(浙江版)2018年高考数学一轮复习专题10.5离散型随机变量及其分布列(练)-含答案

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中职高考数学一轮复习讲练测专题10-4 离散型随机变量的分布列(讲)(含详解)

专题10.4 离散型随机变量的分布列【考纲要求】1. 了解离散型随机变量； 2．离散型随机变量的分布列． 3. 独立重复试验．【考向预测】1. 独立重复试验与二项分布．2. 离散型随机变量的分布列．【知识清单】1. 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为_随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_离散型__随机变量．2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的_概率分布列__(2)离散型随机变量的分布列的性质①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝_p 1＋p 2＋…＋p n __＝1. 3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N 、M ≤N ，n 、M 、N ∈N ＋，称随机变量X 服从超几何分布.4.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝_P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )__.(2)二项分布：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．若X ～B (n ，p )，则E (X )＝_np __，D (X )＝_np (1－p )__.【考点分类剖析】考点一独立重复试验的概率例1. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)． (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【方法归纳】 1.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．2．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验． 3．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．【变式探究】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答)(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．考点二离散型随机变量的分布列-二项分布例.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X ，求X 的分布列．【方法归纳】解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．【变式探究】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；③从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627．其中所有正确结论的序号是__ __．考点三二项分布的应用例.高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为13，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次．求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列．【方法归纳】 1.二项分布的简单应用是求n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n ，p →写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率．2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．【变式探究】1.在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23．(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 不小于4的概率．2.甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为23和34.假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立．①用X表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X的分布列和数学期望；②设M为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M发生的概率．考点四离散型随机变量的分布列-超几何分布例1袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；【方法归纳】求离散型随机变量的分布列应注意的问题(1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概率及互斥事件、对立事件的概率等知识．【变式探究】1.从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；(2)求出赢钱(即X>0时)的概率．2.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．专题10.4 离散型随机变量的分布列【考纲要求】1. 了解离散型随机变量； 2．离散型随机变量的分布列． 3. 独立重复试验．【考向预测】1. 独立重复试验与二项分布．2. 离散型随机变量的分布列．【知识清单】1. 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为_随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_离散型__随机变量．2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的_概率分布列__(2)离散型随机变量的分布列的性质①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝_p 1＋p 2＋…＋p n __＝1. 3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N 、M ≤N ，n 、M 、N ∈N ＋，称随机变量X 服从超几何分布.4.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝_P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )__.(2)二项分布：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．若X ～B (n ，p )，则E (X )＝_np __，D (X )＝_np (1－p )__.【考点分类剖析】考点一独立重复试验的概率例1. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)． (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率． [解析] (1)记预报一次准确为事件A ，则P (A )＝0.8． 5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05．(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×0.24＝0.00672≈0.01．所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99．所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99． (3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P ＝C 14×0.8×0.23×0.8＝0.02048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02．【方法归纳】 1.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．2．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．3．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．【变式探究】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答)(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．[解析] (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝1927．(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝49×38＝16．考点二离散型随机变量的分布列-二项分布例.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X ，求X 的分布列．[解析] (1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ∪A B ”，且事件A ，B 相互独立．所以P (AB ∪A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋(1－12)×(1－12)＝12． (2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.且X ～B (4，12)．所以P (X ＝k )＝C k 4(12)k (1－12)4－k＝C k 4(12)4(k ＝0,1,2,3,4)．所以变量X 的分布列为：【方法归纳】解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．【变式探究】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；③从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627．其中所有正确结论的序号是__①③__．[解析] ①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P (A )＝23，P (A ∩B )＝4×36×5＝25，∴P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝35，故②错；③每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为 1－(1－23)3＝2627，故③正确．考点三二项分布的应用例.高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为13，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次．求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列．[解析] (1)至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功．设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X ，则P (X ＝3)＝C 35×(13)3×(23)2＝40243，P (X ＝4)＝C 45×(13)4×23＝10243， P (X ＝5)＝C 55×(13)5×(23)0＝1243．所以至少有3次发芽成功的概率P ＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝40243＋10243＋1243＝51243＝1781．(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5． P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝2)＝23×13＝29，P (ξ＝3)＝(23)2×13＝427，P (ξ＝4)＝(23)3×13＝881，P (ξ＝5)＝(23)4×1＝1681．所以ξ的分布列为：【方法归纳】 1.二项分布的简单应用是求n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n ，p →写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率．2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．【变式探究】1.在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23．(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 不小于4的概率．[解析] (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为C 15·23·(13)4＋(13)5，所以所求的概率为1－[C 15·23·(13)4＋(13)5]＝232243． (2)当X ＝4时记为事件A ，则P (A )＝C 13·23·(13)2·23＝427．当X ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B ．则P (B )＝C 14·23·(13)3＋(13)4＝19， ∴射击次数不小于4的概率为427＋19＝727．2.甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为23和34.假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立．①用X 表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X 的分布列和数学期望；②设M 为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M 发生的概率．[解析] ①X 的所有可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133＝127； P (X ＝1)＝C 13·23×⎝⎛⎭⎫132＝29； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232×13＝49； P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. ∴随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2或E (ξ)＝np ＝23.②设Y 为乙连续3次答题中答对的次数，由题意知Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，34， P (Y ＝0)＝⎝⎛⎭⎫143＝164，P (Y ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫341⎝⎛⎭⎫142＝964，所以P (M )＝P (X ＝3且Y ＝1)＋P (X ＝2且Y ＝0) ＝827×964＋49×164＝7144. 即事件M 发生的概率为7144.考点四离散型随机变量的分布列-超几何分布例1袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；[解析] (1)解法一：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23．解法二：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”为事件A ，“一次取出的3个小球上的数字中有两个数字相同”为事件B ，事件A 和事件B 是对立事件．因为P (B )＝C 15C 22C 18C 310＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝1－13＝23．(2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5．P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130；P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215； P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310；P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815．所以随机变量X 的概率分布列为：【方法归纳】求离散型随机变量的分布列应注意的问题(1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概率及互斥事件、对立事件的概率等知识．【变式探究】1.从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．(1)以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值？求X 的分布列； (2)求出赢钱(即X >0时)的概率．[解析] (1)从箱中取两个球的情形有以下6种：{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．当取到2个白球时，随机变量X ＝－2；当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X ＝－1；当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X ＝1；当取到2个黄球时，随机变量X ＝0；当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X ＝2；当取到2个黑球时，随机变量X ＝4．所以随机变量X 的可能取值为－2，－1,0,1,2,4． P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522，P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211，P (X ＝0)＝C 22C 212＝166，P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411，P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433，P (X ＝4)＝C 24C 212＝111．所以X 的分布列如下：(2)P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝411＋433＋111＝1933．所以赢钱的概率为1933．2.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列．[解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为。

离散型随机变量及分布列(一轮复习)

答案：D
离散型随机变量分布列
[例2] 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6分的概率．
[自主解答] (1)从袋中随机取 4 个球的情况为 1 红 3 黑， 2 红 2 黑，3 红 1 黑，4 红四种情况，分别得分为 5 分，6 分， 7 分，8 分，故 X 的可能取值为 5,6,7,8.
[易误辨析] (1)本题由于离散型随机变量ξ的取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误． (2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全而导致解题错误． (3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.
1－2q≥0， q2≥0， 12＋1－2q＋q2＝1，
解得
q＝1－
2 2.
或由 1－2q≥0⇒q≤12，可排除 A、B、C.
(2)由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解
得m＝0.3.首先列表为：
ξ
01234
2ξ＋1 1 3 5 7 9
|ξ－1| 1 0 1 2 3
离散型随机变量分布列的性质
[例1] (1)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：
ξ －1
0
1
P
1 2
1－2q
q2
则q的值为
()
A．1
B．1±
2 2
C．1＋
2 2
D．1－
2 2
(2)设离散型随机变量ξ的分布列为： ξ0 1 2 34 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：①2ξ＋1的分布列；②|ξ－1|的分布列． [自主解答] (1)由分布列的性质，有

浙江专版2018高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第8节离散型随机变量的均值与方差

第八节离散型随机变量的均值与方差————————————————————————————————[考纲传真] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题．1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为(1)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．n(x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其(2)方差：称D(X)＝∑i＝1均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根D X 为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( )(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( )(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( )(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．(教材改编)已知X 的分布列为设Y ＝A.73 B ．4 C ．－1D ．1A [E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，则E (Y )＝2E (X )＋3＝3－23＝73.]3．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于( )A ．8B ．5C ．10D ．12A [∵E (ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D (ξ)＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.]4．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________. 【导学号：51062371】32 [同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34. 又X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34，∴成功次数X 的均值E (X )＝2×34＝32.]5．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)＝________. 31 024[∵E (X )＝np ＝6， D (X )＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1211＝3×2－10＝31 024.](2017·绍兴诊断)某人在如图981所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：图981(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．[解] (1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36种，4分选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种.4分故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29.6分 (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列．因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)， P (Y ＝45)＝P (X ＝3)， P (Y ＝42)＝P (X ＝4)，所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可.9分记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3.由P (X ＝k )＝n k N得P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415， P (X ＝3)＝615＝25， P (X ＝4)＝315＝15.12分故所求Y 的分布列为14分所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝34＋64＋90＋425＝46.15分[规律方法] 1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．2．注意E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )的应用．[变式训练1] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图982所示．图982将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X ). 【导学号：51062372】【解】 (1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.2分因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.7分(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，10分分布列为分因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.15分品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差．[解](1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A1A2，C＝B1＋B2.3分因为P(A1)＝410＝25，P(A2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.6分故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.9分(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125.12分故X 的分布列为13分X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.随机变量X 的方差D (X )＝3×15⎝⎛⎭⎪⎫1－15＝1225.15分[规律方法] 1.求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (a ξ＋b )．同样还可求出D (a ξ＋b )．[变式训练2] (2017·台州诊断)甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率； (2)设总决赛中获得的门票总收入为X ，求X 的均值E (X )．[解] (1)依题意得，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列.1分设此数列为{a n }，易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30，∴S n ＝n 10n ＋702.令n 10n ＋702＝300，3分解得n ＝－12(舍去)或n ＝5，所以总决赛共比赛了5场．则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14.6分(2)随机变量X 可能的取值为S 4，S 5，S 6，S 7，即220,300,390,490，P (X ＝220)＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝18，P (X ＝300)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14， P (X ＝390)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516，P (X ＝490)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝516，9分所以X 的分布列为12分所以X 的均值为E (X )＝220×18＋300×14＋390×516＋490×516＝377.5(万元).15分其中X [解] 由题意，得E (X 甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30，E (X 乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30.又D (X 甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1，D (X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38，所以E (X 甲)＝E (X 乙)，D (X 甲)＜D (X 乙)，故甲种棉花的质量较好． [规律方法] 1.依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差． 2．依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释．[变式训练3] 某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 【导学号：51062373】[解] 若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，则X 1的分布列为2分所以E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元).4分若按“项目二”投资，设获利X 2万元，则X 2的分布列为6分所以E (X 2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元).8分D (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.12分所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.15分[思想与方法]求离散型随机变量的均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解．(3)如果所给随机变量是服从二项分布，利用均值、方差公式求解．[易错与防范]1．理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)易错易混．3．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．课时分层训练(五十九)离散型随机变量的均值与方差A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知某一随机变量X 的分布列如下，且E (X )＝6.3，则a 的值为( )A.5 C ．7D ．8C [由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4， ∴E (X )＝4×0.5＋a ·0.1＋9×0.4＝6.3，∴a ＝7.]2．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋aA [E (y )＝E (x )＋a ＝1＋a ，D (y )＝D (x )＝4.]3．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，14，则E (2X ＋1)＝( ) 【导学号：51062374】 A.54 B.52 C ．3D.72D [因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，14，所以E (X )＝54，则E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝2×54＋1＝72.] 4．已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1B [由二项分布X ～B (n ，p )及E (X )＝np ，D (X )＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4.]5．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差D (X )的值为( )A.125B.2425C.85D.265B [因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35， ∴D (X )＝4×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝2425.]二、填空题6．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________. 【导学号：51062375】13 [由E (X )＝30，D (X )＝20，可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np 1－p ＝20，解得p ＝13.]7．(2017·舟山调研)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的均值E (ξ)＝________(结果用最简分数表示)．47[随机变量ξ只能取0,1,2三个数，因为P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121.故E (ξ)＝1×1021＋2×121＝47.]8．设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的均值E (X )＝2，则P (X ＝2)等于________．80243 [由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，E (X )＝2，得 np ＝13n ＝2，∴n ＝6，则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.]三、解答题9．(2017·温州模拟)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元．当供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：件，n ∈N *)的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n (单位：件，n ∈N *)，列表如下：求该商品一天的利润X 的分布列及均值. 【导学号：51062376】[解] (1)当1≤n ≤10时，y ＝50n ＋(10－n )×(－10)＝60n －100；2分当n >10时，y ＝50×10＋(n －10)×30＝30n ＋200，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧60n －100，1≤n ≤10，n ∈N *，30n ＋200，n >10，n ∈N *.7分(2)由(1)知日需求量为8件、9件、10件、11件、12件的利润分别为380元、440元、500元、530元、560元.9分∴利润X 的分布列为12分利润X 的均值为E (X )＝380×950＋440×1150＋500×310＋530×15＋560×110＝2 3865(元).15分10．(2017·嘉兴质检)某校高二年级开设a ，b ，c ，d ，e 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选a 课程，不选b 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．(1)求甲同学选中c 课程且乙同学未选中c 课程的概率；(2)用X 表示甲、乙、丙选中c 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望． [解] (1)设“甲同学选中c 课程”为事件A ，“乙同学选中c 课程”为事件B ，依题意P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.3分因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中c 课程且乙同学未选中c 课程的概率为P (A B －)＝P (A )P (B －)＝P (A )[1－P (B )]＝23×25＝415.6分(2)设事件C 为“丙同学选中c 课程”．则P (C )＝C 24C 35＝35.7分X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝13×25×25＝475， P (X ＝1)＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075＝415， P (X ＝2)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375＝1125， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875＝625，12分随机变量X 的分布列为所以E (X )＝0×475＋1×15＋2×25＋3×25＝15.15分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( )A.85 B.65 C.45D.25B [由题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3. 又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2.则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故D (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65.] 2．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.25[设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.]3．(2017·浙江名校模拟)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【导学号：51062377】[解] (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”为事件A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”.3分因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.6分(2)法一：设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，得分为Y 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，累计得分为Y 2，则Y 1＝2X 1，Y 2＝3X 2.由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，25，9分所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，因此E (Y 1)＝2E (X 1)＝83，E (Y 2)＝3E (X 2)＝125.12分因为E (2X 1)＞E (3X 2)，即E (Y 1)>E (Y 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大.15分法二：依题意，累计得分Y 1，Y 2的分布列为：所以E (Y 1)＝0×19＋2×49＋4×9＝3，E (Y 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.13分因为E (Y 1)>E (Y 2)，所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的均值较大.15分。

(浙江版)2018年高考数学一轮复习第10章计数原理,概率,随机变量及其分布测试题

第十章计数原理，概率，随机变量及其分布测试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【2018届广西贺州市桂梧高中高三上学期第四次联考】()713x -的展开式的第4项的系数为（） A. 3727C - B. 4781C - C. 3727C D. 4781C 【答案】A【解析】由题意可得()713x -的展开式的第4项为()33733331771327T C x C x -+=⨯⨯-=-，选A.2．同时抛掷三枚质地均匀的硬币,出现一枚正面、二枚反面的概率等于 ( ) A.14 B. 13 C. 23 D. 12【答案】C3．【2017广西玉林一模】有两张卡片,一张的正反面分别画着老鼠和小鸡,另一张的正反面分别画着老鹰和蛇,现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上,不考虑顺序,则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是( ) A.12 B. 13 C. 14 D. 16【答案】C【解析】将两张卡片排在一起，向上的一面组成的图案共4种，分别为：（老鼠，老鹰），（老鼠，蛇），（小鸡，老鹰），（小鸡，蛇），所以由古典概型概率公式可得组成的图案是老鹰和小鸡的概率14P =。

选C 。

4．在1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站一次只能停靠一辆汽车),有一位乘客等候4路或8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( ) A.12 B. 23 C. 35 D. 25【答案】D【解析】由题意知，在该问题中基本事件总数为5，这位乘客等候的汽车首先到站这个事件包含的基本事件个数为2，故所求概率为25。

选D 。

5．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( ) A. 0.95 B. 0.7 C. 0.35 D. 0.05 【答案】D【解析】“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05. 故答案为D.6．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为( ) A.19 B. 29 C. 49 D. 89【答案】D7．【2018届浙江省嘉兴市第一中学上学期高三期中】某校的A 、B 、C 、D 四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B 不选修同一门课，则不同的选法有（） A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种【答案】C【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有246C =种选法，减去A B 、在同一组还有5种选法，再选3门课程有33A 种选法，利用分步计数原理有33530A =种不同选法.选C.8．从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（） A. 3254C C 种 B. 3254C C 55A 种 C. 3254A A 种 D. 3254A A 55A 种【答案】A【解析】男生组合数为35C 种，女生的组合数为24C ，故不同的选取方法共有3254C C 种，故选A.9．【2018届云南省昆明市高新技术开发区高考适应性月考】()522131x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（）A. -3B. -2C. 2D. 3 【答案】C10．已知随机变量X 的分布列为()13P X k ==， 1,2,3k =，则()35D X +等于( ) A. 6 B. 9 C. 3 D. 4 【答案】A【解析】由题意， ()()112323E X =++⨯=， ()()()()2221212223233D X ⎡⎤∴=-+-+-⨯=⎣⎦，()()2359963D X D X ∴+==⨯=，故选A. 11．生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排一人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排一人，则不同的安排方案共有（） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种【答案】B【解析】第一道工序安排甲则第四道工序安排丙，从剩下4选两人照看剩下两道工序有24A 方案第一道工序安排乙则第四道工序有两种方案，再从剩下4选两人照看剩下两道工序有24A 方案，因此共有2244236A A +=，选B.12．若离散型随机变量ξ的取值分别为,m n ，且()P m n ξ==， ()P n m ξ==， 38E ξ=，则22m n +的值为（） A.14 B. 516 C. 58 D. 1316【答案】C【解析】因为31,28m n E nm mn mn ξ+==+==，所以()222352188m n m n mn +=+-=-=，应选答案C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【2018届浙江省嘉兴市第一中学上学期高三期中】二项式()512x +中，所有的二项式系数之和为___________；系数最大的项为_________．【答案】 32 3480,80x x【解析】所有的二项式系数之和为0155555......232C C C +++==，展开式为234512*********x x x x x +++++，系数最大的项为380x 和480x .14．一个家庭中有两个小孩,若生男还是生女是等可能的,则此家庭中两小孩均为女孩的概率为_____. 【答案】14【解析】由题意得一个家庭中两个小孩的性别的所有的基本事件有：(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4种，其中均为女孩的基本事件只有1个，故此家庭中两个均为女孩的概率为14. 15．【2017届浙江省ZDB 联盟高三一模】教育装备中心新到7台同型号的电脑，共有5所学校提出申请，鉴于甲、乙两校原来电脑较少，决定给这两校每家至少2台，其余学校协商确定，允许有的学校1台都没有，则不同的分配方案有__________种（用数字作答）．【答案】3516.【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上学期期初】某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游戏经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通关的概率分别为111,,234（这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的得分会有影响），则此人在开启一个这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为__________，设X 表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量X 的数学期望为__________．【答案】14 1312.所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望()1111113 012342442412E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【2017届重庆市第一中学高三上学期一诊】已知的展开式中各项的二项式系数和为，第二项的系数为.（1）求，（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)利用二项式系数的定义可得根据二项式定理可得第二项为，从而可得系数为；（2）由（1）可知知根据错位相减法可得结果.试题解析：(1)；（2）由（1）知所以 ①，②②-①可得，可得.18．【2018届河南省郑州市第一中学高三上学期期中】某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列及数学期望.. 【答案】（1）1315；（2）见解析.试题解析：（1）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A 事件A 等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”()642131010315p A =+⨯= （2）由题可知X 可能取值为0,1,2,3.()30463101030C C P X C ===， ()21463103110C C P X C ===，()1246310122C C P X C ===， ()0346310136C C P X C ===.分布列：∴311912310265EX =⨯+⨯+⨯= 19.【2018届江苏省南京市高三上期初】袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．【答案】（1）96（2）E(X)＝5 4试题解析：解：（1）两个球颜色不同的情况共有24C42＝96(种). （2）随机变量X所有可能的值为0，1，2，3．P(X＝0)＝2441964C=＝，P(X＝1)＝114333 968 C C=，P(X＝2)＝114321 964C C=，P(X＝3)＝11431 968 C C=所以随机变量X的概率分布列为：所以E(X)＝014⨯＋1⨯38＋2⨯14＋3⨯18＝54．20．【2017届广西柳州市、钦州市高三一模】某市公租房的房源位于四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中：（1）求恰有1人申请片区房源的概率；（2）用表示选择片区的人数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）基本事件总数为种，区有人，方法数有种，剩余人从剩下个中任选，方法数有，根据分步计数原理，符合题意的方法数有种，故概率为.（2）选的人数可能有个，个人，每个人选到的概率为，故为二项分布，利用二项分布的公式可求得期望和方差. 试题解析：（1）本题是一个等可能事件的概率，实验发生包含的事件是3位申请人中，每一个有四种选择，共有种结果.满足条件的事件恰有1人申请片区房源有，根据等可能事件的概率.（2）的所有可能结果为0，1，2，3，依题意，，，，，∴的分布列为：∴的数学期望：.法2：每个片区被申请的概率均为，没被选中的概率均为，的所有可能结果为0，1，2，3，且，，，，，∴的分布列为：∴的数学期望：.21．【2017届江西师范大学附属中学高三3月月考】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》.活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败.设男生闯过一至四关的概率依次是5432,,,6543，女生闯过一至四关的概率依次是4321,,,5432. （Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；（Ⅱ）设X 表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X 的分布列和期望. 【答案】（Ⅰ）23;（Ⅱ）见解析.∴()()543212111654333P A P A =-=-⨯⨯⨯=-=. （Ⅱ）记“一位女生闯关成功”为事件B ，则()4321154325P B =⨯⨯⨯=，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.()222464035225P ⎛⎫⎛⎫X ==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()221122124142961335553225P C C ⎛⎫⎛⎫X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()221122121141123335553225P C C ⎛⎫⎛⎫X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22111435225P ⎛⎫⎛⎫X ==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()64961215221225225P +++X ==-=. ∴X 的分布列为：∴()6496521211601234.22522522522522515E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 22．【2017届河南省洛阳市高三3月统考】某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为13. (1)若出现故障的机器台数为X ，求X 的分布列；(2) 该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？(3)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值. 【答案】(1) 3;(2)140881．件A 的概率为13，该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，因出现故障的机器台数为X ，故1~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4042160381P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()30412*******P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭,()2204122423381P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()30412833381P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ 即X 的分布列为：（2）设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修”为x n ≤，即0x =， 1x =， ⋅⋅⋅， x n =，这1n +个互斥事件的和事件，则729081≤%8081≤, ∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于90%.（3）设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为： 18,13,8()()()()721801281P Y P X P X P X ===+=+==， ()()813381P Y P X ====， ()()18481P Y P X ====，即Y 的分布列为：则()728114081813881818181E Y =⨯+⨯+⨯=，故该厂获利的均值为140881.。

【精品】浙江专用2018年高考数学总复习教师用书：第10章第6讲离散型随机变量及其分布列含解析

第6讲离散型随机变量及其分布列最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.知识梳理1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表的概率分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1 3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为，其中p ＝P (X ＝1)(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.( )(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布.( )(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布.( )解析对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(3)，X的取值不是0，1，故不是两点分布，所以(3)不正确.答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数解析选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.答案 C3.(选修2－3P49A4改编)设随机变量X的分布列如下：则p 为( ) A.16B.13C.14D.112解析由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p ＝1， ∴p ＝1－34＝14.答案 C4.设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝______. 解析由于随机变量X 等可能取1，2，3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10.答案 105.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( ) A.ξ＝4 B.ξ＝5 C.ξ＝6D.ξ≤5解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 答案 C6.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X ＝1的概率为________.解析 P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝35.答案35考点一离散型随机变量分布列的性质【例1】设离散型随机变量X的分布列为求：(1)2X＋1(2)|X－1|的分布列.解由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为(1)2X＋1的分布列(2)|X－1|规律方法(1)此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数.(2)若X 是随机变量，则η＝|X －1|等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列.【训练1】 (2017·丽水月考)设随机变量X 的概率分布列如下表，则P (|X －2|＝1)＝( )A.712B.2C.12D.16解析由|X －2|＝1得X ＝1或3，m ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋14＋13＝14，∴P (|X －2|＝1)＝P (X＝1)＋P (X ＝3)＝16＋14＝512.答案 C考点二离散型随机变量的分布列【例2】 (2016·天津卷节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列.解 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以，随机变量X的分布列为规律方法(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i＝1，2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝x i)＝p i；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确. 提醒求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.【训练2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.解(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2，3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为考点三超几何分布【例3】(2017·嘉兴模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.解(1)设事件A：选派的三人中恰有2人会法语，则P(A)＝C25C12C37＝47.(2)依题意知X的取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝C34C37＝435，P(X＝1)＝C24C13C37＝1835，P(X＝2)＝C14C23C37＝1235，P(X＝3)＝C33C37＝135，∴X的分布列为规律方法的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.【训练3】(2017·昆明调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列.解(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13·C27C310＝2140.(2)依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝k)＝C k3·C3－k7C310(k＝0，1，2，3).∴P(X＝0)＝C03C37C310＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120.因此X的分布列为[思想方法]1.对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率.2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率. [易错防范]掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率.看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率. (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.(3)超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.某射手射击所得环数X 的分布列为A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51解析 P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案 C2.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 的值为( ) A.1 B.32±336 C.32－336D.32＋336解析由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，解得q ＝32－336.答案 C3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A.0B.12C.13D.23解析由已知得X 的所有可能取值为0，1，且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝13.答案 C4.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A.P (X ＝2)B.P (X ≤2)C.P (X ＝4)D.P (X ≤4)解析X服从超几何分布P(X＝k)＝C k7C10－k8C1015，故k＝4.答案 C5.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A.435B.635C.1235D.36343解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝C23C14C37＝1235.答案 C二、填空题6.(2017·金华调研)设离散型随机变量X的分布列为(1)则m＝________(2)若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.解析由分布列的性质，知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0.3＋0.2＝0.5.答案(1)0.3 (2)0.57.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.解析P(X≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝C34C13C47＋C44C47＝1335.答案13 358.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________.解析η的所有可能值为0，1，2.P(η＝0)＝C11C11C12C12＝14，P(η＝1)＝C11C11×2C12C12＝12，P(η＝2)＝C11C11C12C12＝14.∴η的分布列为答案三、解答题9.(2017·浙江三市十二校联考)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为2 5 .(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列.解(1)用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n)名，∴P(A)＝6＋n20＝25，解得n＝2，∴m＝4，用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”，∴P(B)＝1－C26C29＝712.(2)随机变量X的可能取值为0，1，2.∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有8名，∴P(X＝0)＝C212C220＝3395，P(X＝1)＝C18C112C220＝4895，P(X＝2)＝C28C220＝1495，∴X的分布列为10.300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X 的分布列. 解 (1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则P (A )＝A 23A 34＝14，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为14.(2)随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20.P (X ＝0)＝14，P (X ＝5)＝2A 24＝16，P (X ＝10)＝1A 24＋A 22A 34＝16，P (X ＝15)＝C 12·A 22A 34＝16，P (X ＝20)＝A 33A 44＝14.所以，随机变量X 的分布列为(建议用时：25分钟)11.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c ) A.16B.13C.12D.23解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.答案 D12.随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n （n ＋1）(n ＝1，2，3，4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( )A.23B.34C.45D.56解析因为P (X ＝n )＝a n （n ＋1）(n ＝1，2，3，4)，所以a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5＝45a ＝1.∴a ＝54，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12×54＋16×54＝56.答案 D13.(2017·石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：. 现从上述5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X 的分布列为________.解析 5件抽测品中有2件优等品，则X 的可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23C 25＝0.3，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 22C 25＝0.1.∴优等品数X 的分布列为答案14.盒内有大小相同的9个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分.现从盒内任取3个球.(1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设X为取出的3个球中白色球的个数，求X的分布列.解(1)P＝1－C37C39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝C12C23C39＋C22C14C39＝542.(3)X可能的取值为0，1，2，3，X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝C k3C3－k6C39，k＝0，1，2，3.故P(X＝0)＝C36C39＝521，P(X＝1)＝C13C26C39＝1528，P(X＝2)＝C23C16C39＝314，P(X＝3)＝C33C39＝184.所以X的分布列为15.3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记X ＝|x －2|＋|y －x |.(1)求随机变量X 的最大值，并求事件“X 取得最大值”的概率； (2)求随机变量X 的分布列.解 (1)由题意知，x ，y 可能的取值为1，2，3，则|x －2|≤1，|y －x |≤2，所以X ≤3，且当x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1时，X ＝3. 因此，随机变量X 的最大值为3.而有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，所以P (X ＝3)＝29.故随机变量X 的最大值为3，事件“X 取得最大值”的概率为29. (2)X 的所有取值为0，1，2，3.当X ＝0时，只有x ＝2，y ＝2这一种情况，当X ＝1时，有x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝1或x ＝2，y ＝3或x ＝3，y ＝3四种情况，当X ＝2时，有x ＝1，y ＝2或x ＝3，y ＝2两种情况. 当X ＝3时，有x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1两种情况. 所以P (X ＝0)＝19，P (X ＝1)＝49，P (X ＝2)＝29，P (X ＝3)＝29.则随机变量X 的分布列为。

浙江版2018年高考数学一轮复习专题10.7离散型随机变量的均值与方差练

专题10.7 离散型随机变量的均值与方差A 基础巩固训练1.已知离散型随机变量的分布列为 123则的数学期望( )A. B. C. D. 3 【答案】A2.已知随机变量ξ，且ξ服从二项分布()10,0.6B ，则()E ξ和()D ξ的值分别是( ) A. 6和2.4 B. 2和2.4 C. 2和5.6 D. 6和5.6 【答案】A【解析】根据二项分布的特征可得： ()100.66E np ξ==⨯=，()()1100.60.4 2.4D np p ξ=-=⨯⨯=，故选A.3.设随机变量X ， Y 满足： 31Y X =-， ()2,X B p ~，若()519P X ≥=，则()D Y =（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A【解析】由题意可得： ()()()225110119P X P X C p ≥=-==--=，解得： 13p =，则： ()()()()212412,34339D X np p D Y D X =-=⨯⨯===。

本题选择A 选项.4.随机变量的分布列如下：ξ-1 0 1 Pabc其中,,a b c 成等差数列，若()13E ξ=，则D ξ 的值是__________．【答案】59【解析】由题设112{,233a b c b a c b a c ++=⇒=+==+，又()13E a c ξ=-+=，所以2113{ ,1623a c a c a c +=⇒==-+=，故()()()2211156299D E E ξξξ=-=+-=，应填答案59.5.袋中有大小、质地均相同的4个红球与2个白球．若从中有放回地依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为ξ，则ξ的期望E(ξ)＝________. 【答案】4B 能力提升训练1. 设X 为随机变量，且1:,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若随机变量X 的方差()43D X =，则()2P X == ( ) A.4729 B. 16 C. 20243 D. 80243【答案】D【解析】随机变量X 满足二项分布，所以()1224,3393D x npq n n ==⨯⨯==n=6,所以()242612233P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭80243，选D. 2.设非零常数d 是等差数列1239,,,,x x x x 的公差,随机变量ξ等可能地取值1239,,,,x x x x ,则方差D ξ=（）A.2103d B. 2203d C. 210d D. 26d 【答案】B【解析】因为等差数列1239,,,,x x x x 的公差是d ，所以111989492x x d x d ⨯⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()()()()()()()2222222222120D()432023493d d d d d d d d d ξ⎡⎤=-+-+-+-+++++=⎣⎦，故选B ． 3.【2017三省联盟联考】中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛.种子选手M 与1B ，2B ，3B 三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M 获胜的概率分别为34，23，12，且各场比赛互不影响. （1）若M 至少获胜两场的概率大于710，则M 入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问M是否会入选最终的大名单？（2）求M 获胜场数X 的分布列和数学期望.（2）M 获胜场数X 的可能取值为0,1,2,3，则3211(0)()(1)(1)(1)43224P X P ABC ===-⨯-⨯-=，3213213216(1)()()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)43243243224P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯-⨯-+-⨯-⨯+-⨯⨯-=32132132111(2)()()()(1)(1)(1)43243243224P X P ABC P ABC P ABC ==++=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= (9)分3216(3)()43224P X P ABC ===⨯⨯= 所以M 获胜场数X 的分布列为：数学期望为1611623()01232424242412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 4.【2017山东模拟】某公司采用招考方式引进人才，规定必须在,,B C D ，三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试,否则不被录用,已知考生在每测试个点测试结果互不影响,若考生小李和小王一起前来参加招考,小李在测试点,,B C D 测试合格的概率分别为211,,332,小王在上述三个测试点测试合格的概率都是23. （1）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由;（2）假设小李选择测试点,B C 进行测试，小王选择测试点,B D 进行测试,记X 为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和,求随机变量X 的分布列及数学期望EX .（2）记小李在,B C 测试点测试合格记为事件12,X X ,记小王在,B D 测试点测试合格记为事件12,Y Y ,则()()()()112221,33P X P Y P Y P X ====.且X 的所有可能取值为0,1,2,3,4 所以()()212121222033381P X P X X YY ⎛⎫===⨯⨯= ⎪⎝⎭; ()()2341212121212121212212131333381P X P X X YY X X YY X X Y Y X X YY ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++=⨯⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;()()1212121212121212121212122P X P X X YY X X Y Y X X YY X X YY X X Y Y X X YY ==+++++3321121033333327⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()()2341212121212121212212283333381P X P X X Y Y X X YY X X YY X X YY ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++=⨯⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;()()2121212843381P X P X X YY ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭.所以,X 的分布列为:X0 1 2 3 4P281 1381 1027 2881 8812131028870123481812781813EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.5.【2017四川模拟】某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛，复赛，甲、乙两个代表队，（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分，假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为432,,543，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分. （1）求ξ的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.ξ的分布列为ξ0 10 20 30P160 320 133025()010203060203056E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.C 思维扩展训练1.【2017广东模拟】在研究塞卡病毒（Zika virus）某种疫苗的过程中，为了研究小白鼠连续接种该种疫苗后出现Z 症状的情况，做接种试验，试验设计每天接种一次，连续接种3天为一个接种周期．已知小白鼠接种后当天出现Z症状的概率为14，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关．（1）若出现Z症状即停止试验，求试验至多持续一个接种周期的概率；（2）若在一个接种周期内出现2次货3次Z症状，则这个接种周期结束后终止试验，试验至多持续3个周期，设接种试验持续的接种周期数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．所以ξ的分布列为：ξ 1 2 3P 5321351024729102410分ξ的数学期望51357292617123.12 32102410241024Eξ=⨯+⨯+⨯=分2.【2017广西模拟】学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分，规定满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”，现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；（3）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）众数87；中位数88.5；（2）4960；（3）分布列见解析，0.9E ξ=．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，37343(0)()101000P ξ===；12337441(1)()10101000P C ξ===； 22337189(2)()10101000P C ξ===；3327(3)()101000P ξ===；分布列为ξ0 1 2 3P3431000 4411000 1891000 271000 3434411892701230.91000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.3.【2015天津卷】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(I) 635;(II) 随机变量X的分布列为X1234P1143737114()52E X=4. 【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？【答案】（I ）见解析（II ）19（III ）19n =试题解析：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ； 16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ；24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ； 24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ；2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ； 08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ； 04.02.02.0)22(=⨯==X P .所以X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.004.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=.可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,故应选19=n .5. 【2016高考新课标2理数】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1234≥5保费0.85aa1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23. 【解析】11试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+=又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ====因此所求概率为3.11（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2aP 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.050.850.301.23EX a a a =⨯+⨯=因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23。

2018年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题10-5 离散型

2017年高考数学讲练测【浙江版】【讲】【课前小测摸底细】1.【教材习题改编】已知随机变量ξ的分布列为：则ξ最可能出现的值是()A．0.7 B．－1C．0 D．1【答案】B【解析】因为P(ξ＝－1)＝0.7，P(ξ＝0)＝0.2，P(ξ＝1)＝0.1，所以ξ最可能出现的值是－1.故选B.2. 【2016广西二模】设随机变量X的概率分布表如下图，则(|2|1)P X-==（）A．712B．12C．512D．1 6【答案】C3. 【2016福建高二期中考试】一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的（至少使用过一次），从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为)(X P ，则)4( X P 的值为（） A ．2201 B ．5527 C ．2521 D ．22027【答案】D4.【基础经典试题】已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于( )．A.19B.16C.13D.14【答案】C【解析】∵12a ＋22a ＋32a ＝1，∴a ＝3，P (X ＝2)＝22×3＝13.5. 【2015高考福建，理16】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)分布列见解析，期望为52．【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431(A)=6542P =创（Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3又1511542(X=1),(X=2),(X=3)1=.6656653P P P ==?=创所以X 的分布列为所以1125E(X)1236632=???．【考点深度剖析】离散型随机变量的分布列及其概率分布是高考命题的热点，与离散型随机变量的数字特征结合命题是主要命题方式，是高考必考考点．二、课中考点全掌握考点离散型随机变量及其分布列【题组全面展示】【1-1】随机变量X 的概率分布规律为P （X ＝n ）＝(1)an n （n ＝1,2,3,4），其中a 是常数，则P （12＜X ＜52）的值为（） A.23 B.34 C.45 D.56【答案】D【1-2】设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于( )A ．1B ．1±22 C ．1－22D ．1＋22【答案】C【解析】由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22. 【1-3】口袋中有n(n ∈N *)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X ＝2)＝730，则n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【1-4】(2015·天津卷)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．【解析】 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635.所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.【1-5】已知随机变量X 的概率分布列如下表：则P (X ＝10)＝( )A.239B.2310C.139D.1310 【答案】C【课本回眸】1．离散型随机变量的分布列 (1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η等表示． (2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若是随机变量，a b ηξ=+，其中,a b 是常数，则也是随机变量. 2.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布．其中()1p P X ==称为成功概率． (2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取件，其中恰有X 件次品，则事件{X k =}发生的概率为()k n k M N MnNC C P X k C --==，0,1,2,,k m = ，其中{}min ,m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈，称分布列为超几何分布列.(3)设离散型随机变量可能取得值为1，2，…，i ，…n ，取每一个值i (,n )的概率为()i iP X x p ==，则称表为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列．有时为了表达简单，也用等式()i i P X x p ==，1,2,,i n = 表示X 的分布列．分布列的两个性质①0i p ≥，1,2,,i n = ；②121n p p p +++= .【方法规律技巧】1. 求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y ，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n 次独立重复试验有k 次发生的概率求离散型随机变量的分布列． 2. 求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i ＝1,2,3，…，n )； (2)求出各取值的概率P (X ＝x i )＝p i ；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确． 3. 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路 (1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值． (3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．【新题变式探究】【变式一】带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X 表示放出的蜂中工蜂的只数，则X ＝2时的概率是( )A.C 120C 410C 530B.C 220C 310C 530C.C 320C 210C 530D.C 420C 110C 530【答案】B【解析】X 服从超几何分布，P (X ＝2)＝C 220C 310C 530.【变式二】【2014高考上海理科第13题】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 . 【答案】0.2三、易错试题常警惕易错典例：某种食品是经过A 、B 、C 三道工序加工而成的，A 、B 、C 工序的产品合格率分别为34、23、45．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两道合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．（Ⅰ）正式生产前先试生产袋食品，求这２袋食品都为废品的概率；（Ⅱ）设为加工工序中产品合格的次数，求的分布列和数学期望．易错分析：随机变量的取值错误导致出错，计算概率出错．【解析】（Ⅰ）２袋食品都为废品的情况为①２袋食品的三道工序都不合格211111()4353600P =⨯⨯=．②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格12213111211141()60435435435200P C =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． ③两袋都有两道工序不合格233111211149()435435435400P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以2袋食品都为废品的概率为123136P P P P =++=．（Ⅱ）0,1,2,3=3241(0)(1)(1)(1)43560P ξ==-⨯-⨯-=3111211143(1)43543543520P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，12431432113(2)43543543530P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，3242(3)P ξ==⨯⨯=．1232030560E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．温馨提醒： 1．对于分布列易忽视其性质121n p p p +++= 及0i p ≥，1,2,,i n = 其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．2．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．。

2018高考一轮数学浙江专版练习第9章第6节离散型随机变量及其分布列含答案精品

第六节离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则下表称为离散型随机变量X的概率分布列.(2)①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋p n＝1.3．常见离散型随机变量的分布列两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．()[2．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是()A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点D[甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故应选D.]3．设随机变量X的分布列如下：A.16 B.13C.14 D.112C[由分布列的性质，112＋16＋13＋16＋p＝1.∴p＝1－34＝14.]4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________. 【导学号：51062354】10[由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n，∴取到每个数的概率均为1 n，∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3，∴n＝10.]5．一试验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的分布列是________.[5只白鼠任取一只，则每只白鼠被取到的概率为15，∴P(Y＝1)＝15，P(Y＝2)＝15，P(Y＝3)＝25，P(Y＝4)＝15.所以随机变量Y的分布列为][解]由分布列的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.4分列表P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝0.3，P(η＝3)＝0.3.10分因此η＝|X－1|的分布列为分[规律方法] 1.利用分布列中各概率之和为“1”可求参数的值，此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数．2．若X是随机变量，则η＝|X一1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列．[变式训练1]随机变量X的分布列如下：23 [由题意知⎩⎨⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，所以2b ＋b ＝1，则b ＝13，因此a ＋c ＝23. 所以P (|X |＝1)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝1)＝a ＋c ＝23.]每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望). 【导学号：51062355】[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310.5分(2)X 的可能取值为200,300,400.P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝610＝35.9分故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×35＝350.15分 [规律方法] 1.求随机变量的分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格，写出分布列，其中的关键是第(2)步．2．本题在计算中注意两点：(1)充分利用排列、组合知识准确计算古典概型的概率；(2)灵活运用分布列的性质求P(X＝400)的概率，简化了计算．[变式训练2]某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望. 【导学号：51062356】[解](1)由已知，有P(A)＝C 13C14＋C23 C210＝1 3.所以，事件A发生的概率为13.5分(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.11分所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝0×415＋1×715＋2×415＝1.15分[思想与方法]1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．[易错与防范]1．对于分布列易忽视其性质p1＋p2＋…＋p n＝1及p i≥0(i＝1,2，…，n)，其作用是求随机变量取某个值的概率或检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．2．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．3．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．课时分层训练(五十七)离散型随机变量及其分布列A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．某射手射击所得环数X的分布列为()A．0.28B．0.88C．0.79 D．0.51C[根据X的分布列知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.]2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0 B.1 2C.13 D.23C[由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝1 3.]3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2<X≤4)等于()A.316 B.14C.116 D.516A[∵P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，∴P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝18＋116＝316.]4．(2017·郑州模拟)已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3,4)，则P(2＜X≤4)等于() 【导学号：51062357】A.910 B.710C.35 D.12B[由分布列的性质知，12a＋22a＋32a＋42a＝1，则a＝5，∴P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝310＋410＝710.]5．设随机变量X的概率分布列如下表所示：F(x)＝P(X≤x)，则当x(x)等于()A.13 B.16C.12 D.56D[∵a＋13＋16＝1，∴a＝12.∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝12＋13＝56.]二、填空题6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________. 16[相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X＝2对应(1,1)；X＝3对应(1,2)，(2,1)；X＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝136＋236＋336＝16.]7．随机变量X的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________. 【导学号：51062358】23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 [∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23. 又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23， ∴－13≤d ≤13.]8．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为________．[X 的可能取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝35.∴随机变量X 的分布列为]三、解答题9．(2017·绍兴调测)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束．(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率；(2)记试验次数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X ). 【导学号：51062359】 [解] (1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A ，则P (A )＝C 12C 16C 28＝37.6分(2)由题知X 的可能取值为1,2,3,4.则P(X＝1)＝C12C16＋C22C28＝1328，P(X＝2)＝C26C28·C14C12＋C22C26＝928，P(X＝3)＝C26C28·C24C26·C12C12＋C22C24＝528，P(X＝4)＝C26C28·C24C26·C22C24＝128.10分X的分布列为13分E(X)＝1×1328＋2×928＋3×528＋4×128＝2514.15分10．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X).【导学号：51062360】[解](1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.4分(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此P(X＝0)＝C38C39＝23，P(X＝－1)＝C24C39＝114，P(X＝1)＝1－114－23＝1142.9分所以X的分布列为13分则E(X)＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．若随机变量X的分布列为则当P(X＜aA．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)C[由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．]2．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________.[η的所有可能值为P(η＝0)＝C11C11C12C12＝14，P(η＝1)＝C11C11×2C12C12＝12，P(η＝2)＝C11C11C12C12＝14.∴η的分布列为] 3．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【导学号：51062361】[解] (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67.5分所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.6分 (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.10分所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.15分。

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则 q 等于 ( )
A． 1
3 33
B. 2± 6
C.
3 33【答案】 C 【解析】由分布列的性质知
2－ 3q≥0， q2≥ 0，
1 3＋
2－
3q＋
q2＝
1，
3 33 ∴ q＝ 2－ 6 .
2. 在 8 件产品中，有 3 件次品， 5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为示的试验结果是 ____________________________ ．【答案】共抽取 3 次，其中前 2 次均是正品，第 3 次是次品
. 故选 D.
4．抛掷 2 颗骰子，所得点数之和记为 ξ ，那么“ ξ＝ 4”表示的随机试验的结果是 (
)
A. 2 颗都是 4 点
B. 1 颗是 1 点，另 1 颗是 3 点
C. 2 颗都是 2 点
D. 1 颗是 1 点，另一颗是 3 点，或者 2 颗都是 2 点
【答案】 D
1
5. 在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数 X 的分布列为 ________．
【解析】试题分析：（ 1）依次数出次品个数即可；
（ 2）最少需取两次，最多取 10 次；
3
（ 3）最少需取 2 此，因为是取后放回的，也可能会无穷下去；
（ 4）因为是取后放回的，所以有可能每一次都取不到正品，也有可能每次都是正品
.
C 思维扩展训练
1. 一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利 50 元，生产一件乙等品可获利 30 元，生产一件
【答案】
X0
1
2
1
1
1
P
4
2
4
C11C11 1
C11C11×２ 1
C11C11 1
【解析】 X 的所有可能值为 0,1,2. P( X＝ 0) ＝C12C12＝ 4， P( X＝ 1) ＝ C12C12 ＝ 2， P( X＝ 2) ＝C12C12＝ 4.
∴ X的分布列为
X0
1
2
1
1
1
P
4
2
4
B 能力提升训练 1. 设 X是一个离散型随机变量，其分布列为：
ξ
0
1
P
0.3
0.7
( 注： ξ 服从二点分布 )
4. 甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用
ξ 表示需要比赛的局数，写出“ ξ
＝ 6”时表示的试验结果．
【答案】见解析
【解析】试题分析：“七局四胜制”即为有一方先胜四局，“
ξ ＝ 6”时表示甲在前 5 局比赛中胜 3 局并
胜第 6 局，或乙在前 5 局比赛中胜 3 局并胜第 6 局 .
专题 10.5 离散型随机变量及其分布列
1. 设某项试验成功率是失败率的
A 基础巩固训练 2 倍，用随机变量 ξ 描述 1 次试验的成功次数，则 P( ξ ＝0) 等于
()
A. 0 B.
1 C. 1 D. 2
2
3
3
【答案】 C
【解析】因为某项试验成功率是失败率的
2 倍，所以失败率为 1 ，因此 P( ξ ＝ 0) 等于 1 ，选 C.
试题解析：
“ ξ ＝6”表示：甲在前 5 局比赛中胜 3 局并胜第 6 局，或乙在前 5 局比赛中胜 3 局并胜第 6 局．
5. 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量取值所表示的随机试验的结果．
(1) 在 10 件产品中有 2 件是次品， 8 件是正品，任取三件，取到正品的个数 ξ ；
(2) 在 10 件产品中有 2 件次品， 8 件正品，每次取一件，取后不放回，直到取到两件次品为止，抽取的次
∴ E( ξ) ＝50×0.6 ＋30×0.3 ＋ ( －20) ×0.1 ＝ 37( 元) ，故选 B． 2. 已知抛物线 y＝ ax2＋ bx＋ c( a≠0) 的对称轴在 y 轴的左侧，其中 a、b、c∈ { － 3，－ 2，－ 1,0 ,1,2,3} ，在这些抛物线中，记随机变量 ξ ＝“｜a－ b| 的取值”，则 ξ 的数学期望 E( ξ ) 为 ( )
数 ξ；
(3) 在 10 件产品中有 8 件正品， 2 件次品，每次取一件，取后放回，直到取到两件次品为止，抽取的次数
ξ； (4) 在 10 件产品中有 8 件正品， 2 件次品，每次取一件，取后放回，共取
5 次，取到正品的件数 ξ .
【答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析；（ 3）见解析；（4）见解析 .
8 A． 9
3 B． 5
2 C． 5
1 D． 3
【答案】 A
4
3
3
2. 抛掷 2 颗骰子，所得点数之和 ξ 是一个随机变量，则 P( ξ ≤4) 等于 (
)
A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
6
3
2
3
【答案】 A
3．将一颗骰子掷两次，不能作为随机变量的是
(
)
A. 两次点数之和 B. 两次点数差的绝对值
C. 两次的最大点数 D. 两次的点数
【答案】 D
【解析】两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数
次品，要赔 20 元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为
0.6 、0.3 和 0.1 ，则这台机器
每生产一件产品，平均预期可获利 ( )
A． 39 元
B． 37 元
C． 20 元
100 D． 3 元
【答案】 B 【解析】 ξ 的分布列为
ξ 50 30 － 20 p 0.6 0.3 0.1
X，则 X＝3 表
2
3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得球 1 次的得分的分布列．
1 分，不中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为
0.7 ，求他罚
【答案】见解析
【解析】试题分析：先确定随机变量可能取法，再分别求对应概率，最后列表可得分布列，也可根据二点分布直接得分布列
试题解析：解设此运动员罚球 1 次的得分为 ξ ，则 ξ 的分布列为