(新教材)2020高中数学同步导学 人教B版 第二册：第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.3
(新教材)2020数学同步导学人教B第二册课件：第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.3
题型三 指数函数与对数函数图像间的关系
例 3 已知 lg a＋lg b＝0，函数 f(x)＝ax 与函数 g(x)＝－logbx 的图像可能是( )
【解析】 ∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，则 b＝1a，从而 g(x)＝－ logbx＝logax，故 g(x)与 f(x)＝ax 互为反函数，图像关于直线 y＝x 对 称．结合选项可知选 B.
a－ax∈(0，a)，所以值域是(－∞，1)．
②设 x1<x2<1，则 ax1<ax2<a，f(x2)－f(x1)＝loga(a－a x2 )－loga(a
－a
x1
)＝logaaa－－aa
x2 x1
<0，所以
f(x1)＞f(x2)，所以函数
f(x)为减函数．
(2)将方程整理得 2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，m 是指 数函数 y＝2x 的图像与直线 y＝－x＋3 交点 A 的横坐标，n 是对数 函数 y＝log2x 的图像与直线 y＝－x＋3 交点 B 的横坐标，由于函数 y＝2x 与 y＝log2x 互为反函数，所以它们的图像关于直线 y＝x 对称， 由题意可得出 A，B 两点也关于直线 y＝x 对称，于是可设 A，B 两
状元随笔 指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax，一个函数的
定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同．
知识点二 反函数 一般地，函数 y＝f(x)的反函数记作 y＝f－1(x)．值得注意的是， y＝f(x)的定义域与 y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与 y＝f－1(x) 的定义域相同．
【解析】 因为 f(x)＝2x＋2 是增函数，因此任意给定值域中的 一个值，只有唯一的 x 与之对应，所以 f(x)存在反函数．
2020学年新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.3对数函数的性质与图像新人教B版必修第二册
4.2.3 对数函数的性质与图像课后篇巩固提升夯实基础1.(多选)给定函数:①y=x 12,②y=lo g 12(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上是减函数的序号有( ) A.① B.② C.③ D.④x 12在(0,1)上为增函数;y=lo g 12(x+1)在(0,1)内为减函数;y=|x-1|在(0,1)内为减函数;y=2x+1在(0,1)内为增函数.2.已知函数f (x )=1-2x ,若a=f (log 30.8),b=f [(12)13],c=f (2-12),则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b(x )=1-2x 在定义域上为减函数,由(12)13>(12)12=2-12,得b<c ,由log 30.8<0<2-12,得c<a.所以b<c<a.3.函数f (x )=2|log 2x |的图像大致是( )f (x )=2|log 2x |={x ,x ≥1,1x,0<x <1,故选C .4.若0<a<1,且函数f (x )=|log a x|,则下列各式中成立的是( ) A.f (2)>f (13)>f (14) B.f (14)>f (2)>f (13)C.f(13)>f(2)>f(14)D.f(14)>f(13)>f(2)0<a<1,所以函数f(x)=|log a x|在(0,1)内单调递减,所以f(14)>f(13)>f(12).又f(12)=|log x12|=|-log a2|=|log a2|=f(2),从而有f(14)>f(13)>f(2).故选D.5.以下四个数中最大的是()A.(ln 2)2B.ln(ln 2)C.ln √2D.ln 20<ln2<1,∴ln(ln2)<0,(ln2)2<ln2.又∵ln√2=12ln2<ln2,∴最大的数是ln2.6.下面结论中,不正确的是()A.若a>1,则函数y=a x与y=log a x在定义域内均为增函数B.函数y=log3(x2+1)在(0,+∞)内为增函数C.y=log a x2与y=2log a x表示同一函数D.若0<a<1,0<m<n<1,则一定有log a m>log a n>0A,若a>1,则函数y=a x与y=log a x在定义域内均为增函数,正确;对于B,因为y=log3t与t=x2+1在(0,+∞)内均为增函数,所以y=log3(x2+1)在(0,+∞)内为增函数,正确;对于C,y=log a x2的定义域为{x|x≠0},y=2log a x的定义域为{x|x>0},两函数定义域不同,不表示同一函数,错误;对于D,若0<a<1,0<m<n<1,则一定有log a m>log a n>0,正确.故选C.7.已知函数f (x )=log a x ,g (x )=b x的图像经过点14,2,则ab 的值为( )A.1B.2C.4D.8解析因为函数f (x )=log a x ,g (x )=b x的图像都经过点14,2,所以log a 14=2,x 14=2,解得a=12,b=16,则ab=8.8.设函数f (x )定义在实数集上,f (2-x )=f (x ),且当x ≥1时,f (x )=ln x ,则有( ) A.f (13)<f (2)<f (12) B.f (12)<f (2)<f (13) C.f (12)<f (13)<f (2) D.f (2)<f (12)<f (13)f (2-x )=f (x )得x=1是函数f (x )的图像的一条对称轴,又当x ≥1时,f (x )=ln x 单调递增,∴当x<1时,函数单调递减. ∴f (12)<f (13)<f (0).又由已知得f (2)=f (0),∴f (12)<f (13)<f (2).9.已知函数f (x )=log 2x-2log 2(x+c ),其中c>0.若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1,则c 的取值范围是 ( )A.(0,14]B.[14,+∞)C.(0,18]D.[18,+∞)f (x )≤1,得log 2x-2log 2(x+c )≤1,整理得log 2(x+c )≥log 2√x2,所以x+c ≥√x 2,即c ≥-x+√22√x (x>0).令√x =t (t>0),则c ≥-t 2+√22t.令g (t )=-t 2+√22t ,其图像对称轴为直线t=√24.所以g (t )max =g (√24)=-(√24)2+√22×√24=18.则c ≥18.所以,若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1,则c 的取值范围是[18,+∞).故选D . 10.若a>0,且a ≠1,则函数f (x )=√2log a (5x-10)+2恒过定点P 的坐标是 . (115,2)5x-10=1,解得x=115,所以函数f (x )恒过定点(115,2).11.函数f (x )=a x+log a (x+1)(a>0,且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为 .0<a<1时,y=a x和y=log a (x+1)在[0,1]上都是减函数;当a>1时,y=a x和y=log a (x+1)在[0,1]上都是增函数. 所以f (x )在[0,1]上的最大值与最小值之和为f (0)+f (1). 而f (0)+f (1)=(a 0+log a 1)+(a 1+log a 2)=a , 即1+log a 2=0,故a=12.12.函数f (x )的定义域是[-1,1],则函数f (lo g 12x )的定义域为 .答案12,2解析由题得-1≤log 12x ≤1,所以lo g 122≤log 12x ≤log 1212,12≤x ≤2,所以函数f (lo g 12x )的定义域为12,2.13.已知函数f (x )=√log 2(x -1)的定义域为A ,函数g (x )=(12)x(-1≤x ≤0)的值域为B. (1)求A ∩B ;(2)若C={y|y ≤a-1},且B ⊆C ,求a 的取值范围.由题意知,{x -1>0,log 2(x -1)≥0,解得x ≥2.∴A={x|x ≥2}.易知B={y|1≤y ≤2}, ∴A ∩B={2}.(2)由(1)知B={y|1≤y ≤2},若要使B ⊆C ,则有a-1≥2.所以a ≥3.能力提升1.作出函数y=|log 2(x+1)|+2的图像.:作y=log 2x 的图像,如图①.第二步:将y=log 2x 的图像沿x 轴向左平移1个单位长度,得y=log 2(x+1)的图像,如图②. 第三步:将y=log 2(x+1)在x 轴下方的图像作关于x 轴的对称变换,得y=|log 2(x+1)|的图像,如图③.第四步:将y=|log 2(x+1)|的图像沿y 轴方向向上平移2个单位长度,便得到所求函数的图像,如图④.2.已知函数y=log 2x4(log 16x 2-log 2√2)(2≤x ≤8). (1)令t=log 2x ,求y 关于t 的函数关系式及t 的范围;(2)求该函数的值域.因为2≤x ≤8,所以t ∈[1,3],则log 4x=12log 2x=12t. 因为y=log 2x 4(log 16x 2-log 2√2)(2≤x ≤8),所以y=(log 2x4)(log 4x -12)(2≤x ≤8). 所以y=(t-2)12t-12=12(t-2)(t-1)=12t 2-32t+1,t ∈[1,3]. (2)由(1)知y=12t 2-32t+1=12t-322-18,t ∈[1,3]. 当t ∈1,32时,函数单调递减,当t ∈32,3时,函数单调递增,所以当t=32时,y min =-18.因为当t=1时,y=0,当t=3时,y=12×32-32×3+1=1,所以y max =1. 所以函数y=log 2x 4(log 16x 2-log 2√2)(2≤x ≤8)的值域为-18,1.3.已知函数f (x )=log a [(1x-2)x +1]在区间[1,2]上的值恒为正,求实数a 的取值范围.当a>1时,只需(1x-2)x+1>1, 即(1x -2)x>0,∵1≤x ≤2,∴1x -2>0, 即a<12,这与a>1矛盾.(2)当0<a<1时,设g (x )=(1x -2)x+1(x ∈[1,2]),只需0<g (x )<1.①当a=12时,g (x )=1,f (x )=0,不合题意;②当0<a<12时,1x -2>0,g (x )是增函数,只要g (1)>0,且g (2)<1,解得12<a<1,与0<a<12矛盾;③当12<a<1时,1x -2<0,g (x )是减函数,只要g (2)>0,且g (1)<1,解得12<a<23.综上所述,a 的取值范围是(12,23).。
(新教材)【人教B版】20版必修二4.4(数学)-第四章 指数函数、对数函数与幂函数
3.如果幂函数f(x)=xα 则α =( )
的图像经过点
(3, 1) 9
,
A.-2
B.2
C.-
D.
1
1
2
2
【解析】选A.幂函数f(x)=xα的图像经过点 则3α= ,解得α=-2.
(3, 1) 9
,
1
9
类型一 幂函数的概念
【典例】1.已知幂函数f(x)=xα 的图像过点
,
则式子4α 的值为 (
A.1
B.2
) C.
D.(
1 4
,
1) 2
1
1
2
4
2.(2019·南平高一检测)已知函数f(x)=(3-m)x2m-5 是幂函数,则f =________.
(1) 2
【思维·引】1.代入点的坐标,求出α后代入求值. 2.根据幂函数解析式的特征求出m,确定解析式后求值.
【解析】1.选B.因为幂函数f(x)=xα的图像过点 1 1 ,
【典例】(2019·娄底高一检测)已知a= ,b= ,
c=2 ,则 ( )
A.b<a<c C.b<c<a
1
B.a<b<c D.c<a<b
4
2
23
45
53
【思维·引】先对式子变形,再选取恰当的函数利用单 调性比较大小.
【解析】选A.因为a= 4 1 ,c= 1 , 由幂函数y= 的单调2性3 ,所16以3 a<c,253
【思维·引】1.根据各个函数的图像特征选取. 2.根据幂函数图像所在的象限判断.
【解析】1.选B.函数y=x-1在第一象限内单调递减,对 应的图像为c4;y=x对应的图像为一条过原点的直线,对 应的图像为c2;y=x2对应的图像为抛物线,对应的图像 应为c1;y= 在第一象限内的图像是c3,所以曲线 c1,c2,c3,c4的n依次为2,1, ,-1.
新教材 人教B版高中数学必修第二册 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 知识点考点及解题方法提炼汇总
第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数 (1)4.1.1实数指数幂及其运算 (1)4.1.2指数函数的性质与图像 (5)第1课时指数函数的性质与图像 (5)第2课时指数函数的性质与图像的应用 (9)4.2对数与对数函数 (13)4.2.1对数运算 (13)4.2.2对数运算法则 (17)4.2.3对数函数的性质与图像 (20)第1课时对数函数的性质与图像 (20)第2课时对数函数的性质与图像的应用 (23)4.3指数函数与对数函数的关系 (27)4.4幂函数 (30)4.5增长速度的比较 (35)4.6函数的应用(二) (38)4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0x＝__na__x＝__±na__0不存在根式(1)当na有意义时，na称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．(2)性质：①(na)n＝__a__；②na n＝⎩⎨⎧__a__，n为奇数，__|a|__，n为偶数.分数指数幂的意义正分数 指数幂 n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n ＝__na __正分数m n ，a m n ＝__(n a )m __＝na m负分数 指数幂 s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1a s __无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t 是一个确定的__实数__． 实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R ) (1)a r a s ＝__a r ＋s __． (2)(a r )s ＝__a rs __． (3)(ab )r ＝__a r b r __． 题型n 次方根的概念及相关问题 典例剖析典例1 (1)求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围； (2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号．[解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎨⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎨⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于na ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要n a 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号．根式与分数指数幂的互化 典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15 ；a 34 ；a －23 ； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解．[解析] (1)a 15 ＝5a ；a 34 ＝4a 3；a －23 ＝1a 23 ＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63 ＝a 2；13a 2＝1a 23 ＝a －23 ．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．有理(实数)指数幂的运算法则的应用 典例剖析典例3 化简：(1)(5x －23 y 12 )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)；(2)0.064－13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75；(3)32＋3×27－33；(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×(－14)×(－56)·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ．(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716．(3)32＋3×27－33 ＝32＋3×(33)－33 ＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12 ＋(2)1－3＋1＋3 ＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2 ＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14 ]＋2＝(2)14 ＋2＝2＋218 ．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 易错警示 典例剖析典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12 ．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14 ．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1．[正解] ∵(－a ) 12 存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14＝(－a ) 14 ．4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时 指数函数的性质与图像知识点 指数函数函数__y ＝a x __称为指数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1． 思考：(1)为什么指数函数的底数a ＞0，且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a ＝0，当x ＞0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义．②如果a ＜0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义． ③如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．(2)①a ＞0，且a ≠1，②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．指数函数的图像和性质0＜a ＜1a ＞1图像定义域 实数集R 值域 __(0，＋∞)__ 性质 过定点__(0,1)__ 是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y ＝2x，y ＝3x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，…，为什么一定过点(0,1)?(2)对于指数函数y x底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 ？ x ＜0？0＜a ＜1x ＞0 ？ x ＜0？提示：(1)当x ＝0时，a ＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)． (2)底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 y ＞1 x ＜0 0＜y ＜1 0＜a ＜1x ＞0 0＜y ＜1 x ＜0y ＞1题型指数函数的概念 典例剖析典例1 (1)函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为__2__．(2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝__1e __． [分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解． (2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f (－π)． [解析] (1)由题意得a 2－3a ＋3＝1， 即(a －2)(a －1)＝0， 解得a ＝2或a ＝1(舍)．(2)设指数函数为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则e ＝a π，所以f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e ． 规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a ＞0，且a ≠1； ②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y ＝13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)． (2)利用已知条件求底数A ． (3)写出指数函数的解析式．指数函数的图像问题 典例剖析典例2 (1)函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y ＝23－x的图像，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像( A )A ．向右平移3个单位B ．向左平移3个单位C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论，分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论判断． (2)先对解析式变形，再进行判断． [解析] (1)函数y ＝x ＋a 单调递增． 由题意知a ＞0且a ≠1．当0＜a ＜1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于0且小于1； 当a ＞1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D ．(2)因为y ＝23－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x －3，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3 ，即y ＝23－x 的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图像所过的定点．指数函数的定义域、值域问题 典例剖析典例3 (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值域为(1，＋∞)，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－2，－1)∪(1，2)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2)函数y ＝52x －1的定义域为__⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12__． [分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得． (2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析] (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则底数a 2－1＞1，a 2＞2，所以|a |＞2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)要使函数y ＝52x －1有意义，则2x －1≥0，所以x ≥12.所以函数y ＝ 52x －1的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12． 规律方法：函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 易错警示 典例剖析典例4 若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[错解] ∵函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴⎩⎨⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，∴a ＝3．故实数a 的值为3．[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论．[正解] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，。
2020新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则新人教B版必修第二册
4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则课后篇巩固提升夯实基础1.若ln x-ln y=a,则ln-ln等于()A. B.a C. D.3a-ln=3-=3(ln x-ln2-ln y+ln2)=3(ln x-ln y)=3a.2.已知a>0,a≠1,x>y>0,n∈N+,下列各式:①(log a x)n=n log a x;②log a x=-log a;③=log a;④log a x;⑤log a x=log a;⑥log a x=lo x n;⑦.log a-=-log a-其中成立的有()A.3个B.4个C.5个D.6个②⑤⑥⑦正确.①式中n log a x=log a x n;③式中log a=log a x-log a y;④式中log a x=log a.3.(多选)已知函数f(x)=若f(a)=,则x的可能取值为()A.-1B.C.D.2a>0时,由log2a=,得a=,故C正确;当a≤ 时,由3a=,得a=-1,故A正确.4.如果关于lg x的方程lg2x+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为lg x1,lg x2,那么x1x2的值为()A.lg 2·lg 3B.lg 2+lg 3C. D.-6由已知,得lg x1+lg x2=-(lg2+lg3)=-lg6=lg,又∵lg x1+lg x2=lg(x1x2),∴lg(x1x2)=lg.∴x1x2=.5.已知f(x5)=lg x,则f(2)等于()A.lg 2B.lg 32C.lgD.lg 2方法一)令x5=2,则x=,∴f(2)=lg lg2.(方法二)令x5=t,则x=,∴原函数可转化为f(t)=lg lg t,即f(x)=lg x,∴f(2)=lg2.6.若2a=3b=6,则=()A.2B.3C.D.12a=3b=6,∴a=log26,b=log36.∴=log62+log63=1.7.若3α=2,则log38-2log36用含a的代数式可表示为()A.a-2B.3a-(1+a)2C.5a-2D.3a-a23a=2,∴a=log32,log38-2log36=3log32-2(log33+log32)=log32-2=a-2.8.已知log32=a,则2log36+log30.5=.2=2log3(2×3)+log3=2(log32+log33)-log32=log32+2=a+2.9.log56·log67·log78·log89·log910=.=.10.若a=log43,则2a+2-a=,+1=.log312a=log43=log2,∴2a+2-a=-.∵=log34,1=log33,∴+1=log34+log33=log312.11.已知a,b,c为正数,且lg(ac)lg(bc)+1=0,则lg的取值范围是.-∞,-2]∪[2,+∞)lg c的一元二次方程有解问题进行处理.∵由题意,得(lg a+lg c)(lg b+lg c)+1=0,∴有(lg c)2+(lg a+lg b)lg c+lg a lg b+1=0.设lg c=t,则t2+(lg a+lg b)t+lg a lg b+1=0,t∈R,则关于t的方程t2+(lg a+lg b)t+lg a lg b+1=0有根,∴Δ=(lg a+lg b)2-4(lg a lg b+ )≥ .整理,得(lg a-lg b)2≥∴≥ .∴lg≥ 或lg≤-2,即lg的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).12.计算:log28+lg+ln-+(lg 5)2+lg 2lg 50.=3-3++2÷+(lg5)2+lg2(lg5+1)=+(lg5)2+(1-lg5)(1+lg5)=.能力提升1.设a>0,a≠1,x,y满足log a x+3log x a-log x y=3.(1)用log a x表示log a y;(2)当x取何值时log a y取得最小值?由题意得log a x+=3,∴=log a x+-3.∴log a y=(log a x)2-3log a x+3.(2)设log a x=t,t∈R,则有log a y=t2-3t+3=-(t∈R),∴当t=时,log a y取得最小值,此时log a x=,x=,即当x=时,log a y取得最小值.2.(1)已知5a=3,5b=4,求a,b,并用a,b表示log2512.(2)求值:2-(-π)0+log3.因为5a=3,5b=4,所以a=log53,b=log54.所以log2512=(log53+log54)=.(2)原式=-1+(-1)+2=-1-1+2=.3.甲、乙两人解关于x的方程log2x+b+c log x2=0,甲写错了常数b,得到两个根;乙写错了常数c 得到两个根,64.求这个方程真正的根.log2x+b+c·=0,即(log2x)2+b log2x+c=0.因为甲写错了常数b得到两个根,所以c=log2·log2=6.因为乙写错了常数c得到两个根,64,所以b=-=-5.故原方程为(log2x)2-5log2x+6=0.解得log2x=2或log2x=3.所以x=4或x=8,即方程真正的根为4,8.4.已知2y·log y4-2y-1=0,·log5x=-1,问是否存在一个正整数P,使P=-?2y·log y4-2y-1=0,∴2y-=0.又∵2y>0,∴log y4=.∴y=16.由·log5x=-1得=-log x5>0,∴log x=(log x5)2.∴log x5x=(log x5)2.∴2(log x5)2-log x5-1=0,即(2log x5+1)(log x5-1)=0,∴log x5=-或log x5=1.∵-log x5>0,∴log x5<0.∴log x5=1(舍去).∴log x5=-,即-=5.∴x=.∴=25.∴P=--=3.即存在正整数P=3,使P=-.。
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 对数运算法则
1 2 3 4
带有附加条件的代数式求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转
化,原则上是化为同底的对数,以便利用对数的运算法则.要整体把握对数
式的结构特征,灵活运用指数式与对数式互化进行解题.
成果验收·课堂达标检测
1.(多选题)已知a,b均为不等于1的正数,则下列选项中与logab相等的有
( AD )
1
A.lo g
1 2 3 4
3
1
3
10-1+ =1+ +1-1+ =2.
4
4
4
3
4
=
2
.
4.计算:(1)3log72-log79+2log7
3
2√2
;
(2)(lg 2)2+lg 2×lg 500+lg 125;
(3)[(1-log63)2+log62×log618]÷log64.
解
9
(1)原式=log78-log79+log7 =log78-log79+log79-log78=0.
ln
4.任何对数均可用自然对数表示,即 logab=
过关自诊
1.换底公式中底数c是特定数还是任意数?
提示 换底公式等号右边的“底数c”是不定的,它可以是任何一个不为1的
正数.
2.(多选题)下列等式正确的是(ABC )
ln4
A.log34=ln3
lg4
B.log34=lg3
1
C.log34=lo g 3
lg
B.lg
C.log √ √
D.log bn(n∈R 且 n≠0)
解析
1
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 本章总结提升
若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是(BCD)
A.x1+x2=-1
B.x3x4=1
C.1<x4<2
D.0<x1x2x3x4<1
解析 f(x)的大致图象如下:
由图易知 x1+x2=-2,-2<x1<-1.当 y=1 时,有|log2x|=1,即
∵-3<x<1,∴0<-(x+1)2+4≤4.
∵0<a<1,
∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4.
1
2
-
由 loga4=-2,得 a =4,∴a=4 =
-2
1
.
2
÷
(1-2
)×
2
3
3
3
4 +2 ab +
(a>0,b>0).
1
1
1
1 1
1
1 1
3 (-8)
3
3 (-8)
3 3
3
3 3
解 原式= 1
1 1
1 × 1 1 × = -8 × ×
(23 )2 +233 +(3 )2
3 -23
3
=a b(a>0,b>0).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的最小值为-2,求a的值.
1- > 0,
解 (1)要使函数有意义,则有
+ 3 > 0,
解得-3<x<1,即函数f(x)的定义域为(-3,1).
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 实数指数幂及其运算
am
1
am
1
2
-
1
2 2
B.(a + ) =a+a-1
D.a0=1
解析 根据根式与有理指数幂的互化,可得 A,C 正确;由 a>0 可知 a0=1,故 D
正确;由
1
a>0,得(2
1 2 3 4
+
1
1
1
-2 )2=(2)2+22
·
-
1
1
- 2
2 +( 2 ) =a+a-1+2,故
B 错误,故选 B.
内
没有意义
.
(3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为
.而且正数的奇
数次方根是一个 正 数,负数的奇数次方根是一个 负 数.
3.根式的定义:当 n a有意义的时候, n a称为 根式
,n 称为 根指数 ,a 称
为 被开方数 .
4.根式的性质:
n
(1)( a)n= a .
n
n
(2)当 n 为奇数时, an = a ;当 n 为偶数时, an = |a| .
后运用相关的运算性质化简.
3
变式训练 23 化为根式形式为 9
3
2
为
3
4
解析
3
32
=
; · a· a(a>0)的分数指数幂表示
.
1
= 3=
3
32
3
2
3
3
4 .
1
3
=
3
;
9
3
· · =
3
·
1
·2
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题型三 指数函数与对数函数图像间的关系
例 3 已知 lg a＋lg b＝0，函数 f(x)＝ax 与函数 g(x)＝－logbx 的图像可能是( )
【解析】 ∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，则 b＝1a，从而 g(x)＝－ logbx＝logax，故 g(x)与 f(x)＝ax 互为反函数，图像关于直线 y＝x 对 称．结合选项可知选 B.
【答案】 B 1.由 lg a＋lg b＝0 得 ab＝1. 2.fx与 yx互为反函数.
状元随笔 指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax，一个函数的
定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同．
知识点二 反函数 一般地，函数 y＝f(x)的反函数记作 y＝f－1(x)．值得注意的是， y＝f(x)的定义域与 y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与 y＝f－1(x) 的定义域相同．
1．函数 f(x)＝log4x 与 g(x)＝22x 的图像( ) A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 y＝x 对称
解析：∵g(x)＝22x＝4x，∴函数 f(x)＝log4x 与 g(x)＝22x 互为反 函数，它们的图像关于直线 y＝x 对称．
答案：D
2．若函数 y＝log2x＋2 的反函数的定义域为(3，＋∞)，则此函 数的定义域为________．
解析：函数 y＝log2x＋2 的反函数的定义域为(3，＋∞)，即这 个函数的值域为(3，＋∞)，
∴log2x＋2>3，即 log2x>1，∴x>2. 则此函数的定义域为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)
题型一 求函数的反函数[教材 P31 例 2] 例 1 判断 f(x)＝2x＋2 的反函数是否存在，如果不存在，说明 理由；如果存在，写出反函数 f－1(x)的解析式，并在同一直角坐标 系中作出 f(x)与 f－1(x)的函数图像．
解析：(1)由 y＝2x＋3 得 x＝12y－32，
所以函数 y＝2x＋3 的反函数是 y＝12x－32.
(2)y＝log
2 3
x
的底数是23，它的反函数是指数函数
y＝23x.
(3)y＝23x－1 的值域是(－1，＋∞)，所以它的反函数为函数 y
＝log 2 (x＋1)(x>－1)． 3
(4)因为 y＝0.2x＋1，所以 y－1＝0.2x，x＝log0.2(y－1)，即 y＝ log0.2(x－1)，
因为函数 y＝0.2x＋1(x≤1)的值域是{y|y≥1.2}，所以 y＝log0.2(x －1)的定义域为{x|x≥1.2}，即函数 y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是 y
＝log0.2(x－1)(x≥1.2)． 1.函数在定义域内的值域．
【解析】 因为 f(x)＝2x＋2 是增函数，因此任意给定值域中的 一个值，只有唯一的 x 与之对应，所以 f(x)存在反函数．
令 y＝2x＋2，对调其中的 x 和 y 得 x＝2y＋2，解得
y＝12x－1，
因此 f－1(x)＝12x－1. f(x)与 f－1(x)的函数图像如图所示． 1．判断函数是否单调． 2．求出 x. 3．推导出 f －1(x)的解析式．
方法归纳
求给定解析式的函数的反函数的步骤 (1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域； (2)从 y＝f(x)中解出 x； (3)x，y 互换并注明反函数的定义域．
跟踪训练 1 求下列函数的反函数． (1)y＝2x＋3；
(2)y＝log 2 x； 3
(3)y＝23x－1； (4)y＝0.2x＋1(x≤1)．
由①②解得ab＝ ＝31， .
解法二：∵y＝ax＋b 的图像过点(1,4)，∴a＋b＝4.① 又∵y＝ax＋b 的反函数图像过点(2,0)， ∴点(0,2)在原函数 y＝ax＋b 的图像上， ∴a0＋b＝2.②
联立①②得ab＝ ＝31， . 函数与反函数性质解题 互为反函数的图像关于直线 y＝x 对称是反函数的重要性质， 由此可得互为反函数图像上任一成对的相应点也关于 y＝x 对称， 所以若点 (a，b)在函数 y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数 y＝f－1(x)的图像上.
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0 且 a≠1)的图像过点 (1,7)，其反函数 f－1(x)的图像过点(4,0)，求 f(x)的表达式．
状元随笔
1．y＝f(x)与 y＝f －1(x)的图像关于直线 y＝x 对称． 2．如果 y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数 y＝f －1(x)一定存 在．此时，如果 y＝f(x)是增函数，则 y＝f －1(x)也是增函数；如果 y＝f(x)是减函数，则 y＝f －1(x)也是减函数．
[基础自测]
2．求 x. 3．解出 f －1(x)
题型二 反函数性质的应用 例 2 已知函数 y＝ax＋b 的图像过点(1,4)，其反函数的图像过 点(2,0)，求 a，b 的值．
【解析】 解法一：∵y＝ax＋b 的图像过点(1,4)， ∴a＋b＝4，① 由 y＝ax＋b 得 ax＝y－b， ∴x＝loga(y－b)，交换 x，y 得 y＝loga(x－b)， 将点(2,0)代入 y＝loga(x－b)得 loga(2－b)＝0， ∴2－b＝1.②
最新课程标准： 1.了解反函数的定义． 2.了解指数函数与对数函数互为反函数.
知识点一 指数函数与对数函数的性质
函数 定义域
指数函数 y＝ax R
对数函数 y＝logax ___(_0_，__＋__∞__) _
值域
(_0_，__＋__∞__)
R
单调性 0<a<1 时，为_减__函__数___；a>1 时，为_增__函__数___