刘迎东微积分第十章习题10.1答案

10.1 第一型曲线积分 习题10.1
1. 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点(),x y 处它的线密度为(),x y μ。

用第
一型曲线积分分别表达
（1） 这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量,.x y J J 解：()()22,;,.x y L
L
J y x y ds J x x y ds μμ=
=⎰
⎰
（2） 这曲线弧的质心坐标,.x y
解：()()()(),,,.,,L
L
L
L
x x y ds y x y ds x y x y ds x y ds
μμμμ==⎰⎰⎰⎰ 2. 计算下列第一型曲线积分： （1）()
2
2,n
L
x
y
ds +⎰ 其中L 为圆周()cos ,sin 02;x a t y a t t π==≤≤
解：
()
2222210
2.n
n L
x
y
ds a a ππ++==⎰⎰
（2）
(),L
x y ds +⎰ 其中L 为连接()1,0及()0,1两点的直线段。

解：1;
:,0 1.x t L t y t
=-⎧≤≤⎨=⎩(
)(
10
1L x y ds t t +=-+=⎰⎰
（3）
,L
xds ⎰ 其中L 为由直线y x =及抛物线2
y x
=所围成的区域的整个边界。

解：
1
1
1
.12212
L
xds =+=
+-⎰
⎰⎰
（4）
,L
⎰ 其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇
形的整个边界。

解：
40
22.
4
a
L
a
a e
ae
e π
θπ=++=-+
⎰
⎰⎰
（5）
222
1,ds x y z Γ++⎰ 其中Γ为曲线cos ,sin ,t t t
x e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧。

解：
222
2
1
1
1.
2
t
ds
x y z
dt
e
Γ++
=
⎫
==-⎪
⎝⎭
⎰
⎰
⎰
（6）2,
x yzds
Γ
⎰ 其中Γ为折线A B C D，此处,,,
A B C D依次为点()()()()
0,0,0,0,0,2,1,0,2,1,3,2;
解：
0;;1;
:0;,01;:0;,01;:3;,01;
222
x x t x
AB y t BC y t CD y t t
z t z z
===
⎧⎧⎧
⎪⎪⎪
=≤≤=≤≤=≤≤
⎨⎨⎨
⎪⎪⎪
=
==
⎩⎩⎩
所以
111
2
000
0069.
x yzds dt dt
Γ
=++=
⎰⎰⎰⎰
(7) 2,
L
y ds
⎰ 其中L为摆线的一拱()()()
sin,1cos02;
x a t t y a t tπ
=-=-≤
≤
解：()
22
223
256
1cos.
15
L
y ds a t a
π
=-=
⎰⎰
（8）()
22,
L
x y ds
+
⎰ 其中L为曲线
()()
cos sin,sin cos,02;
x a t t t y a t t t tπ
=+=-≤≤
解：
()
()
()
()()
22
222
22
2
32324
cos sin sin cos
124.
L
x y ds
a t t t a t t t
a t tdt a
π
π
ππ
+=
⎡++-
⎣
=+=+
⎰
⎰
⎰
(9) ,
L
zds
⎰ 其中Γ为曲线()0
cos,sin,0;
x t t y t t z t t t
===≤
≤
解：
()
3
22
1
2
33
t
L
zds t
==+
-⎰⎰
(10) ,
⎰ 其中L为圆周22;
x y ax
+=
解：
2
cos;
:,.
22
cos sin
x a
L
y a
θππ
θ
θθ
⎧=
-
≤≤
⎨
=
⎩
2
2
2
cos2.
a a
π
π
θ
-
==
⎰⎰
(11) (),L
x y ds +⎰其中L 为由()()()0,0,1,0,0,1三点所连接的闭折线。

解：
()()()()()();0;
0,01,0:,01;0,00,1:,01;01;
1,00,1:,01;x t x t t y y t x t t y t
==⎧⎧→≤≤→≤≤⎨⎨==⎩⎩
=-⎧→≤≤⎨
=⎩
(
)
1
1
00
1L x y ds +=++=⎰⎰⎰⎰
（12）
()2
22,L
x
y z ds ++⎰其中L 为螺旋线
cos ,sin ,,02;x a t y a t z bt t π===≤≤
解：
()(
22222220
232
82.
3L
x y z ds a b t b a π
ππ++=+⎫=+⎪⎭⎰
⎰
（13）
,L
yds ⎰
其中L 为抛物线24y x =自点()0,0到点()
1,2的一段；
解：
()
2
14.3L
yds ==⎰
⎰
（14）4433,L x y ds ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
⎰其中L 为内摆线222
333x y a +=的弧； 解：
3
3
cos ;:sin x a L y a θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩(
()4444433
32077
5
5
3
3
20
4cos sin 12cos
sin sin cos 4.
L x y ds a a
d a ππ
θθθ
θθθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
=+=⎰⎰⎰
（15）
2,L
x ds ⎰
其中L 为圆周2222,0.x y z a x y z ++=++=
解：()32
2222
112.333
L L L a x ds x y z ds a ds π=++==
⎰⎰⎰ 3. 求半径为R 的半圆形金属丝（设线密度为常数μ）对位于圆心的质点（设质量为0m ）
的引力F 。

解：设圆心
为原点，金属丝占据上半圆周。

则
0.x F =00
0330sin 2.y L Gm y Gm R Gm F ds Rd R R R
πμμθμθ===⎰
⎰ 4. 求物质曲线()23,,0123
a a
x at y t z t t ==
=≤≤
的质量，其线密度ρ=
解：0
3816L
a a m ds ρ=
==+⎰
⎰
5. 求半径为a ，中心角为2ϕ的均匀圆弧（线密度1μ=）的质心。

解
：
设
圆
心
在原点，关于
y
轴对称，则
x =；
22
22
22
sin 2sin sin .2L L
a d yds a a y a ds
ad π
ϕ
π
ϕ
πϕ
π
ϕ
θθ
ϕϕϕϕ
θ
+-+-==
==⎰⎰⎰⎰
6. 设螺旋形弹簧一圈的方程为cos ,sin ,,x a t y a t z kt ===其中02t π≤≤，它的线密度
()222,,x y z x y z ρ=++。

求
（1） 它关于z 轴的转动惯量;z J （2） 它的质心。

解：（1）
()(
22222220
322
82.
3z J x y ds a a k t k a
a π
ρππΓ
=+=+⎫=+⎪⎭⎰⎰
（2
）
22222
222
cos 6.34a t a k t x ds
ak x a k ds
π
ρπρΓ
Γ
+=
=
=+
⎰⎰
(2222
2222
sin 6.34a t a k t y ds ak y a k ds π
ρπ
πρΓ
Γ
+-===+
⎰⎰
2222233
222
36.34kt a k t z ds
a k k x a k ds
π
ρπππρΓ
Γ
++==
=+⎰⎰。