将各类情况总结归纳3.明确引起分类讨论的原因，有利于掌握分类整合的思想方法解决问题.分类讨论的主要原因有：(1)由数学概念引起的分类讨论：有些数学概念本身就是以分类形式定义的，如直线与平面所成的角、三角函数值所在象限的符号、绝对值等．有些数学概念本身也有一定的限制，如直线的斜率 ，二次曲线中又包括椭圆、双曲线及抛物线，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的斜率与倾斜角、两条直线所成的角，指数函数,对数函数,空集，直线的截距式等.(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响，三角函数的定义域，一元二次方程解的情况是按“∆”的正负给出的等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学性质、定理、公式是分类给出的,在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否分类讨论。
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第一步：确定讨论 的对象及其范围分类源自第二步：确定分类与
讨论的分类标准
整
合
的
第三步：分类逐步、
步
分级进行讨论
骤
第四步：归纳小结、
整合得出结论
例3.已知函数 f (x) ln x ax 1 a 1． x
（1）当a = -1时，求曲线 y = f (x)在点(2,f (2)) 处的切线方程；
（2）当 a 1 时，讨论f (x)的单调性． 2
分类与整合思想
1．思想方法概述
在解题时，我们常常遇到这样一种情况： 解到某一步之后，不能再继续统一研究。因为 这时被研究的问题包含了多种情况。这时我们 可以将所研究的对象按照一定的标准，分为几 类分别研究，再把每一类的结果综合起来，得 到整个问题的解答。这种解决问题的方法就是 分类与整合的思想方法．
3.典例剖析
例1．已知集合A={x| |x|<4 , x∈R}, B={x| |x-3|<t , t∈R},
若 A B ，求 t 的取值范围．
3.典例剖析
例1．已知集合A={x| |x|<4 , x∈R}, B={x| |x-3|<t , t∈R},
若 A B ，求 t 的取值范围．
空集是一种特殊的集合，研究集合之间的包含
例3.已知函数 f (x) ln x ax 1 a 1． x
（1）当a = -1时，求曲线 y = f (x)在点(2,f (2)) 处的切线方程；
（2）当 a 1 时，讨论f (x)的单调性． 2
第2小题求导后转化为解一个含参数的不等式 问题，因此必须对参数a进行分类讨论求解。 本题是由参数的变化引起的分类讨论
实质上，分类与整合是“化整为零，各个 击破，再积零为整”的数学解题策略。在求解 一些头绪繁多的问题时有独特的功效。
2.引起分类讨论的主要原因
1.由数学概念引起的分类讨论 2.由数学运算要求引起的分类讨论 3.由性质、定理、公式的限制引起的分类
讨论 4.由图形的不确定性引起的分类讨论 5.由参数的变化引起的分类讨论 6.由实际意义引起的分类讨论
关系时，应考虑子集B＝ 以及B≠ 的情况．
本题讨论的关键就是由“空集”的概念引发 的．
例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn， 若S4=1，且S8=17,求{an} 的通项公式．
例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn， 若S4=1，且S8=17,求{an} 的通项公式．
本题是由公式的限制引起的分类讨论
求不等式x f (x 1) 10 的解集．
2 .当x∈[-2,1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0 恒成立，求实数a的取值范围．
3 ．已知 f (x) (4x2 4ax a2 ) x, (a 0)．
（1）当a = - 4时，求f (x)的单调递增区间； （2）若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a值
注意：二次含参不等式怎么分类讨论？
在解二次含参不等式的讨论问题中，通常先 讨论二次项系数a，分为a>0,a=0,a<0。再讨 论判别式，最后再比较两根的大小，有时还 需判断根与函数定义域的位置关系。讨论时 不能忽略临界位置（即取等号）的情况。分 清主次，不重复不遗漏。最后整合答案。
4.练习题
x 2 (x 2) 1. 已知函数f (x) 2 (x 2) ，
本题是由极值点与给定区间的位置关系引起 的分类讨论
处理分类与整合问题的原则： 分类准确， 标准统一， 不重复不遗漏。
建议： 1.先找关键点，以关键点为分界依次讨论 2.对于多级分类，应逐级讨论
作业：《学海舵手》P45
谢谢大家!