27.命题、证明及平行线的判定定理(基础)知识讲解
平行线的性质与判定
平行线的性质与判定平行线在几何学中具有重要的性质和判定方法。
本文将介绍平行线的定义、性质以及常见的判定方法，并且给出相应的几何证明。
一、平行线的定义平行线是位于同一平面内并且不会相交的两条直线。
平行线之间的距离在任意两点上保持恒定。
二、平行线的性质1. 平行线具有等夹角性质：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的内错角（夹角在两条平行线之间）互相相等，外错角（夹角在两条平行线之外）互相相等。
2. 平行线具有内错角性质：当一条直线与两条平行线相交时，内错角（夹角在两条平行线之间）之和等于180度。
3. 平行线具有对应角性质：当两条平行线被一条交线切割时，所形成的对应角（位于两条平行线的同一侧，一条在交线上，另一条在交线外）互相相等。
4. 平行线具有平行四边形性质：在平行四边形中，对边平行且相等，对角线互相等分。
三、平行线的判定方法1. 通过角度判定：若两条直线被一条第三线切割时，相应角、内错角或外错角相等，则可以判定这两条直线是平行的。
2. 通过距离判定：若两条直线上的任意两点之间的距离相等，则可以判定这两条直线是平行的。
3. 通过斜率判定：若两条直线的斜率相等，则可以判定这两条直线是平行的。
四、性质与判定的应用举例1. 平行线的性质在证明中常被用来推导其他几何结论。
例如，在证明三角形相似时，可以利用平行线的对应角性质。
2. 平行线的判定方法在几何问题中起到重要的作用。
例如，在解决平行四边形问题时，可以通过判定四边形的对边平行来证明它是平行四边形。
举例一：判断两条直线是否平行已知直线l1过点A(2, 4)和点B(6, 9)，直线l2过点C(-1, 1)和点D(3, 5)。
通过斜率判定来判断直线l1和l2是否平行。
解：直线的斜率可以通过两点的坐标计算得到。
计算直线l1的斜率m1，可以用点斜式公式：m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)，代入A(2, 4)和B(6, 9)的坐标：m1 = (9 - 4) / (6 - 2) = 5 / 4同理，计算直线l2的斜率m2，代入C(-1, 1)和D(3, 5)的坐标：m2 = (5 - 1) / (3 - (-1)) = 4 / 4 = 1由于斜率m1 ≠ m2，所以直线l1和l2不平行。
《平行线的判定》的数学知识点
《平行线的判定》的数学知识点《平行线的判定》的数学知识点在我们的学习时代，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。
掌握知识点有助于大家更好的学习。
下面是店铺为大家收集的《平行线的判定》的'数学知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。
1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行用符号‖表示，如AB‖CD，读作AB平行于CD。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
注意：(1)平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
2、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
简称：同位角相等，两直线平行。
平行线的两条判定定理：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
简称：内错角相等，两直线平行。
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。
简称：同旁内角互补，两直线平行。
补充平行线的判定方法：(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
4、平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等。
(2)两直线平行，内错角相等。
(3)两直线平行，同旁内角互补。
【《平行线的判定》的数学知识点】。
平行线的性质与判定
平行线的性质与判定平行线是几何学中的一个重要概念，我们都知道平行线永不相交。
在本文中，我们将介绍平行线的性质以及如何判定两条线是否平行。
同时，我们还会探讨平行线与其他图形之间的关系。
一、平行线的性质平行线的性质是几何学中的基础知识，下面我们将讨论几个与平行线相关的重要性质。
1. 对应角相等性质：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的对应角相等。
这个性质在解决几何问题中具有重要意义，可以通过对应角的等量关系简化问题的解决过程。
2. 内错角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所产生的内错角相等。
这个性质常用于解决与平行线相关的证明问题。
3. 外错角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所产生的外错角相等。
这个性质也常用于证明和解决几何问题。
4. 交替内角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所形成的交替内角相等。
这个性质在证明平行线的存在性和解决几何问题中经常使用。
以上是平行线的一些重要性质，它们在几何学中被广泛应用，并且有助于解决各种类型的几何问题。
二、平行线的判定在几何学中，判定两条线是否平行是一种常见问题。
下面我们将介绍一些常用的判定方法。
1. 垂直判定：如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们互为垂直线，即相互垂直。
2. 角度判定：当一条直线与另一条直线所形成的内错角或外错角相等时，这两条直线是平行线。
3. 距离判定：如果两条直线上的任意两个点之间的距离在任意位置都相等，那么这两条直线是平行线。
这些判定方法都是基于几何学中的一些基本原理，通过应用这些原理，我们可以快速准确地判断两条线是否平行。
三、平行线与其他图形的关系平行线与其他图形之间存在着一些特殊的关系，下面我们将介绍一些常见的关系。
1. 平行线与平面角：当两条平行线被一条截线所切割时，所形成的平面角相等。
2. 平行线与四边形：在一个平行四边形中，两对相对的边是平行线，且两对相对的角相等。
3. 平行线与三角形：当一条直线平行于三角形的一边时，它将与另外两条边各自形成相似三角形。
5.26 平行线的判定与性质 讲解
平行线的判定与性质要点一、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b。
要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行。
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种。
特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系。
2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质。
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一。
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性。
要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形。
要点三、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”。
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质。
要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题。
平行线的性质定理和判定定理课件
简单说成：同旁内角互补，两直线平行. ∵ ∠1+ ∠2=180°， ∴ a∥b.
证明一个命题的一般步骤： (1)弄清题设和结论；
a1 b2
c
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知,求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
【议一议】 据说,人类知识的75%是在操作中学到的.
小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为 什么？ 通过这个操作活动,得 到了什么结论?
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成 结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．
但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命 题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”， 此命题就是假命题．
【跟踪训练】
1.举例说明下列命题的逆命题是假命题. （1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被 5整除. 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位 数字是5. 例如，10能被5整除，但它的个位数字是0. （2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角. 例如，60°= 60°，但这两个角不是直角.
4.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
条件：到一个角的两边距离相等的点. 结论：它在这个角的平分线上. 逆命题：角平分线上的点到角两边的距离相等. 5.线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 条件：线段垂直平分线上的点. 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等. 逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上.
a
∵∠1+∠2=180°, ∴ a∥b.
b
c
1
2
c
初中数学 平行线的判定定理有哪些
初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。
在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。
同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。
2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。
即如果l||n且m||n，则l||m。
3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。
即如果l∠n且m∠n，则l||m。
4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。
5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。
即如果l||m且m||n，则l||n。
6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。
即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。
7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。
8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。
9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。
以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。
平行线的证明知识点总结（共10篇）
平行线的证明知识点总结(共10篇) ：知识点平行线证明平行线的证明知识树平行线证明定义平行线的证明思维导图篇一：命题与证明的知识点总结命题与证明的知识点总结一、知识结构梳理二、知识点归类知识点一定义的概念对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。
如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。
注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。
知识点二命题的概念叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是华东师大版的”等。
注意：（1）命题必须是一个完整的句子。
（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。
知识点三命题的结构每个命题都有条件和结论两部分组成。
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。
一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。
有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。
如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。
例把下列命题改写成“如果------，那么-------”的形式，并指出条件与结论。
1、同角的余角相等2、两点确定一条直线知识点四真命题与假命题如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。
知识点五证明及互逆命题的定义1、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。
注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。
2、一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。
平行线及其判定知识点总结
平行线及其判定知识点1：平行线的定义及平面内两直线的位置关系定义:在同一平面内，的两条直线叫做平行线，直线a，b平行，记作。
在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系: 。
说明1(1)在同一平面内，两条直线的位置关系只有平行与相交两种，若没有特别说明，“重合”视为一条直线。
(2)平常所说的“两条射线平行，两条线段平行”都是指它们所在的直线平行(3)平行线的定义有三个特征：一是在同一平面内；二是两条直线；三是不相交。
三者缺一不可。
例题：下列说法中，正确的是（）A.两条不相交的直线叫做平行线B.一条直线的平行线有且只有一条C.若直线a∥b，b∥c，则a∥eD.若两条线段不相交，则它们互相平行【分析】根据平行线的定义、平行公理的推论来判断【解析】A选项中缺少“在同一平面内”这个条件，故A选项错误。
若没有其条件限制，一条直线的平行线有无数条，故B选项错误。
平行于同一直线的两条直线平行，故C选项正确。
根据平行线的定义可知D选项错误.故选C知识点2：平行公理平行公理：经过一点.有且只有一条直线与这条直线平行。
（注意：①平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，它和垂线的性质不同②“有且只有＂强调直线的存在性和唯一性）如图，经过直线a外一点P，能且只能画出一条直线与直线a平行·Pa例题：下列说法正确的是（）A.在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行C.经过一点有且只有一条线段与已知线段平行D.过一点有且只有一条直线与己知直线垂直【解析】A选项中“在同一平面内”这个条件，不影响后半向的对错。
“过直线外一点有一条直线与已知直线平行”说的是存在性，即过直线外一点肯定有一条直线与已知直线平行，故A选项正确。
B选项错误，因为若经过直线上一点，则没有直线与已知直线平行。
C选项错误，道理同B选项。
D选项错误，因为缺少“在同一平面内”这个大前提，D选项中结论不成立，如图，AB，BC，BD是正方体的三条棱，它们两两垂直，且都经过点B，若把AB看作已知直线，则经过点B有两条直线BC，BD与已知直线AB垂直知知识点3：平行公理的推论平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也。
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命题、证明及平行线的判定定理（基础）知识讲解
【学习目标】
1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；
2.体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；
4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；
5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.
【要点梳理】
要点一、定义与命题
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释：
（1）定义实际上就是一种规定.
（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.
真命题：正确的命题叫做真命题.
假命题：不正确的命题叫做假命题.
要点诠释：
（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.
（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.
要点二、证明的必要性
要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程叫做证明.
要点三、公理与定理
1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释：
证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
要点四、平行公理及平行线的判定定理
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
2．平行线的判定定理
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠4＋∠2＝180°
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【典型例题】类型一、定义与命题
1．请说出下列名词的定义：
（1）无理数（2）直角三角形
【答案与解析】
解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.
（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
【总结升华】对学过的定义要准确地牢记.
举一反三：
【变式】指出下列句子哪些是定义.
(1)两直线平行,内错角相等；
(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；
(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；
(4)等腰三角形的两底角相等；
(5)平行四边形的对角线互相平分；
(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
【答案】（2），（3），（6）是定义.
2．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：
（1）如果,>>a b b c ，那么>a c ；
（2）如果两个角相等,那么它们是对顶角.
【答案与解析】
解：（1）条件：,>>a b b c ；结论：>a c .它是真命题.
（2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角.
【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.
举一反三：
【变式】（2013•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（）.
=B．若a＞b，则am＞bm
=，则a m
m
C．两个等腰三角形必定相似D．位似图形一定是相似图形
【答案】D
类型二、公理、定理及证明
3．证明：等角的余角相等．
【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.
【答案与解析】
已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°.
求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知）
∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质）
∵∠1=∠2（已知），
∴∠3=∠4（等量代换）.
【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”.
举一反三：
【变式】“垂线段最短”是（）.
A．定义B．定理C．公理D．不是命题
【答案】B
类型三、平行线的判定定理
4.（2016•淄博）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．
【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行证明OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA∥BC．
【答案与解析】
解：OA∥BC，OB∥AC．
∵∠1=50°，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∴OB∥AC，
∵∠2=50°，∠3=130°，
∴∠2+∠3=180°，
∴OA∥BC．
【总结升华】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
举一反三：
【变式】（2015•宁城）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．
（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．
A．1B．2C．3D．4
【答案】
解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；
（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；
（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；
（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．
∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个；
故选：C．
5.（2015•日照期末）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，
∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．
【答案与解析】
证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，∠CFE=∠E，
∴∠1=∠CFE=∠E，
∴∠2=∠E，
∴AD∥BC．
【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．
举一反三：
【变式】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1=∠2，AB与CD平行吗？请说明理由．
【答案】
解：AB∥CD．理由如下：如图：
∵EF⊥EG，GM⊥EG(已知)，
∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．
又∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠FEQ-∠1＝∠MGE-∠2(等式性质)，
即∠3＝∠4．
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．。