2019年高考数学一轮复习(北师大版文科) 单元评估检测1 文 北师大版
【K12教育学习资料】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第8章 平面解析
热点探究课(五) 平面解析几何中的高考热点问题(对应学生用书第128页)[命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．热点1 圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的另一重点，涉及a ，b ，c 三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．(2018·太原模拟)如图1，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.图1(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e . [解] (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝＋22＋－22＝2 3. 3分即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1， 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.5分(2)连接F 1Q ，如图，由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，又|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|＝(2a －|PF 1|)＋(2a －|QF 1|)， 可得|QF 1|＝4a －2|PF 1|. ① 又因为PF 1⊥PQ 且|PF 1|＝|PQ |， 所以|QF 1|＝2|PF 1|. ② 8分由①②可得|PF 1|＝(4－22)a ， 从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝(22－2)A ． 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即(4－22)2a 2＋(22－2)2a 2＝4c 2，10分可得(9－62)a 2＝c 2，即c 2a2＝9－62，因此e ＝c a＝9－62＝6－ 3.12分[规律方法] 1.用定义法求圆锥曲线的标准方程是常用的方法，同时应注意数形结合思想的应用．2．圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只需明确a ，b ，c 中任意两量的关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制． [对点训练1] 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为22，它的一个顶点为抛物线x 2＝4y 的焦点． (1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y ＝x －1与抛物线相切于点A ，求以A 为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程．【导学号：00090306】[解] (1)椭圆中心在原点，焦点在x 轴上．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)， 所以b ＝1.2分由离心率e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2＝1＋c 2，从而得a ＝2，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以点A (2,1). 8分因为抛物线的准线方程为y ＝－1， 所以圆的半径r ＝1－(－1)＝2， 所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.12分热点2 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题． 角度1 圆锥曲线的定值问题(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【导学号：00090307】 [解] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2.2分又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.4分(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.5分由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.6分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.8分所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.10分故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 12分[规律方法] 1.求定值问题的常用方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的． 角度2 圆锥曲线中的定点问题设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－62.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左顶点是A ，若直线l ：x －my －t ＝0与椭圆E 相交于不同的两点M ，N (M ，N 与A 均不重合)，若以MN 为直径的圆过点A ，试判定直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．[解] (1)由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，可得a 2＝2b 2，2分椭圆方程为x 22b 2＋y 2b2＝1，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－62可得b 2＝2，a 2＝4， 故椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.5分(2)由x －my －t ＝0得x ＝my ＋t ，把它代入E 的方程得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝－2mt m 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4tm 2＋2，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋tm (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－4m2m 2＋2.8分因为以MN 为直径的圆过点A ，所以AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2 ＝2t 2－4m 2m 2＋2＋2×4t m 2＋2＋4＋t 2－4m 2＋2＝3t 2＋8t ＋4m 2＋2＝t ＋t ＋m 2＋2＝0. 10分因为M ，N 与A 均不重合，所以t ≠－2，所以t ＝－23，直线l 的方程是x ＝my －23，直线l 过定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，由于点T 在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l 过定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0.12分[规律方法] 1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点．2．从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．热点3 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．图2(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． [解] (1)由题意知m ≠0， 可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋B ．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.2分因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2>0.将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63. 故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞. 5分(2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 7分设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12，即m ＝±2时，等号成立． 故△AOB 面积的最大值为22. 12分[规律方法] 范围(最值)问题的主要求解方法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解．[对点训练2] 已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．[解] (1)由椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4.得曲线C 的焦点F 1(0，－2)，F 2(0,2). 2分又点(2，－2)在椭圆C 上， 2a ＝2＋0＋2＋＋2＝42，所以a ＝22，b ＝2， 即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.5分(2)若直线l 垂直于x 轴，①则点E (0,22)，F (0，－22)，OE →·OF →＝－8. ②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋2，点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到：(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0， 则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k 2，8分所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8.10分因为0<202＋k 2≤10，所以－8<OE →·OF →≤2.综上可知，OE →·OF →的取值范围是(－8,2]. 12分热点4 圆锥曲线中的探索性问题(答题模板)圆锥曲线中的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.【导学号：00090308】[规范解答] (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).1分又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.3分y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0.5分 故所求切线方程为ax －y －a ＝0或ax ＋y ＋a ＝0. 6分(2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4A ． 8分从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋a －b x 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋ba.10分当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.12分[答题模板] 第一步：分别求出曲线y ＝x 24在M 点，N 点处的导数．第二步：利用点斜式分别写出在M 点、N 点的切线方程．第三步：联立直线y ＝kx ＋a 与抛物线y ＝x 24，并写出根与系数的关系式．第四步：由k PM ＋k PN ＝0，结合根与系数的关系式，探索点P 的坐标． 第五步：检验反思，查关键点，规范步骤．[温馨提示] 1.(1)在第(2)问中，不能把条件∠OPM ＝∠OPN 适当转化为k 1＋k 2＝0，找不到解题的思路和方法，而不能得分．(2)运算能力差或运算不细心，导致运算结果错误而扣分或者不得分．2．数学阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有则得分，无则扣分，所以解题时要写全关键步骤．(1)本题的关键点一是利用导数的几何意义求切线方程，二是把条件中转化为只需直线PM ，PN 的斜率之和为0.(2)解析几何对运算能力要求较高，解题时一定要细心准确，否则可能是思路正确，但是运算结果错误，而不得分．[对点训练3] 如图3，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.图3(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． [解] (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )． 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝ 2.4分 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.5分(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.8分其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.从而，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝－2λ－k 2＋－2λ－2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3. 10分此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ．此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.12分。
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第四节 相关性、最小二乘估计与统计案例[考纲传真] 1.会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归系数公式不要求记忆).3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.4.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法及其初步应用．(对应学生用书第141页)[基础知识填充]1．相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合． (3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是非线性相关的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． 2．线性回归方程 (1)最小二乘法如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来刻画这些点与直线y ＝a ＋bx 的接近程度，使得上式达到最小值的直线y ＝a ＋bx 就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法． (2)线性回归方程方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中a ，b 是待定参数．⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑ni ＝1x i－x y i－y ∑ni ＝1x i－x 2＝∑ ni ＝1x i y i －n x y ∑ ni ＝1x 2i －n x2a ＝y －b x3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中，(x ，y )称为样本点的中心． (3)相关系数①r ＝∑ ni ＝1x i －xy i －y∑ni ＝1x i －x 2∑ni ＝1y i －y2＝∑ ni ＝1x i y i －n x y∑ ni ＝1x 2i －n x2∑ ni ＝1y 2i －n y2②当r ＞0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关； 当r ＝0时，表明两个变量线性不相关．|r |值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关程度越高． |r |值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关程度越低． 4．独立性检验设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A ：A 1，A 2＝A 1；变量B ：B 1，B 2＝B 1.2×2列联表：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.利用统计量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． 当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A ，B 有关联， 可以认为变量A ，B 是没有关联的；当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A ，B 有关联； 当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A ，B 有关联； 当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关联．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( ) (2)某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x (℃)之间的关系，得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．( )(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．( )(4)若事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．y ^＝0.4x ＋2.3 B ．y ^＝2x －2.4 C ．y ^＝－2x ＋9.5D ．y ^＝－0.3x ＋4.4A [因为变量x 和y 正相关，排除选项C ，D ．又样本中心(3,3.5)在回归直线上，排除B ，选项A 满足．]3．(2015·全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )图941A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关D [对于A 选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A 正确．对于B 选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B 正确．对于C 选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C 正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D ．]4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )A ．有99%的人认为该电视栏目优秀B ．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系C ．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系D ．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系D [只有χ2≥6.635才能有99%的把握认为“该电视栏目是否优秀与改革有关系”，而即使χ2≥6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有99%的人等无关，故只有D 正确．]5．(2018·西安模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.68 [由x ＝30，得y ＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a ，则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，∴a ＝68.](对应学生用书第142页)y 与z 正相关．下列结论中正确的是( ) 【导学号：00090333】 A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关(2)对四组数据进行统计，获得如图942所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )图942A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 3(1)C (2)A [(1)因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝b ^y ＋a ^，b ^>0，则z ＝b ^y ＋a ^＝－0.1b ^x ＋b ^＋a ^，故x 与z 负相关．(2)由散点图知，图①与图③是正相关，故有r 1＞0，r 3＞0，图②与图④是负相关，则r 2＜0，r 4＜0，且图①与图②中的样本点集中在一条直线附近，因此有r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1.] [规律方法] 1.利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关，若点散布在左上角到右下角的区域，则负相关． 2．利用相关系数判定，当|r |越趋近于1，相关性越强． 当残差平方和越小，相关指数r 2越大，相关性越强．[变式训练1] (1)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.其中一定不正确的结论的序号是( ) 【导学号：00090334】 A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④(2)变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A ．r 2＜r 1＜0 B ．0＜r 2＜r 1 C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 1(1)D (2)C [(1)由线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^知当b ^＞0时，y 与x 正相关，当b ^＜0时，y 与x 负相关，∴①④一定错误．(2)对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1＞0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2＜0，故选C ．]](单位：亿吨)的折线图．图943注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑ 7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17，∑7i ＝1y i －y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1t i －ty i －y∑ni ＝1t i －t2∑ n i ＝1y i －y2，回归方程y －＝a ＋b t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ ni ＝1t i －t y i －y ∑ ni ＝1t i －t2，a ＝y －－b t .[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑ 7i ＝1(t i －t )2＝28，∑7i ＝1y i －y2＝0.55， 2分∑ 7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑ 7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，所以r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系. 5分(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ＝∑ 7i ＝1t i －ty i －y∑7i ＝1t i －t2＝2.8928≈0.103.8分a ＝y －b t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ＝0.92＋0.10t .10分将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．12分 [规律方法] 1.在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数r 进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．2．(1)正确运用计算b ，a 的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．(2)回归直线y ^＝bx ＋a 必过样本点的中心(x ，y )．[变式训练2] (2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．图944表中w i ＝x i ，w ]＝8∑ i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝∑ni ＝1u i －uv i －v∑ ni ＝1u i －u2，α＝v －β u .[解] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ＝∑i ＝18w i －wy i －y∑i ＝18w i －w2＝108.81.6＝68， 4分c ＝y －d w ＝563－68×6.8＝100.6， 5分所以y 关于w 的线性回归方程为y ＝100.6＋68w ， 6分 因此y 关于x 的回归方程为y ＝100.6＋68x . 7分(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ＝100.6＋6849＝576.6， 8分 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. 9分 ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.10分所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z 取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. 12分获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：图945(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3) 附：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.[解] (1)旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 2分 因此，事件A 的概率估计值为0.62.4分(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表分χ2的观测值＝－2100×100×96×104≈15.705.7分由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. 8分(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.12分[规律方法] 1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．2．解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式χ2＝n ad－bc2a ＋b a＋c b＋d c＋d计算χ2的观测值k；(3)比较k与临界值的大小关系，作统计推断．[变式训练3] (2017·济南联考)某市地铁即将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下；【导学号：00090335】“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持附：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋ca ＋d.[解 x 1＝20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×41＋2＋3＋5＋3＋4≈50.56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x 2＝20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×14＋8＋12＋5＋2＋1＝38.75，∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x 1－x 2＝50.56－38.75＝11.81(百元).5分(2)根据条件可得2×2列联表如下：χ2＝10×40×18×32≈6.27＜6.635，∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.12分。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：热点探究训练3数列中的高考热点问题文北师大版_31
热点探究训练(三) 数列中的高考热点问题(对应学生用书第233页)1．(2017·广州综合测试(一))已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2.2分因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0.因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *).5分(2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1，所以a n b n ＝(2n －1)2n ，7分则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×－(2n －1)2n ＋14 1－2n －11－2＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.12分2．(2018·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝，n ∈N *.n 2＋n2(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．【导学号：00090183】[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；2分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－＝n .4分n 2＋n 2 n －1 2＋ n －12a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .6分(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝＝22n ＋1－2，8分2 1－22n1－2B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .10分故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.12分3．(2016·四川高考)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e ＋e ＋…＋e .y 2a 2n 2122n [解] (1)由已知S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．从而a n ＝q n －1.3分由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，所以a 3＝2a 2，故q ＝2.所以a n ＝2n －1(n ∈N *).5分(2)由(1)可知a n ＝q n －1，所以双曲线x 2－＝1的离心率y 2a 2n e n ＝＝.8分1＋a 2n 1＋q 2 n －1 由e 2＝＝2解得q ＝，1＋q 23所以e ＋e ＋…＋e 2122n ＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q 2(n －1)]＝n ＋[1＋q 2＋…＋q 2(n －1)]＝n ＋＝n ＋(3n －1).12分q 2n －1q 2－1124．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－，数列{b n }满足b n ＝(n ∈N *)．4an ＋31an ＋1(1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：＋＋…＋<7. 【导学号：00090184】1b 211b 21b 2n [解] (1)由题意得a n ＋1＋1＝2－＝，4an ＋32an ＋2an ＋3b n ＋1＝＝＝＝＋1an ＋1＋1an ＋32an ＋2 an ＋1 ＋22 an ＋1 1an ＋112＝b n ＋.3分12又b 1＝，∴数列{b n }是首项为，公差为的等差数列，∴b n ＝.5分121212n 2(2)证明：当n ＝1时，左边＝＝4<7不等式成立；6分1b 21当n ＝2时，左边＝＋＝4＋1＝5<7不等式成立；8分1b 211b 2当n ≥3时，＝<＝4，1b 2n4n 24n n －1 (1n －1－1n )左边＝＋＋…＋<4＋1＋4－＋－＋…＋－＝5＋4＝7－<7.1b 211b 21b 2n 121313141n －11n (12－1n )4n ∴＋＋…＋<7.12分1b 211b 21b 2n。
2019年高考数学一轮复习(北师大版文科)： 课时分层训练16 任意角、弧度制及任意角的三角函数 文
课时分层训练(十六) 任意角、弧度制及任意角的三角函数(对应学生用书第200页)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．] 2．已知弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1C [由题设知，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1.]3．(2016·湖南衡阳一中模拟)已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) 【导学号：00090082】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＜0，tan α＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限，故选B.]4．(2018·福州模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A.43B.34C ．－34D ．－43D [因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16.解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.]5．(2018·洛阳模拟)已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上，则cos α－sin α的值为( ) A ．－15B ．－35C.15D.35C [角α的始边与x 轴非负半轴重合， 终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上，不妨令x ＝－3，则y ＝－4，∴r ＝5，∴cos α＝x r ＝－35，sin α＝y r ＝－45，则cos α－sin α＝－35＋45＝15.]二、填空题6．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为________．2 [由题意知12l ＝1，即l ＝2，则扇形所对的圆心角的弧度数为2.]7．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．217° [∵2 017°＝217°＋5×360°，∴在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°.]8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.－8 [因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8.] 三、解答题9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .[解] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝l r＝2. 如图，过O 作OH ⊥AB 于H ， 则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ.【导学号：00090083】[解] ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x，2分又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1.4分当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；8分当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．若α是第四象限角，则a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2A [由α是第四象限角知，α2是第二或第四象限角，当α2是第二象限角时，a ＝sin α2sin α2－cosα2cosα2＝0. 当α2是第四象限角时，a ＝－sin α2sin α2＋cosα2cosα2＝0. 综上知a ＝0.]2．(2018·衡水模拟)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________． (－2,3] [∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.]3．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．【导学号：00090084】[解] (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上． 由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z . 3分(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限.6分(3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0，cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；9分当α2在第四象限时，tan α2＜0， sin α2＜0，cos α2＞0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号.12分。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 单元评估检测7 立体几何初步 文 北师大版
单元评估检测(七)立体几何初步(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．中央电视台正大综艺以前有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为()图1A2．如果一个几何体的三视图如图2所示，正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形(单位：cm)，则此几何体的侧面积是()图2A．23cm2B．43cm2C．8cm2D．14cm2C3．若三棱锥的三视图如图3所示，则该三棱锥的体积为()图3A．80 B．40C ．803D ．403D4．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，以下命题正确的是()A ．若l ∥α，α∥β，则l ∥βB ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥βC ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥βD ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD5．正四面体P ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是()A ．BC ∥平面PDFB ．平面PDF ⊥平面ABC C ．DF ⊥平面PAED ．平面PAE ⊥平面ABC B6．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为()A ．34B ．32C ．334D ． 3B7．如图4，四面体ABCD 中，AB ＝DC ＝1，BD ＝2，AD ＝BC ＝3，二面角A BD C 的平面角的大小为60°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角的余弦值是()图4A ．13B ．33C ．63D ．223B8．如图5，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是()图5A ．直线BD 1与直线B 1C 所成的角为π2B ．直线B 1C 与直线A 1C 1所成的角为π3C ．线段BD 1在平面AB 1C 内的投影是一个点 D ．线段BD 1恰被平面AB 1C 平分 D9．如图6，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 为线段CD 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的投影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成集合的长度为()图6A ．32B ．233C ．π2D ．π3D10．棱长为43的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为() A ． 2B ．22 C ．24D ．26B11．如图7是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为()图7A ．6＋2π3B ．8＋π3C ．4＋2π3D ．4＋π3C12．下列命题中错误的是()A ．如果α⊥β，那么α内一定有直线平行于平面βB ．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC ．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．半径为336π的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为________． 8814．如图8，三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积为V 1，四棱锥A BCC 1B 1的体积为V 2，则V 1V 2＝________.图83215．如图9，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .图9a 或2a16．如图10，ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论：图10①BD ∥平面CB 1D 1； ②AC 1⊥BD ； ③AC 1⊥平面CB 1D 1；④异面直线AD 与CB 1所成角为60°.错误的有________．(把你认为错误的序号全部写上) ④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图11所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m ，高为7m ，制造这个塔顶需要多少面积的铁板？图11制造这个塔顶需要82m 2的铁板．18．(12分)如图12，已知四棱锥P ABCD ，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是边长为2的正方形，M ，N 分别为PB ，PC 的中点．图12(1)证明：MN ∥平面PAD ．(2)若PA 与平面ABCD 所成的角为45°，求四棱锥P ABCD 的体积V . [解](1)因为M ，N 分别是棱PB ，PC 的中点，所以MN ∥BC ， 又四边形ABCD 是正方形，所以AD ∥BC ，于是MN ∥AD ．⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥ADAD ⊂平面PAD MN ⊄平面PAD ⇒MN ∥平面PAD ． (2)由PD ⊥底面ABCD ，知PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAD ，所以∠PAD ＝45°， 在Rt △PAD 中，知PD ＝AD ＝2，故四棱锥P ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.19．(12分)如图13，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，CA ＝CB ，D ，E ，F 分别为AB ，A 1D ，A 1C 的中点，点G 在AA 1上，且A 1D ⊥EG .图13(1)求证：CD ∥平面EFG . (2)求证：A 1D ⊥平面EFG . 略20．(12分)如图14，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．图14(1)证明MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N BCM 的体积. (1)略(2)45321．(12分)如图15①，在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD ＝PC ，若沿AB 将三角形PAB 折起，使∠PAD ＝θ，构成四棱锥P ABCD ，且PC PF ＝CDCE＝2，如图15②.(1)求证：平面BEF ⊥平面PAB ．(2)当异面直线BF 与PA 所成的角为60°时，求折起的角度θ.图15[解](1)因为2BD ＝PC ，所以∠PDC ＝90°， 因为AB ∥CD ，且PC PF ＝CDCE＝2，所以E 为CD 的中点，F 为PC 的中点，CD ＝2AB ，所以AB∥DE 且AB ＝DE ，所以四边形ABED 为平行四边形，所以BE ∥AD ，BE ＝AD ， 因为BA ⊥PA ，BA ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ，所以BA ⊥平面PAD ，因为AB ∥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PD 且CD ⊥AD ，又因为在平面PCD 中，EF ∥PD (三角形的中位线)，于是CD ⊥FE . 因为在平面ABCD 中，BE ∥AD ， 于是CD ⊥BE ，因为FE ∩BE ＝E ，FE ⊂平面BEF ，BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF ， 又因为CD ∥AB ，AB 在平面PAB 内，所以平面BEF ⊥平面PAB ．(2)因为∠PAD ＝θ，取PD 的中点G ，连接FG ，AG ，所以FG ∥CD ，FG ＝12CD ，又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，所以FG ∥AB ，FG ＝AB ，从而四边形ABFG 为平行四边形，所以BF ∥AG ，所以BF 与PA 所成的角即为AG 与PA 所成的角，即∠PAG ＝60°，因为PA ＝AD ，G 为PD 中点，所以AG ⊥PD ，∠APG ＝30°，所以∠PDA ＝30°，所以∠PAD ＝180°－30°－30°＝120°.故折起的角度为120°.22．(12分)正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2，点M 在线段EC 上且不与E ，C 重合．图16(1)当点M 是EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF . (2)当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥M BDE 的体积． [解](1)取ED 的中点N ，连接MN ，AN ，又因为点M 是EC 的中点， 所以MN ∥DC ，MN ＝12DC ，而AB ∥DC ，AB ＝12DC ，所以MN 綊AB ，所以四边形ABMN 是平行四边形， 所以BM ∥AN ，而BM ⊄平面ADEF ，AN ⊂平面ADEF ， 所以BM ∥平面ADEF .(2)取CD 的中点O ，过点O 作OP ⊥DM ，连接BP ，BO ， 因为AB ∥CD ，AB ＝12CD ＝2，所以四边形ABOD 是平行四边形， 因为AD ⊥DC ，所以四边形ABOD 是矩形， 所以BO ⊥CD ，因为正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，ED ⊥AD ， 所以ED ⊥平面ADCB ， 所以平面CDE ⊥平面ADCB ， 所以BO ⊥平面CDE ， 所以BP ⊥DM ，所以∠OPB 是平面BDM 与平面DCE (即平面ABF )所成锐二面角， 因为cos ∠OPB ＝66， 所以sin ∠OPB ＝306， 所以OB BP ＝306，解得BP ＝2305. 所以OP ＝BP cos ∠OPB ＝255，所以sin ∠MDC ＝OP OD ＝55， 而sin ∠ECD ＝225＝55，所以∠MDC ＝∠ECD ，所以DM ＝MC ，同理DM ＝EM ，所以M 为EC 的中点， 所以S △DEM ＝12S △CDE ＝2，因为AD ⊥CD ，AD ⊥DE ， 且DE 与CD 相交于点D ， 所以AD ⊥平面CDE ， 因为AB ∥CD ，所以三棱锥B DME 的高＝AD ＝2， 所以V M BDE ＝V B DEM ＝13S △DEM ·AD ＝43.。
2019高三数学文北师大版一轮单元评估检测8 平面解析几
单元评估检测(八)平面解析几何(120分钟150分)(对应学生用书第280页)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于() A．1或－3B．－1或3C．1或3 D．－1或－3A2．(2017·广州模拟)若直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离是5，则m＋n＝()A．0B．1C．－1D．2A3．已知双曲线x2a2－y23＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝()【导学号：00090402】A．2 B．6 2C．52D．1D4．直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为() A．1 B．2C．4 D．4 6C5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为5的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0C6．(2017·德州模拟)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A ．303 B ．6 C ．12 D ．7 3C7．(2017·黄山模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( ) A ．－2 B ．－8116 C ．1 D ．0A8．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1，F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( ) A ．6433 B ．9133 C ．1633 D ．643A9．(2017·南昌模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为x ＝－1，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝2x －3 B ．y ＝－2x ＋5 C ．y ＝－x ＋3 D ．y ＝x －1A10．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，离心率e ＝2，右焦点F (c,0)．方程ax 2－bx －c ＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)与圆x 2＋y 2＝8的位置关系是( ) A ．点P 在圆外B ．点P 在圆上C．点P在圆内D．不确定A11．抛物线y2＝8x的焦点F与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点重合，又P为两曲线的一个公共点，且|PF|＝5，则双曲线的实轴长为() A．1 B．2C．17－3 D．6B12．(2017·邵阳模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1，a∈R，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P为双曲线上一点，满足|OP|＝3a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则此双曲线的离心率为()A．213B．73C．273D．733A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝014．已知双曲线S与椭圆x29＋y234＝1的焦点相同，如果y＝34x是双曲线S的一条渐近线，那么双曲线S的方程为________．y2 9－x216＝115．(2017·济南模拟)已知直线3x－4y＋a＝0与圆x2－4x＋y2－2y＋1＝0相切，则实数a的值为________．－12或816．已知P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________.【导学号：00090403】7三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点．(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝17，求直线l 的倾斜角． (1)将已知直线l 化为y －1＝m (x －1)， 直线l 恒过定点P (1,1)． 因为12＋(1－1)2＝1＜5， 所以点P (1,1)在已知圆C 内，从而直线l 与圆C 总有两个不同的交点． (2)π3或2π318．(12分)(2017·太原模拟)圆M 和圆P ：x 2＋y 2－22x －10＝0相内切，且过定点Q (－2，0)．(1)求动圆圆心M 的轨迹方程．(2)斜率为3的直线l 与动圆圆心M 的轨迹交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，求直线l 的方程．(1)x 23＋y 2＝1 (2)y ＝3x ＋5219．(12分)设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小． (2)求证：OA →·OB →是一个定值．[解] (1)因为F (1,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧y ＝x －1，y 2＝4x ， 得x 2－6x ＋1＝0， 所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. 所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·36－4＝8.(2)设直线l 的方程为x ＝ky ＋1， 由⎩⎨⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ， 得y 2－4ky －4＝0.所以y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)． 因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)·(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. 所以OA →·OB→是一个定值． 20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，144. (1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 是椭圆C 的左焦点，过点P (－2,0)的直线交椭圆于A ，B 两点，求△ABF 面积的最大值． (1)x 22＋y 2＝1 (2)2421．(12分)(2016·浙江高考)如图1，设椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)．图1(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)．(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．[解] (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0， 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k 2.因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ | .记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21， |AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22.所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0，得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)①.因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1， 所以a ＞ 2.因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件是1＜a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a 得，所求离心率的取值范围是0＜e ≤22.22．(12分)(2016·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为2 2.图2(1)求椭圆C 的方程．(2)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B ．①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k 为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值．[解] (1)由题意a ＝2，c ＝2，所以b 2＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)①由题意，设P (p,2m )(0＜2m ＜2，0＜p ＜2)，则Q (p ，－2m )， 所以k ′k ＝－2m －mp 2m －m p ＝－3为定值．②直线P A 的斜率k ＝mp ＝m4－8m 2＝14m 2－8，其中0＜m 2＜12，所以k ＞0.将直线y ＝Kx ＋m 与椭圆方程联立，可得， (2K 2＋1)x 2＋4Kmx ＋2m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线P A ：y ＝kx ＋m ，直线QB ：y ＝－3kx ＋m ， 分别令K ＝k ，K ＝－3k 可得：x 1p ＝2m 2－42k 2＋1，x 2p ＝2m 2－418k 2＋1，所以，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝(kx 1＋m )－(－3kx 2＋m )x 1－x 2＝kx 1p ＋3kx 2px 1p －x 2p＝k ·2m 2－42k 2＋1＋3k ·2m 2－418k 2＋12m 2－42k 2＋1－2m 2－418k 2＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫6k ＋1k ≥62 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当k ＝66时取等号.所以，直线AB 的斜率的最小值为62.。
2019高三数学文北师大版一轮单元评估检测9 算法初步、统计与统计案例概率 含解析 精品
单元评估检测(九)算法初步、统计与统计案例概率(120分钟150分)(对应学生用书第302页)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·晋城模拟)抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于()A．118B．19C．16D．536B2．(2017·益阳模拟)某公司2010—2015年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如表所示：A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系D．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系B3．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a，b，使得a2≥4b的概率是()【导学号：00090404】A．13B．512C．12D．712C4．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝－2a n(n∈N*)．若从数列{a n}的前10项中随机抽取一项，则该项不小于8的概率是()A．310B．25C．35D．710B5．(2017·石家庄模拟)如图1给出了一种植物生长时间t(月)与枝数y(枝)之间的散点图．请你据此判断这种植物生长的时间与枝数的关系用下列哪种函数模型拟合最好？()图1A．指数函数y＝2t B．对数函数y＝log2tC．幂函数y＝t3D．二次函数y＝2t2A6．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外其他特征完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是()A．110B．310C．25D．14C7．随着网络的普及，人们的生活方式正在逐步改变．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00－7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30－7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是()【导学号：00090405】A ．18 B ．58 C ．12 D ．78D8．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为( )A ．710B ．310C ．35D ．25A9．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为 ( ) A ．16 B ．13 C ．23 D ．45C10．(2017·福州模拟)若自然数n 使得加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)产生进位现象，则称n 为“先进数”，例如：4是“先进数”，因4＋5＋6产生进位现象，2不是“先进数”，因2＋3＋4不产生进位现象，那么，小于100的自然数是“先进数”的概率为 ( ) A ．0.10 B ．0.90 C ．0.89 D ．0.88D11．(2017·六安模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ＋12≥0表示的区域为Ω，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2≤14表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机投入360粒芝麻，则落在区域Γ中的芝麻数为( )A ．150B ．114C ．70D ．50B12．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，x ∈N ，y ∈N ，集合B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋5，x ∈N ，y ∈N }．先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得到的点数记作a ，掷第二颗骰子得到的点数记作b ，则(a ，b )∈A ∩B 的概率等于( ) A ．14 B ．29 C ．736 D ．536B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．执行如图2所示的算法框图，若输入x ＝10，则输出y 的值为________．图2－5414．某品牌洗衣机专卖店在国庆期间举行了八天的促销活动，每天的销售量(单位：台)茎叶图如图3，则销售量的中位数是________．图31515．(2017·襄阳模拟)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．1316．现有4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A，B两人恰好乘坐同一辆车”的概率为________．13三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2017·武汉模拟)某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图4所示的茎叶图．现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”．图4(1)记甲班“口语王”人数为m，乙班“口语王”人数为n，比较m，n的大小．(2)求甲班10名同学口语成绩的方差．[解](1)由茎叶图可得出甲、乙所对应的各个数据．因为x甲＝60＋72＋75＋77＋80＋80＋84＋88＋91＋9310＝80，所以m＝4；x乙＝61＋64＋70＋72＋73＋85＋86＋88＋97＋9410＝79，所以n＝5.所以m＜n. (2)甲班10名同学口语成绩的方差s2＝110[(60－80)2＋(72－80)2＋(75－80)2＋(77－80)2＋(80－80)2＋(80－80)2＋(84－80)2＋(88－80)2＋(91－80)2＋(93－80)2]＝110(202＋82＋52＋32＋42＋82＋112＋132)＝86.8.18．(12分)20名同学某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图5：图5(1)求频率分布直方图中a的值．(2)分别求出成绩落在[50,60)，[60,70)中的学生人数．(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率．【导学号：00090406】[解](1)据直方图知组距为10，由(2a＋3a＋6a＋7a＋2a)×10＝1，解得a＝1200＝0.005.(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2，成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A1，A2，成绩落在[60,70)中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[50,70)的学生中选2人的基本事件共有10个：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．故所求概率为P＝3 10.19．(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率．(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．[解](1)从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个：1和2,1和3，所以取出的球的编号之和不大于4的概率P＝1 3.(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，所有(m，n)有4×4＝16种，而n≥m＋2有1和3,1和4,2和4三种结果，所以所求概率P＝1－316＝1316.20．(12分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．是否能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋dχ2的观测值k ＝120×80×150×50≈11.111＞10.828，可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．21．(12分)2016年“十一”长假期间，中国楼市迎来新一轮的收紧调控大潮．自9月30日起直至黄金周结束，北京、广州、深圳、苏州、合肥等19个城市8天内先后出台楼市调控政策．某银行对该市最近5年住房贷款发放情况(按每年6月份与前一年6月份为1年统计)作了统计调查，得到如下数据：(1)试求z y ＝b ′x ＋a ′.(2)利用(1)中所求的线性回归方程估算2017年房贷发放数额.【导学号：00090407】[解] (1)计算得t ＝3，z ＝2.2，∑5i ＝1t 2i ＝55，∑5i ＝1t i z i ＝45，所以b ＝45－5×3×2.255－5×32＝1.2，a ＝2.2－1.2×3＝－1.4，所以z ＝1.2t －1.4.注意到t ＝x －2 011，z ＝(y －50)÷10， 代入z ＝1.2t －1.4，整理得y ＝12x －240 96.(2)当x ＝2 017时，y ＝108，即2017年房贷发放的实际值约为108亿元． 22．(12分)为考虑某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：图6现从所有实验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为2 5.(1)求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值．(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效．(3)在犯错误的概率不超过多少的前提下认为疫苗有效？附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)[解](1)M.由已知得P(M)＝y＋30100＝25，所以y＝10，所以B＝40，x＝40，A＝60.(2)依题意得，未注射疫苗发病率为4060＝23，注射疫苗发病率为1040＝14.发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，故疫苗有效．(3)依题意得：χ2的观测值k＝100×(20×10－40×30)260×40×50×50＝503≈16.667＞10.828.所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为疫苗有效．。
[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第3章 三角函数、解三角形
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热点探究课(二) 三角函数与解三角形中的高考热点问题(对应学生用书第55页)[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．热点1 三角函数的图像与性质(答题模板)要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值. 【导学号：00090117】[思路点拨] (1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f (x )化为正弦型函数，然后求其周期．(2)先利用平移变换求出g (x )的解析式，再求其在给定区间上的最值．[规范解答] (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－(－sin x )3分 ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，5分 于是T ＝2π1＝2π.6分 (2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.8分∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，10分 ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－1,2].11分故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1. 12分[答题模板] 解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤为： 第一步(化简)：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． 第二步(用辅助角公式)：构造f (x )＝a 2＋b 2·sin x ·aa 2＋b2＋cos x ·ba 2＋b 2.第三步(求性质)：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． 第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．[温馨提示] 1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.2．求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图像进行求解．[对点训练1] (2018·秦皇岛模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A ，B ，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．[解] (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π.2分又由当x ＝13时，f (x )max ＝2，可知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，4分所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.5分(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z ).7分 由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512， 9分 又k ∈Z ，知k ＝5，10分 由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.12分热点2 解三角形从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin Bsin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD ．2分因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC ． 由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.5分(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ， 所以BD ＝ 2.7分在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ．9分故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.12分[规律方法] 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到． [对点训练2] 在△ABC 中，已知A ＝45°，cos B ＝45.(1)求sin C 的值；(2)若BC ＝10，求△ABC 的面积. 【导学号：00090118】 [解] (1)因为cos B ＝45，且B ＝(0°，180°)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35.sin C ＝sin(180°－A －B )＝sin(135°－B )＝sin 135°cos B －cos 135°sin B ＝22×45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×35＝7210. (2)由正弦定理，得BC sin A ＝AB sin C ，即1022＝AB7210，解得AB ＝14，则△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×14×10×35＝42.热点3 三角恒等变换与解三角形的综合问题以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．(2018·哈尔滨模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B －2cos A2a －b ＝cos Cc.(1)求a b的值；(2)若角A 是钝角，且c ＝3，求b 的取值范围．[解] (1)由题意及正弦定理得sin C cos B －2sin C cos A ＝2sin A cos C －sin B cos C ，2分∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2(sin C cos A ＋sin A cos C )． ∴sin(B ＋C )＝2sin(A ＋C )． ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝2sin B ，∴a b＝2.5分(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋9－a 22b ·3＝b 2＋9－4b 26b ＝9－3b 26b<0，∴b > 3. ①7分∵b ＋c >a ，即b ＋3>2b ，∴b <3， ② 由①②得b 的范围是(3，3).12分[规律方法] 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．[对点训练3] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[解] (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13， 所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.5分(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010.7分 由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝3 5.9分由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9. 12分。
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单元评估检测(一) 集合与常用逻辑用语
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁UM＝( )
A．{2,4,6} B．{1,3,5}
C．{1,2,4} D．U
A
2．(2017·武汉模拟)已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，B＝{x∈Z|x2＜9}，则A∩B＝( )
A．{2} B．(－3,3)
C．(1,3) D．{1,2}
D
3．命题“存在x0∈∁RQ，x20∈Q”的否定是( )
【导学号：00090384】
A．存在x0∉∁RQ，x20∈Q B．存在x0∈∁RQ，x20∉Q
C．任意x∉∁RQ，x2∈Q D．任意x∈∁RQ，x2∉Q
D
4．设A＝x 12＜x＜5，x∈Z，B＝{x|x≥a}．若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．a＜12 B．a≤12
C．a≤1 D．a＜1
C
5．使x2＞4成立的充分不必要条件是( )
A．2＜x＜4 B．－2＜x＜2
C．x＜0 D．x＞2或x＜－2
A
6．(2017·郑州模拟)已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2－x＝0}，若A⊆B，则由a的取值
构成的集合为( )
A．{1} B．{0}
C．{0,1} D．∅
C
7．已知原命题：已知ab＞0，若a＞b，则1a＜1b，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题
这四个命题中真命题的个数为( )
A．0 B．2
C．3 D．4
D
8．(2017·广州模拟)设等差数列{an}的公差为d，则a1d＞0是数列(3a1an)为递增数列的
( )
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A
9．已知命题p：存在x0∈R，x0＜x20＋1，命题q：任意x∈R，sin4x－cos4x≤1，则p或q，
p且q，(綈p)或q，p且(綈q
)中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
10．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，则“c＜0”是“存在x0∈R，使f(x0)＜0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A
11．(2017·阜阳模拟)对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(
N
－M)．设A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}，B＝{y|y＝－2x，x∈R}，则A⊕B等于( )
A.－94，0
B.－94，0
C.－∞，－94∪[0，＋∞)
D.－∞，－94∪(0，＋∞)
C
12．原命题为“若an＋an＋12＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆
否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
【导学号：00090385】
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知集合Q＝{m∈Z|mx2＋mx－2＜0对任意实数x恒成立}，则Q用列举法表示为________．
{－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}
14．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，集合
A×B中属于集合{(x，y)|logxy
∈N}的元素的个数是________．
4
15．下列3个命题：
①“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k∈Z)”；
②“如果x2＋x－6≥0，则x＞2”的否命题；
③在△ABC中，“A＞30°”是“sin A＞12”的充分不必要条件．
其中真命题的序号是________．
②
16．设集合A＝{x|x2＋2x－3＞0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一
个整数，则实数a的取值范围是________．
34，4
3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤)
17．(10分)已知集合A＝{x|x2－1＜0}，B＝{x|x＋a＞0}．
(1)若a＝－12，求A∩B.
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
[解] A＝{x|－1＜x＜1}．
(1)当a＝－12时，B＝x x－12＞0＝x x＞12，所以A∩B＝x 12＜x＜1.
(2)若A∩B＝A，则A⊆B，因为B＝{x|x＞－a}，所以－a≤－1，即a≥1.
18．(12分)设集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∪B＝{－3,4}，
A∩B＝{－3}，求a，b，c
的值．
[解] 因为A∩B＝{－3}，所以－3∈A，且－3∈B，
所以(－3)2－3a－12＝0，解得a＝－1，
A＝{x|x2－x
－12＝0}＝{－3,4}．
因为A∪B＝{－3,4}，且A≠B，
所以B＝{－3}，