黄金易错点名师点睛：专题15 导数及其应用
人教版2023高中数学导数及其应用易错知识点总结
(每日一练)人教版2023高中数学导数及其应用易错知识点总结单选题1、如图所示，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=−x+5,则f(3)+f′(3)=（）A．1B．1C．2D．02答案：B解析：由导数的几何意义得出f′(3)，再求f(3)+f′(3).由题中图象知f(3)=−3+5=2，由导数的几何意义知f′(3)=−1，∴f(3)+f′(3)=2−1=1．故选：B2、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的实数x都有f′(x)=f(x)−2e−x+2x−x2，f(0)=2，则不等式f(|x−1|)<e2+e−2+4的解集是（）A．(0,1)B．(−1,1)C．(−1,3)D．(e,3)答案：C解析：由已知条件构造函数f(x)=e−x+x2+ae x，再根据f(0)=2，求a，不等式转化为f(|x−2|)<f(2)，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.解：由题意得f(x)=e−x+x2+ae x，则f′(x)=−e−x+2x+ae x=e−x+x2+ae x−2e−x+2x−x2=f(x)−2e−x+2x−x2，由f(0)=1+a=2，解得：a=1，故f(x)=e−x+x2+e x，f(|x−1|)<e2+e−2+4=f（2），∵当x⩾0时，e x⩾1，0<e−x⩽1，2x⩾0，f′(x)=e x−e−x+2x>0在(0,+∞)上恒成立，即f(x)在(0,+∞)上单调递增，又f(−x)=f(x)，故f(x)为R上的偶函数，其图象关于y轴对称，f(x)在(−∞,0)上单调递减，故|x−1|<2，故−1<x<3，故选：C．3、已知曲线y=a e x+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则A．a=e,b=−1B．a=e,b=1C．a=e−1,b=1D．a=e−1,b=−1答案：D解析：通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b．详解：y′=ae x+lnx+1,k=y′|x=1=ae+1=2，∴a=e−1将(1,1)代入y=2x+b得2+b=1,b=−1，故选D．小提示：本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．填空题4、设函数f(x)=x3+ax+3，f′(1)=5，则实数a＝______．答案：2；解析：先对f(x)求导，再利用f′(1)=5即可求解.f′(x)=3x2+a，所以f′(1)=3+a=5，解得a=2，所以答案是：2.5、直线y=12x+b是曲线y=lnx（x>0）的一条切线，则实数b的值为______．答案：ln2−1解析：根据导数的几何意义，已知切线斜率可以求出切点即可求解.由y=lnx，得y′=1x．令1x =12，得x=2，故切点为(2,ln2)，代入直线方程，得ln2=12×2+b，所以b=ln2−1．所以答案是：ln2−1。
2017年高考数学(文)黄金易错点：专题15-椭圆、双曲线、抛物线(含答案)
1．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)答案 A2．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b2，y ＝2b4＋b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b2，y ＝－2b4＋b 2，即第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫44＋b 2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.3．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A.2B.32C.3D ．2答案 A4．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个答案 C解析 由椭圆方程x 225＋y 216＝1可得a 2＝25，b 2＝16，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3.由椭圆的定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，且|F 1F 2|＝2c ＝6，∴△MF 1F 2的周长|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|＝10＋6＝16. 设△MF 1F 2的内切圆的半径为r ， 由题意可得2πr ＝3π，解得r ＝32.设M (x 0，y 0)， 则12MF F S＝12(|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|)·r ＝12|F 1F 2|·|y 0|，即12×16×32＝12×6·|y 0|， 解得|y 0|＝4.∴y 0＝±4. ∴M (0,4)或(0，－4)．即满足条件的点M 有2个．故选C.5．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是______________．答案264解析 如图所示，设双曲线的右焦点为H ，连接PH ，因为直线l 与圆相切，所以PF ⊥OE . 又OE ∥PH ，所以PF ⊥PH .在Rt △PFH 中，|FH |2＝|PH |2＋|PF |2， 即(2c )2＝(a 2)2＋(5a2)2，整理得c a ＝264，即e ＝264.6．经过椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点的直线l 交抛物线y 2＝4x 于A 、B 两点，点A 关于y 轴的对称点为C ，则OB →·OC →＝________. 答案 －5由题意知C (－x 1，y 1)，∴OB →·OC →＝(x 2，y 2)·(－x 1，y 1)＝－x 1x 2＋y 1y 2＝－1－4＝－5. 7．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 答案 9解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)．准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点(1，32)在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程． 解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点(1，32)，所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，9．已知椭圆C 的长轴左，右顶点分别为A ，B ，离心率e ＝22，右焦点为F ，且AF →·BF →＝－1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P 是椭圆C 上的一动点，点P 关于坐标原点的对称点为Q ，点P 在x 轴上的射影点为M ，连接QM 并延长交椭圆于点N ，求证：∠QPN ＝90°. (1)解 依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则A (－a,0)，B (a,0)，F (c,0)，由e ＝c a ＝22，得a ＝2c .①由AF →·BF →＝－1，得(c ＋a,0)·(c －a,0)＝c 2－a 2＝－1.② 联立①②，解得a ＝2，c ＝1， 所以b 2＝1，故椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由题意知x i ≠0，y i ≠0(i ＝1,2)， 且x 1≠x 2，易错起源1、圆锥曲线的定义与标准方程例1、(1)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹方程为( ) A.x 216＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) (2)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________.答案 (1)D (2)54解析 (1)∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴|AB |＝8，|BC |＋|AC |＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，∴2a ＝10,2c ＝8，∴b ＝3.∴椭圆的标准方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．故选D.(2)由椭圆方程知其焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，恰分别为△ABC 的顶点A 和C 的坐标，由椭圆定义知|BA |＋|BC |＝2a ＝10，在△ABC 中，由正弦定理可知，sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝108＝54. 【变式探究】(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 227＝1 B.y 29－x 227＝1 C.y 212－x 224＝1 D.y 224－x 212＝1 (2)抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和为8，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________． 答案 (1)B (2)3【名师点睛】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值． 易错起源2、圆锥曲线的几何性质例2 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． (2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±22x C ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x答案 (1)3－1 (2)C易得直线BC 的斜率为a b ，cos ∠CF 1F 2＝bc ，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得 |CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ， |BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22×2a ×2c⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒(b a )2－2(b a )－2＝0⇒ba ＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x .【变式探究】(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.33(2)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案(1)D(2)A由x 2a 2－y2b 2＝1可知A (a,0)，F (c,0)． 易得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a c －a ，∴k CD ＝aa －cb 2. ∵k AC ＝b 2a a －c ＝b 2a a －c ，∴k BD ＝－aa －cb 2. ∴l BD ：y －b 2a＝－a a －cb 2(x －c )，【名师点睛】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． 【锦囊妙计，战胜自我】1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．易错起源3、直线与圆锥曲线例3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a 2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程． 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝2，又|CP |＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±21＋k 21＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意．【变式探究】(1)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( ) A ．－12，12]B ．－2,2]C ．－1,1]D ．－4,4](2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x4的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线P A 2的斜率的取值范围是－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是________． 答案 (1)C (2)38，34]解析 (1)由题意知抛物线的准线为x ＝－2，∴Q (－2,0)，显然，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，x ＝0，此时交点为(0,0)，当k ≠0时，Δ≥0， 即4(k 2－2)]2－16k 4≥0，解得－1≤k <0或0<k ≤1， 综上，k 的取值范围为－1,1]，故选C.【名师点睛】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解． 【锦囊妙计，战胜自我】判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．1．点F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为( ) A.22 B.32C.2－12D.3－1答案 D解析 如图所示，设F 为椭圆的右焦点，点A 在第一象限，由已知得直线OA 的斜率为k ＝tan60°＝3，2．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞0)与双曲线C 2：x2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m ＞n 且e 1e 2＞1B ．m ＞n 且e 1e 2＜1C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1 答案 A解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n . 又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n2 ＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. 3．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( ) A.1633B ．5 3 C.1433D ．4 3答案 A4．设抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 为抛物线E 上一点，|MF |的最小值为3，若点P 为抛物线E 上任意一点，A (4,1)，则|P A |＋|PF |的最小值为( ) A ．4＋32B ．7C ．4＋2 3D ．10答案 B解析 由题意，|MF |的最小值为3，∴p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线E ：y 2＝12x ，抛物线y 2＝12x 的焦点F 的坐标是(3,0)； 设点P 在准线上的射影为D ， 则根据抛物线的定义可知|PF |＝|PD |，∴要求|P A |＋|PF |取得最小值，即求|P A |＋|PD |取得最小值，当D ，P ，A 三点共线时|P A |＋|PD |最小，为4－(－3)＝7，故选B.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．3答案 A解析 ∵抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的坐标为(2,0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝4.①∵P 是两曲线的一个交点，且|PF |＝5， ∴x p ＋2＝5，∴x p ＝3，∴y 2p ＝24. ∵P (x p ，y p )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，6．已知点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________． 答案 x 2－y 23＝1解析 ∵点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上， ∴16＝4p ，解得p ＝4. ∴抛物线的准线方程为x ＝－2.又抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，∴c ＝2，又e ＝ca ＝2，∴a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.7．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为__________． 答案 x 225＋y 216＝1解析 两定圆的圆心和半径分别是O 1(－3,0)，r 1＝1； O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件， 可得|MO 1|＝R ＋1，|O 2M |＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知点M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且2a ＝10,2c ＝6，∴b 2＝16. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________． 答案 539．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．解 (1)由双曲线y 22－x 2＝1得其焦点为(0，±3)，∴b ＝ 3.又由e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，c ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0， 由Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0， 得k 2<14.10.如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N .(1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m ＞0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(1)证明 易知抛物线的焦点F (1,0)，准线x ＝－1，动点T (－1，m )在准线上，则kTF ＝－m2.当m ＝0时，T 为抛物线准线与x 轴的交点，这时PQ 为抛物线的通径，点N 与焦点F 重合，显然线段NT 在x 轴上．当m ≠0时，由条件知kPQ ＝2m ，所以直线PQ 的方程为y ＝2m (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2m x －1，得x 2－(2。
高考数学易错点专题点睛：函数与导数
高考数学易错点专题点睛：函数与导数【原题1】设M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝,求（1）从M 到N 的映射种数；（2）从M 到N 的映射满足 f (a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射f 的种数【原题2】已知函数()f x 的定义域为，求函数(1)f x +的定义域．【错误分析】：由于函数()f x 的定义域为，即01x ≤≤，112x ∴≤+≤∴(1)f x +的定义域是【答案】：【解析】：由于函数()f x 的定义域为，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是【易错点点睛】：对函数定义域理解不透，不明白()f x 与(())f u x 定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：()f x 中x 取值的范围与(())f u x 中式子()u x 的取值范围一致就好了.【原题3】已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(3)f 【错误分析】：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(2)(2)53f x x x +=+-=- 故5(6)()3(6)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，∴(3)f ＝3－3＝0.【解析】：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(3)f ＝(32)(5)f f +=＝(52)(7)f f +=＝7-5＝2【易错点点睛】：没有理解分段函数的意义，(3)f 的自变量是3，应代入(2)f x +中去，而不是代入x －5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.【原题4】已知()f x 的反函数是1()fx -，如果()f x 与1()f x -的图像有交点，那么交点必在直线y x =上，判断此命题是否正确？【错误分析】正确【答案】不正确【解析】对互为反函数的图像关于直线y x =对称这一性质理解不深，比如函数 1161()log 16x y y x ==与的图像的交点中，点1111(,),2442（，）不在直线y x =上 【易错点点睛】：“两互为反函数图像的交点必在直线y x =上”是不正确的.【原题5】求函数2()46y f x x x ==-+，[1,5)x ∈的值域．【错误分析】：22(1)14163,(5)545611f f =-⨯+==-⨯+=Q 又[1,5)x ∈，()f x ∴的值域是[)311， 【答案】：[)211，【解析】：配方，得22()46(2)2y f x x x x ==-+=-+∵[1,5)x ∈，对称轴是2x =∴当2x =时，函数取最小值为(2)f =2， ()(5)11f x f <=()f x ∴的值域是[)211，【易错点点睛】：对函数定义中，输入定义域中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应，错误地理解为x 的两端点时函数值就是y 的取值范围了.【原题6】已知()34f x x =+，求函数1(1)f x -+的解析式【错误分析】：由已知得(1)3(1)437f x x x +=++=+37y x ∴=+即73y x -=， ∴1(1)f x -+=73x - 【答案】：1(1)f x -+=113x - 【解析】：因为()34f x x =+的反函数为1()f x -＝43x -，所以1(1)f x -+＝(1)43x +- 33x -=＝113x - 【易错点点睛】：将函数1(1)f x -+错误地认为是(1)f x +的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上(1)f x +与1(1)f x -+并不是互为反函数，一般地应该由()f x 先求1()f x -，再去得到1(1)f x -+.【原题7】根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .（2）已知1)f x +=+，求()f x （3）若()f x 满足1()2(),f x f ax x +=求()f x ．【错误分析】：抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式，只给出了其他一些条件（如：定义域、经过的特殊的点、解析递推式、部分图象特征等），它是高中数学函数部分的难点，也是与大学的一个衔接点。
导数的概念及其意义、导数的运算-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练 易错重难点专项突破
x1<x2时指的是[x1,x2],而x1>x2时指的是[x2,x1].
温馨提示函数平均变化率的几何意义
如图所示,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,就是直线AB的斜率,
其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),事实上
( 2 )-( 1 )
kAB=
2 - 1
=
Δ
f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的斜率,从
而根据直线的点斜式方程可知,切线的方程是 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
.
5.常用函数的求导公式
C'= 0 ,
(xα)'= αxα-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ,
(ax)'= axln a ,
(logax)'=
1
ln
x2-x1
则
(1)称Δx=
(2)称Δy=
(3)称
y2-y1 为自变量的改变量;
(2 )-(1 )
2-1
(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量;
2 -1
2-1
=
(或
=
)为函数y=f(x)在以
x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率,其中“以x1,x2为端点的闭区间”,在
一般地,已知函数y=f(u)与u=g(x),给定x的任意一个值,就能确定u的值.如果
此时还能确定y的值,则y可以看成x的函数,此时称f(g(x))有意义,且称
y=h(x)=f(g(x))为函数 f(u)
与 g(x) 的复合函数,其中 u 称为中间
变量.
(2)复合函数的求导法则
高中数学易错点专题点睛函数与导数
高中考数学易错点专题点睛：函数与导数【原题21】不等式 ).23(log )423(log 2)2(2)2(22+->--++x x x x x x【错误分析】：,122>+x ,2342322+->--∴x x x x.223,0622-<>∴>-+∴x x x x 或当2=x 时，真数0232=+-x x 且2=x 在所求的范围内（因232>），说明解法错误.原因是没有弄清对数定义.此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性. 【答案】：2 2.x x ><-或【解析】：122>+x⎪⎩⎪⎨⎧+->-->+->--∴2342302304232222x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<><>-<+>∴2231231313131x x x x x x 或或或.22-<>∴x x 或 【易错点点睛】 1.要注意x 的取值范围（保证对数有意义）； 2.解题思路是将对数方程转化为二次方程，再利用二次方程根的分布求解。
【原题22】在一个交通拥挤及事故易发生路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v （单位：km /h ）的平方和车身长l （单位：m ）的乘积与车距d 成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长均为l （单位：m ）且当车速为50（km /h ）时，车距恰为车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量Q 最大？(车流量=车身长车距车速+)【错误分析】：l kv d 2=，将50=v ，l d =代入得25001=k ，∴l v d 225001=，又将l d 21=代入得225=v ，由题意得l v d 225001=（225≥v ）将Q=ld v+1000=)25001(10002v l v+（225≥v ） ∵l v v l v v l v l v 250002500121000)25001(1000)25001(10002=⋅⋅≤+=+∴当且仅当50=v 时，l Q 25000max= 综上所知，50=v （km /h ）时，车流量Q 取得最大值. 【答案】：50=v【解析】：（1）依题意，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=)225(21)225(250012v l v l v d 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤>+=+=)225(231000)225()25001(100010002v l vv v l vl d v Q 显然当225≤v 时，Q 是关于v 的增函数，∴当225=v 时，l l v Q 3250000231000max =当225>v 时，Q=ld v+1000=l v v l v v l v l v 250002500121000)25001(1000)25001(10002=⋅⋅≤+=+当且仅当50=v 时，上式等号成立.综上所述，当且仅当50=v 时，车流量Q 取得最大值.【易错点点睛】在行驶过程中车速有可能低于252（km /h ），所以解题材中应分两类情形求解，得分段函数.【原题23】定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<.（1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（3）设()()()(){}()(){}22,1,,21,A x y f x f y f B x y f ax y a R =⋅>=-+=∈，若A B ⋂=∅，试确定a 的取值范围.（4）试举出一个满足条件的函数()f x .【错误分析】： 根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0m n ==；以及21,m n x m x +==等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决. 【答案】：见解析【解析】：（1）在()()()f m n f m f n +=⋅中，令1,0m n ==.得：()()()110f f f =⋅.因为()10f ≠，所以，()01f =.（2）要判断()f x 的单调性，可任取12,x x R ∈，且设12x x <.在已知条件()()()f m n f m f n +=⋅中，若取21,m n x m x +==，则已知条件可化为：()()()2121f x f x f x x =⋅-.由于210x x ->，所以()2110f x x >->.为比较()()21f x f x 、的大小，只需考虑()1f x 的正负即可.在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x =，n x =-，则得()()1f x f x ⋅-=. ∵ 0x >时，()01f x <<，∴ 当0x <时，()()110f x f x =>>-.又()01f =，所以，综上，可知，对于任意1x R ∈，均有()10f x >.∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=--<⎡⎤⎣⎦.∴ 函数()f x 在R 上单调递减. （3）首先利用()f x 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f 的式子.()()()222211f x f y f x y ⋅>+<即，()()210f ax y f -+==，即20ax y -+=.由A B ⋂=∅，所以，直线20ax y -+=与圆面221x y +<无公共点.所以，2211a ≥+.解得 11a -≤≤.（4）如()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【易错点点睛】有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决 【原题24】已知2)2cos 1(x y +=,则='y . 【错误分析】：)2cos 1(2sin 2x x y +-='. 【答案】：)2cos 1(2sin 4x x y +-='【解析】：设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'⋅-⋅='+=''='x x u x u u y y x u x)2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=⋅-⋅=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='.【易错点点睛】复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了.【原题25】已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=)1)(1(21)1)(1(21)(2x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？【错误分析】：1)1(,1)11(21]1)1[(21lim 220='∴=∆+-+∆+→∆f xx x 。
专题03 导数及其应用(专题)-2016年高考数学(理)备考黄金易错点(原卷版)
专题3 导数及其应用【易错雷区，步步为赢】1.对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f (x )上2．曲线f (x )＝x 3＋x －2在p 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则p 0点的坐标为( )A ．(1，0)B ．(2，8)C ．(1，0)和(－1，－4)D ．(2，8)和(－1，－4)3.如图，直线y ＝2x 与抛物线y ＝3－x 2所围成的阴影部分的面积是( )A.353 B ．2 2C ．2－ 3D.323 4．设a ＝⎠⎛01 cos x d x ，b ＝⎠⎛01 sin x d x ，下列关系式成立的是( ) A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝15．曲线y ＝1x(x >0)在点P (x 0，y 0)处的切线为l .若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的周长的最小值为( )A ．4＋2 2B ．2 2C ．2D ．5＋276．已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数， f ′(x )的图象是( )7．已知定义域为R 的函数f (x )满足：f (4)＝－3，且对任意x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞) 8．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎝⎛⎭⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎤－∞，32D.⎝⎛⎭⎫－∞，32 9．(2015·新课标全国Ⅱ，21)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|0≤e －1，求m 的取值范围．10．(2015·北京，18)已知函数f (x )＝ln 1＋x 1－x. (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求证：当x ∈(0，1)时，f (x )＞2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33； (3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33对x ∈(0，1)恒成立，求k 的最大值． 【名师点睛，易错起源】易错起源1、导数的几何意义及运算例1、(2015·陕西，15)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．【变式探究】 (1)(2014·全国大纲卷)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1(2)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在 点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．【名师点睛】(1)本题主要考查函数求导法则及导数的几何意义．(2)本题主要考查导数的几何意义，意在考查考生的运算求解能力．【锦囊妙计，战胜自我】1．求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．2．利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．易错起源2、利用导数研究函数的单调性例2、 (2015·福建，10)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k ＜1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1＞k k －1【变式探究】(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －e －x －2x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x >0时，g (x )>0，求b 的最大值；(3)已知1.414 2<2<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．【名师点睛】本题主要考查导数的综合应用，涉及利用导数求函数的单调区间、求函数的最值、估计无理数的近似值 等，考查基本不等式的应用与分类讨论思想的应用，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力与对知识的综合应用能力．【锦囊妙计，战胜自我】1．利用导数研究函数单调性的步骤第一步：确定函数f (x )的定义域；第二步：求f ′(x );第三步：解方程f ′(x )＝0在定义域内的所有实数根；第四步：将函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；第五步：确定f ′(x )在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．2．根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)求f ′(x )．(2)将单调性转化为导数f ′(x )在该区间上满足的不等式恒成立问题求解．易错起源3、定积分例3、 (2015·天津，11)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．【变式探究】(1)(2014·陕西)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1(2)(2014·湖北)若函数f(x)， g(x)满足⎠⎛-11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【名师点睛】(1)本题主要考查定积分的概念、运算及性质．(2)本题主要考查定积分的知识，意在通过新定义考查考生的理解能力和知识迁移能力．（3）定积分求解的基本方法：一是利用微积分基本定理，二是利用定积分的几何意义．【锦囊妙计，战胜自我】1．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用， 但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决．(1)画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；(3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；(4)计算定积分，求出平面图形的面积．2．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分．易错起源4、利用导数解决参数范围问题例4、(2015·重庆，20)设函数f (x )＝3x 2＋ax e x(a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．【变式探究】(2014·湖南)已知常数a>0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－2xx＋2.(1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)>0，求a的取值范围．【名师点睛】本题以函数为载体，与不等式相结合，主要考查导数的应用．第一问先求导，然后结合分类讨论思想求解；第二问需要结合第一问，结合转化思想、方程与函数思想和分类讨论思想，求解参数的取值范围．【锦囊妙计，战胜自我】利用导数解决参数的取值范围的关键是找出参数满足的不等式恒成立、有解等问题，所以在求解时要把参数与函数的单调性、极值、最值建立联系，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，形成不等关系，把参数分离或借助函数求解．其涉及到的常用解题方法为：(1)分离参数法；(2)函数思想法．易错起源5、利用导数解决有关不等式的问题例5、(2015·山东，21)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.(1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(2)若∀x＞0，f(x)≥0成立，求a的取值范围．【变式探究】(2014·福建)已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时，x2＜e x；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2＜c e x.【名师点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识，考查考生的运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．导数的几何意义是把函数的导数与曲线的切线联系在一起，曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的方程为y －f(x0)＝(x－x0)f′(x0)，其中f′(x0)表示曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．已知曲线的切线求参数的值，常利用切点坐标来寻找参数的方程．求解函数的极值问题的策略：先找导数等于0的点，再判断在导数等于0的点的左、右两侧的导数的符号，即可判断出极值．对于不等式证明问题，常通过构造函数得以解决．【锦囊妙计，战胜自我】1．利用导数方法证明不等式f (x )＞g (x )在区间D 上恒成立 的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )＞0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．2．利用函数的导数研究不等式恒成立问题是一类重要题型，体现了导数的工具性作用，将函数、不等式紧密结合起来，考查了学生综合解决问题的能力．易错起源6、利用导数解决函数零点问题例6、(2015·江苏，19)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．(1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，求c 的值． 【变式探究】(2014·四川)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值；(2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围．【名师点睛】本题主要考查导数的运算、函数的极值、函数的零点．意在考查学生的运算求解能力，推理论证能力，分类讨论、等价转化、数形结合的思想方法与数学知识的综合应用．【锦囊妙计，战胜自我】1．利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一般思路(1)将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x 轴(或直线y ＝k )在该区间上交点问题；(2)利用导数研究出该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；(3)结合图象求解．2．证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤(1)利用导数证明该函数在该区间上单调；(2)证明端点值异号．：。
导数及其应用-知识点整理(完整,清晰)
导数及其应用基本知识点1，导数：当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数C 。
可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。
函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。
即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m)(0000'2，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。
即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(l i m )(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-，如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0x x =，故过点),(00y x P 的切线的方程为：))((00'0x x x f y y -=- 3，导数的四则运算法则：（1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± （2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='（3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4，几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -='(5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 5，函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。
高考数学复习知识点讲解教案第15讲 导数的概念及其意义、导数的运算
− e ,即 =
= e,所以 e, 1 ,
.
e
由曲线 = ln 的对称性，知另一条切线的方程为 =
− .
e
[总结反思]
（1）曲线 = 在点 0 , 0 处的切线方程为 − 0 = ′ 0 − 0 ;
（2）注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.
1.变化率与导数
（1）
概念
几何意
义
平均变化率：
0 +Δ − 0
Δ
对于函数 = ,把比值
=________________叫作函数
= 从
Δ
Δ
平均
0 到0 + Δ的_______变化率
斜率
函数 = 在区间[0 , 0 + Δ]上对应的图象的两端点连线的_______
=− +1
sin
π
3.［教材改编］ 曲线 =
在点 π, 0 处的切线方程为______________.
[解析] 由题得′ =
则切线方程为 =
cos −sin
，∴
2
1
−
π
切线的斜率 = ′|=π =
− π ，即 =
−
π
+ 1.
1
− ，
π
题组二 常错题
◆ 索引：求导时不能掌握复合函数的求导法则;混淆′ 0 与[ 0 ]′;忽视
2
2cos
−
2
2sin
= 2cos 2.
5.已知
=
2
−8
+ 3′ 2 ，则 2 =_____.
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gaokao.tl100.com 你的首选资源互助社区 1 1．设f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),…,fn+1(x)=f’n(x),n∈N,则f2005(x) ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 2．已知函数f(x)在x=1处的导数为3，f（x）的解析式可能为 （ ） A．f（x）=(x-1)3+32(x-1) B．f(x)=2x+1 C．f()=2(x-1)2 D．f(x)-x+3 3.曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_________. 4．设t≠0,点P（t,0）是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。 （1）用t表示a、b、c； （2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。
5．已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间； （2）若f(x)在区间[-2，2]上最大值为20，求它在该区间上的最小值。
6．已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。 7．已知a∈R,讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数。
8．设函数f(x)=x-ln(x+m)其中常数m为整数。 （1）当m为何值时，f(x)≥0; (2)定理：若g(x)在[a、b]上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0∈(a、b),使g(x0)=0.试用上述定理证明：当整数m>1时，方程f(x)=0，在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。 gaokao.tl100.com 你的首选资源互助社区 2 又因为f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线， gaokao.tl100.com 你的首选资源互助社区
3 所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, ∵a=-t2, ∴b=t.因此c=ab=-t2²t=-t3.
故a=-t2,b=t,c=-t3
(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(x)在[-1，2]因为在（-1，3）上f’(x)>0,所以f(x)在[-1，2]上单调递增，又由于f(x)在[-2，-1]上单调递减，因此f(2)和f(-1) gaokao.tl100.com 你的首选资源互助社区 4 分别是f(x)在区间[-2，2]上的最大值和最小值，于是22+a=20,解得a=-2.
故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此,f{-1}=1+3-9-2=-7 即函数f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-7。
【正确解答】f’(x)=ex(a2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)] 令f’(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0. gaokao.tl100.com 你的首选资源互助社区 5 故当整数m>1时，方程f(x)=0在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。 gaokao.tl100.com 你的首选资源互助社区
6 易错起源1、导数的概念与运算 例1．已知f(3)=2f’(3)=-2，则3)(32lim3xxfxx的值为 （ ） A．-4 B．0 C．8 D．不存在
1．理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a处可导，则)(')()(limafaxafxfn
的运用。
2．复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏 3．求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数求导先化为和或差形式；多项式的积的求导，先展开再求导等等。 易错起源2、导数几何意义的运用 例2．已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处有极值。 （1）讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值。 （2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。 gaokao.tl100.com 你的首选资源互助社区
7 设函数y=f(x),在点(x0,y0)处的导数为f’(x0)，则过此点的切线的斜率为f’(x0),在此点处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0).利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数问题求解。 易错起源3、导数的应用 例3．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一 gaokao.tl100.com 你的首选资源互助社区 8 个小正形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图，）问该容器高为多少时，容器
的容积最大？最大容积是多少？
【错解分析】上面解答有两处错误：一是没有注明原函数定义域；二是验算f’(x)的符号时，计算错误，∵x<10,V’>0;1036,V’>0.
1．证函数f(x)在（a,b）上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若f(x)在（a、b）内个别点上满足f’(x)=0(或不存在但连续)其余点满足f(x)>0(或f(x)<0)函数f(x)仍然在（a、b）内单调递增（或递减），即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点。 2．函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值（或极小值）可能有若干个，而且有时极小值大于它的极大值，另外，f’(x)=0是可导数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件，对于连续函数（不一定处处可导）时可以是不必要条件。 gaokao.tl100.com 你的首选资源互助社区 9 3．函数的最大值、最小值，表示函数f(x)在整个区间的情况，即是在整体区间上对函数
值的比较，连续函数f(x)在闭区间[a、b]上必有一个最大值和一最小值，最多各有一个，但f(x)在（a、b）上就不一定有最大值（或最小值）。
实际应用问题利用导数求f(x)在（a、b）的最大值时,f’(x)=0在（a,b）的解只有一个，由题意最值确实存在，就是f’(x)=0的解是最值点。
1 已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则xfxfx2)1()1(lim0等于 （ ）] A．21 B．1 C．2 D．41
2 函数y=xsinx+cosx在下列哪个区间内是增函数 （ ） A．（0，π） B．（-π,0）
C．(2 ,π) D．(-π,- 2)
3 已知函数f(x)=xxalnln在（1，+∞）上为减函数，则a的取值范围为 （ ） A．0
4 函数y=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值、最小值分别是 （ ） A．5，-15 B．5，-4 C．-4，-15 D．5，-16
5 设f(x)、g(x)分别是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数和偶函数，当x<0时f’(x)g(x)+ f(x) g’(x)=0且g(3)=0,则不等式f(x)²g(x)<0的解集是 （ ） A．（-3，0）∪（3，+∞） B．（-3，0）∪（0，3） C．（-∞，-3）∪（3，+∞） D．（-∞，-3）∪（0，3） gaokao.tl100.com 你的首选资源互助社区 10 6 函数f(x)=x3-2x+3的图像在x=1处的切线与圆x2+y2=8的位置关系是 （ ） A．相切 B．相交且过圆心 C．相交但不过圆心 D．相离
7．设集合A＝[0,1)，B＝[1,2]，函数f(x)＝ 2xx∈A，4－2xx∈B，若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，则x0的取值范围是( ) A.log232，1 B．(log32,1) C.23，1 D.0，34
8． 函数f(x)＝lgx2＋1|x|(x≠0，x∈R)，有下列命题： ①f(x)的图象关于y轴对称； ②f(x)的最小值是2； ③f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数； ④f(x)没有最大值． 其中正确命题的序号是________．(请填上所有正确命题的序号)
9．设函数f(x)＝n－1，x∈[n，n＋1)，n∈N，则满足方程f(x)＝log2x根的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
10．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数． (1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． gaokao.tl100.com 你的首选资源互助社区 11 11．已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则( )
A．h(1)B．h(1)C．h(0)D．h(0)
12．下列四个命题中，正确的是( ) A．对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0 B．函数f(x)＝e－x－ex切线斜率的最大值是2
C．已知函数f(a)＝0asinxdx，则ffπ2＝1＋cos1 D．函数y＝3²2x＋1的图象可以由函数y＝2x的图象仅通过平移变换得到
13．设函数y＝f(x)是定义在R上以1为周期的函数，若g(x)＝f(x)－2x在区间[2,3]上的值域为[－2,6]，则函数g(x)在[－12,12]上的值域为( ) A．[－2,6] B．[－20,34] C．[－22,32] D．[－24,28]
14．由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为( ) A.32 B.12