2015年高考数学热点专题复习热点六解析几何理

热点六 解析几何【考点精要】考点一. 直线的倾斜角、斜率与方程. 会用直接法、待定系数法、轨迹法等求直线方程. 如：已知直线过（1，2）点，且在两坐标轴的截距相等，则此直线的方程为 .考点二. 点、直线、直线与直线的位置关系. 重点考查点与直线的距离，直线与直线的距离公式、位置关系，直线与直线的夹角. 如：若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则( )A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 考点三. 直线与圆，圆与圆的位置关系. 重点考查直线与圆的相关性质、圆与圆的相关性质. 过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为( )A ．30B ．45C ．60D ．90考点四. 椭圆及其标准方程. 椭圆的简单的几何性质，双曲线及其标准方程，抛物线的简单的几何性质及其标准方程，抛物线的简单的几何性质. 如：设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A ．24y x =±B ．28y x =±C ．24y x =D ．28y x =考点五. 直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的交点（向量的数量积）、截取的线段. 如：已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点 B. 若3FA FB =,则AF =( )A ． 2B ． 2C ． 3D ． 3考点六. 圆锥曲线的离心率. 一般考查两个方面：一是求离心率的值，另一个是根据题目条件求离心率的范围问题. 求解时或根据题意巧设参数，或利用直线与圆锥曲线的交点得到不等量关系进而求出离心率的范围. 如：已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使caF PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．考点七. 圆锥曲线的轨迹方程. 借助代数、几何、平面向量等求圆锥曲线的轨迹方程问题，一般运用代入法、交规法，参数法、设而不求法等. 如：已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若()2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为 .24y x =考点八. 圆锥曲线的最值. 以圆锥曲线知识为依托，注重考查对称问题、参数问题、最值问题、存在性问题等，这类问题入手点难，运算量大，题目往往涉及的知识多，层次复杂，多以大题出现.巧点妙拨1．直线方程的五种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)中，仅有一般式可以表示坐标平面内的任意直线，其他四种形式都有局限性，故在使用是尽量使用一般式．2．处理直线与圆的位置关系问题的常规思路有两个：其一，通过方程，利用判别式；其二，根据几何性质，借助圆心到直线的距离进行求解．3．在求解直线与圆锥曲线的位置关系时，经常用到一些特殊技巧．比如：设而不求、整体运算等．这些运算都有一个公共的前提：△≥0．求解后切莫忘记验证．【典题对应】例1. ( 2014· 山东理10) 已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+by a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-b y a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（ ）（A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =± 命题意图：本题主要考查圆锥曲线的离心率、渐近线方程. 解析：()222212222222224424412434422c a b e a a c a b e a a a b e e a b a b a -==+==-∴==∴=∴=± 答案：A名师坐堂：注意渐近线方程仅对双曲线而言，无其他限制条件渐近线方程应成对出现. 例2. ( 2014· 山东理21) 已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF V 为正三角形.（I ）求C 的方程；（II ）若直线l l //1，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， （i ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ii ）ABE V 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.命题意图：本题主要考查抛物线的定义，直线的方程，最值等，考查学生综合分析问题的能力.解析：（1）由抛物线第二定义得：23322p p-=+ 解得：2p =或18p =（舍去）当18p =时，经检验直线l 与C 只有一个交点，不合题意.C ∴ 的方程为：24y x =.（2）由（1）知直线AE 过焦点(1,0)F ， 所以000011(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++. 设直线AE 的方程为1x my =+， 因为点A 00(,)x y 在直线AE 上， 故001x m y -=.设11(,)B x y 直线AE 的方程为000()2y y y x x -=--， 由于00y =， 可得0022x y x y =-++， 代入抛物线方程得2008840y y x y +--=， 所以0108y y y +=-， 可求得10100084,+4y y x x y x =--=+， 所以点B 到直线AE 的距离为：0000002184(1)4(1)14()1x m y x y x d x x x m++++-+===++，则ABE ∆的面积00001114()(2162S x x x x =⨯⨯+++≥）， 当且仅当001x x =，即01x =时等号成立. 所以ABE ∆的面积的最小值为16.例3. ( 2013· 山东理)椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率为32，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ，设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过P 点作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值.命题意图：考查椭圆的方程、性质、直线与椭圆的位置关系、角平分线定理、直线的斜率公式，考查学生解决复杂问题的计算能力以及解决定值问题的能力.解析：（Ⅰ）由于222c a b =-，将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2by a=±由题意知221b a =，即22a b = 又c e a ==32所以2a =，1b = 所以椭圆方程为2214x y +=.（Ⅱ）由题意可知：PMPF PM PF PMPF PM PF 2211⋅=⋅,2211PF PM PF PF PM PF ⋅=⋅.设),(00y x P 其中420≠x ，将向量坐标代入并化简得：03020123)164(x x x m -=-，因为420≠x ，所以043x m =，而)2,2(0-∈x ，所以)23,23(-∈m . （Ⅲ）由题意可知：l 为椭圆在p 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：1400=+y y xx . 所以 004y x k -=，而301+=x y k ，302-=x y k ，代入1211kk kk +中得， 1211kk kk +8)33(40000-=-++-=x x x x 为定值. 名师坐堂：当直线与椭圆只有一个交点时应考虑切线方程为12020=+byy a x x ，同时应考虑直线的斜率是否存在. 若题设与向量有关应考虑用向量的相关性质进行运算.例4.(2012·山东理21) 在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M 的横坐标为2，直线l ：y=kx+14与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，l 与圆Q 有两个不同的交点D ，E ，求当12≤k≤2时，22DE AB +的最小值. 命题意图：主要考查了抛物线的标准方程的确定,直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的最值问题.解析： （Ⅰ） F 为抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点F )2,0(p ，设M )0)(2,(0200>x px x ，),(b a Q ，由题意可知4pb =，则点Q 到抛物线C 的准线的距离为==+=+p p p p b 4324234，解得1=p ，于是抛物线C 的方程为y x 22=. （Ⅱ）假设存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ，而)2,(),0,0(),21,0(200x x M O F ，)41,(a Q ，QF OQ MQ ==，161)412()(222020+=-+-a x a x ，030838x x a -=，由y x 22=可得x y ='，03020838241x x x x k --==，则20204021418381x x x -=-， 即022040=-+x x ，解得10=x ，点M 的坐标为)21,1(. （Ⅲ）若点M 的横坐标为2，则点M )1,2(，)41,82(-Q . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==4122kx y yx 可得02122=--kx x ，设),(),,(2211y x B y x A ，]4))[(1(2122122x x x x k AB -++=)24)(1(22++=k k圆323161642)21()82(:22=+=-++y x Q ，22182182kk kk D +=+-⋅=)1(823])1(32323[422222k k k k DE ++=+-=， 于是)1(823)24)(1(222222k k k k DE AB +++++=+，令]5,45[12∈=+t k 418124812)24()1(823)24)(1(2222222++-=++-=+++++=+t t t t t t t k k k k DE AB ，设418124)(2++-=t t t t g ，28128)(tt t g --='， 当]5,45[∈t 时，08128)(2>--='t t t g ，即当21,45==k t 时101441458145216254)(min =+⨯+⨯-⨯=t g .故当21=k 时，1014)(min 22=+DE AB .名师坐堂：解决双曲线问题时应结合图形进行思考，若直线与双曲线有一个交点时△=0就未必可以. 求最值时较为有效的办法是利用导数进行求解.【命题趋向】解析几何是高中数学的重要内容，其特点是用代数的方法研究解决几何问题，重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题，这类试题涉及面广、综合性强、题目新颖、灵活多样，解题对能力要求较高．其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例，且常考常新．高考考试题目特点：(1)题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为30分左右， 占总分值的20%左右.(2)整体平衡，重点突出：对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点， 对支撑数学科知识体系的主干知识， 考查时保证较高的比例并保持必要深度.（3）直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素．高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是求圆锥曲线的标准方程；有的是直接考查圆锥曲线的离心率，在考查相应基础知识的同时，着重考查基本数学思想和方法，如分类讨论思想、数形结合思想．除此之外，要重视对考生思维能力和思维品质的考查.(4)能力立意，渗透数学思想：一些虽是常见的基本题型，但如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案.(5)题型新颖，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大. 加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等)，凸现教材中研究性学习的能力要求. 加大探索性题型的分量.【直击高考】1. 已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．3C ．2D ．32．已知抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l ,点P 为抛物线上一点,且在第一象限,l PA ⊥,垂足为A ,4PF =,则直线AF 的倾斜角等于( )A ．712π B ．23π C ．34π D ．56π 3．方程1169x x y y+=-的曲线即为函数()y f x =的图像,对于函数()y f x =,有如下结论:①()f x 在R 上单调递减;②函数()4()3F x f x x =+不存在零点;③函数()y f x =的值域是R;④若函数()g x 和()f x 的图像关于原点对称,则函数()y g x =的图像就是方程1169y y x x +=确定的曲线.其中所有正确的命题序号是 ( ) A ．①② B ．②③ C ．①③④ D ．①②③4．已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( ) A ．60条B ．66条C ．72条D ．78条5. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e +1的取值范围是( ) A. （1，+∞）B. （43，+∞） C. （65，+∞） D.（109，+∞） 6．以抛物线220y x =的焦点为圆心，且与双曲线221169x y -=两条渐近线都相切的圆的方程为( )A. 2220640x y x +-+= B. 2220360x y x +-+= C. 2210160x y x +-+=D. 221090x y x +-+=7．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设AP AD AB λμ=+u u u r u u u r u u u r(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(0,3)C ．[1,2]D ．[1,2)8．设双曲线221x y m n+=的离心率为2,且一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同,则此双曲线的方程为______.9．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点O ，则k 1·k 2的值为________． 11．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且AC BC 0⋅=uu u r uu u r ，|BC |2|AC |=u u u r u u u r ，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q 使PCQ ∠的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ λAB =u u r u u u r？请说明理由；12．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为2，且过点（1，22），右焦点为2F ．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为12-，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求22F P F Q ∙uuu r uuu r的取值范围．13. 如图，已知直线l 与抛物线y x 42=相切于点P(2，1)，且与x 轴交于点A ，O 为坐标原点，定点B 的坐标为 （2，0）.（I ） 若动点M 满足0||2=+⋅AM BM AB ，求点M 的轨迹C ；（II ）若过点B 的直线l ′（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.11热点六 解析几何 【直击高考】1. 解析：椭圆的焦点为(1,0),顶点为(2,0),即双曲线中1,2a c ==,所以双曲线的离心率为221c e a ===,选C ． 2. 解析：B 抛物线的焦点坐标为(1,0)F ,准线方程为1x =-.由题意4PF PA ==,则(1)4P x --=,即3P x =,所以243P y =⨯,即23P y =±,不妨取(1,23)P -,则设直线AF 的倾斜角等于θ,则23tan 311θ==---,所以23πθ=,选B ． 3. 解析：0,0x y ≥≥,方程为221169x y +=-,此时方程不成立.当0,0x y <<,方程为221169x y +=,此时23116x y =-+.当0,0x y ><,方程为221169x y -=-,即23116x y =-+.当0,0x y <>,方程为221169x y -+=-,即23116x y =-.做出函数的图象 如图由图象可知,函数在R 上单调递减.所以①成立.②由()4()30F x f x x =+=得3()4f x x =-.因为双曲线221169x y -=-和221169x y -+=-的渐近线为34y x =±,所以()4()3F x f x x =+没有零点,所以②正确.由图象可函数的值域为R,所以③正确.若函数()g x 和()f x 的图像关于原点对称,则函数()y g x =的图像就是方程1169x x y y--+=-,即1169x x y y+=,所以④错误,所以选D ． 4. 解析：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆22100x y +=上的整数点共有12个，分别为()()()6,8,6,8,8,6±-±±，()()()8,6,10,0,0,10-±±±，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成21266C =条直线，其中有4条直线垂直x 轴，有4条直线垂直y 轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。