1.示范教案(1.1 方程的根与函数的零点 第2课时)

第2课时 方程的根与函数的零点复习 提出问题①已知函数f(x)=mx 2+mx+1没有零点，求实数m 的范围. ②证明函数f(x)=x 2+6x+10没有零点. ③已知函数f(x)=2mx 2-x+21m 有一个零点，求实数m 的范围. ④已知函数f(x)=2(m+1)x 2+4mx+2m-1有两个零点，求实数m 的范围.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①因为Δ=m 2-4m<0或m=0,∴0≤m<4. ②因为Δ=36-40=-4<0,∴没有零点. ③Δ=1-4m 2=0或m=0,∴m=21或m=21或m=0. ④Δ=16m 2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8>0且2(m+1)≠0,∴m<1且m≠-1.导入新课思路1.(情景导入)歌中唱到：再“穿过”一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过”的含义. 请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过”x 轴的？ 学生思考或讨论回答：利用函数值的符号，即f(a)f(b)<0. 思路2.(直接导入) 教师直接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律. 推进新课 新知探究 提出问题①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出,怎样讨论其零点? ②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①在闭区间［a,b ］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a,b ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点,可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.” 应用示例思路1例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:因为方程lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易画出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？可以利用f(a)f(b)<0，及函数单调性. 解：利用计算机作出x ，f(x)的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9f(x)-4-1.3069 1.0986 3.38635.60947.79189.9450 12.0794 14.1972由表和图3-1-1-15可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函数在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.图3-1-1-15 图3-1-1-16变式训练证明函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点. 证明:如图3-1-1-16,因为f(1)=-7,f(10)=3, ∴f(1)f(10)<0.∴函数f(x)=lgx+x-8有一个零点.∵y=lgx 为增函数，y=x-8是增函数， ∴函数f(x)=lgx+x-8是增函数.∴函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.点评：判断零点的个数:(1)利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性. 例2已知函数f(x)=3x +12+-x x , (1)判断函数零点的个数. (2)找出零点所在区间. 解：(1)设g(x)=3x ,h(x)=12+-x x , 作出它们的图象(图3-1-1-17)，两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数. 所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f(x)=3x +12+-x x 有且仅有一个零点.图3-1-1-17(2)因为f(0)=-1,f(1)=2.5,所以零点x ∈(0,1). 变式训练证明函数f(x)=2x +4x-4有且仅有一个零点. 证明:利用计算机作出x ，f(x)的对应值表： x-11234567f(x) -7.5 -3 2 8 16 28 48 84 172图3-1-1-18由表和图3-1-1-18可知，f(0)<0,f(1)>0,则f(0)f(1)<0，这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数.设x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2，f(x1)-f(x2)=21x+4x1-4-(22x+4x2-4)=21x-22x+4(x1-x2)=22x(21x-x2-1)+4(x1-x2).∵x1<x2，∴x1-x2<0,21x-x2-1<0,22x>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数.则函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.思路2例1证明函数y=2|x|-2恰有两个零点.图3-1-1-19证明:如图3-1-1-19,∵f(-2)=2,f(0)=-1,f(2)=2,∴f(-2)f(0)<0,f(0)f(2)<0.∴函数y=2|x|-2有两个零点.要证恰有两个零点,需证函数y=2|x|-2在(0，+∞)上为单调的，函数y=2|x|-2在(-∞，0)上为单调的.∵在(0，+∞)上，函数y=2|x|-2可化为y=2x-1,下面证明f(x)=2x-1在(0，+∞)上为增函数.证明：设x1,x2为(0，+∞)上任意两实数，且0<x1<x2,∵f(x1)-f(x2)=21x-2-(22x-2)=21x-22x=22x(21x-x2-1),∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,21x-x2<1.∴22x>0,21x-x2-1<0.∴22x(21x-x2-1)<0.∴f(x 1)-f(x 2)<0. ∴f(x 1)<f(x 2).∴函数y=2|x|-2在(0，+∞)上为增函数.同理可证函数y=2|x|-2在(-∞，0)上为减函数. ∴函数y=2|x|-2恰有两个零点. 变式训练证明函数f(x)=x+x1-3在(0，+∞)上恰有两个零点. 证明:∵f(31)=31,f(1)=-1,f(3)=31,∴f(31)f(1)<0,f(1)f(3)<0.∴函数f(x)=x+x1-3在(0，+∞)上有两个零点.要证恰有两个零点, 需证函数f(x)=x+x 1-3在(0，1)上为单调的，函数f(x)=x+x1-3在(1，+∞)上为单调的. 证明：设x 1,x 2为(0，1)上的任意两实数，且x 1<x 2. ∵f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -3-(x 2+21x -3)=(x 1-x 2)+(11x 21x -)=(x 1-x 2)+2112x x x x -=(x 1-x 2)(21211x x x x -),∵0<x 1<x 2<1，∴x 1-x 2<0,2112x x x x -<0.∴(x 1-x 2)(21211x x x x -)>0.∴f(x 1)-f(x 2)>0.∴函数f(x)=x+x 1-3在(0，1)上为减函数. 同理函数f(x)=x+x 1-3在(1，+∞)上为增函数.∴函数f(x)=x+x1-3在(0，+∞)上恰有两个零点(如图3-1-1-20).图3-1-1-20点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基本初等函数可以借助函数图象和方程来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n 个零点，先找出有n 个，再利用单调性证明仅有n 个.例2已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 有三个零点，分别是0、1、2,如图3-1-1-21， 求证:b<0.图3-1-1-21活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示: 方法一：把零点代入，用a 、c 表示b. 方法二：用参数a 表示函数. 证法一：因为f(0)=f(1)=f(2)=0, 所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.所以a=3b -,c=32- b.所以f(x)=3b -x(x 2-3x+2)=3b-x(x-1)(x-2).当x<0时，f(x)<0，所以b<0.证法二：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-1)(x-2).当x>2时,f(x)>0,所以a>0.比较同次项系数，得b=-3a.所以b<0. 变式训练函数y=ax 2-2bx 的一个零点为1，求函数y=bx 2-ax 的零点. 答案:函数y=bx 2-ax 的零点为0、2.点评：如果题目给出函数的零点，这涉及到零点的应用问题. (1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题. (2)利用零点的特殊性把解析式的设法简单化. 知能训练1.函数f(x)=lgx-2x 2+3的零点一定位于下列哪个区间?( )A.(4,5)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.若函数f(x)=2mx+4在［-2,1］上存在零点，则实数m 的取值范围是( ) A.［25-4］ B.(-∞,-2］∪［1,+∞) C.［-1,2］ D.(-2,1) 3.已知函数f(x)=－3x 5－6x ＋1,有如下对应值表：x -2 -1.5 0 1 2 f(x)10944.171-8-107函数y ＝f(x)在哪几个区间内必有零点？为什么？ 答案:1.B 2.B 3.(0，1),因为f(0)·f(1)<0.点评：结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点，应切实掌握. 拓展提升方程lnx+2x+3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范围？ 分析：利用函数图象(图3-1-1-22)进行探索分析.图3-1-1-22解：(1)观察函数的图象计算f(1)、f(2),知f(x)=lnx+2x+3有零点.(2)通过证明函数的单调性,知f(x)=lnx+2x+3有一个零点x∈(1,2).请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围？借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣.课堂小结(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数.(2)思想方法：函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.作业课本P88练习2.设计感想如何用数学语言描述“穿过”是本节的关键，本节从导入开始让学生体会数学语言与文字语言的区别,并进一步让学生学会应用数学语言描述零点存在性定理.本节多次用计算机作图来感知函数零点，在零点证明题中又经常用到函数的单调性进行严格证明，所以本节是数与形的完美统一.。