安徽省中考数学总复习 第一轮 中考考点系统复习 第六单元 圆 第21讲 圆的基本性质试题
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。
这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。
2）直径长度等于半径长度的2倍。
，读作圆弧弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
以A、B为端点的弧记作ABAB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用考点5：圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
安徽省2023中考数学第一部分中考考点过关第六章圆课件1
考点帮 圆内接四边形的概念和定理
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
一个四边形的四个顶点都在同
一个圆上,这个四边形叫做圆的 概念
内接四边形,这个圆叫做这个四
定理
边形的外接圆.
圆内接四边形的对角⑯ 互补 ,且任何一个外角都等于它的⑰
. 内对角
∠A+∠BCD=⑱ 180° ,
∠B+∠D=⑲ 180° , ∠DCE=
例1
思路分析 由等弧所对的圆心角相等可得∠COD的度数,从而可知
∠BOC的度数,根据圆周角定理即可得到∠BPC的度数.
解析
B
∵
,∠AOB=40°,∴∠COD=∠AOB=40°.
∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°,∴∠BOC=100°,
∴∠BPC= ∠BOC=50°.故选B.
方法帮 命题角度 2 垂径分弦⑳.∠APART 02
方法帮
方法帮 命题角度 1 圆周角定理及其推论
例1
(直观想象、逻辑推理)[2019广西贵港]如图,AD是☉O的直径,
,连
接OB,OC,PB,PC,若∠AOB=40°,则圆周角∠BPC的度数是
( B)
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
方法帮 命题角度 1 圆周角定理及其推论
顶点在⑥ 圆心 的角叫做圆心角,如∠AOB.
圆周角 顶点在圆上,并且⑦ 两边 都与圆还有另一个交点的角叫做圆周角,如∠ACB.
考点帮
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
与圆有关的概念
3.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 4.圆的对称性 (1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,对称轴是圆所在的平面内任意一条过圆 心的直线.
中考数学总复习 第一部分 教材考点全解 第六章 圆 第21讲 圆的基础知识课件
【答案】 D
12/9/2021
第二十三页，共三十八页。
有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径( 半径)，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的，圆 的半径 r、弦的长度 l、圆心到弦的距离(弧心距)d 三者之间的 关系是(12l)2＋d2＝r2.
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2．圆的有关概念 (1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于
半圆的弧叫做___优_弧__(_yō_u，hú)小于半圆的弧叫做_劣__弧__(l_ièh. ú) (2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过_圆__心__(y_u的ánxīn)
弦叫做直径． (3)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，
12/9/2021
第九页，共三十八页。
2．垂径定理(选学内容)：垂直于弦的直径平分这条弦，并且
平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧． 3．圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果__圆__心_角__、_弧__、__弦____中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
每一条弧都叫做半圆．
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(4)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中， ____能_够__(_né_n_gg_ò_u)的重合弧叫做等弧．
(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． (6)圆周角：顶点在圆上，并且__两__边__(_liǎ_n_gb都iān与) 圆相交的角 叫做圆周角． 3．确定圆的条件：不__在_同__一__(t_ón_g_yī_)直__线_的上 三个点确定一个圆．
安徽省中考数学总复习第一轮中考考点系统复习第六单元圆第21讲圆的基本性质试题
15．（2016·聊城)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，F 是错误!上一点，且错误!＝错误!,连接 CF
并延长交 AD 的延长线于点 E,连接 AC.若∠ABC＝105°,∠BAC＝25°,则∠E 的度数为
（B）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
16．（2016·濉溪县模拟 )如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝8,BC＝10,AC＝6,D 是弧 AB 的中点，
45°.若点 M，N 分别是 AB，BC 的中点，则 MN 长的最大值是 3错误!．
提示：当 AC 为直径时，MN＝错误!AC 最大． 18．（2016·聊城)如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O,交斜边 AC 于点 D,点 E 为 OB 的中点，连接 CE 并延长交⊙O 于点 F，点 F 恰好落在错误!的中点，连接 AF 并延长与 CB 的延 长线相 交于点 G，连接 OF. （1）求证:OF＝错误!BG； (2）若 AB＝4，求 DC 的长．
连接 CD 交 AB 于点 E，则 DE∶CE 等于（ B ）
A．2∶5
B．1∶3
C．2∶7
D．1∶4
提示：连接 DO，交 AB 于点 F，利用垂径定理的推论得出 DO⊥AB，AF＝BF，进而求出 DF 的长,
再由△DEF∽△CEA，即可求出 DE∶CE。
17．（2016·繁昌模拟)如图，AB 是⊙O 的弦,AB＝6，点 C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝
13．（2016·利辛中疃模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(10，0)，点 B 的坐 标为（8，0），点 C，D 在以 OA 为直径的半圆 M 上，且四边形 OCDB 是平行四边形．求点 C 的 坐标．
安徽中考数学复习知识系统课件：第六章圆
5.切线长定理.
PA=PB , ∠APO=∠BPO .
______p_r_____
图1
2.直角三角形的内切圆(如图2)
设AB=c,BC=a,AC=b,∠C=90°,内切圆半径为r,则r=
题图
【分析】仔细分析题意,寻找问题的解决方案. 极据题意,可知点C应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两 条公路夹角的平分线上,所以点C应是它们的交点.即到城镇A、B距离相等的 点在线段AB的垂直平分线上,到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的 角平分线上,因此分别作出垂直平分线与角平分线,它们的交点即为所求作的 点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条,因此点C有2个.
.
【解】(1)4π
(2)15
(3)6π
扇形面积
(2013·朝阳)如图,AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷,如果AO=65 cm,CO=
15 cm,当AC绕点O旋转90°时,则刮雨刷AC扫过的面积为
cm2.
【分析】根据旋转的性质可以判断△ACO≌△A'C'O,∴S阴影= S扇形AA'O-S扇形CC'O=×(652-152)=1 000π cm2.
或S扇形=
.
知识点2:圆锥的侧面积和全面积
1.圆柱的侧面展开图是 矩形 ,这个矩形的长等于圆柱的_底__面__周__长___ C,宽是圆柱的 高 l,如果圆柱的底面半径是r,则S圆柱侧=Cl=2πrl. (如图1)
2.圆锥的侧面展开图是 扇形 ,这个扇形的 弧长 等于圆锥的底面周长C, 扇形半径 等于圆锥的母线长l.若圆锥的底面半径为r,这个扇形的圆心角为α,
安徽省中考数学决胜一轮复习第章圆第节圆的基本性质
由以上可以预测2019年的中考，也会延续近五年的中考，考一个带 有综合性的选择题或填空题，难度在中等左右，尤其可能延续近两年的 中考，考一个有关“圆的基本性质”的解答题，会是一个综合性的题 目，难度中等．
基础知识梳理
●考点一 圆的有关概念及性质
1．圆的有关概念 (1)圆：圆是到定点的距离等于_定__长___的点的集合；这个定点叫做圆 心，这 个定长 叫做半 径；圆 心确定 了圆的 _位__置___ ，半径确定 了圆的 _大__小___； (2)弧：圆上两点间的部分叫做__弧____；小于半圆的弧叫做_劣__弧___， 大于半圆的弧叫做_优__弧___；
为
(C)
A．50°
B．60°
C．80°
D．85°
3．(2018·临沂)如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将
10 3 △ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是___3___cm.
4．(原创)如图，量角器边缘上有 P，Q 两点，它们表示的读数分别
为 60°，30°，已知直径 AB＝4 3，连接 PB 交 OQ 于 M，则 QM 的长为 __2___3_－__3__.
选择
4
圆周角定理与平行四边形的判定、平行 2017 线 的 性 质 、 全 等 三 角 形 的 判 定 、 圆 心 解答 10
角、弧、弦、弦心距四者关系的综合
2018 尺规作图、垂径定理、勾股定理的综合 解答 10
难度星级 ★★★★
★★★ ★★★★
★★★ ★★★
说明：由以上分析可以看出，安徽的中考，每年都会考一个有关 “圆的基本性质”知识的题目，有时是选择题或填空题，有时是解答 题，不论是何种题型，都会是综合性较强的题目，这也是与圆这部分知 识的特性所决定的，有的题目可能会综合几何中的几乎所有重要的知识 点，尤其是近四年都是考的有关“圆的基本性质”的解答题，综合了垂 径定理、勾股定理、圆周角定理及相似三角形、解直角三角形的有关知 识．
安徽省2020届中考数学大一轮复习课件 第六章 圆(共50张PPT)
例2
提分技法
[2019宁夏]如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB,垂足为点C,将劣弧AB沿直线AB折
叠交OC于点D,已知点D为OC的中点,若AB=2,则☉O的半径为
.
思路分析 连接OA,设☉O的半径为x.根据已知条件,用含x的式子表示出OC 的长,在Rt△ACO中,利用勾股定理列方程求解即可.
15
方法帮 命题角度 2 垂径分弦
3
考点帮 与圆有关的概念
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
1.圆的定义 如图,在平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,则另一个端点A所形成 的封闭曲线叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA的长为r,叫做半径.以点O为 圆心的圆,记作“☉O”,读作“圆O”. 注:圆也可以看成到定点的距离等于定长的点的集合.
1.因为直径是线段,而对称轴是直线,所以不能说 “圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是 直径所在的直线”或“圆的对称轴是经过圆心的 每一条直线”. 2.圆的对称轴有无数条.
(2)圆的旋转对称性:圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度,都能与自 身重合,旋转中心为圆心,圆的这种性质叫做圆的旋转不变性. (3)圆的中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
,相等的
9
考点帮 圆周角定理及其推论
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
根据圆周角定理的推论,涉及直径时,可构造直径所对 的圆周角是直角来进行证明或计算.
如图,四边形ACBD内接于☉O,且☉O的半径为R.若 AB=R,求弦AB所对的圆周角. 解:连接OA,OB. ∵OA=OB=AB=R, ∴△OAB为等边三角形, ∴∠AOB=60°, ∴∠ACB= ∠AOB=30°, ∴∠ADB=180°-∠ACB=150°, ∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°. 注:在圆中,一条弦所对的圆周角有两种情况,且这 两种情况的圆周角互补.
中考数学总复习 第一板块 基础知识过关 第21课时 与圆有关的位置关系课件
三角形的内切圆
【例5】 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC的内切圆半径
r=
.
命题点5
解析:如图,在Rt△ABC中,
AB= 2 + 2 = 62 + 82 =10.
1
1
∵S△ACB= AC·BC= ×6×8=24,
2
2△
∴r=++
2
=
48
=2.
(bànjìng)画圆,则☉O与直线AB的位置关系是(
A.相交
B.相切 C.相离
D.不能确定
答案:A
第八页，共二十四页。
)
基础自主导学
考点梳理
(shūlǐ)
自主(zìzhǔ)
测试
4.如图,正三角形的内切圆半径(bànjìng)为1,则这个正三角形的边长
为
.
答案:2 3
第九页，共二十四页。
命题
命题
cm,∠ACD=30°,那么AC=
cm.
图①
图②
第十五页，共二十四页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
命题点5
解析:(1)由于△OAB为等腰三角形,要求∠AOB,即需求∠OAB.因为PA是
☉O的切线,所以∠OAB+∠PAB=90°,所以∠OAB=90°-30°=60°,所以
第21课时
(kèshí)
与圆有关的位置关
系
第一页，共二十四页。
基础自主导学
考点(kǎo
diǎn)梳理
自主(zìzhǔ)
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第六单元 圆
1．(2016·重庆模拟)如图，点A ，点B ，点C 均在⊙O 上，若∠B＝40°，则∠AOC 的度数为( C ) A ．40° B ．60° C ．80° D ．90°
2．(2016·娄底)如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠CAB 的度数为( C ) A ．20° B ．40° C ．50° D ．70°
3．(2016·济宁)如图，在圆O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( C ) A ．40° B ．30° C ．20° D ．15°
4．(2015·玉林)如图，在⊙O 中，直径CD⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( B ) A ．AC ＝AB B ．∠C ＝1
2∠BOD
C ．∠C ＝∠B
D ．∠A ＝∠BOD
5．(2016·毕节)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B＝(C ) A ．100° B ．72° C ．64° D ．36°
6．(2016·安徽模拟)被誉为“中国画里乡村”的黄山宏村，村头有一座美丽的圆弧形石拱桥(如图)，已知桥拱的顶部C 距水面的距离CD 为2.7 m ，桥弧所在的圆的半径OC 为1.5 m ，则水面AB 的宽度是( A )
A ．1.8 m
B ．1.6 m
C ．1.2 m
D ．0.9 m
7．(2016·陕西)如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC ，若∠BAC 和∠BOC 互补，则弦BC 的长度为( B )
A ．3 3
B ．4 3
C ．5 3
D ．6 3
8．(2016·合肥十校联考)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AMB ︵
上一点，则∠APB 的度数为( D )
A ．45°
B ．30°
C ．75°
D ．60°
9．(2016·岳阳)如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝70度．
10．(2016·长沙)如图，在⊙O 中，弦AB ＝6，圆心O 到AB 的距离OC ＝2，则⊙O
11．(2016·濉溪县一模)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A ＝50°，∠B ＝30°，则∠ADC 的度数为110°．
12．(2016·枣庄)如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tanD
13．(2016·利辛中疃模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(10，0)，点B 的坐标为(8，0)，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形．求点C 的坐标．
解：过点M 作MF⊥CD 于点F ，过点C 作CE⊥x 轴于点E ，连接CM. 在Rt △CMF 中，CF ＝12CD ＝1
2
OB ＝4，
CM ＝12OA ＝5，∴MF ＝CM 2－CF 2
＝3.∴CE＝MF ＝3.
又EM ＝CF ＝4，OM ＝1
2
OA ＝5，
∴OE ＝OM －EM ＝1. ∴C(1，3)．
14．(2016·阜阳二模)如图，BD 是⊙O 的直径，A ，C 是⊙O 上的两点，且AB ＝AC ，AD 与BC 的延长线交于点E. (1)求证：△ABD∽△AEB；
(2)若AD ＝1，DE ＝3，求⊙O 半径的长．
解：(1)证明：∵AB＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵
， ∴∠ABC ＝∠ADB.
又∵∠BAE ＝∠DAB，∴△ABD ∽△AEB. (2)∵△ABD∽△AEB，∴AB AE ＝AD
AB
.
∴AB 2
＝AD·AE.
∵AD ＝1，DE ＝3，∴AE ＝4.
∴AB 2
＝AD·AE＝1×4＝4.∴AB＝2. ∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DAB ＝90°.
在Rt △ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2＝22＋12
＝5， ∴BD ＝ 5. ∴⊙O 的半径为
52
.
15．(2016·聊城)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵
，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( B )
A ．45°
B ．50°
C ．55°
D ．60°
16．(2016·濉溪县模拟)如图，△ABC 内接于⊙O，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，D 是弧AB 的中点，连接CD 交AB 于点E ，则DE∶CE 等于( B )
A ．2∶5
B ．1∶3
C ．2∶7
D ．1∶4
提示：连接DO ，交AB 于点F ，利用垂径定理的推论得出DO⊥AB，AF ＝BF ，进而求出DF 的长，再由△DEF∽△CEA，即可求出DE∶CE.
17．(2016·繁昌模拟)如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝6，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M ，N 分别是
AB ，BC 的中点，则MN 长的最大值是
提示：当AC 为直径时，MN ＝1
2
AC 最大．
18．(2016·聊城)如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O，交斜边AC 于点D ，点E 为OB 的中点，连接CE 并延长交⊙O 于点F ，点F 恰好落在AB ︵
的中点，连接AF 并延长与CB 的延长线相交于点G ，连接OF. (1)求证：OF ＝1
2BG ；
(2)若AB ＝4，求DC 的长．
解：(1)证明：∵以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O，点F 恰好落在AB ︵
的中点， ∴AF ︵＝BF ︵.
∴∠AOF ＝∠BOF＝90°.
∵∠ABC ＝∠ABG＝90°，∴∠AOF ＝∠ABG. ∴FO ∥BG.
又∵AO＝BO ，∴FO 是△ABG 的中位线． ∴OF ＝12
BG.
(2)在△F OE 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠FOE＝∠CBE，OE ＝BE ，∠OEF ＝∠BEC，
∴△FOE ≌△CBE(ASA)． ∴BC ＝FO ＝1
2
AB ＝2.
∴AC ＝AB 2
＋BC 2
＝2 5. 连接DB.
∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°. ∴∠ADB ＝∠ABC.
又∵∠BCD＝∠ACB，∴△BCD ∽△ACB. ∴BC AC ＝CD BC ，即225＝DC 2
.解得DC ＝255.
19．(2016·烟台)如图，Rt △ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与0刻度线的一端重合，∠ABC ＝40°，射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点D ，若射线CD 将△ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形，
A．40° B．70° C．70°或80° D．80°或140°。