必修四专题二精练
苏教版必修二第四专题综合测试语文试卷
苏教版必修二第四专题综合测试（满分160分，测试时间150分钟）第一部分必考部分一．现代文阅读阅读下面现代文，完成1-4题。
(20分)蓝色的抚仙湖赵丽宏云南多云，多山，也多湖。
在云南地图上，那些蓝色的不规则状的翡翠，就是湖泊。
我找到了抚仙湖。
从山道上远观抚仙湖，景象就很奇妙。
蓝色的湖水在天地间漾动，蓝天和白云倒映在湖水中，碧波浩淼，一直荡漾到天边。
天边是青灰色的群山，浮动在飘忽的云雾里。
碧蓝的湖水，连着远山，连着天上的云雾，让人产生遥远的遐想。
走近抚仙湖，才发现湖水的清澈。
这是绿中泛蓝的深沉之水，浪涛拍岸发出的声响，有海的气息。
仔细谛视湖水，但见澄澈见底，临岸湖底的景象，飘动的水草，晶莹的沙石，穿梭而过鱼，全都清晰可见，湖波荡漾，犹如一大块透明的蓝水晶在阳光下微微晃动。
目光所及，也只能是岸畔十数米湖水而已，再往远处看，便是一片幽蓝，一片光斑炫目。
如在湖中行船，绝对看不见湖底，因为，湖水极深，最深处有一百多米，是国内最深的淡水湖，湖底，是个神秘的世界。
前不久，有人在抚仙湖底发现一个古城遗迹，古滇国的一个城池，囫囵地沉到了湖底，不知何年何月下水，也不明为何原因沉沦，是一个千古之谜。
湖岸曲曲折折，湖畔花树繁茂，湖边有不少石头砌起的沟渠，沟渠和湖之间有木闸隔断，沟渠中有式样古老的木头水车，用脚踩动水车，能将沟渠中的水往湖里抽。
这些沟渠，看来都是人工所为。
玉溪的朋友告诉我们，这是“鱼洞”，是专门为捕鱼而设。
抚仙湖中特产一种小鱼，名为抗浪鱼，味极鲜美。
抗浪鱼有逆水前行的习惯，当地捕鱼人便想出独特的捕鱼方法，开鱼洞，用水车往湖里车水，在鱼洞口形成水流，湖里的抗浪鱼便会迎着水流游过来，逆水游向鱼洞口，一无遗漏，全都游进设在洞口的鱼篓或者网中。
经过一个面积稍大的鱼洞时，有人惊呼：“快看，抗浪鱼！” 我们在鱼洞边停留，清澈的水面上波光闪烁，水中，有数十条小鱼轻盈游动，随着光波的闪动，精灵一般忽隐忽现，看不清它们的真实形状。
2025高考英语步步高大一轮复习讲义人教版必修第二册——选择性必修第四册语法专题答案精析
2025高考英语步步高大一轮复习讲义人教版必修第二册——选择性必修第四册语法专题答案精析语法专题专题一复杂多变的动词第1讲谓语动词考点精讲一对点练习1 1.will tell 2.is 3.hired对点练习2 1.was playing 2.will be playing 3.am filling对点练习3 1.had learned/learnt had said 2.have told3．had expected对点练习4 1.has been writing 2.would be would change解题技法1．were stewing 2.took/should take 3.have been 4.will miss考点精讲二对点练习 1.has been recognized 2.is being repaired 3.is regarded 4.to blame解题技法1．is designed 2.reading 3.consists 4.been carried考点精讲三对点练习 1.gives 2.is 3.is are 4.were 5.has caused6．is解题技法1．were 2.reminds 3.is考点精讲四对点练习 1.might not 2.can’t 3.can’t 4.could5．couldn’t 6.should7.mustn’t 8.shall9.must10．needn’t解题技法1．could 2.have scolded考点精讲五对点练习 1.had been 2.(should) be settled 3.would have arrived 4.had taken 5.had解题技法1．wouldn’t be 2.would stop 3.(should) get 4.focused考点分层演练层级一1．was working 2.have kept 3.had sunk 4.have been made5．was brought 6.is being taken 7.will be distributed8．is designed9.was listed10.have become层级二1．be employed 2.means 3.have promised 4.was fixing 5.threw 6.was built7.connects 8.had been offered9．will deliver/will be delivering10.are being displayed层级三Passage 11．was established 2.built 3.consisted 4.were replaced 5.(were) kept 6.understood7.have tried/have been trying8．to save9.(are) watched10.are playingPassage 21．needn’t 2.danced 3.can 4.did/should do 5.will6．(should) not allow7.must 8.didn’t wear9.shall10．should语法链接写作1．Though I felt a little sorry that you left China last year，I am pleased to know you are leading a happy life in your hometown.2．If you are available next Sunday，I will wait for you at the school gate and I’m sure we will have a good time together.3．It can easily be seen that the percentage of students who choose listening to English songs and watching English movies is respectively 65% and 50%.4．(1)If I hadn’t read the newspaper Youth，I wouldn’t have made such great progress in English.(2)In a word，it is high time that we should raise/raised our awareness of environmental protection.(3)It is required that anyone who wants to participate should arrive at the lecture hall on time to watch the movie and take part in the discussion.(4)But for/Without her help and professional instruction，I couldn’t have made such great progress in English study.5．From the learning experience，I fully understand that only by practicing a lot can we overcome many kinds of difficulties.第2讲非谓语动词考点精讲一对点练习 1.to have 2.carried 3.having completed 4.to have been robbed 5.being settled考点精讲二对点练习 1.to walk cated 3.forming 4.thinking5．getting 6.encouraging考点精讲三对点练习 1.being discussed 2.to support 3.marked4．living考点精讲四对点练习 1.making 2.to teach 3.permitting pleted 5.absorbed考点精讲五对点练习 1.smoking 2.delivered 3.to process解题策略1．Knowing 2.Being offered 3.to have received 4.Having been shown 5.making考点分层演练层级一1．being charged 2.applied 3.desiring 4.to be cheered5．Having suffered 6.absorbed 7.associated8.to master9．driven10.putting层级二1．borrowing intended 2.built 3.Having visited recording4．to continue 5.to journey 6.held 7.planning8.To strengthen inviting9. Covering10.to see层级三1．Going 2.are 3.refreshed 4.amazing 5.gets 6.astonished7.wondering8.to put 9.aching10.to visit语法链接写作1．Persuading him into accepting my views was impossible，so I didn’t want to waste my time discussing.2．(1)Hearing of the unexpected news，she was so surprised that she froze with her mouth wide open.(2)Worn out，David reached the finishing line and all the students cheered for him.3．To learn English more efficiently，you had better choose the Listening and Speaking course. 4．Having sold out all the popcorn，they decided to call it a day and go home.专题二需要变形的名词、数词、形容词和副词第1讲名词考点精讲一对点练习 1.championships 2.activities 3.weaknesses4．passersby 5.heroes 6.barber’s 考点精讲二对点练习 1.Word word 2.experiences experience 3.a/考点精讲三对点练习 1.arrival 2.invitation 3.responsibility 4.marriage 5.accuracy解题策略1．requirement professions 2.pollution 3.conditions4．dishes第2讲数词对点练习 1.thirteenth 2.thirds 3.ninth 4.twenties5．thousands解题技法1．second 2.has been polluted 3.fifth第3讲形容词和副词考点精讲一对点练习 1.personal 2.disappointed 3.amazing 4.hungry 5.highly 6.officially 7.Luckily8.terribly考点精讲二对点练习 1.more 2.wider 3.biggest 4.faster 5.as/so解题策略1．smaller 2.tasty 3.finest 4.gently考点分层演练层级一1．carrots 2.achievement 3.intention 4.fifties 5.twelfth6．third7.industrial8.surprising rgest10.widely层级二1．sixth 2.Different 3.warning 4.remarkable 5.rarely6．visiting7.interviews 8.Basically9.photographer10．meaningful层级三1．dynastic 2.classes 3.originally 4.closer 5.wealthy6．beautifully7.spacious 8.simpler/more simple9.cultural10.events语法链接写作1．When it comes to ocean，it’s of great importance to the world；however，its pollution isbecoming more and more serious.2．Last weekend，I participated in a “Getting to Know the Plants Around Us” activity organised by our Student Council with curiosity.3．(1)As you know，the more people are involved，the better the ocean environment is.(2)Nothing is more important than my teacher’s encouragement.Without it，I couldn’t have won the prize.专题三不可忽视的小词第1讲冠词考点精讲一对点练习 1.a 2.an 3.a 4.a考点精讲二对点练习 1.the 2.the 3.the 4.The 5.The考点精讲三解题策略1．a 2.the第2讲代词考点精讲一对点练习 1.himself 2.our 4.it 5.it 6.It考点精讲二对点练习 1.other 2.another 3.none 4.neither 5.one解题策略1．mine 2.their 3.herself 4.it第3讲介词对点练习 1.on 2.with 3.by 4.in 5.for 6.on解题技法1．by 2.for 3.in考点分层演练层级一1．an 2.the 3.the 4.his 5.them 6.myself7.it8．their9.on10.like层级二1．the 2.as 3.to 4.by 5.a 6.the7.by8.its9.the10．neither层级三1．a 2.their 3.of 4.for 5.with 6.a7.them8.her9.the10.by语法链接写作1．Because I am attracted by the contents，reading Youth becomes a must for me every day.2．It was exciting to learn that I had gained first prize and an award ceremony would be held in three days.3．Although online learning makes it easier for people to gain knowledge，being online is also a challenge for people who lack selfdiscipline.4．Eventually，because of my persistence and painstaking efforts，I could skate freely all by myself.专题四三大从句与特殊句式第1讲定语从句考点精讲一对点练习 1.which/that 2.whose 3.is 4.As 5.that6．which考点精讲二对点练习 1.when 2.where 3.which 4.why考点精讲三对点练习 1.which 2.whom 3.them 4.which解题策略1．which/that 2.where 3.who/that 4.whose 5.As考点分层演练层级一1．which 2.where 3.who 4.where 5.who/that 6.when7．whose8.As9.why 10.whom层级二1．which/that 2.where 3.who/that 4.who 5.that6．that 7.where8.whose9.which/that 10.where层级三1．when 2.why 3.where 4.whose 5.whom 6.that/which7.who8.which9.which 10.As语法链接写作1．运用1Confucius，also known as Kong Qiu，was a Chinese philosopher and politician who lived during the Spring and Autumn Period.运用2World Ocean Day which/that falls on June 8th is aimed at raising people’s awareness of ocean conservation.2．First，you’ll be shown around our school and have lunch at a local restaurant，where you can have a taste of authentic Chinese food.3．For students，what is most beneficial to their study is reading English books，from which they can learn what they can’t in class.4．To begin with，I suggest organizing a walking tour around the city to explore the green spaces in Beijing，which will allow participants to experience the beauty of the city’s parks.第2讲名词性从句对点练习 1.why 2.what 3.how 4.that 5.that6．whether解题技法1．What 2.how 3.whoever 4.where 5.whether/if考点分层演练层级一1．whether 2.why 3.how 4.what/whatever 5.where6．that7.What8.when9.who 10.because层级二1．why 2.whether/if 3.how 4.where 5.what 6.why/that7.what8.whether/if9.what 10.that层级三1．What 2.that 3.whether 4.why 5.How 6.who7．that8.that9.when10.because语法链接写作1．What surprised me was that my dad allowed me to use the money as I wished.2．No one can deny the fact that online learning is becoming more and more popular.3．I’m sorry that I can’t go out with you as planned.The reason is that my younger brother broke his leg the other day and I must look after him.4．The exhibition is fantastic and shows the charm of Chinese culture.This is why I would like to recommend my fellow students to attend this art show as well.5．I recommend that you (should) choose the Listening and Speaking course，because the course is entirely taught in Chinese，which will benefit you a lot.第3讲并列句和状语从句考点精讲一对点练习 1.while 2.when 3.or 4.but/yet 5.so考点精讲二对点练习 1.until 2.before 3.than 4.before 5.since考点精讲三对点练习 1.if 2.Wherever 3.as/though 4.that 5.because/as 6.that7.though/if8.how 解题策略1．and 2.While 3.because 4.before考点分层演练层级一1．that 2.because/as 3.but 4.and 5.when 6.while7．if8.though/although9.until/till 10.whatever层级二1．and 2.but/yet 3.or 4.because 5.whether 6.until/till7．or8.When/As9.if/though 10.unless层级三1．who/that 2.than 3.visiting 4.when 5.While/Though/Although 6.but7.higher8.If 9.for10.but语法链接写作1．Not only does the ocean offer us sufficient food，but it also maintains the balance of nature. 2．Come to the exhibition，and you will enjoy a visual feast.3．So difficult and painful for me was writing that my teacher had allowed me to present my paper on the sinking of the Titanic by acting out a play，where I played all the parts.4．We were looking for a place to put up the tent when Mother told us that she had forgotten to take it.5．Not until yesterday was I informed that our class was going to hold an important meeting this weekend—exactly the time when we shall meet.第4讲特殊句式考点精讲一对点练习 1.and 2.What 3.that考点精讲二对点练习 1.live 2.as/though 3.did 4.are 5.did考点精讲三对点练习 1.expected 2.writing 3.dealt 4.to make解题策略1．are 2.that考点分层演练层级一1．that 2.Sitting 3.warned 4.were 5.that 6.If层级二1．that 2.Were 3.that 4.did 5.came层级三1．a 2.that 3.without 4.continuing 5.permission6．logical7.were said8.further 9.Inspired10.whose语法链接写作1．What a fantastic Chinese painting show it is!2．“Hurry up，or the bear will catch up with us，” said Elli.3．It was at that festival that you shared so many interesting things about your country.4．Only when all the people make their efforts to protect the ocean will the ocean environment become better and better.5．So happy was Bernard that he gave John a big hug.6．In the backyard were two happy dogs tumbling about on the grassland.。
语文必修2苏教版第四专题版块二《边城》最新同步教案1
语文必修Ⅱ苏教版第四专题版块二《边城》最新同步教案《边城》教案1【教学目标】在文中寻觅沈从文着力歌颂的“恰如其分的爱与美”，体会《边城》田园牧歌式情调。
【学习重难点】1、了解沈从文笔下的湘西风土人情，走进作者构筑的善与美的理想世界。
2、从人物的情感故事中，寻觅人性美与人情美的踪迹。
【知识链接】见《边城》资料汇编【预习字词】【整体感知】《边城》整部小说共有二十一章，课文节选自原文的第三至第六章。
第三章：介绍茶峒端午节赛龙舟的风俗，以及今年龙舟比赛的准备情况。
第四章：倒叙两午前翠翠和二老傩送在端午节的邂逅。
第五章：倒叙一年前的端午节，翠翠和大老相遇以及爷爷提亲的玩笑在翠翠心上造成的波澜。
第六章：回到现在，写祖孙两人和过渡客的遭遇以及送亲队伍在翠翠心头引起的涟漪。
这四章小说，时间安排忽而眼前忽而追忆，回环往复，而又呼应衔接，使情节内容跌宕起伏，也极大地丰富拓展了人物的心灵世界。
【阅读讨论】有人说，《边城》是一支湘西山村生活的牧歌，展现了一幅古朴而又动人的湘西风情画卷。
阅读课文，说说文中哪些地方体现出这一点？（一）风景美：“豆绿色”“银色薄雾”，象征了纯洁、原始和无污染。
（二）风俗美：端午节风俗（穿新衣、画王字、吃鱼吃肉、看划船、划船靠前可领赏、放鞭炮、军民追赶大雄鸭、包尖角粽子、迎婚送亲给红包）新年（狮子龙灯、锣鼓炮仗烟火）和谐、淳朴（三）人情美：1、军与民、官与民（安居乐业、与民同乐）2、赛龙舟的水手之间、穷人与富人（顺顺、团总）、爷爷与卖皮纸商人、爷爷与代理看船的（善良、淳朴、敦厚、乐于助人）3、翠翠与傩送：邂逅、误会、朦胧、情窦初开4、翠翠与爷爷：女孩的心事真难猜，翠翠单纯活泼、天真无邪，善良温顺，乖巧可人；又情窦初开，不免思绪纷乱，举动反常，总之，自然而健康，符合人的本性。
老船工有湘西底层人的淳朴、诚实和坚忍，虽然生活清贫，却乐善好施，洒脱中又时露迂阔，对孙女充满悲悯的疼爱。
【资料补充】据说，1984年，沈从文在众人陪同下，重游湘西老家，兴致勃勃，然而，最后一天，82岁的他却突然坐在地上不起来，哭着说自己再也不想离开了。
高中语文 专题二 雷雨(节选) 苏教版必修4
人物动作 神态说明 旁白、画外音等
曹禺，原名万家宝，1910年生于 天津一个没落的官僚家庭，原籍湖北 潜江。他是第二次国内革命战争时期 出现的有很大成就和广泛影响的剧作 家。被称为“中国的莎士比亚”。
1929年进南开大学，后转入清华大学外语 系。1933年大学四年级的时候，完成处女作 《雷雨》，震动当时戏剧界。1935年发表《日 出》，继而又发表了《原野》（1937)。他的三 部曲，犹如一道道的丰碑，矗立在中国的剧坛 上，从而决定了曹禺在中国话剧发展上，特别 是话剧文学上的奠基地位。
《雷雨》的悲剧性
曹禺把悲剧的原因解释为“自然 的法则”，认为“宇宙正像一口残 酷的井，落在里面，怎样呼号也难 逃脱这黑暗的。”（注：《〈雷雨〉 序》）在《雷雨》的“序幕”和 “尾声” ，我们更为明显感触到作 者对人的生存悲剧的理解。
1.人的原罪，即生存的困境， 追求幸福之路的艰辛。
2.首尾有人在朗诵赞美诗，也 许有某种暗示。最后一句话里是圣 经的牵引。
品行不端的人。
贤慧： 指妇女心地善良，对人和蔼。 郁热： 闷热。郁: 积聚而不得发泄。 怨愤： 怨恨愤怒。
第一课时学习目标
了解作者 了解戏剧 了解《雷雨》的情节和时代背景。
剧情简介
内容：
二十年代初。天津大矿业主周朴园年轻 貌美的续弦夫人繁漪，长期被禁锢在豪华的 巨宅中，过着枯寂的生活。大少爷周萍系周 朴园前妻所生。周萍同情、爱慕繁漪，两人 产生恋情，周萍慑于父亲的威严，耻于这种 乱伦关系，对繁漪逐渐疏远，并移情于仕女 四凤。繁漪不甘忍受周家两代人的欺凌，决 心报复，她解雇四凤并让其母鲁妈接走。在 外省帮佣的鲁妈，得悉女儿被周家雇用继而 又遭解雇，心急如焚地赶到周家，在客厅与
上世纪60年代，有一位年轻 的日本作家访问中国，他专程登 门拜访了剧作家曹禺先生，并表 达了这样的愿望：“我希望日后 也能写出像您的《雷雨》那样的 杰作来。”这位日本作家是谁呢？
必修四第二四专题字词、文常
必修四第二、四专题字词、文常班级学号姓名得分1234567891011121314151617由嘉兴市高中语文学科基地——省一级重点高中海盐元济高级中学语文教研组高一新课程备课组命题，适用于苏教版第二、四专题字词和文学常识基础知识检测1．选出下列各项中有两个错别字的一项（）A．精络轰笑蜷缩一团全付武装B．掰开惊愕砌茶恻隐之心C．家俱妆束兴高彩烈神色黯淡D．希罕恶梦赋与慢条斯理2．选出下列各项中有两个错别字的一项（）A．搭讪描模泯灭不祥之兆B．贤惠迷补演译故事精疲力尽C．诀窍推桑厮打鬼使神差D．敲榨权衡垂头耷脑惟命是从3．选出下列各项中有两个错别字的一项（）A．沉缅濒临历历在目栩栩如生B．锻造诉诸虚无缥渺各书己见C．钦佩制裁兢兢业业自得其乐D．劫难勿宁相提并论坚苦卓绝4．选出下列各项中有两个错别字的一项（）C．陷井忙不叠群情激愤忐忑不安D．鉴于必须品武力布署唯妙唯肖5．选出下列各项中有两个错别字的一项（）A．融恰报酬迎刃而解人事苍桑B．肤浅溜达玄而未决不可或缺C．弘扬详和庸人自扰不屑一顾D．拙劣留传耳熟能详一展身首6．选出错别字最多的一项（）A．枯躁阻梗遗撼磊拓嵯峨B．吵杂游息辨驳枉加指斥C．软胁惶恐瞻养天伦之乐D．匮决展拓壮硕摄相机7．选出错别字最多的一项（）A．明查秋毫优胜劣汰高潮叠起B．从善如流来龙去脉经心锤炼C．千锤百练无可非义后发治人D．仔细斟酌人才挤挤巧言令色8．选出下列各项中注音正确的一项（）A．脸颊jiá动弹dàn 本分fân 汗涔涔cãn B．惊愕â黯淡àn 恫吓hâ伺候cìC．抽搐chù蜷缩juǎn 弥补mí垂头耷脑dāD．草拟nǐ跛脚pō笞刑chī砌成qì9．选出下列词语中加点字注音有一处错误的一项（）A．濒临bīn 噩梦â逮捕dǎi 忐忑不安tǎntâB．推搡sāng 掰下bān 噙满qín 恻隐之心câC．虫豸zhì缄默jiē搭讪shàn 荷枪实弹hãD．垂涎yán 菲薄fēi 哄笑hîng 鬼使神差chāi10．选出下列词语中加点字注音有两处错误的一项（）B．毋宁wù桎梏gào 赡养shàn 铿锵kēngjiāng玫瑰C．枉然wàng 铸就zhù沉湎miǎn 栩栩如生yǔD．角色jiǎo 拙劣zhōu 纯粹cuì欢乐气氛fân11．选出下列词语中加点字注音有两处错误的一项（）A．嘈杂cáo 软肋lâi 沉甸甸diàn 不屑一顾xiāoB．拖累lâi 着迷zhāo 嵯峨cuï兢兢业业jīngC．昭告zhào 阻梗gěng 镣铐kào 仔细斟酌zhēnD．壮硕shuî唠叨lāo 展拓tuî来龙去脉mài12．选出依次填入下列各句横线上最恰当的一项（）①远大的抱负、踏实的学风，这是每一个中学生所的素质。
专题二、四检测
玉环中学高二语文组必修四第二、四专题检测姓名学号必修四专题二、四检测一、基础知识（54分，每题3分）1．( )下列加点字的读音完全正确的一项是A．喘．（chuǎn）气蜷．(quán)缩虫豸．(zhì) 服侍．(sì)B．跛．(bǒ)脚诀．(jué)窍铁镐．(kāo) 汗涔涔．．(cén)C．犄．(jī)角牛虻．（méng）船舶．（bó) 忐忑．．(tǎn tè)不安D．弥．(mí)补黝．(yǒu)黑怜悯．(mǐn) 垂头耷．(tā)脑2.（）下列词语中，加点字的读音全部不同的一项是A. 咀嚼．侥．幸校．场大放厥．词B. 贿赂．傣禄．杀戮．绿．林好汉C. 眼眶．诳．语粗犷．旷．世奇才D. 汲．取脊．梁箕．踞雨雪初霁．3.（）下列加点字的读音，全部正确的一项是A. 毋．（wú）宁人才济济．．（jǐ）茶几．（jǐ） B. 针灸．（j iū）贫瘠．（jí）噤．（jìn）若寒蝉C. 倨．（jū）傲什刹．（chà）海祈．（qǐ）祷D. 拙．（zhuō）劣诡谲．（jué）跻．（jī）身4. ( )下列各组词语中没有错别字的一组是A．演绎半晌谛造一帆风顺 B.敲诈固执惊惶白头谐老C．烟囱拖延昧心苍海桑田 D.揣摩混帐签字发言题要5.（）下列成语使用错误的一项是A. 不过那年轻人修为显然也不寻常，每次都能在间不容发．．．．之际避开，虽然形状狼狈，却毫发无损。
B. 深圳这几年的建设速度非常快，可以说是计日程功．．．．了。
C．在此之前，朝鲜始终坚持朝美双边会谈，拒绝日、韩参加，而美国始终拒绝同朝鲜进行单独会谈，双方僵持不下，一时箭在弦上．．．．。
D．如果怕冒犯各位的尊严而缄口不语．．．．，我将认为自己是对祖国的背叛和对比世界上任何国君都更为神圣的上帝的不忠。
6．（）下列选项中，错别字最多的一项是A．恫吓烟蒂和霭箭拔弩张 B. 咳嗽伺侯挖墙角不详之兆C. 濒临推搡油然不足为奇D. 艰辛忙不迭搭讪曼条斯理7.（）下列成语中，没有错别字的一项是A. 急流勇退径渭分明矫揉造作B.兢兢业业时过境迁鸠占雀巢C. 既往不咎不即不离积腋成裘D.赳赳武夫金碧辉煌艰苦备尝8.（）下列课文理解及文学常识，错误的一项是A.影片《辛德勒名单》真实地再现了德国工厂主辛德勒在第二次世界大战期间保护1000多名犹太人免遭法西斯杀害的历史事件。
高中数学选择性必修二 精讲精炼 4 1 列的概念(精讲)(含答案)
4.1 数列的概念(精讲)考点一数列的定义辨析【例1】(1)(2021·全国高二专题练习)下列有关数列的说法正确的是( )①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列；②数列{a n}与{a2n－1}表达同一数列；③数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一；④数列－1，1，3，5，8，…的通项公式为a n＝2n－3，n∈N*.A．①④B．②③C．③D．①②(2)(2021·全国高二课时练习)有下列说法：①数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}；②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列；③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，是同一数列；④数列0，1，0，1，是常数列．其中说法正确的有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】(1)C(2)A【解析】(1)①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列； ②是错误的，数列{a n }表达数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…， 而数列{a 2n －1}表达数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n ，a n ＝cosn π等； ④是错误的，显然当n ＝5时，a 5＝7，不是数列中的项． 故选：C.(2)①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的； ②说法错误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列； ③说法错误，数列1，3，5，7是有穷数列，而数列1，3，5，7，是无穷数列；④说法错误，由常数列的定义，可知0，1，0，1，不是常数列．故选：A.【一隅三反】1．(2021·全国高二单元测试)(多选)下列关于数列的说法正确的是( ) A ．按一定次序排列的一列数叫作数列B ．若{a n }表示数列，则a n 表示数列的第n 项，a n =f (n )表示数列的通项公式C ．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一D ．同一个数列的任意两项均不可能相同 【答案】ABC【解析】根据数列的定义，我们把按定次序排列的一列数叫作数列，可得A 正确； 若{a n }表示数列，则a n 表示数列的第n 项，a n =f (n )表示数列的通项公式，可得B 正确； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，例如2n a n =-，也可写成2,22,3n n n a n n -≤⎧=⎨->⎩，可得C 正确；因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数数列，可得D 错误， 故选：ABC考点二根据通项公式写出项【例2】(1)(2021·全国高二课时练习)已知数列,21,n -11是这个数列的( ) A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项(2)(2021·全国高二专题练习)已知数列－1，14，－19，…，(－1)n .21n ，…，则它的第5项的值为( )A ． 15B ．－15C ．125D ．－125【答案】(1)B(2)D【解析】(1)数列,21,n -通项公式为n a 6n =，故选：B.(2)由题设，数列的通项公式为21(1)nn -⋅，∴当n ＝5时，该项为5211(1)525-⨯=-.故选：D.【一隅三反】1．(2021·全国高二专题练习)已知数列{a n }的通项公式31,21,N 22,2,N n n n k k a n n k k **⎧-=-∈=⎨-=∈⎩，则a 2a 3的值是( ) A ．70 B ．28 C ．20 D ．16【答案】D【解析】依题意，22222a =⨯-=，33318a =⨯-=，则232816a a =⨯=， 所以a 2a 3的值是16.故选：D2．(2021·全国高二课时练习)在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，…中，x 的值是( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．22【答案】C【解析】解析：观察数列可得规律1+1=2，1+2=3，2+3=5，…，8+13=x =21，13+21=34， ∴x =21，故选：C3(2021·全国高二单元测试)函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =( ) A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 【答案】B【解析】∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈，∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ=== 故选：B.4．(2021·辽宁锦州·高二期中)数列2468,,,,3579⋯的第10项是( )A ．1415B ．1617C ．1819D ．2021【答案】D【解析】从分子上看，2，4，6，8，对应的通项为2n ，从分母上看，3，5，7，9，对应的通项为21n ，所以该数列的通项公式221n n a n =+，所以1021020210121a ⨯==⨯+．故选：D ．考点三 根据项写出通项公式【例3】(2021·甘肃兰州·兰大附中(文))已知11a =，213a =，316a =，4110a =，则数列{}n a 的一个通项公式为n a =( )A ．()221n +B ．()21n n +C ．221n - D ．221n - 【答案】B 【解析】1221212a ===⨯，212323a ==⨯，312261234a ===⨯，4122102045a ===⨯，则2(1)n a n n =+，故选：B ． 【一隅三反】1．(2021·全国)数列1-，3，7-，15，…的一个通项公式可以是( )A ．()(1)21n nn a =-⋅- B ．(1)(21)nn a n =-⋅-C ．()1(1)21n nn a +=-⋅-D ．1(1)(21)n n a n +=-⋅-【答案】A【解析】将1n =代入四个选项，可知C 中11,a =D 中11,a =所以排除C 、D. 当3n =，代入B 可得35,a =-所以排除B ，即A 正确，故选：A.2．(2021·全国)已知数列{}n a 的前4项依次为2，6，12，20，则数列{}n a 的通项公式可能是( ) A ．42n a n =-B ．22(1)nn a n =+-C ．2n a n n =+D ．1321n n a n -=+-【答案】C【解析】对于A ，31012a =≠，故A 错误. 对于B ，41662220a =+=≠，故B 错误.对于C ，22221234112,226,3312,4420a a a a =+==+==+==+=，故C 正确.对于D ，3549112a =+=≠，故D 错误.故选：C.3．(2021·全国高二课时练习)(多选)一个无穷数列{a n }的前三项是1，2，3，下列可以作为其通项公式的是( )A ．n a n =B ．326126n a n n n =---C ．211122n a n n =-+ D ．26611n a n n =-+【答案】AD【解析】对于A ，若n a n =，则11a =，22a =，33a =，符合题意；对于B ，若326126n a n n n =---，则123a =-，不符合题意；对于C ，若211122n a n n =-+，当3n =时，343a =≠，不符合题意；对于D ，若26611n a n n =-+，则11a =，22a =，33a =，符合题意. 故选：AD.考点四 数列的单调性【例4】(1)(2021·海南)(多选)满足下列条件的数列{}()n a n *∈N 是递增数列的为( )A ．1n a n=B ．2n a n n =+C ．12n a n =-D ．21nn a =+(2)(2021·河南高二月考)已知数列{}n a 满足()2**2,5,,1,5,.n n tn n n a t n n n ⎧-+≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N 且数列{}n a 是单调递增数列，则t 的取值范围是( ) A ．919,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．(]1,4【答案】(1)BD(2)A【解析】(1)A ．因为()1111011n n a a n n n n +-=-=-<++，所以是递减数列； B ．因为()()22111220n n a a n n n n n +⎡⎤-=+++-+=+>⎣⎦，所以是递增数列；C ．因为()()11211220n n a a n n +-=-+--=-<⎡⎤⎣⎦，所以是递减数列；D ．因为()()11212120n n nn n a a ++-=+-+=>，所以是递增数列；故选：BD.(2)由题意可得()210,9,261525,t t t t ->⎧⎪⎪>⎨⎪->-+⨯⎪⎩解得91924t <<.故选：A.【一隅三反】1．(2021·全国高二期末)已知数列{}n a 的通项公式是342n na n =+，那么这个数列是( ) A ．摆动数列 B ．递减数列 C ．递增数列 D ．常数列【答案】C【解析】因为()()13336046424642n n n n a a n n n n ++=-=>++++-， 所以数列{}n a 是递增数列，故选：C2．(2021·全国高二专题练习)(多选)已知数列{}n a 的通项公式为32n nn ka +=，若数列{}n a 为递减数列，则实数k 的值可能为( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD【解析】由题意1n n a a +<对*n N ∈恒成立，即13(1)322n nn k n k++++<，33k n >-，因为*n N ∈，所以330n -≤(1n =时等号成立)，即33n -的最大值为0， 所以0k >．故选：CD ．3(2021·全国高二单元测试)设数列{}n a 的通项公式为2n a n kn =+，若数列{}n a 是递增数列，则实数k 的范围为_______． 【答案】()3,-+∞【解析】因为数列{}n a 是递增数列，可得1n n a a +>对于任意的N n *∈恒成立， 即()()2211n k n n kn +++>+，整理可得：210n k ++>， 所以21>--k n 对于任意的N n *∈恒成立，因为()21f n n =--单调递减，所以()()max 13f n f ==-，所以3k >-，故答案为：()3,-+∞.考点五 数列的分类【例5】(1)(2021·全国高二课时练习)下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．231111,,,,333…B ．234sin,sin,sin ,sin ,13131313ππππ… C ．1111,,,,234----…D ．1,2,3,4,,30(2)(2021·全国高二专题练习)给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，1802的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….其中，有穷数列是________，无穷数列是_______，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．【答案】(1)C(2)① ②③ ① ② ③ 【解析】(1)对于选项A ：数列231111,,,,333是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；故选项A 不正确；对于选项B ：数列234sin,sin,sin ,sin ,13131313ππππ是无穷数列，但它不是递增数列；故选项B 不正确；对于选项C ：数列1111,,,,234----是无穷数列，也是递增数列；故选项C 正确；对于选项D ：数列1,2,3,4,,30是递增数列，但不是无穷数列，故选项D 不正确；故选：C(2)①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列． 故答案为：①；②③；①；②；③【一隅三反】1(2021·全国高二课时练习)下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．1-，2-，3-，4-C ．1-，12-，14-，18-，…D ．1【答案】C【解析】A ，B 都是递减数列，D 是有穷数列，只有C 符合题意．故选：C ．2．(2021·全国高二专题练习)给出以下数列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1 000；③8，8，8，8，…；④234100.8,0.8,0.8,0.8,,0.8.其中，有穷数列为______；无穷数列为______；递增数列为______；递减数列为_____；摆动数列为_____；常数列为______．(填序号)【答案】②④ ①③ ② ④ ① ③【解析】有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③. 故答案为：②④；①③；②；④；①；③考点六 数列的最值【例6】(1)(2021·全国高二专题练习)数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它最小项的值是________．(2)(2021·全国高二课时练习)已知n a n ，则数列{}n a 的最大项的值为____【答案】(1)－1【解析】(1)∵a n ＝n 2－6n ＝(n －3)2－9，∴当n ＝3时，a n 取得最小值－9.故答案为：－9 (2)由题意，知0n a >且n a =，易知1n n a a +<，故{}n a 为递减数列．因此数列{}n a 的最大项为1a ，11． 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋21n ，则该数列中的数值最大的项是( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第4项或第5项 D ．第5项或第6项【答案】A【解析】2221441221248n a n n n ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，因为*21,564n N ∈<<，且5655,54a a ==，所以数值最大的项为第5项．故选：A ．2．(2021·全国高二专题练习)数列{}n a 中，n a 100项中的最大项与最小项分别是( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 44C ．a 45，a 44D ．a 45，a 50【答案】C【解析】1n a =44.9≈，当*144,N n n ≤≤∈n a 递减；当*45100N ,n n ≤≤∈且n a 递减.所以前100项中，最大项为45a ，最小项为44a .故选：C 3．(2021·全国)已知数列{}n a 满足()*1111,(1)(2)n n n n a a a a a n N n n ++=-=∈++，则n na 的最小值是( ) A ．25B ．34C ．1D ．2【答案】C【解析】因为()*11(1)n n n n a a a a n N n n ++-=∈+， 所以()11(1)212111n n n n a a a a n n n n ++-==-++++，即1111112n n a a n n +-=-++， 则11221111111111n n n n n a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 112311111111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+- 11311(2)2122n n n n +=-+=≥++， 当1n =时，上式成立，故2231n n a n +=+，22231n n n n n a ++=，设22231n n nn b ++=，则()()()()()222121212261040311313431n n n n n n n n n n n n b b +++++++=>++-++=+-， 故数列{}n b 是单调递增数列， 则当1n =时，n b 即n na 的最小值为1. 故选：C.4．(2021·上海市进才中学高二月考)已知数列{}n a 的通项公式为()2n a n λn λR =-∈，且为严格单调递增数列，则实数λ的取值范围是___________ 【答案】(,3)-∞【解析】由数列{}n a 是严格单调递增数列，所以10n n a a +->，即22(1)(1)210n n n n n λλλ+-+-+=+->，即21n λ<+()n N *∈恒成立，又数列(){}21n +是单调递增数列，所以当1n =时，21n 取得最小值3， 所以3λ<.故答案为：(,3)-∞考法七 公式法求通项【例7】(1)(2021·全国高二专题练习)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)(2021·河南信阳高中高二月考(文))已知数列{}n a 的前n 项和为111n n n S a a S +==，，，则n a =___________.(3)(2021·全国高二单元测试)若数列{}n a ,其前n 项的积为11n +，则n a =_____________. 【答案】(1)1(2){21,(1)2,(2)n n n -=≥(3)()1n n N n *∈+ 【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －(n －1)＝1.(*)显然n ＝1时满足(*)式，∴a n ＝1.故答案为：1(2)当1n =时，1211a S a ===；当2n ≥时，因为1n n a S +=，所以1n n a S -=所以11n n n n n a a S S a +--=-=；所以12n n a a +=；所以当2n ≥时，{}n a 是以2为公比的等比数列；所以2222n n n a a q --==，当1n =时，1211122a -=≠=所以2*1,12,2n n n a n n N -=⎧=⎨≥∈⎩，故答案为：{21,(1)2,(2)n n n -=≥ (3)设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，则11n T n =+. 当1n =时，1112a T ==； 当2n ≥时，11111n n n T n n a T n n-+===+. 112a =满足1n n a n =+.综上所述，()1n n a n N n *=∈+. 故答案为：()1n n N n *∈+. 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝3×2n －3，其中n ∈N *.求数列{a n }的通项公式．【答案】132n n a -⨯＝.【解析】由S n ＝3×2n －3，n ∈N *，得 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×21－3＝3.当n ≥2时，1111()()32(33233)2232n n n n n n n n a S S --------⨯⨯⨯⨯－＝＝＝＝，又当n ＝1时，a 1＝3也满足上式． 所以数列{a n }的通项公式为132n n a -⨯＝.2．(2021·全国高二课时练习)已知数列{a n }满足2112333+3+++n n a a a a -=3n ，求数列{a n }的通项公式． 【答案】a n ＝13n. 【解析】当n ≥2时，由2112333+3+++n n a a a a -=3n ， 得a 1＋3a 2＋32a 3＋＋3n －2a n －1＝13n -， 两式相减得3n －1a n ＝3n －13n -＝13，则a n ＝13n . 当n ＝1时，a 1＝13，满足a n ＝13n ， 所以a n ＝13n. 3．(2021·全国高二专题练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式．【答案】a n ＝3,1,2, 2.n n n =⎧⎨≥⎩【解析】由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ， 又当n ＝1时，3≠21， 故a n ＝3,12,2n n n =⎧⎨≥⎩。
高中数学选择性必修二 精讲精炼 4 4 归纳法(精练)(含答案)
4.4 数学归纳法(精练)【题组一 增项问题】1．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明等式(1)(2)()213(21)n n n n n n ++⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅-()N n *∈，从k 到1k +左端需要增乘的代数式为( ) A ．21k + B ．()221k + C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时，左端为()()()1232k k k k +++⋅⋅⋅当1n k =+时，左端为()()()()2322122k k k k k ++⋅⋅⋅+⋅+因为()()()()()()()()23221221232221k k k k k k k k k k ⎡⎤++⋅⋅⋅+⋅+=+++⋅⋅⋅⋅+⎣⎦所以从k 到1k +左端需要增乘的代数式为()221k +，故选：B. 2．(2021·全国高二专题练习)用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝221(1)1n a a a+-≠-”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4【答案】C【解析】由21n a +知，当1n =时，等式的左边是231a a a +++.故选：C.3．(2021·全国)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y +整除”时，第二步归纳假设应写成( )A ．假设当()*21n k k N=+∈时成立，再推出当23n k =+时成立B ．假设当()*21n k k N =-∈时成立，再推出当21n k =+时成立C ．假设当()*n k k N =∈时成立，再推出当1n k =+时成立D ．假设当()1n k k =≥时成立，再推出当2n k =+时成立 【答案】B【解析】第二步假设当()*21n k k =-∈N 时成立，再推出当()21121n k k =+-=+时成立.故选：B.4．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明()1111N ,22321nn n n *++++<∈≥-时，第一步需要验证的不等式是( ) A ．1122+< B ．111223++<C ．111323++<D ．11113234+++<【答案】B【解析】因为2n ≥，由数学归纳法可知：第一步需要证明2n =时该不等式成立， 所以第一步需要验证的不等式是111223++<，故选：B.5．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：首项是a 1，公差是d 的等差数列的前n 项和公式是S n ＝na 1＋(1)2n n -d 时，假设当n ＝k 时，公式成立，则S k ＝( ) A ．a 1＋(k －1)d B ．1()2k k a a + C ．ka 1＋(1)2k k -d D ．(k ＋1)a 1＋(1)2k k + d 【答案】C【解析】假设当n ＝k 时，公式成立，只需把公式中的n 换成k 即可，即S k ＝ka 1＋(1)2k k -d . 故选: C6(2021·杭州市实验外国语学校高中部高二期中)用数学归纳法证明：11112321n n ++++<-，(*,1)n n ∈>N 时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是( ) A ．2k B ．21k - C ．12k - D ．21k +【答案】A【解析】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为1111,,,22121k k k ++-，因此增加的项数是121212k k k +--+=，故选A .7．(2021·全国)用数学归纳法证明：()()()()1121321126n n n n n n n ⨯+⨯-+⨯-++⨯=++，当n k =时，左式为()f k ，当1n k =+时，左式为()1f k +，则()()1f k f k +-应该是( )A ．()11k ⨯+B ．()1231k +++++C ．123k ++++D ．()2k k ⨯-【答案】B【解析】由题意，()12(1)3(2)4(3)...1=⋅+-+-+-++⋅f k k k k k k ，()11(1)23(1)4(2)...2(1)1+=⋅+++-+-++⋅++⋅f k k k k k k k ，所以()()11[(1)]2[(1)]3[(1)(2)]4[(2)(3)]...(21)(1)1+-=⋅+-+⋅--+⋅---+⋅---++⋅-++⋅f k f k k k k k k k k k k k 123...(1)=++++++k k .故选：B.8．(2021·陕西省黄陵县中学高二月考(理))用数学归纳法证明“1111(2)2321n n n ++++<≥-”时，由n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为( ) A ．12k - B ．21k -C ．2kD ．21k +【答案】C【解析】当n k =时，左边11112321k =++++-， 当1n k =+时，左边11111111123212222121k k k k k ++=+++++++++-+-，所以左边增加111112212221k k k k +++++++-分母是连续的正整数所以共增加了1(21)212222k k k k k +--+=⨯-=项所以n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为2k 故选：C9．(2021·全国)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝1n(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子是( ) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3 【答案】B【解析】当n ＝1时，左边计算得出1a +故选：B10．(2021·河南信阳高中高二月考(理))用数学归纳法证明242123,2n n n n N *++++⋅⋅⋅+=∈，则当1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上( ) A ．21k +B ．()21k +C ．()()()222121k k k +++⋅⋅⋅++D ．()()24112k k +++【答案】C【解析】当n k =时，等式左端为2123k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式左端为()()()2222123121k k k k +++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++，∴左端应在n k =的基础上加上()()()222121k k k ++++⋅⋅⋅++.故选：C.11(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从“n=k ”到“n=k+1”，左边需增添的代数式是( ) A ．(2k+1)+(2k+2) B ．(2k-1)+(2k+1) C ．(2k+2)+(2k+3) D ．(2k+2)+(2k+4)【答案】C【解析】当n=k 时，左边是共有2k+1个连续自然数相加，即1+2+3+…+(2k+1)， 所以当n=k+1时，左边共有2k+3个连续自然数相加， 即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3). 所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3). 故选：C12．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上( ) A ．21k + B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++【答案】D【解析】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ．13．(2021·全国)用数学归纳法证明下列等式：()()()()()()()()122135712112112312nn n n n n n n +++-+-++⋯+--+-++-+=-+．要验证当1n =时等式成立，其左边的式子应为( ) A ．1- B ．13-+ C ．135-+- D ．1357-+-+【答案】C 【解析】由题意，当1n =时， 左边1213(1)(213)+=-+++-⨯+135=-+-故选：C14．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明不等式11111123422n n-++++>-(*,2n N n ∈≥)时，以下说法正确的是( )A ．第一步应该验证当1n =时不等式成立B ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是12kC ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加2k 项D ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是1111121222k k k--+++++ 【答案】D【解析】第一步应该验证当2n =时不等式成立，所以A 不正确； 因为11111111111111()2342234221222k k k k k---++++-++++=++++， 所以从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是1111121222k k k--+++++，所以B 不正确； 所以从“n k =到1n k =+”左边需要增加12k -项，所以C 不正确. 故选:D.【题组二 等式的证明】1．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：22212(1)1335(21)(21)2(21)n n n n n n ++++=⨯⨯-++． 【答案】见解析【解析】(1)当1n =时，左边=211133=⨯，右边=213213⨯⨯=，等式成立， (2)假设当n k =时，等式成立，即22121335+⨯⨯＋…＋()()22121k k k -+＝()()1221k k k ++， 当1n k =+时，22121335+⨯⨯＋…＋()()22121k k k -++()()()221123k k k +++ ()()()()()2121212123k k k k k k ++++=++1121223k k k k k ++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭()()()221121223k k k k k +++=⋅++ ()()()1112211k k k +++⎡⎤⎣⎦=++⎡⎤⎣⎦，即当1n k =+时等式也成立.，由(1)(2)可知：等式对任何*n N ∈都成立， 故22212(1)1335(21)(21)2(21)n n n n n n ++++=⨯⨯-++. 2．(2021·全国)用数学归纳法证明： (1)()213521n n +++⋯+-=；(2)21122221n n -++++=-；(3)233331123(1)2n n n ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦．【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析. 【解析】(1)当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即()213521k k +++⋯+-=，则当1n k =+时，()()()()221352121211k k k k k +++⋯+-+++==++， 故1n k =+时等式成立，综上可知，等式()213521n n +++⋯+-=成立.(2) 当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即21122221k k -++++=-，则当1n k =+时，()1121222221222211k k k k k k +-++++=-=⨯-=++-，故1n k =+时等式成立， 综上可知，等式21122221n n -++++=-成立.(3) 当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即233331123(1)2k k k ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦，则当1n k =+时，()()()2333333221123111(1)1124k k k k k k k k ⎡⎤+++++=+++⎢⎛⎫++=++⎣⎪⎦ ⎝⎥⎭()()()()()22222111111212222k k k k k k ⎛⎫++++++ ⎪⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ，故1n k =+时等式成立， 综上可知，等式233331123(1)2n n n ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦成立.【题组三 不等式的证明】1．(2021·全国高二课时练习)证明：不等式()*11111123422n n n N -+++++>∈，恒成立. 【答案】证明见解析. 【解析】当1n =时，112>成立 假设n k =时，不等式11111123422k k-++++⋯+>成立那么1n k =+时111111111111112342212222212k k k k k kk ----++++⋯+++++>++++++ 111212k k ->+，111222k k ->+，，1122k k=11111111111211234221222222k k k k k k k k ----+∴++++⋯+++++>+=++ 即1n k =+时，该不等式也成立综上：不等式()*11111123422n n n N -++++⋯+>∈，恒成立.2(2021·全国高三专题练习)证明：对于一切自然数1n ≥都有222n n +>.【答案】证明见解析【解析】(1)当1n =时，1222411+=>=，成立； 当2n =时，2222624+=>=，成立； 当3n =时，32221039+=>=，成立.(2)假设当(3,)n k k k =≥∈N 时不等式成立，即222k k +>，222k k >-， 当1n k =+时，()12222(1)22221k k k k k ++-+=⋅+-++()()2222222123(3)(1)k k k k k k k >-+-++=--=-+.因为3k ≥，即(3)(1)0k k -+≥， 所以1222(1)0k k ++-+>，即当1n k =+时，1222(1)k k ++>+时仍成立. 由(1)(2)所述，原不等式得证.3．(2021·全国高三专题练习)证明不等式1(n ∈N *)．【答案】证明见解析【解析】当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即1< 当n ＝k ＋1时，1+<==所以当n ＝k ＋1时，不等式成立． 综上，原不等式对任意n ∈N *都成立．4．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：1111123421++++⋯+≤-nn . 【答案】证明见解析；【解析】(1)当1n =时，左边1=，右边1=，不等式成立.(2)假设当n k =，*k N ∈时，不等式成立，即有1111123421kk ++++⋯+≤-，则当1n k =+时，左边=1111123421k ++++⋯+-112111221k k k ++⋯+++-+ k ≤+111122121k k k +++⋯++-， 又111122121k k k +++⋯++-1212k k <⋅= 即1111123421k ++++⋯+-112111221k k k ++⋯+++-+1k ≤+， 即当1n k =+时，不等式也成立.综上可得，对于任意*n N ∈，1111123421++++⋯+≤-nn 成立. 5．(2021·全国高二课时练习)试用数学归纳法证明2221111123(1)22n n ++⋯+>-++. 【答案】证明见解析【解析】(1)当1n =时，左边＝14，右边＝16，不等式成立；(2)假设当()*n k k N =∈时，原不等式成立，即2221111123(1)22k k ++⋯+>-++，当1n k =+时，22222111111123(1)(2)22(2)k k k k ++⋯++>-+++++ ∵()222111111111022(2)2332(2)3(2)k k k k k k k k ⎛⎫-+--=-+=> ⎪++++++++⎝⎭ ∴21111122(2)23k k k -+>-+++．即222211111123(1)(2)23k k k ++⋯++>-+++， 所以，当1n k =+时，不等式也成立．根据(1)和(2)可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立． 6．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明1＋2n ≤1＋111232n +++≤12＋n (n ∈N *)． 【答案】见解析【解析】(1)当n ＝1时，≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k ， 则当n ＝k ＋1时， 1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k ·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k ＋2k ·＝＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．【题组四 数列的证明】1．(2021·全国高二课时练习)已知数列{a n }满足：11a =，点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上．(1)求234,,a a a 的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想．【答案】(1)23a =，37a =，415a =；21nn a =-；(2)证明见解析.【解析】(1)点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上可知，数列{}n a 满足： 121n n a a +=+，11a =，2343,7,15a a a ∴===．可猜得21n n a =-．(2)当1n =时，1211a =-=成立，假设当(1,)n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，则当1n k =+时，11212(21)121k k k k a a ++=+=-+=-成立，就是说*n N ∈，猜想正确；综上，21nn a =-．2(2021·河北曹妃甸一中高二期中)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中(21)n n S a n n =-且113a =.(1)求23,a a ；(2)猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．【答案】(1)2115a =，3135a =，；(2)猜想1(21)(21)n a n n =-+，证明见解析.【解析】(1)由题意，数列{}n a 满足(21)n n S a n n =-，且113a =，可得21222(221)6S a a a +==⋅⨯-， 即2111515a a ==，又由312333(231)15S a a a a ++==⨯⨯-，可得31261415a a a =+=，可得3135a =. (2)由113a =，2115a =，31,35a =，猜想：1(21)(21)n a n n =-+，证明：当1n =时，由(1)可知等式成立； 假设n k =时，猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+，当1n k =+时，由题设可得11,(21)(1)(21)k k k k S S a a k k k k ++==-++， 所以1(21)(21)(21)(21)21k k k S k k a k k k k k -=-⋅=-++=， ()()11121k k S k k a ++=++， 又由111(1)(21)21k k k k k a S S k k a k +++=-=++-+，所以1(23)21k k k k a k ++=+， 所以()()()()1112123211211k a k k k k +==++⎡⎤⎡⎤+-++⎣⎦⎣⎦， 即当1n k =+时，命题也成立， 综上可得，命题1(21)(21)n a n n =-+对任意n *∈N 都成立. 3．(2021·安徽金安·六安一中高二月考(理))已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足1122n n n a S a =+-，且0n a >． (1)求1a 、2a 、3a ；(2)猜思{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】(1)11a =，2a =32a =(2)猜想n a n *∈N ，证明见解析．【解析】(1)对任意的n *∈N ，1122n n n a S a =+-，且0n a >． 当1n =时，11111122a a S a ==+-，整理得211210a a +-=，且0n a >，所以11a ； 当2n =时，221221122a S a a a =+=+-，整理得22210a +-=，且0n a >，所以2a = 当3n =时，3312331122a S a a a a =++=+-，整理得23310a +-=，且0n a >，所以32a = (2)由(1)猜想n a n *∈N ，下面用数学归纳法加以证明：①当1n =时，由(1)知11a 成立；②假设当()n k k *=∈N时，k a = 当1n k =+时，11111111111222222k k k k k k k k k a a a a S S a a a ++++++⎛⎫⎛⎫=-=+--+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21110k k a +++-=，且10k a +>，所以1k a +=1n k =+时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n *∈N 都成立．4．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，214a =，且()1*1122n n n a S n N n -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭. (1)求12S 、24S 、38S ； (2)由(1)猜想数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)112S =，244S =，398S =；(2)()2*2n n S n n N =∈，证明见解析. 【解析】(1)()1*1122n n n a S n n -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N ， 当1n =时，1111112a S S ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，解得12S =，即有112S =； 当2n =时，22121121422a S S S ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，解得216S =，则244S =； 当3n =时，2332311223a S S S ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，解得372S =，则398S =； (2)由(1)猜想可得数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为()2*2n n S n n =∈N . 下面运用数学归纳法证明.①当1n =时，由(1)可得112S =成立； ②假设()*n k k N =∈，22k k S k =成立， 当1n k =+时，1111111221k k k k k a S S S k +-+++⎛⎫=-=+- ⎪+⎝⎭， 即有()221112221221k k k k k k S S k k k +⎛⎫-=-=-=-⋅ ⎪+⎝⎭⋅， 则()()()1111221k k k S k k k +-=+-⋅+， 当1k =时，上式显然成立；当1k >时，()()221121212k k k S k k ++=+⋅=+⋅，即()21112k k S k ++=+， 则当1n k =+时，结论也成立.由①②可得对一切*n ∈N ，22n n S n =成立. 5．(2021·全国)猜想满足1a a =，1121n n n a a a ++-=的数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】1(2)(1)n n n aa n n a ---=--，证明见解析【解析】由1121n n n a a a ++-=可得112n na a +=-， 得211122a a a ==--， 32112123222a a a a a-===----，4311322243232a a a a a a -===-----． 推测1(2)(1)n n n aa n n a ---=--．下面用数学归纳法证明：①当1n =时，左边1a a ==， 右边11(12)1(11)a a a ---==--，结论成立．②假设(*)n k n N =∈时等式成立， 有1(2)(1)k k k a a k k a ---=--，则当1n k =+时，111(1)1(2)212(1)k k k k a a k k a a k ka k k a +--===----+----故当1n k =+时，结论也成立．由①②可知，对任何*n N ∈都有1(2)(1)n n n a a n n a ---=--．【题组五 整除问题】1．(2021·陕西渭滨·(理))用数学归纳法证明：对任意正整数,4151n n n +-能被9整除．【答案】见解析【解析】证明：(1)当1n =时，4151n n +-18=，能被9整除，故当1n =时， 4151n n +-能被9整除．(2)假设当n k =时，命题成立，即4151k k +-能被9整除，则当1n k =+时，()1415(1)1441519(52)k k k k k +++-=+---也能被9整除.综合(1)(2)可得, 对任意正整数,4151n n n +-能被9整除．2．(2021·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考(理))用数学归纳法证明：()21243n n n N ++++∈能被13整除．【答案】证明见解析.【解析】当1n =时，3343642791+=+=，又13791⨯=，∴()21243n n n N ++++∈能被13整除； 假设当n k =时，21243k k +++能被13整除，即()2124133k k m m N +++=∈+，那么当1n k =+时，21123321111643314364163133k k k k k k k +++++++=⨯+⨯=⨯+⨯-⨯+()()2111111643133161313313163k k k k k m m +++++=⨯+-⨯=⨯-⨯=-能被13整除；综上所述：()21243n n n N ++++∈能被13整除.3(2021·河南高二月考(理))用两种方法证明：()33*278n n n +--∈N 能被49整除．【答案】证明见解析. 【解析】证明：方法一：331278878n n n n ++--=--01112111111C 7C 7C 7C 7C 78n n nn n n n n n n n +-++++++=+++++--01112111C 7C 7C 77(1)178n n nn n n n n +-+++=++++++--()0111201121111111C 7C 7C 7C 7C 7C 49n n n n n n n n n n n n +----+++--+=+++=+++⨯因为01121111C 7C 7C n n nn n n ---++++++为整数，所以33278n n +--能被49整除．方法二：(1)当1n =时，33278641549n n +--=-=，能被49整除．(2)假设当(1)n k k =≥，33278k k +--能被49整除，那么，当(1)1n k k =+≥，()3(1)33333327(1)822715827849(1)k k k k k k k ++++-+-=⨯--=--++． 因为33278k k +--能被49整除，()491k +也能被49整除，所以()313)2718k k <++-+-能被49整除，即当(1)1n k k =+≥时命题成立，由(1)(2)知，()33*278n n n +--∈N 能被49整除．4．(2020·上海高二课时练习)求证：对于自然数*212,43n n n N ++∈+能被13整除.【答案】证明见解析；【解析】当1n =时，3343642791+=+=，91能被13整除.假设当*,n k n N =∈时结论成立，即21243k k +++能被13整除.则当1n k =+时，()21222122121114433444333k k k k k k ++++++++=⋅+⋅-⋅+⋅+()21221443331k k k +++=+⋅+⋅，由于21243k k +++能被13整除，所以()2111243k k +++++能被13整除. 所以当1n k =+时，结论成立.综上所述，对于自然数*212,43n n n N ++∈+能被13整除.5．(2022·上海高三专题练习)求证：当*n ∈N ，且2n 时，1(1)--+-n n n a nab n b 能被2()a b -整除.【答案】证明见解析；【解析】证明：当2n =时，原式为2222()a ab b a b -+=-，显然能被2()a b -整除，假设当(2)n k k =时1(1)k k k a kab k b --+-能被2()a b -整除，设上式除以2()a b -所得的商为r ，则12(1)()k k k a kab k b r a b --+-=-12(1)()k k k a kab k b r a b -∴=--+-1212(1)()k k k a ka b k ab r a b a +-∴=--+-因而11(1)k k k a k ab kb ++-++2121(1)()(1)k k k k ka b k ab r a b a k ab kb ++=--+--++122()()k kb a b r a b a -=-+-12()()k ra kb a b -=+-，∴当1n k =+时命题成立，∴当*n N ∈，且2n 时，1(1)--+-n n n a nab n b 能被2()a b -整除．6．(2022·上海高三专题练习)证明(31)71+-n n 能被9整除()*n ∈N .【答案】证明见解析；【解析】证明(1)当1n =时，(31)71(31)7127+-=+⨯-=n n 是9的倍数.命题成立.(2)假设当n k =时，命题成立，即(31)71+-k k 能被9整除.那么当1n k =+时，1[3(1)1]71(2128)71+++-=+⋅-k k k k(31)71(1827)7=+⋅-++⋅k k k k由假设(31)71k k +⋅-能被9整除，(1827)7(23)79k k k k =+⋅+⋅⋅能被9整除.所以(31)71(1827)7k k k k +⋅-++⋅能被9整除.即1n k =+是命题也成立.(3)根据(1)，(2)可知()3171n n +-能被9整除.7．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：1211112n n +-+能被133整除 ()*n N∈．【答案】见解析 【解析】证明： ①当1n =时，121211*********n n +-+=+=能被133整除，所以 1n =时结论成立，． ②假设当()*n k k N =∈时，1211112k k +-+能被133整除，那么当1n k =+时， 2211212111211111212k k k k +++-+=⨯+⨯121212121111121112111212k k k k +---=⨯+⨯-⨯+⨯()1212111111213312k k k +--=⨯++⨯．由归纳假设可知()1212111111213312k k k +--⨯++⨯能被133整除，即 2211112k k +++能被133整除．所以1n k =+时结论也成立综上，由①②得，1211112n n +-+能被133整除.。