note2011-26

U q Qj j U X 0 x x (q ) j i i i xi
A x Q
q A'
系统总势能为 极值条件：
(q j , xi ) U (q j , xi ) Qjq j
U q q Qj 0 (1) j j U 0 (2) xi xi
1 1 ij X i X j Qi X i QQ 2 2
利用卡氏原理可写为 可求出 同样有
ij X j iQ 0
Ni N jl EA M xi M xj GC dx M zi M zj EI z dx
（9-6-1）
）
C is
对杆系设想施加附加的约束，以使 x s 1 ，而其它所有的知由位移 x j 0( j s ) 。这时 是阻止位移 x i 的约束反力，C iq q 是这些约束在外力作用下的反力。
例 9-6-3 求弯矩分布。
作业： • • 静定： 9.19 静不定：9.22， 9.25
A R l
材料力学 2011
1 M A
0 RA
MA
4 EI l
RA
6 EI l2
MB
2 EI l
RB
6 EI l2
P
例 9-5-3 求梁的支反力。
RA RB
P 2
A MA
B MB
0 xl 2
2
例 9-5-4
Mz MA
l 2
1 2 EI z
x Es As sin s cos 2 s q Es As cos3 s QH
9.5.2 最小余能原理 静不定的杆系， X 1 , X 2 , , X p 。qs X s 系统总余能：
( X i , X s ) qs X s
xi 0 X i X i
Ni NQl EA

M xi M xQ GC
dx
M zi M zQ EI z
dx
其中 N Q , M xQ 和 M zQ 分别是在外力作用下静定基的轴力扭矩和弯矩。
材料力学 2011
例 9-6-1 求弯矩分布。
p a a
p
X1
X1
X2 X2
X 2a / 2
a a
pa 2 2
a a
X1a
1
q 2
x
X qL
3 8
EI z 0 1 2 1 qL2 3 XL L L L L 2 3 3 2 4
3 X 8 qL
§9.6 杆系中的力法和位移法
9.6.1 力法 基于卡氏原理的计算方法叫做力法。 在力法中基本未知量是广义力。 对于 p 次静不定杆 系，将全部外力用广义力 Q 表示，用 X 1 , X 2 , X p 表示“多余”的约束力，设 Q=1，则位移 势 为
pa 2 12
pa 2
2 a EIx 0 2 X a 2 1 2 3 2

pa 2 8
X a 1

X
pa 2 24
例 9-6-2 求弯矩分布。
1 2 pl 8
1 Pl 4
1Q
2Q
1 pl3 12
X1
1 Pl2 8
X2
1 2 Pl 8
1 1
材料力学 2011
1
a/2
1 1
a a
a
a a
3 4 5 3 2 3 a X 1 2a X 3 4 pa 0 22 X 2 0 5 2a 2 X 1 4aX 3 pa 3 0 6
X1
pa pa 2 , X 2 0. X 3 2 24
对称性：
pa 2
材料力学 2011
第九章 §9.5 静不定杆系
弹性杆系的一般性质
2011-5-31
9.5.1 最小势能原理 广义力 Qi，对应的广义位移为 qi。此外，系统的节点还有广义位移 xi (i 1,2, , n), 在这 些位移上力 X I 不作功。 U U (q j , xi ) 由拉氏定理，
qs 0 X s X s
Q Q( X i , X s )
最小总余能原理（卡氏原理） ：当 Xi 和 Xs 为实际约束力值时，总余能取极值（最小值） 。 例 9-5-2 求梁的支反力。
1
B
M z M A RA x

1 l M z2 dx 2 0 EI
M
9.6.2 位移法 基于拉氏原理的计算方法叫做位移法。 采用与前面类似的方法， 可以得到位移法的方程 组。这时，力势 为 由此得

1 1 C ij x i x j C ij x i q C qq q 2 2 2
C ij x j C iq q 0 C iq x i C qq q Q

0
M z dx
2
0 M A
P x 2
RA l
RB
MA MB
Pl 8
q
M
z

q 2
L x 2
L M 2 z 0 2 EI
2
X L x
0 X
qL2 2
L
X

dx
XL O
Mz

1 0 EI
L
L x X L xx Ld ( x L) 0
最小势能原理（拉格朗日原理） ：杆系总势能函数在真实的位移下取最小值。 例 9-5-1 由 k 根直杆组成的杆系，求各杆内力及节点 A 的位移。
H A x Q
αs
x q
ls
αs
x Es As sin 2 s cos s q Es As sin s cos 2 s 0
q