定积分及微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题(基础、经典、好用)
定积分与微积分基本定理
一、选择题 1．(2013·汕尾质检)⎠⎛01(e x ＋2x)d x 等于( )
A ．1
B ．e －1
C ．e
D ．e ＋1
2．(2013·湛江模拟)曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2所围成的平面区域的面积为( )
A ．∫π
20(sin x －cos x)d x
B ．2∫x
40(sin x －cos x)d x
C ．2∫π
40(cos x －sin x)d x
D ．∫π
20(cos x －sin x)d x
3．(2013·潮州模拟)设f(x)＝⎠⎛0x sin t d t ，则f[f(π
2)]的值等于( )
A ．－1
B ．1
C ．－cos 1
D ．1－cos 1
图2－13－3
4．如图2－13－3，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝1
4，所围成的图形(阴影部分)的面积为( )
A.23
B.13
C.12
D.14
5．一物体在力F(x)＝⎩⎨⎧10， （0≤x ≤2），
3x ＋4， （x ＞2）(单位：N )的作用下沿与力F(x)相同的
方向运动了4米，力F(x)做功为( )
A ．44 J
B ．46 J
C ．48 J
D ．50 J
二、填空题
6．设函数f(x)＝ax 2＋1，若⎠⎛0
1f(x)d x ＝2，则a ＝________．
图2－13－4
7．(2013·肇庆模拟)如图2－13－4，是一个质点做直线运动的v —t 图象，则质点在前6 s 内的位移为________m .
8．(2013·广州调研)若f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧f （x －4），x ＞0，
第4课时定积分与微积分基本定理习题和答案详解
1．若F′(x)＝x 2，则F(x)的解析式不正确的是( ) A ．F(x)＝1
3x 3
B ．F(x)＝x 3
C ．F(x)＝1
3x 3＋1
D ．F(x)＝1
3
x 3＋c(c 为常数)
答案 B
2.⎠⎛2
4(x 2＋x 3－30)dx ＝( )
A ．56
B ．28 C.563 D ．14
答案 C
解析 ⎠
⎛2
4(x 2＋x 3－30)dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋14x 4－30x |24＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝56
3.故选C. 3．(2019·辽宁鞍山一模)⎠⎛0
24－x 2dx ＝( )
A ．π B.π2 C.π
4 D ．0
答案 A
解析 由定积分的几何意义可知，所求的定积分是以原点为圆心、2为半径的圆在第一象限的面积，即⎠
⎛0
24－x 2dx ＝1
4×π×22＝π.
4．∫π2
－π
2(1＋cosx)dx 等于( )
A ．π
B ．2
C ．π－2
D ．π＋2
答案 D
解析 ∫π2
－π2(1＋cosx)dx ＝2∫π20(1＋cosx)dx ＝2(x ＋sinx)|π
2
0＝2(π2
＋1)＝π＋2.
5．(2019·河南新乡月考)⎠⎛0
π|sinx －cosx|dx ＝( )
A ．2＋2 2
B ．2－ 2
C ．2
D ．2 2
答案 D
解析 ⎠
⎛0
π
|sinx －cosx|dx ＝∫π4
0(cosx －sinx)dx ＋∫π
π4
(sinx －cosx)dx ＝(sinx ＋cosx)|π4
0＋(－cosx
－sinx)|π
π4
＝2 2.故选D.
6．若函数f(x)＝x 2＋2x ＋m(m ，x ∈R )的最小值为－1，则⎠⎛1
微积分练习题及答案
微积分练习题及答案
微积分练习题及答案
微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、求导练习题
1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。
答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 3
2. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。
答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)
3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。
答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)
二、定积分练习题
1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。
答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/3
2. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。
答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 4
3. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。
答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1
三、微分方程练习题
1. 求解微分方程dy/dx = 2x。
答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )
A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx
B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dx
C ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dy
D ．S ＝⎠⎛0
1(y －y)dy
[答案] B
[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．
[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛0
1(x －x2)dx.
2．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系
是( )
A ．a<c<b
B ．a<b<c
C ．c<b<a
D ．c<a<b
[答案] D
[解析] a ＝⎠⎛02xdx ＝1
2x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02
＝1－cos2∈(1,2)，
∴c<a<b.
3．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.1
12 B.14
C.13
D.712
[答案] A
[解析] 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x2
y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S ＝⎠⎛0
1(x2－x3)dx ＝
⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x3－14x401＝112. [点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )
A ．S ＝⎠⎜⎛01(x2－x)dx
B ．S ＝⎠⎜⎛01(x －x2)dx
C ．S ＝⎠⎜⎛01(y2－y)dy
D ．S ＝⎠⎜⎛0
1(y －
y)dy
[答案] B
[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．
[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎜⎛0
1(x －x2)dx.
2．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎜⎛02xdx ，b ＝⎠⎜⎛02exdx ，c ＝⎠⎜⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小
关系是( )
A ．a
B ．a
C ．c
D ．c
[答案] D
[解析] a ＝⎠⎜⎛02xdx ＝1
2x2|02＝2，b ＝⎠⎜⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎜⎛02sinxdx ＝－
cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，
∴c
3．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.1
12
B.14
C.13
D.7
12 [答案] A
[解析] 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x2
y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S ＝⎠⎜⎛0
1(x2－x3)dx ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－14x401＝1
12.
[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dx
C ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dy
D ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B
[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．
[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛0
1(x －x2)dx.
2．(2010·日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是
( )
A ．a
B ．a
C ．c
D ．c
[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝1
2x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－
cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，
∴c
3．(2010·理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.7
12 [答案] A
[解读] 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x2
y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S ＝⎠⎛0
1(x2－x3)dx ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3x3－14x401＝112.
[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(定积分与微积分基本定理)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（定积分与微积分基本定理）练习
一、 基础小题练透篇
1．若a ＝⎠⎛02 x 2d x ，b ＝⎠⎛02 x 3d x ，c ＝⎠⎛0
2 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a<c<b
B ．a<b<c
C ．c<b<a
D ．c<a<b
2．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )
A ．32
9 B ．2－ln 3 C ．4＋ln 3 D ．4－ln 3
3．[2023ꞏ甘肃省兰州市第一次月考]求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t(t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )
A ．⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n
B ．⎣⎡⎦⎤i n ，
i ＋1n C ．⎣⎡t （i －1）n ，ti n D ．⎣⎡t （i －2）n ，t （i －1）n
4．若数列{a n }是公比不为1的等比数列，且a 2 018＋a 2 020＝⎠⎛0
2
4－x 2 d x ，则a 2 017(a 2 019
＋2a 2 021＋a 2 023)＝( )
A ．4π2
B ．2π2
C ．π2
D ．3π2
5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋25
1＋t
(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )
A ．1＋25ln 5
定积分与微积分基本定理练习
课时作业 A 组 基础对点练
1．
sin 2
x
2d x ＝( )
A ．0
B ．π4－12 C.π4－14 D ．π2－1
解析：sin 2
x 2d x ＝
1－cos x 2d x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x －12sin x ＝π4－1
2.故选B.
答案：B 2．
(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
解析：由题知(－cos x －a sin x ) ＝1－a ＝2，a ＝－1.
答案：A
3．(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2＋e x )d x 的值为( )
A ．e ＋2
B ．e ＋1
C ．e
D ．e －1
解析：⎠⎛01(2＋e x )d x ＝(2x ＋e x )| 1
0 ＝2＋e 1－1＝e ＋1.故选B.
答案：B
4．若S 1＝⎠⎛121
x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )
A ．S 1＜S 2＜S 3
B ．S 2＜S 1＜S 3
C ．S 1＜S 3＜S 2
D ．S 3＜S 1＜S 2
解析：如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A. 答案：A
5．已知t ＞0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )
A ．1
B ．－2
C ．－2或4
D ．4
解析：由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t
0 ＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，
故选D. 答案：D
6．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B ．g C.32g
1_定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理)
基础巩固强化
1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛0
1(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x
C ．S ＝⎠⎛0
1(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛0
1(y －y )d y
[答案]B
[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛0
1(x －x 2)d x .
2．如图，阴影部分面积等于( )
A ．23
B ．2－ 3 C.323D.353 [答案]C
[解析]图中阴影部分面积为
S ＝⎠
⎛-3
1
(3－x 2
－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝32
3. 3.⎠⎛0
24－x 2d x ＝( )
A ．4π
B ．2π
C ．π D.π
2 [答案]C
[解析]令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，
∴S ＝1
4×π×22＝π.
4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )
A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面
B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面
C ．在t 0时刻，两车的位置相同
D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案]A
微积分 定积分 练习题(有答案)
微积分定积分练习题(有答案)
1利用定积分的几何意义计算
1－x 2d x . 2.计算定积分⎠⎛1
2(x ＋1)d x . 3.定积分⎠⎛a b f (x )d x 的大小 ( )
A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关
B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关
C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关
D ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关
4．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列结论中正确的个数是 ( )
①n 个小曲边梯形的面积和等于S ；②n 个小曲边梯形的面积和小于S ；
③n 个小曲边梯形的面积和大小S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系不确定A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5．求由曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为 ( )
A ．[0，e2]
B ．[0,2]
C ．[1,2]
D ．[0,1]
6.⎠⎛0
11d x 的值为( )A ．0 B ．1 C.12 D ．2 7.lim n →＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n
写成定积分是________． 8．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛0
定积分的概念与微积分基本定理-巩固练习
定积分的概念与微积分基本定理
【巩固练习】 一、选择题
1．下列等于1的定积分是（ ）
A ．dx x ⎰
1
B ．dx x ⎰+1
)1(
C ．dx ⎰
1
1
D ．
dx ⎰1
021
2．
()sin d 'b
a
x x =
⎰（ ）
A ．sin x
B ．―cos x
C ．cos b―sin a
D ．0 3． 已知)(x f 为偶函数且
8)(6
=⎰
dx x f ，则=⎰-6
6
)(dx x f （ ）
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16
4． 设2
,0
()2,0
x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则11
()d f x x -⎰的值是（ ）
A ．1
21
d x x -⎰
B ．1
1
2d x x -⎰
C ．
121
d 2d x x x x -+⎰
⎰ D ．01
21
2d d x x x x -+⎰⎰
5．在求由()x a x b a b ==，＜，()[()0]y f x f x =≥及y=0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b]上等间隔地插入n―1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是
（ ）
①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；
④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6．
1
2
|4|d x
x -⎰=（ ）
A ．
103 B ．113 C ．123 D ．133
7．定积分
=---⎰
dx x x 1
2))1(1(（ ）
A ．
4
2
-π B ．
高中数学定积分与微积分基本定理练习题
定积分与微积分基本定理
自我检测：
1.设连续函数f(x)>0,则当a
a f x dx 的符号( )
A.一定是正的
B.一定是负的
C.当0
D.以上结论都不对 2. ∫2
2
π
π- (1+cosx)dx 等于( )
A.π
B.2
C.π-2
D.π+2
3.用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( )
A. ∫()c a f x dx
B.| ∫()c a f x dx|
C. ∫()b a f x dx+∫()c b f x dx
D. ∫()c b f x dx-∫()b
a f x dx
4.设函数()m f x x ax =+的导函数f′(x)=2x+1,则∫2
1()f x -dx 的值等于( )
A.5
6 B.1
2 C.2
3 D.1
6
5.直线y=2x+3与抛物线2y x =所围成的图形面积为 .
巩固练习：
1. ∫412x dx 等于( )
A.-2ln2
B.2ln2
C.-ln2
D.ln2
2. ∫10(e 2)x
x +dx 等于( )
A.1
B.e-1
C.e
D.e+1
3.已知f(x)= 210101x x x ⎧,-≤≤,
⎨,<<,⎩
则∫11()f x -dx 的值为 ( )
A.32
B.23-
C.2
3 D.4
3
4.函数f(x)= 2
110cosx 0x x x π+,-≤<,
⎧⎨,≤≤⎩ 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )
A.3
2 B.1 C.2 D.1
2
5.函数y=∫(x x -cos 2
2)t t ++dt( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.是非奇非偶函数
D.以上都不正确
6.由直线330x x y ππ=-,=,=与曲线y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( )
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
定积分与微积分基本定理习题
一、选择题
1． a ＝⎠⎛02x d x ， b ＝⎠⎛02e x d x ， c ＝⎠⎛0
2sin x d x ， 则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．a <c <b
B ．a <b <c
C ．c <b <a
D ．c <a <b
2．由曲线y ＝x 2， y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )
练习、设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动， 如果把由直线OP ， 直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1， S 2.如图所示， 当S 1＝S 2时， 点P 的坐标是( )
A.⎝⎛⎭⎫43，169
B.⎝⎛⎭⎫45，169
C.⎝⎛⎭
⎫43，15
7 D.⎝⎛⎭⎫
45，137
3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4
B.4
3
C.18
5
D ．6
4． ⎠
⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )
A ．0
B ．2
C ．2＋2cos1
D ．2－2cos1
5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π
B ．3π C.3π
2
D ．π
6．函数F (x )＝⎠⎛0
x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )
A ．有最大值0， 无最小值
B ．有最大值0和最小值－32
3
C ．有最小值－32
3
， 无最大值 D ．既无最大值也无最小值
7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ， 函数f (x )＝⎠⎛1
定积分及微积分基本定理练习题及答案
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.(2011·⼀中⽉考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的⾯积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx
C ．S ＝??01(y2－y)dy
D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B
[分析] 根据定积分的⼏何意义，确定积分上、下限和被积函数．
[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的⾯积S ＝??0
1(x －x2)dx.
2．(2010·⽇照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的⼤⼩关系是
( )
A ．a
B ．a
C ．c
D ．c
[解读] a ＝??02xdx ＝1
2x2|02＝2，b ＝??02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝??02sinxdx ＝－
cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，
∴c
3．(2010·理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形⾯积为( ) A.112B.14C.13D.7
12 [答案] A
[解读] 由?
y ＝x2
y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S ＝??0
1(x2－x3)dx ＝
1
3x3－14x401＝112.
[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其⾯积是上⽅曲线对应函数表达式减去下⽅曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·师⼤附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的⾯积分别记作S1，S2.如图所⽰，当S1＝S2时，点P 的坐标
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )
A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx
B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dx
C ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dy
D ．S ＝⎠⎛0
1(y －y)dy
[答案] B
[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．
[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛0
1(x －x2)dx.
2．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系
是( )
A ．a
B ．a
C ．c
D ．c
[答案] D
[解析] a ＝⎠⎛02xdx ＝1
2x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02
＝1－cos2∈(1,2)，
∴c
3．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.1
12 B.14
C.13
D.712
[答案] A
[解析] 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x2
y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S ＝⎠⎛0
1(x2－x3)dx ＝
⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x3－14x401＝112. [点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.（2011 •宁夏银川一中月考）求曲线y = x2与y = x 所围成图形的面积，其中正确的是
( )
A. S = 1(x2 — x)dx
B . S = 1(x — x2)dx
C. S = 1(y2 — y)dy D -S = 1(y — 'y)dy
0 0
［答
案］
B
［分析］根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数.
［解读］两函数图象的交点坐标是
（0,0） , （1,1），故积分上限是1，下限是0,由于在
［0,1］上，x >x2，故函数y = x2与y = x 所围成图形的面积 S = 1（x — x2）dx. 0
2xdx , b = 2exdx , c = 2sinxdx ，贝U a 、b 、c 的大小关 0 0 0 玄阜 系是
A. a
1
［解读］ a = 2xdx = rx2|02 = 2 , b = 2exdx = ex|02 = e2 — 1>2, c = 2sinxdx =—
0 0 0 cosx|02 = 1 — cos2 € (1,2),
c
3. (2010 •山东理，7)由曲线y = x2, y = x3围成的封闭图形面积为( )
［答案］A
y = x2
［解读］由
得交点为(0,0) , (1,1)
y = x3
（2010 •湖南师大附中）设点P 在曲线y = x2上从原点到A （2,4）移动，如果把由直线
OR
2. （2010 •山东日照模考）a = 1117
A
讲.产于壬
S = 1(x2 — x3)dx =
1 1 1 3x3 —
4x4 01 =
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1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dx
C ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dy
D ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B
[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．
[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛0
1(x －x2)dx.
2．(2010·日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是
( )
A ．a B ．a C ．c D ．c [解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝1 2x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c 3．(2010·理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A. 112B.14C.13D.7 12 [答案] A [解读] 由⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ y ＝x2 y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝⎠⎛0 1(x2－x3)dx ＝ ⎪ ⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－14x401＝112. [点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题： (2010·师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157 D.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫45，137 [答案] A [解读] 设P(t ，t2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t(tx －x2)dx ＝t3 6；S2＝ ⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169. 4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.18 5D ．6 [答案] A [解读] S ＝⎠⎛0 2x3dx ＝ ⎪ ⎪⎪ x4402＝4. 5．(2010·省考试院调研)⎠ ⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．2＋2cos1 D ．2－2cos1 [答案] B [解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝ 2. 6．曲线y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B．3π C. 3π 2 D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π. [点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0 xt(t －4)dt 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－32 3 C ．有最小值－32 3，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 [答案] B [解读] F′(x)＝x(x －4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－25 3. ∴最大值为0，最小值为－ 32 3 . [点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0 x φ(t)dt 的导数F′(x)＝φ(x)． 8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1 t dt ，若f(x) 的取值围是( ) A.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 36，＋∞B ．(0，e21) C ．(e －11，e) D ．(0，e11) [答案] D [解读] f(x)＝⎠⎛1x 1 t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得， 0 9．(2010·一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC ，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 随机投一点(该点落在矩形OABC 任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( ) A. 1πB.2πC.3πD.π 4 [答案] A [解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0π sinxdx ＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝