2017年春季学期苏教版高中数学必修5：第9课时 等比数列的概念和通项公式
等比数列的定义和通项公式
练一练
1、指出下列数列是不是等比数列，若是， 指出下列数列是不是等比数列，若是， 说明公比；若不是，说出理由． 说明公比；若不是，说出理由． (1) １,2, 4, 16, 64, … (2)1, 9,… (2)1, 3, 9, 1, 3,9,… )1 (3) 2, -2, 2, -2, 2 (4) b, b, b, b, b, b, b, … 不是 不是 是 不一定
小结： 小结：填写下表
数 定 列 义 等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d an= a1+(n-1)d 等 比 数 列
an+1
an
=q
公差（比） 公差（ 定义变形 通项公式
q叫公比 叫 an+1=an q an=a1qn-1
an n−m an − am 一般形式 an=am+(n-m)d d = an=amqn-m q = a n− m m
an = a1 ⋅ q 对应点坐标为(n, an )
n −1
a1 n 等比数列 an}通项公式可整理为：an == ， { q q a1 x 它的图象是函数y = 的图象上的孤立点 q . q
=
课堂练习
1.已已等比数列 an }：(1) a1 能不能是零？ 不能 ； 已已等比数列{ 能不能是零？ 已已等比数列 ： (2)公比 能不能是零？ 不能；(3)公比 能不能是 ？ 公比q能不能是零 公比q能不能是 能 公比 能不能是零？ 公比 能不能是1？ 2.用下列方法表示的数列中能确定 用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ . 已已a ， ①已已 1=2，an=3an+1； ②1，2，4，……；× ， ， ， ； √ ③a，a，a，……，a； × ④1，-1，1，……，(-1)n+1√ ， ， ， ， ； ， ， ， ， ； ⑤sin1，sin2，sin4，sin8，……，sin2n-1； ， ， ， ， ， × ⑥2a，2a，2a，……，2a √ ， 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？ 什么样的数列既是等差数列又是等比数列？ 什么样的数列既是等差数列又是等比数列 非零的 常数列
等比数列的概念及通项公式
3、已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的 积为64，求这三个数。 2,4,8 或8,4,2
4、正项等比数列{an},公比q=2，且a1a2a3…a18=230, 则a3a6a9…a18=__________ 。 216
例题分析
例:（2006全国卷I）已知{an}为等比数 列，公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等 比 数列 {an}的通项公式
练
习
Байду номын сангаас
1、已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ A ） A.5 B.10 C.15 D.20
log3 (a1a2 a3 a11 )
3
1
3
2
3
3
3
11
11
log a log 3
11 3 6 11 3
∵a1a11 = a62=9且an>0
∴a6=3
形成性训练
1、在等比数列{an}中，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比 q的值为________ 2、 2与8的等比中项为G，则G的值为_______ 3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________ 4、在等比数列中a7=6，a10=9，那么a4=_________.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？
苏教版高中数学必修五知识讲解_等比数列_提高
等比数列 ： ：【学习目标】1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念；掌握等比数列的通项公式及推导；2.掌握等比数列的性质，会用它们灵活解决有关等比数列的问题；3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等比数列与指数函数的关系.【要点梳理】要点一：等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0q ≠），即：1(0)n na q q a +=≠. 要点诠释：①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 可不能是0；②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q ”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；③隐含条件：任一项0n a ≠且0q ≠；“0n a ≠”是数列{}n a 成等比数列的必要非充分条件； ④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。
不为0的常数列是公比为1的等比数列； ⑤证明一个数列为等比数列，其依据*1(0)n na q n N q a +=∈≠，.利用这种形式来判定，就便于操作了. 要点二：等比中项如果三个数a 、G 、b 成等比数列，那么称数G 为a 与b 的等比中项.其中G = 要点诠释：①只有当a 与b 同号即0ab >时，a 与b 才有等比中项，且a 与b 有两个互为相反数的等比中项. 当a 与b 异号或有一个为零即0ab ≤时，a 与b 没有等比中项。
②任意两个实数a 与b 都有等差中项，且当a 与b 确定时，等差中项2a bc +=唯一. 但任意两个实数a 与b 不一定有等比中项，且当a 与b 有等比中项时，等比中项不唯一。
③当0ab >时，a 、G 、b成等比数列2G bG ab G a G⇔=⇔=⇔= ④2G ab =是a 、G 、b 成等比数列的必要不充分条件。
高中数学等比数列知识点总结
《高中数学等比数列知识点总结》在高中数学的学习中，等比数列是一个重要的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为其他学科的学习提供了重要的数学工具。
本文将对高中数学等比数列的知识点进行全面总结。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如：数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，公比 q= 2。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为\(a_n = a_1q^{n - 1}\)，其中\(a_n\)表示数列的第 n 项，\(a_1\)表示数列的首项，q 表示公比。
1. 推导过程- 设等比数列\(\{ a_{n}\}\)的首项为\(a_1\)，公比为 q。
- 则\(a_{2}=a_{1}q\)，\(a_{3}=a_{2}q = a_{1}q^{2}\)，\(a_{4}=a_{3}q = a_{1}q^{3}\)……- 由此可归纳出等比数列的通项公式\(a_n = a_1q^{n -1}\)。
2. 通项公式的应用- 已知等比数列的首项和公比，可以求出数列的任意一项。
- 已知等比数列的任意两项，可以求出公比和其他项。
三、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
1. 等比中项的性质- \(G^{2}=ab\)。
- 若\(a\)，\(b\)同号，则等比中项有两个，且互为相反数。
2. 应用举例- 已知两个数的积和其中一个数，可以求出另一个数的等比中项。
四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式为\(S_{n}=\begin{cases}na_{1},(q = 1)\\\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1- q},(q\neq1)\end{cases}\)。
等比数列的通项与公式
等比数列的通项与公式等比数列是数学中的一种重要数列，它的通项与公式在数学中有着广泛的应用和意义。
在等比数列中，每一项与前一项的比值都相同，这个比值称为公比。
一、等比数列的定义与性质等比数列是指数列中的每一项与它前面的一项的比值相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则它的通项可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ为第n项，n为项数。
1. 公比的定义与性质在等比数列中，公比q是等于相邻两项的比值，即 q = aₙ / a(n-1)。
2. 通项的推导与性质通过观察等比数列中相邻两项的比值，可以得到通项的推导公式。
假设第n项为aₙ，前一项为a(n-1)，则有：q = aₙ / a(n-1) （1）根据等比数列的定义，还可以得到：aₙ = a(n-1) * q （2）将（2）式代入（1）式中，可以得到：q = (a(n-1) * q) / a(n-1)整理得到通项的公式：aₙ = a(n-1) * q^(n-1)二、等比数列的应用举例等比数列在数学中有着广泛的应用。
下面将通过一些具体例子来展示等比数列的应用。
1. 计算等比数列前n项的和对于等比数列，我们常常需要计算前n项的和。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项的和为Sₙ，则有以下公式：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)这个公式可以帮助我们快速计算等比数列前n项的和。
2. 物质的倍增在一些自然和社会领域中，存在着物质的倍增问题。
比如，细菌的繁殖、人口增长等都可以看作是等比数列的应用。
在这些问题中，公比q常常表示倍增的比例。
三、等比数列的举例与求解下面通过一些具体的例子来展示等比数列的应用与求解过程。
例1：已知等比数列的首项为2，公比为3，求第6项的值。
根据等比数列的通项公式可以得到：a₆ = a₁ * q^(6-1) = 2 * 3^(6-1) = 2 * 3^5 = 2 * 243 = 486所以第6项的值为486。
等比数列通项
等比数列通项首先，我们需要了解等比数列的概念和性质。
等比数列是指一个数列中的每一个元素都是前一个元素乘以同一个固定比例得到的。
通项公式是等比数列中求任意一项的公式，它可以用来计算数列中第n项的具体数值。
接下来，我们将详细探讨等比数列的通项公式及一些相关的问题。
一、等比数列的定义与性质等比数列由首项a和公比r决定，记作{a, ar, ar^2, ar^3, ...}。
其中，a为首项，r为公比。
等比数列的性质如下：1. 普通项：第n项为a * r^(n-1)。
2. 通项公式：第n项为a * r^(n-1)。
3. 前n项和：前n项和Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。
4. 通项和比：第n项与第m项的比值为r^(n-m)。
5. 等比中项：若a、b、c三项成等比数列，则b为a和c的等比中项，即b^2 = ac。
6. 倒数数列：若数列{a, ar, ar^2, ...}是等比数列，且a ≠ 0，则其倒数数列{1/a, 1/(ar), 1/(ar^2), ...}亦为等比数列。
二、等比数列的通项公式在等比数列中，我们可以使用通项公式计算任意项的数值。
通项公式为an = a * r^(n-1)，其中a为首项，r为公比，n为项数。
例如，对于等比数列{3, 6, 12, 24, ...}，首项a = 3，公比r = 2。
我们可以使用通项公式an = 3 * 2^(n-1)计算数列的任意一项。
三、等比数列的应用等比数列在实际生活中有广泛的应用，尤其在金融、工程等领域中发挥重要作用。
1. 财务管理在复利计算中，等比数列的应用尤为突出。
以存款为例，若每年存款金额与前一年相比都是等比数列增长，则可以使用等比数列的通项公式计算任意年份的存款金额。
2. 工程规划在工程规划中，等比数列常用于计算连续变化的系列数值。
例如，如果一座桥每年的承重能力都以等比数列的方式递增，我们可以使用等比数列的通项公式计算任意年份桥梁的承重能力。
等比数列的概念和通项公式 课件
所以a2－b2 a1＝－22＝－1.
[答案] －1
[误区] 忽视等比数列中 b2 与－4 同号而出现 b2＝2 或 b2＝±2 的错误． [防范措施] 1．注意等比数列中三种常见隐含条件的挖掘 (1)定义中隐含等比数列中每一项和公比都不为 0. (2)若两个数有等比中项，则这两个数同号． (3)若公比为正数，则每一项同号，若公比为负数，则所有奇数项的 符号相同，所有偶数项的符号相同．如本例中，无论公比是正数还是 负数，b2 与－4 一定同号．
等比数列的概念和通项公式
1．等比数列
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 文字 前一项的 比 等于同一个常数，那么这个数列就叫 语言 作等比数列，这个常数叫作等比数列的 公比 ，公
比通常用字母 q 表示(q≠0)．
数学 符号
在数列{an}中，如果aan－n 1＝q(n≥2， n∈N*)或aan＋n 1＝qn∈N*(q≠0)成立，则称数列{an}为
等比数列，常数 q 称为等比数列的公比．
递推 an＝an－1·q(q≠0，n∈N*，n≥2)或 an＋1＝an·q(n∈N*，
关系 q≠0)
2.通项公式 等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则通项公式为 an＝ a1qn－1 (a1≠0， q≠0)． 3．等比中项 如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫作 a 与 b 的等比中项．
与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基 本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公 式，an＝a1·qn－1(a1q≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求 得另一个量．求解时，要注意应用 q≠0 验证求得的结果．
1．在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
高中数学(苏教版)必修5精品教学案全集：数列 第9课等比数列的概念和通项公式(学生版)
2.3等比数列第1课时【学习导航】知识网络学习要求1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念；2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法；3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.【自学评价】1．等比数列：一般地，如果一个数列从__________，每一项与它的前一项的比等于________，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的_____；公比通常用字母q表示（q≠0），即：1-nnaa=q（q≠0）注:⑴“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ,｛na｝成等比数列⇔nnaa1+=q（+∈Nn,q ≠0）⑵隐含：任一项00≠≠qan且⑶______________时，{a n}为常数列.2.等比数列的通项公式：⑴______________________⑵1(0)n mn ma a q a q-=⋅⋅≠3．既是等差又是等比数列的数列：_______．4.等比中项的定义：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.且2G ac= 5．证明数列{}n a为等比数列：⑴定义：证明1nnaa+=常数；⑵中项性质：212121n nn n nn na aa a aa a+++++==g或；【精典范例】听课随笔【例1】判断下列数列是否为等比数列：（１）１，１，１，１，１；（２）０，１，２，４，８；（３）1，21-，41，81-，161. 【解】【例2】求出下列等比数列中的未知项：（１）２，ａ，８； （２）－４，ｂ，ｃ，21． 【解】【例3】在等比数列{a n }中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ．【解】【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．【解】追踪训练一 1. 求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：（1）２，６，１８，５４，…；（2）7，314，928，;,2756Λ （3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…； （4）5，15+c ，125+c ，Λ,513+c .2. 数列m ,m ,m ,…m , ( )A. 一定是等比数列B.既是等差数列又是等比数列C.一定是等差数列，不一定是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列3.已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n +a n +1},{a n +1－a n }，{1+n n a a }na n 这四个数列中，是等比数列的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【选修延伸】【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数.【解】【例6】已知数列｛a n｝满足：lg a n＝3n＋5，试用定义证明｛a n｝是等比数列.【证明】na9·a10·a11的值等于( )n等于___ __.=___ ___.。
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第9课时 等比数列的概念和通
项公式
【分层训练】
1.在数列{}n a 中，对任意n N *
∈，都有
120n n a a +-=，则
12
34
22a a a a ++等于（ ）
A 14
B 13
C 1
2 D 1
2.{}n a 是公比为2的等比数列，且147a a a ++28100a += ,则
36930a a a a ++++ 等于（ ）
A 25
B 50
C 125
D 400 3.已知,,a b c 依次成等比数列，那么函数
()f x 2ax bx c =++的图象与x 轴的交点
的个数为（ ）
A 0
B 1
C 2
D 1或2 4. 若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，
236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 5.设23,26,212a b c ===，那么,,a b c
（ ）.
A 既是等差数列，又是等比数列
B 是等差数列，但不是等比数列
C 是等比数列，但不是等差数列
D 既不是等差数列，也不是等比数列 6.在等比数列{}n a 中，对任意n N *
∈，都有12n n n a a a ++=+，则公比q =____. 7.培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第五代大约可以得到这种新品种的种子________粒（保留两个有效数字）. 8.已知数列{}n a 是等比数列，
,,m n p N *
∈，
且,,m n p 成等差数列，求证：,,m n p a a a 依次成等比数列.
【拓展延伸】
9.有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数.
10.在数列{}n a 中，其前n 项和
322
n n n n
S -=，()n N *
∈,求证数列{}n a 是等比数列.。