D10_2二重积分的计算
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高数数学课件D102二重积分计算21页PPT
第二节
第十章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
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一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积f函 (x,y数 )0
且在D上连续时, 若D为 X - 型区域
y y2(x)
则若D为YD - f型D (x区:, y域 )1 d(D xxa d ): y y x 1( y abc )b d 2x(x y x ) 12( d (xx)2 )(fy()x,yO)dayydyyx xD1 (x )b2(xy)
特别, 对 D: 00r2(π)
O
r1()
x
D f(rc o ,rss i)r n d rd
y
D1:00yx122x2,
D2: 0y 8x2 2x2 2
将 D D 1 D 2视为Y - 型区域 , 则
x2 y2 8
2
y12
x2 D1
D2
O 22 2 x
D
:
2yx8y2 0y2
2
8y2
ID f(x,y)dxdy 0 d y 2y f(x,y)dx
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例5. 计算 I x ln y (1 y 2 )d x d y,其中D 由 D
9 8
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例2. 计算 Dxyd, 其中D 是抛物线 y2 x 及直线
yx2所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
2
y
y2 x
则
D
:
y2xy2 1y2
Dxyd
2 y2
1dyy 2 xydx
10-2 二重积分的计算法
.
dy
dy
( y ) ( y ) ( y )
f ( x , y )dx
.
f ( x , y )d x
. . .
o
3 5 x 返回
10. 将二重积分换序
I dy
y
y
f ( x, y )dx
y
1
x
2
x
e dy
y x
y x2
1
1 2
3 1 x(e e )dx e e. 8 2
x
返回
二、极坐标系
D: x y 和 x y
之间的环域
引例 1
I
f ( x , y )d xdy
D
为什么引用极坐标计算二重积分
y
I
1
返回
e dx, e dx,
x2
1 x
sin x dx x
1 2
例 14 计算积分 I dy e dx dy e dx.
y 1 y
1 4 1 2 1 2
y x
y x
y
解 e dx 不能用初等函数表示
y x
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x
i i
i
D
i
对D进 行 分 割 ：
i i i i
o o
i
A 返回
二重积分 在极坐标下 的计算法：
D
2 ( ) f ( cos , sin ) d f ( x , y )dxdy d 1 ( )
dy
dy
( y ) ( y ) ( y )
f ( x , y )dx
.
f ( x , y )d x
. . .
o
3 5 x 返回
10. 将二重积分换序
I dy
y
y
f ( x, y )dx
y
1
x
2
x
e dy
y x
y x2
1
1 2
3 1 x(e e )dx e e. 8 2
x
返回
二、极坐标系
D: x y 和 x y
之间的环域
引例 1
I
f ( x , y )d xdy
D
为什么引用极坐标计算二重积分
y
I
1
返回
e dx, e dx,
x2
1 x
sin x dx x
1 2
例 14 计算积分 I dy e dx dy e dx.
y 1 y
1 4 1 2 1 2
y x
y x
y
解 e dx 不能用初等函数表示
y x
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x
i i
i
D
i
对D进 行 分 割 ：
i i i i
o o
i
A 返回
二重积分 在极坐标下 的计算法：
D
2 ( ) f ( cos , sin ) d f ( x , y )dxdy d 1 ( )
10-2二重积分的计算法(1)--直角坐标系下X型Y型解析
1( x)
b
x x+dx b
x
z=f (x, y)
A( x)
D
f ( x , y )dy
A( x)
1(x)
y
f ( x , y )d
a [
b
b
2(x)
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy]dx
a dx
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy
第二节 二重积分的计算法（1）
一、利用直角坐标计算二重积分 二、小结 练习题
二重积分的计算 基本思路：化为定积分
f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，
D
以曲面 z f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
z
z f ( x, y)
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,
y
A( x )
a
f ( x , y )d V a A( x )dx
D
b
x
b
x
1. 直角坐标系下的计算法
(1) X－型积分区域D: 特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边 界相交不多于两个交点.
1(x)≤y≤2(x) , a ≤x≤b
y o
y 2 ( x)
y
y 2 ( x)
y x o a
y 2 ( x) y 1 ( x)
D
D
D
a
y 1 ( x)
x o a b
y 1 ( x)
b
x b
z y
o
z a
z f ( x, y)
y 2 ( x) y 1 ( x)
b
x x+dx b
x
z=f (x, y)
A( x)
D
f ( x , y )dy
A( x)
1(x)
y
f ( x , y )d
a [
b
b
2(x)
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy]dx
a dx
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy
第二节 二重积分的计算法（1）
一、利用直角坐标计算二重积分 二、小结 练习题
二重积分的计算 基本思路：化为定积分
f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，
D
以曲面 z f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
z
z f ( x, y)
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,
y
A( x )
a
f ( x , y )d V a A( x )dx
D
b
x
b
x
1. 直角坐标系下的计算法
(1) X－型积分区域D: 特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边 界相交不多于两个交点.
1(x)≤y≤2(x) , a ≤x≤b
y o
y 2 ( x)
y
y 2 ( x)
y x o a
y 2 ( x) y 1 ( x)
D
D
D
a
y 1 ( x)
x o a b
y 1 ( x)
b
x b
z y
o
z a
z f ( x, y)
y 2 ( x) y 1 ( x)
10-2二重积分的计算
D o
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,
三、利用极坐标计算二重积分
1. 直角坐标与极坐标
y
y
A (x, y)
O
x
x
r A (r, )
O
x = 常数 y = 常数
直线 直线
r = 常数
= 常数
圆周 射线
2. 极坐标下计算 I f (x, y) d D 当被积函数或围成积分区域的边界曲线含 x2 y2 ,
通常可以利用极坐标来计算此二重积分.
r 2 ( ) r 1( )
o
d
2 ( ) f (r cos , r sin )r d r
1( )
特别,
对
D :
0 r ( ) 0 2
r ( )
f (r cos , r sin ) r d r d
D 2
( )
d f (r cos , r sin ) r d r
0
0
2
y
y2 x
则
D
:
y2 1
x y
y 2
2
o 1
D
4x
y x2
2 y2
D xyd 1dy y2 xy d x
2 1
1 2
x
2
y
y2 y2ຫໍສະໝຸດ dy1 22 [ y( y 2)2 y5 ] dy
1
化二重积分为二次积分时，要兼顾以下两个方面 来选择适当的积分次序：
1. 考虑积分区域 D 的特点，对 D 划分的块数越少 越好；
穿入点的横坐标 x 1( y), 穿出点的横坐标 x 2 ( y), 则1(y) x 2(y)
(3) I d 2 (y) f (x, y) dx d y d d y 2 (y) f (x, y) dx
10-2二重积分的计算
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D 4D1
注意：被积函数也要有对称性.
D
sin( x2 y2 ) dxdy x2 y2
4 sin( x2 y2 ) dxdy
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r rdr 4.
0 1r
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
f (r cos ,r sin )rdrd
i i i
D
i
o
A
i
1 2 (ri
ri )2
i
1 2
ri
2
i
1 2
(2ri
ri
)ri
i
r ri ri r ri
ri
(ri 2
ri
) ri
i
D
ri ri i ,
o
i i i i
A
f (x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
a r
2
cos a
2
,
得交点A (a, ) , 6
所求面积 dxdy 4 dxdy
D
D1
4
6 d
a
2 cos 2
rdr
0
a
a2 ( 3 ). 3
例 4 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则
D
:
y 1
x y
2 2
o
1 x 2x
I
2
D10.2(二)、利用极坐标计算二重积分3
所截得的(含在柱面内的 立体的体积 所截得的 含在柱面内的)立体的体积 含在柱面内的 立体的体积. 解: 设 D : 0 ≤ r ≤ 2a cosθ , 0 ≤θ ≤ 由对称性可知
π
2
z
o
2a
y
V = 4 ∫∫
= 4∫
π
0
D
4a2 − r 2 r d r dθ
x
2
dθ
∫0
2acosθ
4a2 − r2 r d r
2 2
⇔ ρ = 2a cosθ
x
a
y
2a
2
2a
2
x + y = 2 ay
⇔ ρ = 2a sinθ
a
x
3 、 平 面 区 域 的 极 坐 标 表 示 法
（1）型 ）
ρ =ϕ2 (θ)
o
βα
ρ =ϕ1(θ)
ρ = φ（θ）
ϕ1(θ) ≤ ρ ≤ ϕ2 (θ) ⇔ D: α ≤θ ≤ β
(2)型 型
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= lim ∑ f ( rk cosθk , rk sinθk )rk ∆rk ∆θk
λ→0 k =1
n
即
∫∫D f (x, y) dσ = ∫∫D f (r cosθ, r sinθ)r dr dθ
rdθ dσ dr dθ r
机动
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o
（3）型 ）
α
β
0 ≤ ρ < φ (θ) ⇔ D: α ≤θ ≤ β
ρ = ϕ(θ )
D
0 ≤ ρ ≤ ϕ(θ ) ⇔ D: 0 ≤ θ ≤ 2π
二重积分的计算法
二重积分的计算法二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面上的曲线或曲面的面积、质量、质心等物理量。
本文将以二重积分的计算法为主题，介绍二重积分的概念、计算方法以及一些应用。
一、二重积分的概念在平面上，设有一个有界闭区域D，可以将其分割为许多小的面积元素。
二重积分的概念就是将这些小的面积元素累加起来，从而求得整个区域D的面积。
一般来说，二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA其中，f(x,y)是定义在D上的一个函数，dA表示面积元素的微元。
二、二重积分的计算方法1. 通过直接定积分计算：如果D可以用简单的几何图形表示（如矩形、三角形等），那么可以通过直接计算定积分的方法求得二重积分的值。
具体计算方法如下：将D分割为若干个小矩形或小三角形，然后计算每个小面积元素的面积，最后将这些小面积元素的面积相加即可得到二重积分的值。
2. 通过极坐标变换计算：当被积函数f(x,y)具有一定的对称性时，可以通过极坐标变换将二重积分转化为极坐标下的积分。
具体的计算方法如下：设有二重积分∬D f(x,y) dA，通过极坐标变换可以将其转化为∬D' g(r,θ) r dr dθ的形式，其中g(r,θ)是原函数f(x,y)在极坐标下的表示形式。
3. 通过变量代换计算：当被积函数f(x,y)在直角坐标系下比较复杂，难以直接计算时，可以通过变量代换的方法将其转化为简单的形式，从而计算二重积分的值。
具体的计算方法如下：设有二重积分∬D f(x,y) dA，通过变量代换可以将其转化为∬D' f(u,v) |J| du dv的形式，其中(u,v)是变量代换后的坐标，|J|是变换的雅可比行列式。
三、二重积分的应用1. 计算平面图形的面积：二重积分可以用来计算平面上的曲线或曲面的面积。
通过将曲线或曲面分割为小的面积元素，并将其面积相加，可以得到整个曲线或曲面的面积。
2. 计算质量和质心：对于有一定密度分布的平面图形，可以用二重积分来计算其质量和质心。
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f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
O a
y c
y 1 ( x)
D
x 2 ( y)
x
bx
D1 D3
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X - 型域或Y - 型域 , 则
第二节 二重积分的计算法
第十章
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f ( x, y ) 0 y y 2 ( x) 且在D上连续时, 若D为 X - 型区域
O a y ( x)b x 1 2 ( x) b f ( x, y ) d y 则 f ( x, y ) d x d y d x 1 ( x ) D a y x 2 ( y) d 1 ( y ) x 2 ( y ) 若D为Y - 型区域 D : y c yd c ( y ) d 2 x O 则 f ( x , y ) d x d y x ( y)
10.3.7、计算二次积分
2 4 1 y 原式 2 x 2 2x
x
dx
=9.
=
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10.3.8、计算二次积分
10.3.9、计算二次积分
3 2 2y2 原式 x 1 3
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10.3.4、设f(x,y)为连续函数，交换二次积分
的积分次序。
解：原式= 10.3.5、设f(x,y)是连续函数，交换积分 的积分次序。
解：原式=
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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10.3.6、计算二次积分
2 34 1 3 x x dx 1 dx 1 3 3 1 3
sin x d x
0
π
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
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例4. 交换下列积分顺序
I dx
0
2
x2 2 0
f ( x, y )d y
2 2 2
dx
8 x 2 0
f ( x, y )d y
解: 积分域由两部分组成:
y
x2 y2 8
2 0 y 8 x 2 0 y 1 x 2 D1 : , D2 : 2 1 2 2 x 2 2 y 0 x2 2 x D1 D2 将 D D1 D2 视为Y - 型区域 , 则
O
22 2
x
2y x 8 y D: 0 y2
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例2. 计算
y 2 y2 x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y
所围成的闭区域. 则
D x yd , 其中D 是抛物线
及直线
y2 x y 2 D: 1 y 2
O 1
D
4 x
x yd d y
2
2
8 y 2 2y
I f ( x, y ) d x d y d y
D
0
f ( x, y )d x
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10.1.2、
设函数f(x,y)在x2+y2≤1上连续，使
成立的充分条件是 (A)f(－x,y)=f(x,y) f(x,－y)=－f(x,y) (B)f(－x,y)=f(x,y) f(x,－y)=f(x,y) (C)f(－x,y)=－f(x,y) f(x,－y)=－f(x,y) (D)f(－x,y)=－f(x,y) f(x,－y)=f(x,y)
D
2
y2
2
y x2
y2 2 1 2 x y 2 dy 2 y 1
1
y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
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sin x d xd y, 其中D 是直线 例3. 计算 D x 所围成的闭区域. y y x 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, D xπ 因此取D 为X - 型域 : π x O 0 y x D: 0 xπ π sin x x sin x d xd y dx d y 0 D x 0 x
D2
2
D D D
1
D3
O
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x
结束
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解法1. 将D看作X - 型区域, 则 D : 1 x 2 y 2 x 2 yx 2 2 x 1 y I d x x yd y 1 2 x y d x 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 O 1 x2x 8 y x 2 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 2 2 1 I d y x yd x x y d y 2 y 1 y 3 d y 9 2 1 1 2 y 1 y 8
B
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10.3.1、设f(x,y)是连续函数，交换二次积分
的积分次序。
原式=
f(x,y)dx.
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10.3.2、设f(x,y)是连续函数，交换二次积分
的积分次序。
原式=
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10.3.3、设f(x,y)是连续函数，交换积分 的积分次序。
解：原式=
c
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
x
D
1 ( y)
1
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结束
说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,
则有
D f ( x, y) dx d y
d x
a b
2 ( x)
1 ( x)
d
y
y 2 ( x)