华东网大2013年复变函数作业4

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复变函数考试卷试题及答案

复变函数试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）1．设()2,00,0z z f z z z ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则()fz 的连续点集合为（）。

（A ）单连通区域（B ）多连通区域（C ）开集非区域（D ）闭集非闭区域2．设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x iy =+可微的（）。

()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3．下列命题中，不正确的是（）。

()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i D z e iωπω∞∞=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4．设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d cz z ⎰（）。

()()()()()11444A B iC iD i πππ++5．设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z →=，那么()()Res ,0f z =（）。

()()()()2211A iB iC Dππ-- 二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为。

2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。

3．罗朗级数的()()11211133nnnnn n z z ∞∞==⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑收敛域为。

4．映射1w z=，将圆域11z -<映射为。

5．11cos z dz z==⎰。

三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知22,()1u x y xy f i i =-+=-+。

复变函数试题与答案

复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-第一章复数与复变函数一、选择题1．当i i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+-3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=-（C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43 ９．满足不等式2≤+-iz i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A ）3- （B ）2- （C ）1-（D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部７．方程1)1(212=----zi i z 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射zi=ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为10．=+++→)21(lim 421z z iz 三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21z z +是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM . 六、对于映射)1(21z z +=ω，求出圆周4=z 的像.七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+；２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>. 九、设iy x z +=，试证y x z yx +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性： 1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xy z f 2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f .第二章解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x + 5．函数)Im()(2z z z f =在0=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．i i 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的 13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义（B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e23π- 15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析（B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数（D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim 02．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是3．导函数xv i x u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数i i 的模为 9．=-)}43Im{ln(i10．方程01=--z e 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(iz z z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w ．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -= 2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f x x ++-=五、设023=+-z e zw w ，求22,dz w d dz dw .六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s 和n 为平面向量，将s 按逆时针方向旋转2π即得n .如果ivu z f +=)(为解析函数，则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s∂∂与n ∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数）.九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析. 十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰c dz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π44．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( ) （A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( )（A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰c z dz ze （）（A ）21eπ- (B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22（B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22-10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰cdz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2 （B ） ic iz +2 （C ）c z +2 （D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v - （C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰c dz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c zdz i z e 5)(π 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a=+⎰cdz zzz10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-R z dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ；２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰cdz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()( =≤n rr M n a f nn . 六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e . 七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--Rz R dz b z a z z f ))(()(lim 并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f yz f xz f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章级数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i（C ） ∑∞=1n n n i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n n n i （D ）∑∞=-12)1(n nnn i 4．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z - （D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n nn z c ，那么幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的 11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n （B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 2)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( )（A ）3141<<z （B ）43<<z（C ）+∞<<z 41（D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题1．若幂级数∑∞=+0)(n n n i z c 在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为．2．设幂级数∑∞=0n nn z c 与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是．3．幂级数∑∞=+012)2(n n n z i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=00)()(n n n z z c z f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为． 6．设幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n n z c 的收敛半径为．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为．8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为．9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为．三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明1．);(11+∞<≤-≤-z e z e e zz z2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

复变函数习题及答案解释

第一篇复变函数第一章复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.（1） 72)52)(43(ii i −+；（2） .4218i i i +−2. 当x ，y 等于什么实数时，等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立？3.证明：（1）;2z z z = （2）1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值：（1）();35i −（2）().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围：（1）;65=−z（2）;12≥+i z（3）.i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域，并指出它是有界的还是无界的：（1）;32≤≤z（2）.141+<−z z9.将方程tt z 1+=（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章复习题1.单项选择题（1）设iy x z +=，y x ≠||，4z 为实数，则（）.A ．0=xy B.0=+y x C ．0=−y x D.022=−y x（2）关于复数幅角的运算，下列等式中正确的是（）. A ．Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C ．2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += （3）=+31i （）.A ．ie 62πB.ie 62π−C ．ie 62π± D.i e62π±（4）2210<++<i z 表示（）. A ．开集、非区域 B.单连通区域 C ．多连通区域 D.闭区域（5）z i z f =−1，则()=+i f 1（）.A ．1 B.21i+ C ．21i− D.i −1 （6）若方程1−=z e ，则此方程的解集为（）.A ．空集 B.π)12(−=k z ，（k 为整数） C ．i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立？3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −，)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−，i i e41π+，i 3和ii )1(+值.第二章导数1．下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域，并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f（3）(),dcz baz z f ++=（d c ,中至少有一个不为0）.3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值.4.证明：如果()z f 在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么是常数. （1）()z f 恒取实值. （2）)(z f 在区域D 内解析. （3）()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在？（1）())Re(z z f =；（2）())Im(z z f =.6.证明；,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章复习题1.单项选择题（1）函数()z f w =在点0z 可导是可微的（）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（2）函数()z f w =在点0z 可导是连续的（）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（3）函数()),(),(y x iv y x u z f +=，则在()00,y x 点，v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的（）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（4）函数()22ix xy z f −=，那么（）. A ．()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C ．()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导（5）若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ，,),(xy y x v =()iv u z f +=，则()z f （）.A ．()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C ．()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微（6）若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=，那么()z f （）.A ．()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C ．()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ （7）函数()z z z f = ，则（）. A ．()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C ．()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导（8）设()34−=′z z f ，且()i i f 31−=+，则()=z f （）.A ． i z z −−322 B. i z z 3322+− C ．i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域，并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点，而()z g 在0z 解析，那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数，那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .（1）自原点至1+i 的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫，其中C 为正向圆周，2=z .4.计算下列积分，其中C 为正向圆周，1=z . （1）;21dz z C ∫− （2）;4212dz z z C ∫++（3）;cos 1dz zC ∫ （4）;211dz z C∫−（5）;dz ze Cz ∫（6）().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分：（1）dz z C ∫−21，C ：12=−z ；（2）dz a z C ∫−221，C: a a z =−；（3）,3dz z zC ∫− C ：2=z ；（4）()()dz z z C∫++41122，C ：23=z ；（5）dz zzC ∫sin ，C ：1=z ；（6）dz z zC∫−22sin π，C ：2=z .6.计算下列各题：（1）∫−ii z dz e ππ32；（2）∫−iizdz ππ2sin ；（3）.)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分：（1）dz i z z C ∫+++2314，C ：4=z ，正向；（2）dz z iC ∫+122，C ：61=−z ，正向；（3）,cos 213dz z zC C C ∫+= 1C ：2=z ，正向，2C ：3=z ，负向；（4）dz i z C ∫−1，C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形；（5）()dz a z eC z∫−3；其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z ，正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线，a 为不等于0的任何复数，试就a 与a −跟C 的各种不同位置，计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章复习题1.单项选择题.（1）设C 为θi e z =，θ从2π−到2π的一段，则=∫Cdz z （）.A ．i B.2i C ．-2i D.- i（2）设C 是从0=z 到i z +=1的直线段，则=∫Cdz z （）.A ．1+i B.21i+ C ．i e4π− D. ie 4π（3）设C 为θi e z =，θ从0到π的一段，则=∫Czdz arg （）.A ．i 2−−π B. π− C ．i 2+π D. i 2−π（4）设C 为t i z )1(−=，t 从1到0的一段，则=∫Cdz z （）.A ．1 B.-1 C ．i D.- i（5）设C 为1=z 的上半部分逆时针方向，则=−∫Cdz z )1(（）.A ．2i B.2 C ．-2i D.- 2（6）设C 为θi e z 21=，正向，则=−∫C z dz e e zsin （）.A ．sin1 B.e i 1sin 2π C ．e i 1sin 2π− D.0（7）=++∫=dz z z z 12221（）.A ．i π2 B.i π2− C ．0 D.π2 （8）设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度，则=+∫C dz z )1sin(（）.A ．0 B.2cos − C ．12cos − D. 12cos − （9）=++∫=+dz z z e z z 232)1(232（）. A ．0 B.i π32C ．i π2 D. i π2−（10）=++∫=dz z z zz 121682cos π（）A ．0 B.i π C ．i π− D. i π2.（11）=+∫=dz z zz 221（）.A ．0 B.i π2 C ．i π2− D. i π（12）=∫=dz z e z z12（）.A ．i π2 B. i π C ．0 D. π （13）1322z z z e dz ==∫（）.A ．i π2 B. i π16 C ．i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12，其中Γ是圆环域：221≤≤z 的边界.3.（1）证明：当C 为任何不经过原点的闭曲线时，则;012=∫dz zC（2）沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C（3）沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C ：2=z ，试求()i f ，()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C ：.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ，求().z f ′第四章级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径：()为正整数）；p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内；在以i z i z z =−,142第四章复习题1.单项选择题：()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛，能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章留数1.判断下列函数奇点的类型，如果是极点，指出它的阶数：()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）.();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点？并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值，如果：求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分，C 为正向圆周：()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分：();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章复习题1.单项选择题：()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型，并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题：(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为（）. (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).Ａ. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域Ｂ. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题：1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章：,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.（1）以z =5为圆心，6为半径的圆；（2）以z =-2i 为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部；（3）i 和i 两点的连线的中垂线. 8.（1）圆环形闭区域，有界；（2）中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域，无界. 9．xy =1。

复变函数第四章答案

102复变函数作业12 复数项级数幂级数1. 下列数列是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：{}n a （1）（2）；1i1in n a n +=-i 12nn a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）（4）；（5）.i(1)1nn a n =-++i /2en n a π-=i /21e n n a nπ-=解（1），，即收敛于.1i0i 110i in n n a n→∞++=−−−→=---lim 1n n a →∞=-{}n a 1-（2），，即收敛于0.i|0|102nnn n a --→∞-=+=−−−→1i lim 02nn -→+∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭{}n a （3）因的实部不收敛，虚部收敛于零，所以不收敛.n a (1)n-11n +{}n a （4），与均不存在（分为奇数与偶数cos isin 22n n n a ππ=-lim cos 2n n π→∞lim sin 2n n π→∞n 便知），所以不收敛.{}n a （5），即收敛于零.i /2i /2111|0|||e 0,lim e 0n n n n n a a n nn ππ--→∞-===→={}n a 2. 下列级数是否收敛？是否是绝对收敛？（1）；（2）；（3）；（4）.2111i n n n +∞=+∑1i)2nn n n ∞=+∑1(35i)!n n n ∞=+∑/21(1i)2cosi n n n n ∞=+∑解（1）原式=，显然发散，而收敛.故原级数发1111i (1)n n n n n ∞∞==+-⋅∑∑11n n ∞=∑11(1)n n n ∞=-∑散.（2）分离的实部和虚部很困难，但由于，当(1i)2n n n +(1i)2nnn n n +=时，因为n →∞.1→<103所以级数收敛，即原级数是绝对收敛的.(1i)2n n n+∑（3）同上，由于，当时，，所以/2(35i)34!!nn n n +=n →∞(1)/2/23434/0(1)!!n n n n +→+级数收敛，所以原级数绝对收敛.1(35i)!nn n ∞=+∑（4）因为，而收敛，所以收敛，/2(1i)1222cosi ch e e e n n n n n n n -+==<+11e n n ∞=∑1(1i)!nn n ∞=+∑即原级数绝对收敛,3. 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：（1）；（2）；（3）（4）.1i nn n∞=∑2i ln nn n ∞=∑0(65i)8nnn ∞=+∑0cosi 2nn n∞=∑解（1）一般项，而，i 11cos isin cos isin2222nn n n n n n ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos 2n n n π∞==∑，为收敛的交错级数，所以收敛. 但11(1)2k k k ∞=-∑11111sin (1)221k n k n n k π∞∞-===--∑∑1i nn n ∞=∑，发散，故条件收敛.i 1n n n ≥1i nn n ∞=∑1i n n n∞=∑（2）一般项，而，i 1cos isin lnn ln 22n n n n ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭2111cos (1)ln 2ln(2)k n k n nk π∞∞===-∑∑为收敛的交错级数，所以收敛. 但2111sin (1)ln 2ln(21)kn k n n k π∞∞===-+∑∑2i ln n n n∞=∑，发散，故条件收敛.i 11(2)ln ln n n n n n =≥≥2i ln nn n ∞=∑2i ln n n n ∞=∑（3）一般项，其公比的绝对值，所以(65i)65i 888nn n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭65i 88+65i 188+=<104绝对收敛. 因而也收敛.1(65i)8nnn∞=+∑（4）一般项不趋于0（当时）（因为cosi1e e1e112222222en nn nn nn-+⎛⎫⎛⎫=⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n→∞对所有成立），所以级数发散.1e1112222e2n n⎛⎫⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n1cosi2nnn∞=∑4. 求下列幂级数的收敛半径（1）（为正整数）；（2）；1npnzn∞=∑p21(!)nnnnzn∞=∑（3）；（4）；(1i)n nnz∞=+∑i/1e n nnzπ∞=∑（5）；（6）.1icosh(1)nnzn∞=⎛⎫-⎪⎝⎭∑1ln innzn∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑解（1）一般项系数，即，所11()pn pC nn==→→∞lim1n→∞=以收敛半径.1R=（2），所以收211||||(!)111,,10e0||||111nnn nn nnn nC Cn nCn C C n nn→∞+++⎛⎫===⋅+−−−→⋅=⎪+⎝⎭⎛⎫+⎪⎝⎭敛半径.R=（3），收敛半径.(1i)|1i|nnnC=+=+==R=（4），收敛半径.i/e1,1nnnCπ===1R=（5），收敛i/i/11lim cos||i1111cosh(e e)cos,lim112||1lim cosnn n nnnnnC nCn n Cn→∞-+→∞→∞⎛⎫+==+====⎪⎝⎭半径.1R=si nga 105（6），即1110()(ln i )|ln i |ln i2n C n n n n π====→→∞+，收敛半径.0n =R =+∞5. 求下列幂级数的收敛半径：（1）；（2）.121121(i)2n n nn n z ∞--=--∑(1)1i (1)nn n n z n ∞+=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑解（1）因为，按函数项级数定义，有，2121211(21)2()1lim lim ()2(21)2n n n n n n n nn z f z z f z n z ++-+→∞→∞+==-当时，级数才绝对收敛，所以. 于是，级数的收敛半径2112z <z <R =（2）因为10,|1|1;1lim ,|1| 1.n n n n z z z n+→∞-≤-⎧=⎨∞->⎩所以，当时级数绝对收敛，于是，级数的收敛半径为.11z -≤1R =评注这两个级数都是缺项级数，因此不能直接套用公式，要用类似实数项级数的达朗贝尔比值法求或用柯西根值法求.6. 求出下列级数的和函数.（1）；（2）.(1)nn n z∞=+∑11(21)nn n z ∞-=-∑解先求收敛半径，再求和函数（1），故收敛半径.由逐项积分的性质，得12limlim 11n n n n c n c n +→∞→∞+==+1R =.10(1)d 1z nn n n zn z z z z∞∞+==+==-∑∑⎰所以，，21(1)1(1)nn z n z z z ∞='⎛⎫+== ⎪--⎝⎭∑1z <106（2），收敛半径.1121lim lim 221n n n n nc c ++→∞-==-12R =1111111111(21)22(2)nn n n n n n n n n n n zzzz z ∞∞∞∞∞-----=====-=-=--∑∑∑∑∑.11112121(12)(1)2z z z z z ⎛⎫⎛⎫=-=⋅< ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭7. 幂级数能否在收敛而在发散？2(2)nn C z ∞=-∑0z =3z =答不能.由Abel 定理，在收敛的幂级数必在圆域0z =2(2)n n C z ∞=-∑内处处收敛，而在圆域内，所以幂级数不|2||02|2z -<-=3z =|2|2z -<0(2)n n n C z ∞=-∑能在收敛而在发散.0z =3z =8. 设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为1.0nn C∞=∑0||nn C∞=∑0n n n C z ∞=∑证级数收敛，相当于幂级数在处收敛. 于是由阿贝尔（Abel ）定nn C∞=∑0nnn C z∞=∑1z =理，对于满足的，级数必绝对收敛.从而该级数的收敛半径.但若||1z <z 0nnn C z∞=∑1R ≥时，幂级数在收敛圆内绝对收敛，特别地在处也绝对收敛，1R >0n n n C z ∞=∑||z R <1()z R =<即收敛，这显然与已知矛盾. 故幂级数的收敛半径.1||nn C∞=∑0n n n C z ∞=∑1R =复变函数作业13 幂级数的和函数泰勒级数1. 把下列各函数展开成的幂级数，并指出它们的收敛半径：z （1）；（2）；（3）（4）；311z+221(1)z +2cos z sinh z （5）；（6）；（7）；（8）.cosh z 22e sin z z 1ez z -1sin1x-107解（1）由易知，，收敛半径01(1)(||1)1n nn z z z ∞==-<+∑331(1)(||1)1n n n z z z ∞==-<+∑.1R =（2）由两边求导得，所以01(1)1n n n z z ∞==-+∑1211(1)(||1)(1)n n n nz z z ∞-=-=-<+∑，收敛半径.12(1)2211(1)(||1)(1)n n n nz z z ∞--==-<+∑1R =（3）由得，收敛半径20(1)cos (||)(2)!n n n z z z n ∞=-=<+∞∑240(1)cos (||)(2)!n n n z z z n ∞=-=<+∞∑.R =+∞（4）由及得1e (||)!zn n z z n ∞==<+∞∑e e sinh 2z zz --=21000111(1)1(1)1sinh 2!!2(!)(21)n n n n n k n n n k z z z z z n n n k ∞∞∞∞-====⎛⎫---=-== ⎪-⎝⎭∑∑∑∑，收敛半径.(||)z <+∞R =+∞（5）同上面（4），，20011(1)1cosh (e e )(||)22(!)(2)!n z z n kn n z z z z n k ∞∞-==+-=+==<+∞∑∑收敛半径.（也可直接由结果4）经过两边求得得到）.R =+∞（6）由得2222222i i (1+i)(1i)11e sin e (e e )(e e )2i 2iz z z z z z z --=⋅-=-222220001(1i)(1i)(1i)(1i)e sin 2i !!2i(!)n n n n z n n nn n n z z z zn n n ∞∞∞===⎡⎤+-+--=-=⎢⎥⎣⎦∑∑∑而(1i)(1i)cos isincos isin 4444n n n n n n n n ππππ⎛⎫⎛⎫+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin4n n π=故g ni r108，收敛半径.220e sin |)z n z z ∞==<+∞R =+∞（7）由两边求导得：两边再求导得：011n n z z ∞==-∑1211(1)n n nz z ∞-==-∑，两边再求导得，... ... (23)22!(1)(1)n n n n z z ∞-==--∑(1)1(1)!(1)(2)[(2)](1)n k k n k k n n n n k z z ∞--=--=-----∑ 即11(1)(2)[(2)](1)(1)!k n k n k z n n n n k z z k ∞+=-----=--∑(1)(2)(3)[(1)](1)!n n k n n n n k z k ∞=-----=-∑ 1 (||1)(1,2,3,)1n n k n z z k k ∞=-⎛⎫=<= ⎪-⎝⎭∑ 故100011(1)(1)e1!1!(1)!kzk k kn z kk k k n k n z z zk k z k z k ∞∞∞∞-====-⎛⎫--⎛⎫=== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑111(1)1(||1)1!kn nn k n z z k k ∞==⎡-⎤⎛⎫-=+=<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦∑∑收敛半径.1R =（8）由结合，的1sin sin 1sin1cos cos1sin 1111z z z z z z z ⎛⎫=+=+⋅ ⎪----⎝⎭cos z sin z 展开式，令（）0(1),2 cos ,(2)!0,2 1 kkk j k j k z z k j k αα∞=⎧-=⎪==⎨⎪=+⎩∑当时;当时,0,1,2,k = （）00,2 sin ,(1),2 1 (21)!k kk j k j k z z j k k ββ∞==⎧⎪==-⎨=+⎪+⎩∑当时;当时,0,1,2,k = 可知1092cos 111kk k z z z z α∞=⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭∑ 2111nk k n k n z k α∞∞==-⎛⎫=+⋅ ⎪-⎝⎭∑∑22111nn k n k n z k α∞==⎧-⎫⎛⎫=+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭∑∑而221(1), 0,(0,1,2,)(2)!k kk k k αα+-=== 222111121n nk k k k n n k k αα⎡⎤⎢⎥⎣⎦==--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑211(1),(2,3,)21(2)!n k k n n k k ⎡⎤⎢⎣⎦=-⎛⎫-== ⎪-⎝⎭∑ 所以2211(1)cos 1 (||1)211(2)!n k nn k n z z z k z k ⎡⎤⎢⎥∞⎣⎦==⎧⎫-⎛⎫-⎪⎪=+<⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑类似地111sin 111kn k k k k n k n z z z k z z ββ∞∞∞===-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑1111n n k n k n z k β∞==⎧-⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭∑∑12101(1),(||1)2(21)!n k nn k n z z k k -⎡⎤⎢⎥∞⎣⎦==⎧⎫-⎛⎫-⎪⎪=<⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑故122211(1)sin sin1sin1211(2)!n k n n k n z k z k -⎡⎤⎢⎥∞⎣⎦==⎧⎫-⎛⎫-⎪⎪=+⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑12101(1)cos1,(||1)2(21)!n k n n k n z z k k -⎡⎤⎢⎥∞⎣⎦==⎧⎫-⎛⎫-⎪⎪+<⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑收敛半径.1R =2. 求下列各函数在指定点处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：0z （1）；（2）；01,11z z z -=+0,2(1)(2)zz z z =++110（3）；（4）021,1z z =-01,1i 43z z=+-（5）；（6）.0tan ,4z z π=0arc tan ,0z z =解（1）11111212z z z z --=⋅-++201(1)(1)22nn n z z ∞=--=-∑，半径.110(1)(1)2n n n n z ∞++=-=-∑11|1|22z z ⎛-⎫<-< ⎪⎝⎭不2R =（2）21(1)(2)21z z z z z =-++++111122231143z z =---++当，即时，214z -<|2|4z -<01(1)(2)2414nnn n z z ∞=-=--+∑当，即时，213z -<|2|3z -<01(1)(2)2313nnn n z z ∞=-=--+∑故当时，上面两展开式同时成立，即有|2|3z -<001(1)1(1)(2)(2)(1)(2)2433n n nnn n n n z z z z z ∞∞==--=---++∑∑ 211021(1)(2)43n n n n z ∞++=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑收敛半径.3R =（3）由111111(1)z z z ==-=-+-+0(1) (|1|1)n n z z ∞=-++<∑两边求导得，半径.12111(1) (|1|1)n n n z z z z ∞-='⎛⎫=-=++< ⎪⎝⎭∑1R =（4）1143(13i)3[(1i)]z z =----+11313i 1[(1i)]13iz =⋅---+-111013[(1i)]13i 13i nnn z ∞=⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭∑这里或3[(1i)]113iz -+<-|13i ||(1i)|3z --+<=R =（5）用公式求；()0()!n n f z C n =0:tan 14n C C π==；214(tan )sec 2,24z z C ππ='===；2244(tan )2sec tan4,2442!z z C πππ=''====，；得244(tan )2sec tan sec 16444z z ππππ=⎛⎫'''=+= ⎪⎝⎭31683!3C ==438tan 1224434z z z z πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭函数有距最近的奇点，其距离就是收敛半径，即. 上面sin tan cos z z z =4π2π4πR 4R π=展开式成立的范围为. 注意，由tan z 44z ππ-<sin 44tan cos 44z z z ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==⎛⎫-+ ⎪⎝⎭sin cos 44cos sin 44z z z z ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结合与的展开式用幂级数的除法可得到一般展开式，这里从略.sin z cos z （6）由，两边积分即得221(arctan )(1)(||1)1n n n z z z z ∞='==-<+∑，半径21(1)arctan (||1)21n n n z z z n ∞+=-=<+∑1R =3. 将函数展成z 的幂级数（至项）.2()3sin 2z f z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5z112解（1）用直接展开法，，，，2()3sin 2z f z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)0f =2()sin 3cos 2z f z z z z ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭(0)3f '=，,2()2cos 2sin sin 2z f z z z z z ''=--(0)0f ''=，，2()3sin cos 2z f z z z z '''=--(0)0f '''=，，2(4)()3sin 4cos sin 2z fz z z z z =--+(4)(0)0f =，，2(5)()7cos 5sin cos 2z fz z z z z =-++(5)(0)7f =-所以，=，.()f z 2573sin 325!z z z z ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭ z <+∞（2）用间接展开法. 因为，而()f z =23sin sin 2z z +213511sin (1)3!5!(21)!n nz z z z z n +=-+-+-++所以 213511()3(1)3!5!(21)!n nz f z z z z n +⎛⎫=-+--+ ⎪+⎝⎭，.2213511(1)23!5!(21)!n nz z z z z n +⎛⎫+-+-+-+ ⎪+⎝⎭5735!z z =-+ z <+∞4. 求在的泰勒展开式（到项）并指出其收敛半径.()In(1e )zf z -=+0z =4z 解用直接展开法求，；，；()In(1e )z f z -=+(0)In2f =1()1e z f z -'=+1(0)2f '=-，；，；2e ()(1e )z z f z ''=+21(0)2f ''=3e (1e )()(1e )z z zf z -'''=+(0)0f '''=113，.2(4)4e (14e e )(1e )z z z z f-+=+(4)31(0)2f =-所以.2423111In(1e )In222! 24! 2z z z z -+=-+-+ 由于在时没有定义，所以其奇点为1e ln(1e )ln ezz z-⎛⎫++= ⎪⎝⎭10ze +=.离的最近一个奇点为，其距离为，故收敛半径(21)i(0,1,)k z k k π=+=± 0z =i k z π=π.R π=5. 将函数在中展开为泰勒级数（到项）21()1f z z=+1z -<4(1)z -解只能用直接展开法，，，，21()1f z z =+1(1)2f =222()(1)z f z z -'=+1(1)2f '=-，，，，22326()(1)z f z z -+''=+1(1)2f ''=3242424()(1)z z f z z -'''=+(1)0f '''=，.4(4)2524240120()(1)z z fz z -+=+(4)(1)3f =-所以，.21()1f z z =+241113(1)(1)(1)2244!z z z =--+---+ 1z -<6. 展开为的幂级数.21()(2)f z z =-(1)z -解因为，所以可利用22211111(2)[3(1)]93z z z --⎡⎤==+⎢⎥++-⎣⎦114式，于是2(1)1(1)(1)(1)2!!nmz z z mz m m m m m n n +=++-++--+ 23223111(1)(1)1223234(2)932! 33! 3z z z z ⎡⎤---=-⋅+⋅-⋅⋅+⎢⎥+⎣⎦，.2312(1)(1)4(1)193327z z z ⎡⎤---=-+-+⎢⎥⎣⎦13z -<7. 求的麦克劳林级数.()e In(1)zf z z =+解因为2311e 1,(||).2!3!!nzz z z z z n =+++++<+∞ 231In(1)(1),|| 1.23nn z z z z z z n-+=-+++-+< 所以2323()12!3!23z z z z f z z z ⎛⎫⎛⎫=++++-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，.2351132340z z z z =++++ 100(1)(1)()!kn n k z k n k ∞∞+==⎛⎫-= ⎪+-⎝⎭∑∑1z <因为，是奇点，所以确定.1z =-1R =评注当被积函数可以分解为几个已知展开式的函数地乘积时，可以采用此种方法.乘积项的确定一般用柯西乘积确定.缺点是不易写出幂级数通项，所以一般只写出展开式的前四至五项.8. 分别将和展为的麦克劳林级数.e cos zz e sin zz z 解用组合法求解. 因为和均在复平面上解析，利用欧拉公式，得e sin zz e cos zz115(1i)e cos ie sin e (cos isin )e z z z zz z z z ++=+=[cos(/4)isin(/4)]ππ+=0cos isin44nn n n z ππ∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭同理(1)e cos ie sin e (cos isin )ezzz i zz z z z --=-=0cos isin44nn n n z ππ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭两式相加除2得；e cos cos 4!nz nn n z z n π∞==∑两式相减除2i 得 0e sin sin 4!nznn n z z n π∞==⋅∑复变函数作业14 洛朗级数1. 把下列各函数在指定的圆环域内展开成罗朗级数：（1）；21,1||2(1)(2)z z z <<+-（2）；；21,0||1(1)z z z <<-0|1|1z <-<（3）；；1,0|1|1(1)(2)z z z <-<--1|2|z <-<+∞（4），；11e z-1||z <<+∞（5），在以为中心的圆环域内；21(i)z z -i （6），在的去邻域内；1sin1z-1z =（7）.(1)(2),3||4,4||(3)(4)z z z z z z --<<<<+∞--解（1）222111121(1)(2)525151z z z z z z =--+--++116222111112111110551112z z z z z =--⋅⋅-⋅⋅-++2220001111(1)21(1)10255n n n n n nn n n z z z z z∞∞∞===--=--⋅-⋅∑∑∑.2122000111(1)2(1),(1||2)10255n nn n n n n n n z z z z∞∞∞++===--=---<<∑∑∑（2）当时，由两边求导得0||1z <<111n n z z ∞==-∑1211(||1)(1)n n nz z z ∞-==<-∑所以.22211111(2)(1)(1)n nn n nz n z z z z z ∞∞-==-=⋅==+--∑∑当时0|1|1z <-<011(1)(1)11n n n z z z ∞===--+-∑从而222111(1)(1)(1)(1)n n n z z z z z ∞-==⋅=--=--∑2(1)(1)nnn z ∞=---∑（3）111(1)(2)21z z z z =-----当时，，所以0|1|1z <-<011(1)21(1)n n z z z ∞=-==-----∑0111(1)(1)(1)(2)1nnn n z z z z z ∞∞==--=--=-----∑∑当时，1|2|z <-<+∞11711111212z z z =⋅=--+-1001(1)(1)2(2)(2)n nnn n n z z z ∞∞+==--=---∑∑从而1110111(1)(1)(1)(2)2(2)(2)n n n n n n z z z z z +∞∞++==--=-=-----∑∑（4）当时，1||z <<+∞.011111111n n z z z z z∞==-⋅=-=--∑12311111n n zz z z ∞+=⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭∑ 于是231123232311111111111e12!3!zz z z z z z z z z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++++-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭234111111112!3!4!z z z z=---++ （5）此题中，以为中心的圆环域有两个：与.i 0|i |1z <-<1|i |z <-<+∞当时，0|i |1z <-<01111i i (i)i i i i 1in n n z z z z ∞===⋅=----++∑两边求导得，于是11211i (i)n n n n z z ∞+-==-∑12211i (i)(i)n n n n z z z ∞+-==--∑当时，1|i |z <-<+∞111i i 1iz z z =⋅=-+-1001(1)i (1)i (i)(i)n n n n n n n z z z ∞∞+==--=---∑∑两边求导得118，于是2201(1)(1)i (i)n n n n n z z ∞+=-+=-∑2301(1)(1)i (i)(i)n nn n n z z z ∞+=-+=--∑（6）当时，即在的去心邻域内：0|1|z <-<+∞1z =21011(1)1sin sin 11(21)!(1)n n n z z n z ∞+=-=-=---+-∑（7）(1)(2)621(3)(4)43z z z z z z --=+-----当时，3||4z <<(1)(2)612113(3)(4)4114z z z z z z z--=------0031211324n n n n n n z z z ∞∞===--∑∑211311232nnn n n n z z ∞∞++===--∑∑当时，4||z <<+∞(1)(2)6121143(3)(4)11z z z z z z z z--=+-⋅----006121143n n n nn n z z z z ∞∞===+-∑∑211111(3223)n n nn z ∞--==+⋅-⋅∑2. 将在内展为洛朗级数.1()e 1zf z z=-01z <-<+∞解在，内01z <-<+∞1(1)11e e 11z z z z +-=--2e 111(1)(1)(1)12!!nz z z z n ⎡⎤=-+-+-++-+⎢⎥-⎣⎦.1111e 1(1)(1)12!!n z z z n -⎡⎤=-++-++-+⎢⎥-⎣⎦3. 求出使洛朗级数收敛的圆环域.其中(2)nnn c z +∞=-∞-∑119，，，01c =1!n n c n n =111|2n c n-=+++ 1,2,n = 解要将洛朗级数分为正幂部分和负幂部分和负幂部分两个幂级数，分别求出它们的收敛半径，然后确定使洛朗级数收敛的圆环域..(2)nn n c z ∞=-∞-∑1111!1(2)12)2n nnn n n z z n n ∞∞-==⎛⎫=+++-++- ⎪⎝⎭∑∑ 其中的收敛半径为1111(2)2nn z n ∞-=⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭∑ .11112lim lim 1111121n n n n c n R c n →∞→∞+++===+++++ 的收敛半径为.1!2)nn n n z n ∞=-∑11lim lim 1e nn n n n c R c n →∞→∞+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭所以，由，得收敛圆环域为111r R ==12e z <-<4. 在内，将展成洛朗级数.01z <-<+∞()sin 1zf z z =-解 .sinsin 111z z z z ⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭11sin1cos cos1sin 11z z =+--而 ,2011cos (1)(1)12!n nn z z n ∞-==---∑(21)011sin (1)(1)1(21)!n n n z z n ∞-+==---+∑故 23cos1sin1cos1sinsin1112! (1)3! (1)z z z z z =+--+---- 2sin1(1)(2)! (1)nn n z +--21cos1(1)(21)! (1)nn n z ++-++-5. 如果为正向圆周，求积分的值. 设为：C ||3z =()d Cf z z ⎰A ()f z （1）；（2）；（3）（4）1(2)z z +2(1)z z z++21(1)z z +(1)(2)zz z ++120解（1）.当时，1111(2)22z z z z ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭2||z <<+∞.11112(2)221z z z z z=-⋅+=++11320(1)21212n n n n z z z z -∞+=---+=++∑ 由此可见展开式中项的系数，而且圆周在内，所以由公式1z10C -=||3z =2||z <<+∞1()d 2i 0Cf z z C π-==⎰A （2）当时，1||z <<+∞221111111(1)11z z z z z z z z z+=+⋅=+⋅=+++2211111z z z z ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭展开式中项的系数，而且圆周在内，所以由公式1z11C -=||3z =1||z <<+∞1()d 2i 2iCf z z C ππ-==⎰A （3）当时，1||z <<+∞.10011(1)(1)1n nn n n n z z z z∞∞+==--==+∑∑两边求导得，于是，2201(1)(1)(1)n n n n z z ∞+=-+=+∑2301(1)(1)(1||)(1)n n n n z z z z ∞+=-+=<<+∞+∑展开式中项的系数，由公式1z10C -=1()d 2i 0C f z z C π-==⎰A （4）（当时）21(1)(2)21z z z z z =-++++2||z <<+∞2222411111z z z z z z ⎛⎫⎛⎫=-+---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 213z z=-+ 展开式中项的系数，而且圆周在内，由公式1z11C -=||3z =2||z <<+∞1()d 2i 2iCf z z C ππ-==⎰A121复变函数作业15 第4章综合练习1.命题“复数项级数与都发散，则级数和也发散”1nn α∞=∑1nn β∞=∑1()nn n aβ∞=±∑1n n n αβ∞=∑是否成立？为什么？解不成立. 因为运算可以消除使级数发散的因素.例如，，，则和都发散，但21i n n n α=+21in n n β=+-1n n α∞=∑1n n β∞=∑和都收敛.若令，则2112i ()n n n n n αβ∞∞==+=∑∑241111n n n n n n αβ∞∞==⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦∑∑21i n n n β=-也收敛.2112i()n n n n n αβ∞∞==-=∑∑2. 下列数列是否收敛？如果收敛，求出其极限.（1）；（2）；（3）；（4）.1i 2nn a +⎛⎫= ⎪⎝⎭1chi n a n n =0i 2kn n k a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑1i 22en n a π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=解先化为复数形式，然后考察时，极限是否存在.n →∞（1）因为，.所以cos isin 44nnn a ππ⎤⎫+=⎥⎪⎭⎦cos isin 44n n ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭lim 0n n a →∞=数列收敛，极限为0.{}n a （2）因为，所以数列收敛，极限为0i i 1e e 1cos ,lim 02n n n n n a n a n n-→∞+=⋅=={}n a （3）因为，当时,所以数列收敛，极限为.0i 2knn k a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑n →∞22i n a →-{}n a 22i -（4）,当时.所以数列收敛，11cos isin 2222n a n n ππ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n →∞i n a →-{}n a 极限为i-3. 判断下列级是否收敛? 是绝对收敛还是条件收敛?（1）；（2）；（3）；（4）.0(3)!n n i n ∞=∑1!n n n n ∞=∑/1e !i n n n π∞=∑115i 2nn ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑n122解（1）因为，而当，，所以收敛，(3i)3!!n n n n ≤n →∞1133/0(1)!!n n n n ++→+0(3)!nn i n ∞=∑原级绝对收敛.（2）因为，所以原级数收敛.1(1)!!1/1(1)en n n n n n ++=<+（3）因为，,1cos isin n n n n ππα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1111cos i sin n n n n nn n ππα∞∞∞====+∑∑∑两个级数不能保证原级数收敛.所以原级数发散.（4）因为，不趋于零（当时），所以原级发散.nn α=lim n αn →∞4. 求幂级数的收敛半径.21(i)1sin n n n n z n -∞→∞⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭∑解因为含有幂次，用根值法n c n （等价无穷小）n n 1lim 1sin nn n -→∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以，收敛半径.(1)11lim 1e n n n ⋅--→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭e R =5. 证明：如果存在（），下列三个幂级数有相同的收敛半径：1limn n nC C +→∞≠∞11,,.1n n n n n n C C z z nC z n +-+∑∑∑证设，则由，易知，1lim()n n n C l C +→∞=≠∞11||n n n n C C l l C C ++-≤-1lim ||()n n nCl C +→∞=≠∞记.||l ρ=（1）的收敛半径.n n C z ∑11R ρ=（2）一般项系数（项系数），于是11n n C z n ++∑nz 1n nC a n-=123，即，由公式得其收敛半径.11||||11n n nn C n n Cαα+-=⋅→⋅+ρρ=1lim n n nαρα+→∞=21R ρ=（3）一般项系数于是，1n n nC z -∑1(1),n n n C β+=+121||211n n nn C n n C βρρβ++++=⋅→⋅=+即，收敛半径.1limn n nβρβ+→∞=31R ρ=故三个幂级数有相同的收敛半径.6. 如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的nnn C z∞=∑0z 闭区域上绝对收敛.证设级数在收敛圆周上一点处绝对收敛（为收敛半径），则nnn C z∞=∑||z R =0z R 收敛且. 于是对收敛圆所围成的闭区域上任一点，都有00||n n n C z∞=∑0||z R =||z R ≤z 0||||||||||n n n nn n n n C z C Z C R C z =≤=由比较判别法得收敛，即在上绝对收敛.0||nn n C z∞=∑0n n n C z ∞=∑||z R ≤7. 求幂级数的收敛半径.[2(1)]n n nn z∞→+-∑解用比值法和极值法都不能求得R ，故用柯西-哈达玛法，lim[2(1)]3n n →∞+-=所以，收敛半径.13R =8. 求幂级数的收敛半径.10,0)i nn nn z a b a b ∞=>>+∑解用根值法221/21()n n nn a b +124因为 ,，所以{}{}221/21/2max ,()2max ,nn n n a b ab a b ≤+≤lim 1n →∞=.{}221/2lim()max ,n n n n a b a b →∞+=于是，级数的收敛半径为.{}max ,R a b =9. 求下列级数的和函数（1）;（2）.111(1)n n n nz∞--=-∑20(1)(2)!nnn z n ∞=-∑解（1），收敛半径.由逐项积分性质，得11limlim 1n n n n c n c n+→∞→∞+==1R =.111(1)d (1)1z nn n n n n z nz z z z∞∞-==-=-=+∑∑⎰所以.1211(1)11(1)nn n z nzz z z ∞-='⎛⎫-==⋅< ⎪++⎝⎭∑（2）. 故收敛半径.11limlim 0(21)(22)n n n c c n n +→∞==++R =∞设级数和函数, 进行逐项求导，得20()(1)(2)!nnn z f z n ∞==-∑，，所以有 ,211()(1)(21)!n nn z f z n -∞='=--∑221()(1)(22)!n nn z f z n -∞=''=--∑()()f z f z ''=-即有微分方程 .解得待定.()()0f z f z ''+=()cos sin ,,f z A z B z A B =+因为，得，200(0)(1)1(2)!nn n z z f A n ∞==⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦∑1A =得B =0，21010(0)(sin cos )(1)0(21)!n nz n z z f z B z n -∞===⎡⎤'=-+=-=⎢⎥-⎣⎦∑故 .20()(1)cos (2)!nnn z f z z n ∞==-=∑12510. 证明级数，沿实轴绝对收敛.222222221(1)(1)nz z z z z z z ++++++++ 证若，级数绝对收敛.0z =若，取任意不为零实数时，有. 所以，级数收敛. 由于0z ≠2111z <+201(1)nn z ∞=+∑也是实数，因而也收敛.2z 220(1)nn z z ∞=+∑11. 将分别展为和的泰勒级数.1()23f z z =-z 1z -解即分别取和.于是00z =01z =（1）222111122123312/3333z z z z ⎡⎤-==-+++⎢⎥--⎣⎦，，即 .232323412223333z z z =----- 1023n n n n z ∞+==-∑213z <32z <（2），, 即 .112312(1)z z =----0[2(1)]n n z ∞==--∑2(1)1z -<112z -<12. 将展为的幂级数，，为不相等的复数.1()f z z b=-()z a -a b 解先在中构造出的因式再展开()f z ()z a -1111()/()z b b a z a b a -=⋅-----211z a z a b a b a b a ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，.101()()nn n z a b a ∞+==---∑1z a b a -<-13. 将在下列圆环域内展为洛朗级数：1()(1)(2)f z z z =--（1）; （2）; （3）; （4）.12z <<2z <<+∞011z <-<11z <-<+∞解 ,11()21f z z z =---126（1）在内，，，12z <<11z <12z<故 .1111()21/211/f z z z z =-⋅---0011122n nn n z z z ∞∞==⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑1100112n n n n n z z∞∞++===--∑∑（2）在内，，，故2z <<+∞11z <21z<.0011121211()12/11/n nn n f z z z z z z z z z ∞∞==⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑1021n n n z ∞+=-=∑（3）在内011z <-<1111()211(1)1f z z z z z -=-=------01(1)1n n z z ∞==----∑ .211(1)(1)(1)1n z z z z =----------- （4）在内，，11z <-<+∞111z <-11111()(1)11111/(1)1f z z z z z z =-=⋅-------- 23111111(1)(1)(1)1n z z z z z =+++++------ 23111(1)(1)(1)nz z z =++++--- 第四章习题课教与学参考例1 证明：0,||1,||1lim 1,1.||1,1nn a a a a a a →∞<⎧⎪∞>⎪=⎨=⎪⎪=≠⎩不不不证令，其中，则i e(cos isin )r r θαθθ==+||,arg r αθα==127.(cos isin )n n r n n αθθ=+（1）当时，非负实数. 从而，即||1α<1,lim 0nn r r →∞<=|0|0()n nr n α-=→→∞.lim 0n n α→∞=（2）当时，，由1）的结论，从而有.||1α>11α<1lim 0nn α→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭lim n n α→∞=∞（3）当时易知.1α=1,lim 1n nn αα→∞==（4）当时，.因与||1,1αα=≠1,cos isin (0)nr n n αθθθ==+≠lim cos n n θ→∞均不存在，所以不存在.lim sin n n θ→∞lim n n α→∞例2 下列说法是否正确？为什么？（1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；（2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；（3）每一个在点连续的函数一定可以在的邻域内展开成泰勒级数.0z 0z 答（1）不正确. 幂级数在收敛圆内的点处收敛而且绝对收敛，而在收敛圆周上可能处处收敛（如），也可能处处发散（如），还可能既有收敛点也有发散点（如211n n z n ∞=∑1nn z ∞=∑）.11nn z n∞=∑（2）不正确. 和函数在收敛圆内是解析函数，在收敛圆周上至少有一个奇点.（3）不正确. 在点解析的函数才一定可以在的邻域内展开成泰勒级数. 在点连0z 0z 0z 续的函数（更进一步在点可导的函数）不一定能在的邻域内展开成泰勒级数，例如0z 0z 在的邻域内就不能展开成泰勒级数.2()||f z z =00z =例3 如果的收敛半径为，证明的收敛半径.[提示：nnn C z∞=∑R 0(Re )n nn C z∞=∑R ≥]|(Re )|||||n n n n C z C z ≤128证由的收敛半径为可知，对收敛圆内任一点，不但收nnn C z∞=∑R ||z R <0z 0n n n C z∞=∑敛而且绝对收敛，即收敛. 又||nn n C z∞=∑0000|(Re )||Re |||||||||n n n nn n n n C z C z C z C z =≤=结合比较判别法可得收敛，即绝对收敛，因而也是收敛的. 这00|(Re )|nnn C z∞=∑0(Re )nn n C z ∞=∑样幂级数在内任一点收敛（而且是绝对收敛的），它的收敛半径R.(Re )nnn C z∞=∑||z R <≥例4 为什么在区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂||z R <(,)R R -()f z z 级数时，展开式的系数都是实数？答因为当在上取实数值且可导时其导数()f z (,)R R -在上为实数值（只需让沿实轴趋于零便知），这样()()()limz f z z f z f z z∆→+∆-'=∆(,)R R -z ∆依次下去可知当在内解析（当然在上有各阶导数），在上取实()f z ||z R <(,)R R -(,)R R -数值时在上取实数值，特别地()()(0,1,2,)n fz n = (,)R R -为实数，即展开式的系数都是实数.()(0)/!(0,1,2,)n n f n C n == 例5 函数能否在圆环域内展开成罗朗级数？为什么？1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭0||(0)z R R <<<<+∞答不能. 由罗朗定理，能否在内展开成罗朗级数等价于能1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭0||z R <<1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭否在内解析. 而以的点为奇点，0||z R <<1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭1cos 0z ⎛⎫= ⎪⎝⎭1(0,1,2,)2k z k k ππ==±±+且，所以在任何圆环域内都有的奇点. 在lim 0k k z →∞=0||(0)z R R <<<<+∞1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭129内不解析，从而在其内不能展开成罗朗级数.0||z R <<例6 若,与都收敛, 证明级数绝对收敛.Re()0n α≥1nn α∞=∑21nn α∞=∑21nn α∞=∑证因为,若收敛,则也收敛,从而也收敛. 但是i n n n a b α=+na∑21nn α∞=∑221()n n n ab ∞=-∑,22221112()nnnn n n n a a b α∞∞∞===--=∑∑∑所以, 级数收敛.21n n α∞=∑例7 讨论级数的敛散性.1()n n n zz ∞+=-∑解讨论级数的部分和.11()1n k k n n k S zz z -+==-=-∑当时，，故级数收敛于1；当时，，故级数发散1z <lim 1n n S →∞=--1z =lim 0n n S →∞=0；当时，不唯一，故级数收敛于；1z =-lim n n S →∞当，且时，即时，.1z =1z ≠i e (0)z θθ=≠cos isin nz n n θθ+因为和的极限都不存在，所以不存在，级数发散；cos n θsin n θlim n n S →∞当时，级数显然发散.1z >例8 求下列幂级数的收敛半径：（1）；（2）（p 为正整数）；!1n n z∞=∑0p nn nz ∞=∑（3）；（4），1!n n n n n ∞=∑20(1)n nn q z q ∞=<∑（5）21223211111223232323n nn n n n z z z z z --+++++++⋅⋅ng130解（1）因为，所以，收敛半径.1,!,0,!kk nck n=⎧=⎨≠⎩11R=（2）因为.所以，收敛半径.1/1/lim()lim()1p n n pn n nn n→∞→∞===1R=（3）因为.所以，收敛半径.1(1)!!1lim/lim(1)1enn nn nn n nn n n+→∞→∞+⎛⎫==⎪++⎝⎭eR=（4）因为，所以，收敛半径2(1)21lim lim0nnnn nqqq++→∞→∞==R=+∞（5）因为，，所以2121123n nc--=2123n n nc=⋅，.于是，收敛半/(21)(1)/(21)2lim lim1/(23)n n n nn n---→+∞→∞=⋅=limn→+∞=径.R=例9 求下列级数收敛半径，并写出收敛圆周：（1）（p为正整数）；（2）；1(i)npnzn∞=-∑1(1i)n nnz∞=+∑（3）（4）.[3(1)](1)n n nnz∞=+--∑2(1)(2)!nnnzn∞=-∑解先求收敛半径，再据题写出收敛圆周（1）因为，所以，收敛半径，收敛圆周为.1lim lim11pnn nnc nc n+→∞→∞⎛⎫==⎪+⎝⎭1R=i1z-=（2）因为，所以，收敛半径.写出收敛圆周为1lim lim1inn nncc+→∞→∞=+=R=z=（3）因为是振荡的，所以由柯西-哈达玛法[3(1)]n nnc=+-，收敛半径.收敛圆周为.n n4=14R=114z-=。

《复变函数》试题及参考答案

《复变函数》在线作业参考资料一、单选题1、设则（C ）ABCD2、当iiz −+=11时，5075100z z z ++的值等于（B ） A i B i − C 1 D 1−3、若，则双边幂级数的收敛域为(A)A B C D4、复数)2(tan πθπθ<<−=i z 的三角表示式是（D ）A )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i B )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i C )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++−iD )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++−i5、设为复数，则方程的解是（B ）A B C D6、若z 为非零复数，则22z z −与z z 2的关系是（C ）A z z z z 222≥−B z z z z 222=−C z z z z 222≤−D 不能比较大小 7、下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B ）A BC D8、设y x ,为实数，yi x z yi x z +−=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（B ）A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 9、关于圆周的对称点是(C)ABCD10、一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31−，则原向量对应的复数是（A ）A 2B i 31+C i −3D i +311、积分( B)A0 B C10 D12、使得22z z =成立的复数z 是（D ）A 不存在的B 唯一的C 纯虚数D 实数13、设复数满足那么（A ）A B C D14、在复平面上(A)A 无可导点B 有可导点，但不解析C 有可导点，且在可导点集上解析D 处处解析15、方程232=−+i z 所代表的曲线是（C ）A 中心为i 32−，半径为2的圆周B 中心为i 32+−，半径为２的圆周C 中心为i 32+−，半径为2的圆周D 中心为i 32−，半径为２的圆周16、函数在点处是(B)A 解析的B 可导的C 不可导的D 既不解析也不可导17、00)Im()Im(lim0z z z z x x −−→（D ）A 等于iB 等于i −C 等于0D 不存在18、函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（C ）A ),(y x u 在),(00y x 处连续B ),(y x v 在),(00y x 处连续C ),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续D ),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续19、设为解析函数的级零点，那么(A)ABCD20、设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+−=的最小值为（A ）A 3−B 2−C 1−D 1 21、积分(C)A0 B C D22、设为函数的级极点，那么(C)A5 B4 C3D223、设为负向，正向，则(B)AB0 CD24、幂级数在内的和函数为(A)A B C D25、设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么(C)A1 B2 C3 D426、设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于.如果在上的值为2，那么对内任一点(C)A等于0 B等于1 C等于2 D不能确定27、设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径(C)A B1 C D28、设是复数，则(C)A在复平面上处处解析 B的模为C一般是多值函数 D的辐角为的辐角的倍29、满足不等式的所有点构成的集合是（D）A有界区域 B无界区域 C有界闭区域D无界闭区域30、下列级数中，绝对收敛的级数为(D)A B C D31、设，则( A)A2 B C D32.、设为正向圆周，则(C)A B C0 D33、是函数的(D)A可去奇点B一级极点C一级零点 D本性奇点34、分式线性变换将区域:映射为(D)A BC D35、下列命题中，正确的是(C) A 设在区域内均为的共轭调和函数，则必有B 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数C 若在区域内解析，则为内的调和函数D 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数36、函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的(B) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既非充分条件也非必要条件 37、下列命题中，正确的是(D) A 设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy xB 若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导C 若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 D 若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 38、下列函数中，为解析函数的是(C)A xyi y x 222−−B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +−+−D 33iy x + 39、若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f −++−+=在复平面内处处解析，那么实常数=a (C)A 0B 1C 2D 2−40、如果)(z f ′在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(−=f ，那么在1<z 内≡)(z f (C)A 0B 1C 1−D 任意常数41、设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是(C)A 若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数B 若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数C 若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 D 若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 42、设22)(iy x z f +=，则=+′)1(i f (A) A 2 B i 2 C i +1 D i 22+43、ii 的主值为(D)A 0B 1C 2πe D 2π−e43、ze 在复平面上(A)A 无可导点B 有可导点，但不解析C 有可导点，且在可导点集上解析D 处处解析 44、设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是(C) A )(z f 在复平面上处处解析 B )(z f 以π2为周期 C 2)(iziz e e z f −−= D )(z f 是无界的45、设α为任意实数，则α1(D)A 无定义B 等于1C 是复数，其实部等于1D 是复数，其模等于1 46、下列数中，为实数的是(B)A 3)1(i − B i cos C i ln D i e23π−47、设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+∫cdz iy x )(2(D)A i 6561−B i 6561+−C i 6561−−D i 6561+ 48、设c 为不经过点1与1−的正向简单闭曲线，则dz z z zc∫+−2)1)(1(为(D)A 2iπ B 2i π− C 0 D(A)(B)(C)都有可能二、判断题1、如果是的可去奇点，则一定存在且等于零（错）2、若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析(错）3、若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数（对）4、有界整函数必在整个复平面为常数（对）5、若在区域内解析，则||也在内解析（错）6、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛（对）7、是一个有界函数（错）8、若函数在处解析，则在满足Cauchy-Riemann 条件（对）9、有界整函数必为常数（对）10、若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）（对）11、如果函数为整函数，且存在实数，使得，则为一常数（错）12、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点（对）13、若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则（对）14、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点（对）15、若函数在处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数（对）16、（错）17、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数(错）18、若函数是区域内的单叶函数，则（对）19、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续（对） 20、若函数在解析，则在的某个邻域内可导（对）21、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续（对）22、若，则为的n 阶零点（错）23、若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有（对）24、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析(错） 25、若在区域内解析,则对内任一简单闭曲线（错）26、存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f (错）27、若函数是非常的整函数，则必是有界函数（错）28、若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数（对）29、若函数在区域内的解析，且在内某一条曲线上恒为常数，则在区域内恒为常数（对）30、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析(错）31、设函数是有界区域内的非常数的解析函数，且在闭域上连续，则存在，使得对任意的，有（对）32、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f （对）33、与在复平面内有界（错）34、若0z是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f （对）35、若是的一级极点，则（对）36、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件（对） 37、当复数时，其模为零，辐角也为零（错）38、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析(错）39、如果是的极点，则一定存在且等于无穷大（对）40、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界(错）41、若收敛，则与都收敛（对）42、设函数与在区域内解析，且在内的一小段弧上相等，则对任意的，有（对）43、一定不存在（对）44、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数. （对） 45、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数.（对）46、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.（对） 47、若函数f (z )在z 0可导，则它在该点解析.（错） 48、设函数)(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数.（对）49、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个领域内可导.（对） 50、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0lim ()z z f z →一定不存在.（对）51、若函数()f z 是区域D 内解析，并且()0()f z z D ′≠∀∈，则()f z 是区域D 的单叶函数.（错）52、如果函数()f z 在1z ≤内解析，则11max{()}max{()}.z z f z f z ≤==（对）。

复变函数(第四版)课后习题答案

习题一解答1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。

（1）i 231+；（2）i13i i 1−−；（3）()()2i 5i 24i 3−+；（4）i 4i i 218+−解（1）()()()2i 31312i 32i 32i 32i 31−=−+−=+ 所以133=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+i 231Re ，1322i 31Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+,()2i 31312i 31+=+，131********i 3122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+， k π2i 231arg i 231Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+",2,1,0,232arctan ±±=+−=k k π（2）()()()()i,25233i 321i i)(1i 1i 13i i i i i 13i i 1−=+−−−=+−+−−−=−− 所以,23i 13i i 1Re =⎭⎬⎫⎩⎨⎧−− 25i 13i i 1Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−25i 23i 13i i 1+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−，2342523i 13i i 122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−−， k π2i 1i 3i 1arg i 1i 3i 1Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− ",±,±,=,+−=210235arctan k k π.（3）()()()()()()()()()42i 7i 262i 2i 2i 5i 24i 32i 5i 24i 3−−=−−−+=−+ 13i 27226i 7−−=−−=所以()()272i 5i 24i 3Re −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+，()()132i 5i 24i 3Im −=⎭⎫⎩⎨⎧−+，()()l3i 272i 5i 24i 3+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+()()22952i5i 24i 3=−+， ()()()()k ππk π2726arctan 22i 2i 52i 43arg i 2i 52i 43Arg +−=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+ ()",2,1,0,12726arctan±±=−+=k k π.（4）()()()()i i 141i i i 4i i 4i i 10410242218+−−−=+−=+−3i 1i 4i 1−=+−=所以{}{}3i 4i i Im 1,i 4i i Re 218218−=+−=+−3i 1i 4i i 218+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−，10|i 4i i |218=+−()()()2k π3i 1arg 2k πi 4i i arg i 4i i Arg 218218+−=++−=+−=.2,1,0,k 2k πarctan3"±±=+−2．如果等式()i 13i53y i 1x +=+−++成立，试求实数x , y 为何值。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数作业答案

2 ，0 r
i
3． 6 z
24 xy 2 z 3 6 y 2 z 。
j
+ (3xz 2 1)
F
( z 3 4 xy )
+ (6 y 2 x 2 )
k
则 F =0 ，故存在函数
u
，使
d u = ( z 3 4 xy )dx (6 y 2 x 2 )dy (3xz 2 1)dz 0 ,即微分方程的解为 u( x, y , z ) c, c 为常数五．势函数 u 向量势为 G
1 = 1 ( 1 ) ( 1)n 1 nz 2 n 2 ， R 1 ； 2 2 2 (1 z ) 2z 1 z n1
2 1 (1i ) z 2 22 n 2 n z 2 2． e sin z = (e e (1i ) z ) sin z ，R ； 2i 4 n 0 n!
2
3
3 0 0 2 0 1 sin 2 3 cos 2 1
四． 4a ，
2
五．
1 4 a 4
向量分析与场论作业 2 一． 1. 二．1.
x2 y2 z ;
b 三． 10 3
2. 0;
3. |grad u |.
四． 1 ( 2 e 4 )
3
五．1． u 1 3
六．
f ( z ) 连续 u, v 连续 f ( z ) 连续，
复变函数论作业 3 一．1．全平面，二． 1． b 三． (2) (0,0), (
f ( z ) 3z 2 2i ； 2． 1， 3,3 ； 3． cos x cosh y i sin x sinh y

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题号:1 题型:是非题本题分数:5
内容:
函数在其孤立奇点处的留数等于函数在该孤立奇点的邻域内展开成的洛朗级数的负一次项系数。

（）
1、错
2、对
标准答案:2
学员答案:1
本题得分:0
题号:2 题型:是非题本题分数:5
内容:
图形:
1、错
2、对
标准答案:2
学员答案:2
本题得分:5
题号:3 题型:是非题本题分数:5
内容:
图形:
1、错
2、对
标准答案:2
学员答案:2
本题得分:5
题号:4 题型:是非题本题分数:5
内容:
图形:
1、错
2、对
标准答案:2
学员答案:2
本题得分:5
题号:5 题型:是非题本题分数:5
内容:
图形:
1、错
2、对
标准答案:1
学员答案:1
本题得分:5
题号:6 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:B
学员答案:B
本题得分:5
题号:7 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:B
学员答案:B
本题得分:5
题号:8 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:A
学员答案:A
本题得分:5
题号:9 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:C
学员答案:D
本题得分:0
题号:10 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:D
学员答案:D
本题得分:5
题号:11 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:B
学员答案:B
本题得分:5
题号:12 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:B
学员答案:B
本题得分:5
题号:13 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:C
学员答案:C
本题得分:5
题号:14 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:D
学员答案:D
本题得分:5
题号:15 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:A
学员答案:A
本题得分:5
题号:16 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:C
学员答案:C
本题得分:5
题号:17 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:C
学员答案:C
本题得分:5
题号:18 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:A
学员答案:A
本题得分:5
题号:19 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:B
学员答案:A
本题得分:0
题号:20 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容:
图形:
A、
B、
C、
D、
标准答案:A
学员答案:A
本题得分:5。