圆锥曲线知识点梳理

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、圆：
1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.
2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2
+(y-b)2
=r 2
圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2
+y 2
=r 2
(2)一般方程：①当D 2
+E 2
-4F ＞0时，一元二次方程x 2
+y 2
+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2
,2(E
D --
半径是2
422F E D -+。

配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+
2D )2
+(y+2
E )2
=4
4F -E D 2
2+
②当D 2+E 2
-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2
E );
③当D 2
+E 2
-4F ＜0时，方程不表示任何图形.
（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2
020b)-(y a)-(x +。

（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交⇔有两个公共点；直线与圆相切⇔有
一个公共点；直线与圆相离⇔没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离2
2
B
A C Bb Aa d +++=
与半径r 的大
小关系来判定。

二、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。

其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。

当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线。

三、椭圆、双曲线、抛物线：
椭圆双曲线抛物线
定义1．到两定点F1,F2的距离之和为
定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为
定值e的点的轨迹.（0<e<1）
1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对
值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨
迹
2．与定点和直线的距离之比为定值e
的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的
轨迹.
轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜
=2a,｜F 1F2｜＜2a＝
点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.
=±2a,｜F2F2｜＞2a}.
点集{M｜｜MF｜=点M到直线l
的距离}.
图形
方程
标准
方程
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
(b
a>>0)1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
(a>0,b>0)px
y2
2=
范围─a?x?a，─b?y?b|x| ? a，y?R x?0
中心原点O（0，0）原点O（0，0）
顶点
(a,0), (─a,0), (0,b) ,
(0,─b)
(a,0), (─a,0)(0,0)
对称轴
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
x轴
焦点F1(c,0), F2(─c,0)F1(c,0), F2(─c,0))0,
2
(
p
F
准线
x=±
c
a2
准线垂直于长轴，且在椭圆外.
x=±
c
a2
准线垂直于实轴，且在两顶点的内
侧.
x=-
2
p
准线与焦点位于顶点两侧，且到
顶点的距离相等.
焦距2c （c=2
2b
a-）2c （c=2
2b
a+）
【备注1】双曲线：
⑶等轴双曲线：双曲线2
22a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=
e .
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-22
22b y a x 与λ
-=-2222b
y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
02
22
2=-
b
y a
x .
⑸共渐近线的双曲线系方程：
)0(2
22
2≠=-
λλb y a x 的渐近线方程为02
22
2=-b y a x 如果双曲线的渐近线为
0=±b
y
a x 时，它的双曲线方程可设为
)0(2
22
2≠=-
λλb
y a
x .
【备注2】抛物线： （1）抛物线
2y =2px(p>0)的焦点坐标是(
2
p ,0)，准线方程x=-
2
p ，开口向右；抛物线
2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(-
2
p ,0)，
准线方程x=
2
p ，开口向左；抛物线2
x =2py(p>0)的焦点坐标是(0,
2
p )，准线方程y=-
2
p ，开口向上；
抛物线2
x =-2py （p>0）的焦点坐标是（0,-
2
p ），准线方程y=
2
p
，开口向下.
（2）抛物线
2y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离2
0p x MF +
=；抛物线2
y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离
02
x p
MF -=
（3）设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为
2
p ，顶点到准线的距离
2
p ，焦点到准线的距离为
p.
（4）已知过抛物线
2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长
AB =21x x ++p 或
α
2sin 2p
AB =
(α为直线AB 的倾斜角)，2
21p y y -=，2
,41221p
x AF p x x +==(AF 叫做焦半径).
四、常用结论：
1.
椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1
，F
2
，点P 为椭圆上任意一点12
F PF γ
∠=，则椭圆的焦点三角形的面
积为1
2
2
tan
2
F PF
S b γ
∆=. 且
γ
cos 122
21+=
b PF PF
2.设P 点是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1
、F 2
为其焦点,记12F PF θ
∠=，则
(1)2
122||||1cos b PF PF θ
=
-.(2).2
cot
22
1θ
b S F
PF =∆
3.)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22
≠=p py x 则焦点半径为2
P y PF +=.
4. 通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.。