3.2.1(一)对数及其运算教案

§3.2 对数与对数函数
3.2.1 对数及其运算(一)
【学习要求】
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念;
2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化;
3.理解和掌握对数的性质,会求简单的对数值.
【学法指导】
通过实例了解对数的概念,通过指数式与对数式的相互转化感受数学变换的思想方法,感知事物都是相互联系的辩证唯物主义的思想.
填一填：知识要点、记下疑难点
1.对数的概念
在指数函数f(x)＝a x (a ＞0,且a≠1)中,对于实数集R 内的每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R 内都有 唯一确定 的值x 和它对应. 幂指数x ,又叫做以a 为底y 的对数.一般地,对于指数式a b ＝N,我们把“以a 为底N 的对数b”记作 log a N ,即b ＝log a N(a>0,a≠1).其中,数a 叫做对数的 底数 ,N 叫做 真数 ,读作“b 等于以a 为底N 2.对数log a N(a>0,且a≠1)的性质
(1) 0和负数 没有对数,即N>0;
(2)1的对数为0,即 log a 1＝0 ;
(3)底的对数等于即 log a a ＝1 .
3.常用对数
以10为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数log 10N 简记作 lg N .
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么,“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题.
探究点一 对数的概念
问题1 若24＝M,则M 等于多少？若2－2＝N,则N 等于多少？
答： M ＝16,N ＝14
. 问题2 若2x ＝16,则x 等于多少？若2x ＝14
,则x 等于多少？ 答： x 的值分别为4,－2.
问题3 满足2x ＝3的x 的值,我们用log 23表示,即x ＝log 23,并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x ＝16,2x ＝14
,4x ＝8的x 的值如何表示？
答： 分别表示为log 216,log 214
,log 48. 小结： 在指数函数f(x)＝a x (a ＞0,且a≠1)中,对于实数集R 内的每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y,在R 内都有唯一确定的值x 和它对应.幂指数x,又叫做以a 为底y 的对数.一般地,对于指数式a b ＝N,我们把“以a 为底N 的对数b”记作log a N,即b ＝log a N(a>0,a≠1).其中,数a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以a 为底N 的对数”.
探究点二 对数与指数的关系
问题1 当a>0,且a≠1时,若a x ＝N,则x ＝log a N,反之成立吗？为什么？
答：反之也成立,因为对数表达式x ＝log a N 不过是指数式a x ＝N 的另一种表达形式,它们是同一关系的两种表达形式. 问题2 在指数式a x ＝N 和对数式x ＝log a N 中,a,x,N 各自的地位有什么不同？
问题3 若a ＝N,则b ＝log a N,二者组合可得什么等式？
答：对数恒等式:a ＝N.
问题4 当a>0,且a≠1时,log a (－2),log a 0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？
答：不存在,因为log a (－2),log a 0对应的指数式分别为a x ＝－2,a x ＝0,x 的值不存在,由此能得到的结论是:0和负数没有对数.
问题5 根据对数定义,log a 1和log a a (a>0,a≠1)的值分别是多少？
答：log a 1＝0,log a a ＝1.∵对任意a>0且a≠1,都有a 0＝1, ∴化成对数式为log a 1＝0;
∵a 1＝a,∴化成对数式为log a a ＝1.
小结： 对数log a N (a>0,且a≠1)具有下列性质:
(1)0和负数没有对数,即N>0;
(2)1的对数为0,即log a 1＝0;
(3)底的对数等于1,即log a a ＝1.
例1 求log 22, log 21, log 216, log 212
. 解： 因为21＝2,所以log 22＝1;
因为20＝1,所以log 21＝0;
因为24＝16,所以log 216＝4;
因为2－1＝12,所以log 212
＝－1. 小结： log a N ＝x 与a x ＝N (a>0,且a≠1,N>0)是等价的,表示a,x,N 三者之间的同一种关系,可以利用其中两个量表示第三个量.因此,已知a,x,N 中的任意两个量,就能求出另一个量.
跟踪训练1 将下列指数式写成对数式:
(1)54＝625; (2)2－6＝164
; (3)3a ＝27; (4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解： (1)log 5625＝4; (2)log 2164＝－6; (3)log 327＝a; (4)log 13
5.73＝m. 例2 计算:(1)log 927; (2)log 4381; (3)log 354625.
解：(1)设x ＝log 927,则9x ＝27,32x ＝33,∴x ＝32
. (2)设x ＝log 4381,则⎝⎛⎭
⎫43x ＝81,3 ＝34,∴x ＝16. (3)令x ＝log 354625,∴⎝⎛⎭⎫354x ＝625,5 ＝54,∴x ＝3.
小结：要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.
跟踪训练2 求下列各式中的x 的值:
(1)log 64x ＝－23
; (2)log x 8＝6; (3)lg 100＝x. 解： (1)x ＝(64) －23＝(43) －23＝4－2＝116
. (2)x 6＝8,所以x ＝(x 6) 16＝816＝(23) 16＝212
＝ 2. (3)10x ＝100＝102,于是x ＝2.
探究点三 常用对数
问题 阅读教材96页下半页,说出什么叫常用对数？常用对数如何表示？
答：以10为底的对数叫做常用对数.通常把底10略去不写,并把“log”写成“lg”,并把log 10N 记做lg N.如果以后没有指出对数的底,都是指常用对数.如“100的对数是2”就是“100的常用对数是2”.
例3 求lg 10,lg 100,lg 0.01.
解：因为101＝10,所以lg 10＝1;
因为102＝100,所以lg 100＝2;
因为10－2＝0.01,所以lg 0.01＝－2.
小结：由本例题可以看出,对于常用对数,当真数为10n (n ∈Z)时,lg 10n ＝n;当真数不是10的整数次方时,常用对数的值可通过查对数表或使用科学计算器求得.
跟踪训练3 求下列各式中的x 的值:
(1)log 2(log 5x)＝0;
(2)log 3(lg x)＝1;
(3)log (2－1)13＋22
＝x. 解： (1)∵log 2(log 5x)＝0. ∴log 5x ＝20＝1,∴x ＝51＝5.
(2)∵log 3(lg x)＝1,∴lg x ＝31＝3, ∴x ＝103＝1 000.
(3)∵log (2－1)13＋22
＝x, ∴(2－1)x ＝13＋22＝12＋12＝12＋1＝2－1, ∴x ＝1.
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.若log (x ＋1)(x ＋1)＝1,则x 的取值范围是 ( B )
A.x>－1
B.x>－1且x≠0
C.x≠0
D.x ∈R
解析：由对数函数的定义可知x ＋1≠1，x ＋1>0即x>－1且x≠0.
2.已知log 12x ＝3,则x 13＝__12
______. 解析：∵log 12
x ＝3, ∴x ＝(12
)3, ∴x 13 ＝12
. 3.已知a 12＝49(a>0),则log 23
a ＝__4______. 解析：由a 12＝49(a>0),得a ＝(49)2＝(23
)4, 所以log 23a ＝log 23(23
)4＝4. 4.将下列对数式写成指数式:
(1)log 16＝－4;(2)log 2128＝7;(3)lg 0.01＝－2.
解：(1)⎝⎛⎭
⎫12－4＝16;(2)27＝128; (3)10－2＝0.01. 课堂小结：
1.掌握指数式与对数式的互化a b ＝N ⇔log a N ＝b.
2.对数的常用性质有:负数和0没有对数,log a 1＝0,log a a ＝1.
3.对数恒等式有:a log a N
＝N,log a a n ＝n.
4.常用对数:底数为10的对数称为常用对数,记为lg N.。