2017年秋季新版北师大版八年级数学上学期4.3、一次函数的图象素材6

《一次函数的图象》典型例题
例1 某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2小时后血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐步衰减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （小时）的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后，
（1）分别求出2≤x 和2≥x 时，y 与x 的函数关系式；
（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，则在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？
例2 已知一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点)0,6(-A ，与y 轴交于点B ，若AOB ∆的面积为12，且y 随x 增大而减小，求一次函数的解析式．
例3 作出53-=x y 的图像．
例 4 已知一次函数图象过点(4，1)和点(-2，4)．求函数解析式并画出图象．根据图象回答：(1)当x=-1时y 的值；(2)当y=2时x 的值；(3)图象与x 轴交点A 的坐标，与y 轴交点B 的坐标；（4）当x 为何制值时0,0,0y y y >=<；（5）当14x -<≤时y 的取值范围；（6）14y -<≤时x 的取值范围；（7）求AOB 的面积；（8）方程1302
x -+=的解
例5 正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示，请确定k 、b 的情况：
例 6 在同一坐标系中，分别作出下列一次函数的图像：
（1）23+=x y ； （2）x y 3= （3）23-=x y .
例7 在直角坐标系中，一次函数在y 轴上的交点坐标是B(0，5)，与x 轴交点A 的横坐标是图象与y 轴交点到原点距离的2倍，点C 的坐标是(6，0)，点P 的坐标是(0，y)，若四边形ABPC 的面积为S ，求S 关于y 的函数解析式，并求出自变量的取值范围；若∠PCO=30°时，求四边形ABPC 的面积．
参考答案
例1 分析 （1）当2≤x 时，一次函数的图像过原点，因此这是正比例函数，它过点)6,2(，因此可求出这个函数的解析式，又当2≥x 时，直线过)6,2(，)3,10(两点，因此也可以求出一次函数的解析式．（2）当每毫升血液中药量在4微克或4微克以上时，就是指4≥y ，求出此时对应的x 的值就能确定药物有效的时间．
解 （1）当2≤x 时，设x k y 1=.
∵ 6,2==y x ，∴ x y 3=.
当2≥x 时，设.2b x k y +=
∵ 6,2==y x ，3,10==y x ，∴ ⎩⎨⎧=+=+.
310,6222b k b k ∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=.427,832b k ∴ 当2≥x 时，一次函数的解析式为.4
2783+-
=x y （2）4=y 时，两个函数对应的x 值分别为322,34，634322=-=t （小时），所以有效的时间是6个小时．
例2 分析 一次函数的图像与y 轴交于B 点，则B 点坐标为),0(b ，OB 的长为b ，一次函数图像与x 轴交于点)0,6(-A ，则OA=6，由AOB ∆面积为12，则
122
1=⋅OB OA ，且A 在直线上，则可以求得k 、b 的值．
由又y 随x 增大而减小，则可确定0<k .
解 ∵ 一次函数图像与x 轴交于B ，∴ ),0(b B . A 在一次函数图像上，则06=+-b k . ①
AOB ∆面积为12，，则1221=⋅OB OA .即1262
1=⨯⨯b ，4±=b . 代入①式，可得3
2±=k .
而y 随x 增大而减小，∴ 0<k ，则4,32-=-
=b k . ∴ 一次函数的解析式为.432--
=x y
例3 解 ∵ 当35=
x 时，053=-x ，∴ 35≥x 时，5353-=-=x x y ； 当3
5<x 时，x x y 3553-=-=.图像如图所示．
说明：找出绝对值为0时，自变量的值，以这个值为界，分别从自变量大于这个值及小于这个值两种情况来讨论，这是讨论与绝对值有关问题的常用方法．
例4 分析：一次函数的图象是一条直线，由两点很容易就得到图象，用待定系数法可以求
出解析式，利用图象或解析式可解答许多问题．
解：设一次函数解析式为b kx y +=，∵ 函数图象过点(4，1)和点(-2，4)
∴ ⎩⎨⎧=+-=+4214b k b k ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=3
21b k 132
y x ∴=-+ 列表：
描点连线得图象
（1） 当x=-1时，72
y = （2） 当y=2时，x=2；
（3） A(6，0)、B(0，3)；
（4） x ＜6时，y ＞0；x=6时，y=0；x ＞6时，y ＜0
（5） 当14x -<≤时，712
y ≤< （6） 当-1≤y＜4时，-2＜x≤8；
（7） 1163922AOB S OA OB =
⋅=⨯⨯= （8） 方程1302
x -+=的解是x=6 说明：从图象上对应点的坐标来求(1)已知x 值可求y 的值；(2)已知y 的值可求x 的值；(3)
已知x 的变化范围可求y 的变化范围，反之也可求．函数方程132y x =-
+当y 为零时x 的值就是方程方程1302
x -+=的解，函数、方程、不等式三者是紧密联系的。

例5 分析：看图象自左向右是上升还是下降来决定k 的正负由图象与y 轴的交点在x 轴的
上方还是下方来决定b 的正负．正比例函数过原点b=0．
解：图(1)中k ＞0，b=0；图(2)中k ＜0，b=0；图(3)中k ＜0，b ＞0；图(4)中k ＜0，b ＜0．
例6 解：各取两点，列表如下：
再描点连结，得上图.
说明：它们的图像都是直线，这些直线之间有如下的关系：
（1）它们的图像是三条互相平行的直线；
（2）其中，正比例函数的图像是经过原点的直线；
（3）23+=x y 的图像可以看成是由x y 3=的图像向上平移两个单位得到的：23-=x y 的图像可以看成是由x y 3=的图像向下平移两个单位得到的.
例7 分析：根据题意画出示意图
因为要求面积S 与y 的函数关系式，所以要考虑ABPC 四边形的构成，确定四边形ABPC ，其中三点A ，B ，C 的坐标已给出，只要考虑P 点的位置即可．点P 的位置有两种可能，其一是P 点在O ，B 之外，其二在O ，B 之间，如果P 点在OB 之外，则不满足四边形ABPC 的条件，所以点P 只能在O ，B 之间，所以S=S △AOB-S △COP ，故只要求出两个三角形面积即可．
解：∵一次函数在y轴上交点B的坐标是(0，5)
根据题意：得A(10，0)
∴OB=5，OA=10
∵点C坐标为(6，0)，点P坐标是(0，y)
∴OC=6，OP=y
∵S=S△AOB-S△COP
∴S=25-3y
即S=-3y+25
∵点P在O与B之间
∴自变量y的取值范围是0＜y＜5
∴当∠PCO=30°时，在Rt△COP中
说明：解这类题时先画出示意图，并看图进行分析，示意图的关键是位置关系要正确，要学会数形结合．。