四种线性代数模型

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线性代数模型

：
(1,1,0,0) (0,0,1,1) (1,0,1,0) (0,1,0,1) (1,1,1,1) (1,0,0,1) (0,1,1,0) (1,0,0,0) (0,1,1,1)
(不可取) (可取) (不可取) (不可取)
（第二次渡河）
性、投入产出分析、商品销售量预测、人口问题的差分方程模型）
1距离问题
1 .1基因间“距离”的表示 1 .2常见的距离公式（聚类分析,相似性度量）
1 .1基因间“距离”的表示
1 .2常见的距离公式（聚类分析）
绝对值距离欧式距离明考斯基距离兰氏距离马氏距离

23 .2
例8 农场的植物园中某种植物的基因型为AA,Aa和 aa。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？
（a）假设：令n=0,1,2,…。（i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型为AA,Aa和aa 的植物占植物总数的百分比。令x (n)为第n代植物的基因型分布： a0 a n
问题归结为由状态 (3,3)经奇数次可取运算，即由可取状态到可取状态的转移，转化为(0,0)的转移问题。和上题一样，我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还可用作图方法来求解。在H~W平面坐标中，以 “·”表示可取状态，从A(3,3)经奇数次转移到达O(0,0)。奇数次转移时向左或下移动1-2格而落在一个可取状态上，偶数次转移时向右或上移动1-2格而落在一个可取状态上。为了区分起见 ,用红箭线表示奇数次转移，用蓝箭线表示第偶数次转移,下图给出了一种可实现的方案 , 故这三对夫妻是可以过河的。假如按 W A(3,3) 这样的方案过河,共需经过十一次摆渡。不难看出 ,在上述规则下,4对夫妻就无法过河了,读者可以自行证明之.类似可以讨论船每次可载三人的情况, H其结果是5对夫妻是可以过河的,而 O(0,0) 六对以上时就无法过河了。

常见的线性代数求解方法

常见的线性代数求解方法
1.列主元消去法
列主元消去法是一种经典的求解线性方程组的方法。

它通过将
方程组转化为上三角矩阵的形式来求解。

这个方法的关键在于选取
主元的策略。

一种常见的选取主元的策略是选择当前列中绝对值最
大的元素作为主元，然后进行消去操作，直到将矩阵转化为上三角
矩阵。

2.高斯-约当消去法
高斯-约当消去法是另一种常见的线性方程组求解方法。

它通
过消去矩阵的下三角部分来将线性方程组转化为上三角矩阵的形式。

这个方法也需要选择主元，常见的选择策略是选取当前行中绝对值
最大的元素作为主元，然后进行消去操作。

3.LU分解法
LU分解法是将矩阵分解为一对矩阵的乘积的方法。

这个方法的思想是先将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，然后通过求解上三角矩阵和下三角矩阵的两个方程组来求解原始的线性方程组。

4.Jacobi迭代法
Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。

它通过将原始的线性方程组转化为一个对角矩阵和另一个矩阵的乘积的形式，然后通过迭代求解这个对角矩阵和另一个矩阵的方程组来逼近线性方程组的解。

5.Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是另一种迭代求解线性方程组的方法。

它与Jacobi迭代法类似，但是在每一次迭代中，它使用前一次迭代得到的部分解来更新当前的解。

这个方法通常比Jacobi迭代法收敛得更快。

以上是一些常见的线性代数求解方法。

每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解线性方程组的问题。

线性代数中的数学模型(数学建模必看姚江淮)

1 上述连分数可以看作是 x 中，把 1 x
x
x
1 1 1 1 x
反复迭代，就得到上述连分数。
x 1 1
1 1 1 1 1 1
上述这一全部由1构成的连分数，是最简单的一个连分数。
通常，求连分数的值，如同求无理数的值
一样，我们常常需要求它的近似值。
如果把该连分数从第 n 条分数线截住，即
斐波那契协会和《斐波那契季刊》
1．斐波那契协会和《斐波那契季刊》
斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，
13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且
在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活跃起来，成为热门的研究课题。
解：
先直接推算。在第0月有1对兔子；第1月也只有1对兔子；第2月这对兔子生了1对小兔，共有两对兔子；第3月，老兔子又生了1对小兔，共有3对兔子；第4月:老兔子和第2个月出生的小兔各生了一对小兔，共5对兔子；第5月，第3个月的3对兔子各生了一对小兔，共有8对兔子；第6月，第4个月的5对兔子各生了一对小兔，共有13对兔子…。
55或89个花瓣。
花瓣中的斐波那契数花瓣的数目
海棠（2）
铁兰（3）
花瓣中的斐波那契数花瓣的数目
洋紫荊（5）
黃蝉（5）
蝴蝶兰（5）
花瓣中的斐波那契数花瓣的数目
雏菊（13）
雏菊（13）
2）树杈的数目
13 8
5 3 2 1 1
3）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数
松果种子的排列
松果种子的排列
斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合。下面举几个例子。

线性分类模型（一）：线性判别模型分析

线性分类模型（一）：线性判别模型分析前言前几篇文章介绍了线性回归算法，线性分类模型分为判别式模型和生成式模型，本文首先简单复习了与算法相关的数学基础知识，然后分析各线性判别式分类算法，如最小平方法，Fisher线性判别法和感知器法，最后总结全文。

目录1、相关的数学知识回顾2、判别式模型和生成性模型3、最小平方法4、Fisher线性判别函数5、感知器算法6、总结相关数学知识回顾1、直线方程和平面方程拓展到分类思想：直线l为分类决策方程，坐标点落在直线l上方时，则分类为C1；坐标点落在直线l下方时，则分类为C2（如下图）。

平面方程类似，在这里不展开。

2、点到直线和点到平面的距离点到直线的距离：点到平面的距离拓展到分类思想：平面方程为决策方程，正确分类的情况下，当点P到决策方程的距离越大，则分类模型越好；错误分类的情况下，点P到决策方程的距离作为损失函数，损失函数最小化过程即是模型参数最优化过程。

3、向量内积的数学意义几何意义：向量A与向量B的内积等于向量A在向量B的投影与向量B的乘积，当向量B是单位向量时，则等于向量A在单位向量方向的投影，单位向量类似于基函数或者可以理解成坐标轴,即向量A在向量B的投影可理解成向量A在向量B方向的坐标，如下图，B'是B 在OA坐标轴方向的投影。

拓展到分类思想：C1与C2属于不同的类，给定一条决策性直线l，当C1与C2在直线L2的投影间距越大，则分类效果越好。

增加不同类间的距离可以作为模型参数优化的方向。

如下图，C1和C2的在直线L2的投影距离|C1'C2'|大于|C1'C2'|，因此决策方程直线L2优于直线L1.4、梯度下降法函数f(x0,x1,...,xn)在梯度方向是函数值变化（增加或减少）最快的方向（本文只给出结论，后续文章会有详细的说明）。

拓展到分类思想：损失函数最小化过程即是模型参数最优化过程，损失函数最小化可通过梯度下降法来实现，当迭代到一定程度，损失函数收敛，则迭代结束，参数w即是要求的最优参数。

数学建模四大模型总结

数学建模四大模型总结1优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS传播模型。

1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。

1.5 组合优化经典问题l 多维背包问题(MKP)背包问题：个物品，对物品，体积为，背包容量为。

如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：个物品，对物品，价值为，体积为，背包容量为。

如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。

该问题属于难问题。

l 二维指派问题(QAP)工作指派问题：个工作可以由个工人分别完成。

工人完成工作的时间为。

如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：台机器要布置在个地方，机器与之间的物流量为，位置与之间的距离为，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

l 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有个城市，城市与之间的距离为，找一条经过个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

l 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP问题是VRP问题的特例。

l 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在个工作和台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。

线性代数的RMI模型理论——向量空间直和分解理论的RMI模型理论

学专业线性代数向量空间直和分解理Ｂ８＝．－ｐ＝．ｐｐ， ’ｐ一ｔ０ｐＯ即：－Ｂ＝，一．论的教学思路。
关键词：性代数向量空间线和分解理论ＲＩ模型Ｍ直ＲＩ方法ＭＲＩＭ方法的框图表示如下：
】兰州商学院学报，９０２：１９（）证明设ｗ，ｗ的任意一个余子学思路 Ⅱ．是
６－７６０．
空间，那么ｗ也是ｗ。的一个余子空空间。取ｗ的一个基｛【ｌ… ，和０，：｝．，０
Ｗ。一个基｛Ｂ，，ｓ．为Ｖ＝的Ｂ，： … Ｂ１因
可以唯一地表成
．４存在Ｖ中ｎｒ的形式，里０ＥＷ．＝，，，且，４ — 这【；，ｌ… ｎ并ｉ的Ｒ模型理论，并且应用关系映射的一个基。由定理６．，ＭＩ
反演思想方法论述非数学专业线性代个向量｛，， … ０ｌ【使得｛一，【０当Ｖ是有限维向量空间时，０，【，
关１分系解
Ｖ＝ｗ①Ｗｌ
］
关于直和的概念可以推广到多于两个子空间的情形。Ｗ。，Ｗ设， …，是向量空间ｖ的子空间。如果
（）Ｗ１Ｗ２＋… ＋；ｉＶ＝＋，Ｗ
教学思路向量空间直和分解理论是线性代
学术纵横
线牲代数的ＭＩＲ模型理论
— —
向量空间直和分解理论的Ｒ模型理论ＭＩ
口窦永平

线性代数知识点总结(第4章)

线性代数知识点总结（第4章）（一）方程组的表达形与解向量1、解的形式：(1)一般形式(2)矩阵形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）2、解的定义：若η=（c1，c2，…，c n）T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解（向量）（二）解的判定与性质3、齐次方程组：（1）只有零解←→r（A）=n（n为A的列数或是未知数x的个数）（2）有非零解←→r（A）＜n4、非齐次方程组：（1）无解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性质：（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，则ξ+η是Ax=b的解（3）若η1，η2是Ax=b的解，则η1-η2是Ax=0的解【推广】（1）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，则k1η1+k2η2+…+k sηs为Ax=b的解（当Σk i=1）Ax=0的解（当Σk i=0）（2）设η1，η2，…，ηs是Ax=b的s个线性无关的解，则η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。

变式：①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1（三）基础解系6、基础解系定义：（1）ξ1，ξ2，…，ξs是Ax=0的解（2）ξ1，ξ2，…，ξs线性无关（3）Ax=0的所有解均可由其线性表示→基础解系即所有解的极大无关组注：基础解系不唯一。

任意n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。

★7、重要结论：（证明也很重要）设A施m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O（1）B的列向量均为方程Ax=0的解（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）8、总结：基础解系的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解（2）A为数字的：A→初等行变换→阶梯型自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系（四）解的结构（通解）9、齐次线性方程组的通解（所有解）设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+k n-rηn-r （其中k1，k2，…，k n-r为任意常数）10、非齐次线性方程组的通解设r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，η为Ax=b的特解，则Ax=b的通解为η+ k1η1+k2η2+…+k n-rηn-r （其中k1，k2，…，k n-r为任意常数）（五）公共解与同解11、公共解定义：如果α既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称α为其公共解12、非零公共解的充要条件：方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解←→有非零解←→13、重要结论（需要掌握证明）（1）设A是m×n阶矩阵，则齐次方程A T Ax=0与Ax=0同解，r（A T A）=r（A）（2）设A是m×n阶矩阵，r（A）=n，B是n×s阶矩阵，则齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）。

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线性代数是高等学校理工科和经济类学科相关专业的一门重要基础课，它不仅是其他数学课程的基础，也是物理、力学、电路等专业课程的基础。

作为处理离散问题工具的线性代数，也是从事科学研究和工程设计的科研人员必备的数学工具之一。

实验一生物遗传模型1.工程背景设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA 、Aa 和aa 。

常染色体遗传的规律是：后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，形成自己的基因对。

如果考虑的遗传特征是由两个基因A 、a 控制的，那末就有三种基因对，记为AA 、Aa 和aa 。

研究所计划采用Aa(AA)型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。

问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何?2.问题分析分析双亲体结合形成后代的基因型概率，如表6-4所示。

则第n 代植物的基因型分布为()n n n n a x b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，0(0)00a x b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭表示植物型的初始分布。

依据上述基因型概率矩阵，有1112n n n a a b --=+，1112n n n b b c --=+，0n c =，1n n n a b c ++=，表示为矩阵形式记11/2001/21000M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()(1)2(2)3(3)(0)n n n n n x MxM x M x M x ---=====。

于是问题归结为如何计算nM ，可将M 对角化。

易于计算M 的特征值为1、1/2、0，其相应的特征向量为(1,0,0)T ，(0,1,0)T -，(1,2,1)T-。

令101012001P ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则111/2001/21000M P P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

于是()(0)1(0)11/2001/21000nn n xM x P P x -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭1001001(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)0n n n n b c b c --⎛⎫-- ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭。

当n →∞，1,0n n a b →→，因此，可以认为经过若干年后，培育出的植物基本上呈现AA 型。

实验二员工培训问题 1.工程背景某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1/6熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。

新、老非熟练工经培训及实践至年终考核有2/5成为熟练工。

若记第n 年一月份统计的熟练工与非熟练工所占比例分别为n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭。

2.问题问题1：第n+1年熟练工与非熟练工所占比例11n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭与第n 年熟练工与非熟练工所占比例n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭的关系。

问题2：若第1年熟练工与非熟练工所占比例为111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭。

3.模型建立与求解依据题意，有1521()656n n n n x x x y +=++，131()56n n n y x y +=+。

整理化简得119210513105n n nn n n x x y y x y ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即119210513105n n n n x x y y ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，记9210513105A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，亦有11n n n n x x A y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

由问题1结果，有112111212n n n n n n n x x x A A A y y y +-+-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭。

问题归结为求n A ，可将A 对角化。

易于计算1、1/2是矩阵A 的两个特征值，且相应的特征向量为()()4,1,1,1TT-。

记4111P -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1921010511302105P P -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11104()44()411111221111411550()1()14()222n n n n n n A ⎛⎫+-⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪-+ ⎪⎝⎭⎝⎭。

因此111183()122111023()22n n n n n x A y ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

实验三多金属分选流程计算1. 工程背景设,j γγ—原矿产率及第j 种产品产率，%，100%γ=；i α—原矿中第i 种金属品位，%；ij β—第j 种产品中第i 种金属品位，%；ijβε—第j 种产品中第i 种金属的理论回收率，%；按照金属平衡和产率平衡进行计算。

为了计算方便，尾矿视为产品。

金属平衡，产品平衡，其中，尾矿产率及金属品位为,n i in θγγθβ== 解次多元线性方程组求出产品产率。

各产品任一金属回收率1100%ijj ijnjijj βγβγβε=⨯=∑。

2. 问题某铅锌矿选矿厂生产的产品为铅、锌、硫精矿和尾矿，已化验知各产品的金属品位（见下表），试计算各产品产率和回收率。

表6-5各产品的化验品位原矿3.143.6315.41铅 71.04 3.71 15.70 锌 1.20 51.50 30.80 硫 0.38 0.35 42.38 尾矿0.340.101.403. 模型建立与求解设铅、锌、硫和尾矿的产率为123,,x x x 和4x ，按照金属平衡与产率平衡，可建立以下线性方程组：MATLAB 源代码：A=[71.04 1.20 0.38 0.34;3.71 51.50 0.35 0.10;15.70 30.80 42.38 1.40;1 1 1 1] %创建系数矩阵b=[314 363 1541 100]’; %常数列矩阵 x=A\b %利用x=inv(A)*b x =3.8659 6.4590 28.2046 61.4706又 x0=repmat(x,[1,4]); %创建多维数组B0=repmat(b,[1 4])’;s=x0.*A ’./B0 %计算各产品的理论回收率，最后一列为产率 s=87.4623 3.9511 3.9386 3.8659 2.4684 91.6361 12.9096 6.4590 3.4133 2.7194 77.5671 28.2046 6.6560 1.6934 5.5846 61.4706 将计算结果填入下表实验四交通流量模型1. 问题图6-8.200300 500 400 500 x9 x10600700图6-8假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量．（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量． 2. 模型的建立与求解由假设可知，所给问题满足如下线性方程组:3. Matlab 程序实现A=[0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0;1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,1,0,0,1,0,1,0,0] % 矩阵A b=[300;500,200;800;800;100;400;200;600,100]B=[A,b] % 增广矩阵B Rank(A) % 计算矩阵A 的秩Rank(B) % 计算增广矩阵B 的秩，若秩相等，则有解 rref(B) % 将增广矩阵B 化为最简型4.结果分析增广矩阵系数矩阵的秩Rank(A)=8增广矩阵的秩Rank(B)=8<10，说明该非齐次线性方程组有无穷多个解．增广矩阵的最简型为: 其对应的齐次同解方程组为:以85,x x 做为自由变量，将最简形方程转化为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==+-=+-=+-==+=+-=600400100800500200080010987865435251x x x x x x x x x x x x x 求得其通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6004000100080005002000800001110000000000110112110987654321C C x x x x x x x x x x。