创新设计(浙江专用)2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第3讲函数的奇偶性与周期性课件

3 1 ＝f － ， 2 2
又∵当－1≤x<0 时，f(x)＝－4x2＋2， ∴f
3 1 12 ＝f － ＝－4×－ ＋2＝1. 2 2 2
答案 1
5.(2014· 全国Ⅱ卷)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称， f(3)＝3，则f(－1)＝________. 解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1).
第 3讲
函数的奇偶性与周期性
最新考纲
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运
用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、 最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
知识梳理 1.函数的x)的定义域内任意一个x， 关于____
又f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(1)＝f(3).∴f(－1)＝3. 答案 3
6.(2017· 湖州调研)设 a>0 且 a≠1，函数
x＋1 a －2，x≤0， f(x)＝ 为 g（x），x>0
奇函数，则 a＝________，g(f(2))＝________.
解析 ∵f(x)是 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0， 即 a0 1－2＝0， ∴a＝2；
f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 称 都有__________ 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，
f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 奇函数 都有______________ 函数
原点 关于______
对称
2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y 当 x 取定义域内的任何值时，都有 ___________ ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. 存在一个最小 (2) 最小正周期：如果在周期函数 f(x) 的所有周期中____________ 最小正周期. 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的____
规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充 分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关 系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否 成立.
lg（1－x2） ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝ . －x lg[1－（－x）2] lg（1－x2） 又∵f(－x)＝ ＝－ ＝－f(x)， x x ∴函数 f(x)为奇函数.
(3)显然函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 关于原点对称.∵当 x<0 时，－x>0， 则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当 x>0 时，－x<0， 则 f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意 x， 总有 f(－x)＝－f(x)成立，∴函数 f(x)为奇函数.
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数 y＝x2 在 x∈(0，＋∞)时是偶函数.( (2)若函数 f(x)为奇函数，则一定有 f(0)＝0.( ) )
(3)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x ＝a 对称.( )
(4)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b， 0)中心对称.( )
解析
(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，
＋∞)上不是偶函数，(1)错. (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时 才满足f(0)＝0，(2)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(2017· 西安铁中月考)下列函数为奇函数的是( A.y＝ x C.y＝cos x B.y＝ex D.y＝ex－e－x
2 2.
2 答案 2 2－ 2
考点一
函数奇偶性的判断
【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3； lg（1－x2） (2)f(x)＝ ； |x－2|－2
2 x ＋x，x<0， (3)f(x)＝ 2 －x ＋x，x>0.
解
2 3－x ≥0， (1)由 2 得 x － 3 ≥ 0 ，
)
解析 A，B中显然为非奇非偶函数；C中y＝cos x为偶函数.
D中函数定义域为R，又f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)， ∴y＝ex－e－x为奇函数. 答案 D
3.已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那 么 a＋b 的值是( 1 A.－3
解析
) 1 B.3 1 C.2 1 D.－2
x2＝3，解得 x＝± 3，即函数 f(x)的定
义域为{－ 3， 3}，从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0.因此 f(－x) ＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数.
2 1－x >0， (2)由 得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称. |x－2|≠2，
＋
当 x>0 时， －x<0， f(x)＝－f(－x)＝－(2－x＋1－2)＝2－2－x＋1， 即 g(x)
x＋1 2 －2，x≤0， 1 3 －x＋1 －2＋1 ＝2－2 ， ∴f(x)＝ f(2)＝2－2 ＝2－2＝2>0， －x＋1 2 － 2 ， x >0 ， 3 1 3 － ＋1 － ∴g(f(2))＝g2＝2－2 2 ＝2－2 2＝2－
1 依题意 b＝0，且 2a＝－(a－1)，∴a＝ ， 3
1 则 a＋b＝3.
答案 B
4.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数， 当 x∈[－1， 1)时， f(x)
2 －4x ＋2，－1≤x<0， ＝ 则 x，0≤x<1，
f
3 ＝________. 2
解析 ∵f(x)的周期为 2，∴f