【初一数学】用尺规作三角形及三角形全等应用(基础)巩固练习
七年级数学用尺规作三角形及三角形全等应用
用尺规作三角形及三角形全等应用【学习目标】1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形；2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力.【要点梳理】要点一、基本作图1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点进阶：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.要点进阶：1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图.要点二、三角形全等的实际应用在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决.【典型例题】类型一、基本作图例1、作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β．举一反三：【变式】请把下面的直角进行三等分．（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）例2、如图，△ABC，用尺规作图作角平分线CD．（保留作图痕迹，不要求写作法）类型二、作三角形例3、如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）举一反三：【变式】已知△ABC，求作一个三角形，使其与已知△ABC全等，并写出作图全等的依据．（用尺规画图，保留必要的画图痕迹）类型三、三角形全等的实际应用例4、如图为紫舞公园中的揽月湖，现在测量揽月湖两旁A、B两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据三角形全等的知识，用几根足够长的绳子及标杆为工具，设计一种测量方案．要求：（1）画出设计的测量示意图；（2）写出测量方案的理由．举一反三【变式】我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．你知道△AED ≌△AFD的理由吗？（）A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边【巩固练习】一.选择题1．下列作图属于尺规作图的是（）A．用量角器画出∠AOB的平分线OC B．作∠AOB，使∠AOB=2αC．画线段AB=3厘米 D．用三角板过点P作AB的垂线2．某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，现要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去 B．带①②去 C．带①②③去 D．①②③④都带去3．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是（）A. 用尺规作一条线段等于已知线段B. 用尺规作一个角等于已知角C. 用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角D. 不能确定4. 利用三角形全等所测距离叙述正确的是（）A．绝对准确 B．误差很大，不可信 C．可能有误差，但误差不大，结果可信D．如果有误差的话就想办法直接测量，不能用三角形全等的方法测距离5．下列尺规作图的语句正确的是（）A．延长射线AB到点C B．延长直线AB到点CC．延长线段AB到点C，使BC=AB D．延长线段AB到点C，使AC=BC6．用尺规作图，下列条件中可能作出两个不同的三角形的是（）A. 已知三边B. 已知两角及夹边C. 已知两边及夹角D. 已知两边及其中一边的对角二.填空题7.如图，∠ADB=°．8．如图，已知AE＝AF，AB＝AC，若用“SAS”证明△AEC≌AFB，还需要条件 .9.所谓尺规作图中的尺规是指：．10．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A，B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使CD=CA，连结BC并延长BC到点E，使CE=CB，连接DE，那么量出的长就等于AB的长．这是因为可根据方法判定△ABC≌△DEC．11．如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=32°，∠C=70°，∠BAD=.12．如图所示，已知线段a，b，∠α，求作△ABC，使BC=a，AC=b，∠ACB=∠α，•根据作图在下面空格中填上适当的文字或字母．（1）如图甲所示，作∠MCN=________；（2）如图乙所示，在射线CM上截取BC=________，在射线CN上截取AC=________．（3）如图丙所示，连接AB，△ABC即为_________．三.解答题：13．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段c，直线l及l外一点A．求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥l，垂足为C），斜边AB=c．14．在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案．（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：如图，线段a，求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=2a．。
中考专题复习《尺规作图》巩固练习(真题)含答案
中考专题复习《尺规作图》巩固练习（真题）含答案一、单选题1、下列属于尺规作图的是（）A、用刻度尺和圆规作△ABCB、用量角器画一个300的角C、用圆规画半径2cm的圆D、作一条线段等于已知线段2、下列画图语句中，正确的是（）A、画射线OP=3cmB、连接A ， B两点C、画出A ， B两点的中点D、画出A ， B两点的距离3、下列属于尺规作图的是（）A、用刻度尺和圆规作△ABCB、用量角器画一个30°的角C、用圆规画半径2cm的圆D、作一条线段等于已知线段4、下列关于几何画图的语句正确的是（）A、延长射线AB到点C ，使BC=2ABB、点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上C、将射线OA绕点O旋转180°，终边OB与始边OA的夹角为一个平角D、已知线段a ， b满足2a＞b＞0，在同一直线上作线段AB=2a ， BC=b ，那么线段AC=2a-b5、尺规作图是指（）A、用量角器和刻度尺作图B、用圆规和有刻度的直尺作图C、用圆规和无刻度的直尺作图D、用量角器和无刻度的直尺作图6、下列有关作图的叙述中，正确的是（）A、延长直线ABB、延长射线OMC、延长线段AB到C ，使BC=ABD、画直线AB=3cm7、按下列条件画三角形，能唯一确定三角形形状和大小的是（）A、三角形的一个内角为60°，一条边长为3cmB、三角形的两个内角为30°和70°C、三角形的两条边长分别为3cm和5cmD、三角形的三条边长分别为4cm、5cm和8cm8、下列属于尺规作图的是（）A、用刻度尺和圆规作△ABCB、用量角器画一个300的角C、用圆规画半径2cm的圆D、作一条线段等于已知线段9、下列关于几何画图的语句正确的是（）A、延长射线AB到点C ，使BC=2ABB、点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上C、将射线OA绕点O旋转180°，终边OB与始边OA的夹角为一个平角D、已知线段a ， b满足2a＞b＞0，在同一直线上作线段AB=2a ， BC=b ，那么线段AC=2a-b10、尺规作图是指（）A、用量角器和刻度尺作图B、用圆规和有刻度的直尺作图C、用圆规和无刻度的直尺作图D、用量角器和无刻度的直尺作图11、下列有关作图的叙述中，正确的是（）A、延长直线ABB、延长射线OMC、延长线段AB到C ，使BC=ABD、画直线AB=3cm12、下列作图语句中，不准确的是（）A、过点A、B作直线ABB、以O为圆心作弧C、在射线AM上截取AB=aD、延长线段AB到D ，使DB=AB二、填空题13、所谓尺规作图中的尺规是指：________．14、尺规作图“作一个角等于已知角“的依据是三角形全等的判定方法________15、用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明△DOC≌△D'O'C'的依据是________．16、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N ，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P ，连接AP并延长交BC于点D ，则∠ADB=________°．17、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N ，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP并延长交BC于点D ，则下列说法①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；正确的个数是________个三、作图题18、已知：如图△ABC ．求作：①AC边上的高BD；②△ABC的角平分线CE ．19、如图所示，已知△ABC：①过A画出中线AD；②画出角平分线CE；③作AC边上的高BF20、（2016•兰州）如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）四、解答题21、已知直线l和l上一点P ，用尺规作l的垂线，使它经过点P ．你能明白小明的作法吗？你是怎样作的？22、如图，已知△ABC和直线m ，画出与△ABC关于直线m对称的图形（不要求写出画法，但应保留作图痕迹）答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】作图—尺规作图的定义【解析】【解答】A.用刻度尺和圆规作△ABC ，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；B.量角器不在尺规作图的工具里，错误；C.画半径2cm的圆，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；D.正确．选D．【分析】根据尺规作图的定义分别分析2、【答案】B【考点】作图—尺规作图的定义【解析】【解答】A.射线没有长度，错误；B.连接A ， B两点是作出线段AB ，正确；C.画出A ， B两点的线段，量出中点，错误；D.量出A ， B两点的距离，错误选B．【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论3、【答案】D【考点】作图—尺规作图的定义【解析】【解答】A.用刻度尺和圆规作△ABC ，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；B.量角器不在尺规作图的工具里，错误；C.画半径2cm的圆，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；D.正确选：D．【分析】根据尺规作图的定义分别分析4、【答案】C【考点】作图—尺规作图的定义【解析】【解答】A.延长射线AB到点C ，使BC=2AB ，说法错误，不能延长射线；B.点P在线段AB 上，点Q在直线AB的反向延长线上，说法错误，直线本身是向两方无限延长的，不能说延长直线；C.将射线OA绕点O旋转180°，终边OB与始边OA的夹角为一个平角，说法正确；D.已知线段a ， b满足2a＞b＞0，在同一直线上作线段AB=2a ， BC=b ，那么线段AC=2a-b ，说法错误，AC也可能为2a+b选：C．【分析】根据射线、直线、以及角的定义可判断出正确答案5、【答案】C【考点】作图—尺规作图的定义【解析】【解答】尺规作图所用的作图工具是指不带刻度的直尺和圆规选：C ．【解析】【解答】A.直线本身是向两方无限延伸的，故不能延长直线AB ，故此选项错误；B.射线本身是向一方无限延伸的，不能延长射线OM ，可以反向延长，故此选项错误；C.延长线段AB到C ，使BC=AB ，说法正确，故此选项正确；D.直线本身是向两方无限延伸的，故此选项错误；选：C【分析】根据直线、射线和线段的特点分别进行分析7、【答案】D【考点】作图—尺规作图的定义【解析】【解答】A.三角形的一个内角为60°，一条边长为3cm ，既不能唯一确定三角形形状和也不能唯一确定大小，不符合题意；B.三角形的两个内角为30°和70°，能唯一确定三角形形状和但不能唯一确定大小，不符合题意；C.三角形的两条边长分别为3cm和5cm ，既不能唯一确定三角形形状和也不能唯一确定大小，不符合题意；D.三角形的三条边长分别为4cm、5cm和8cm ，能唯一确定三角形形状和大小，符合题意选：D．【分析】根据基本作图的方法，及唯一确定三角形形状和大小的条件可知8、【答案】D【考点】作图—尺规作图的定义【解析】【解答】A.用刻度尺和圆规作△ABC ，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；B.量角器不在尺规作图的工具里，错误；C.画半径2cm的圆，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；D.正确选：D．【分析】根据尺规作图的定义分别分析9、【答案】C【考点】作图—尺规作图的定义【解析】【解答】A.延长射线AB到点C ，使BC=2AB ，说法错误，不能延长射线；B.点P在线段AB 上，点Q在直线AB的反向延长线上，说法错误，直线本身是向两方无限延长的，不能说延长直线；C.将射线OA绕点O旋转180°，终边OB与始边OA的夹角为一个平角，说法正确；D.已知线段a ， b满足2a＞b＞0，在同一直线上作线段AB=2a ， BC=b ，那么线段AC=2a-b ，说法错误，AC也可能为2a+b选：C．【分析】根据射线、直线、以及角的定义可判断出正确答案10、【答案】C【考点】作图—尺规作图的定义【解析】【解答】尺规作图所用的作图工具是指不带刻度的直尺和圆规选：C ．【解析】【解答】A.直线本身是向两方无限延伸的，故不能延长直线AB ，故此选项错误；B.射线本身是向一方无限延伸的，不能延长射线OM ，可以反向延长，故此选项错误；C.延长线段AB到C ，使BC=AB ，说法正确，故此选项正确；D.直线本身是向两方无限延伸的，故此选项错误；选：C【分析】根据直线、射线和线段的特点分别进行分析12、【答案】B【考点】作图—尺规作图的定义【解析】【解答】A.根据直线的性质公理：两点确定一条直线，可知该选项正确；B.画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，故该选项错误；C.射线有一个端点，可以其端点截取任意线段，故选项正确；D.线段有具体的长度，可延长，正确选：B．【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论二、填空题13、【答案】没有刻度的直尺和圆规【考点】作图—尺规作图的定义【解析】【解答】由尺规作图的概念可知：尺规作图中的尺规指的是没有刻度的直尺和圆规【分析】本题考的是尺规作图的基本概念14、【答案】SSS【考点】作图—尺规作图的定义【解析】【解答】在尺规作图中，作一个角等于已知角是通过构建三边对应相等的全等三角形来证，因此由作法知其判定依据是SSS ，即边边边公理【分析】通过对尺规作图过程的探究，找出三条对应相等的线段，判断三角形全等．因此判定三角形全等的依据是边边边公理15、【答案】SSS【考点】作图—尺规作图的定义【解析】【解答】OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，从而可以利用SSS判定其全等【分析】①以O为圆心，任意长为半径用圆规画弧，分别交OA、OB于点C、D；②任意画一点O′，画射线O'A'，以O'为圆心，OC长为半径画弧C'E ，交O'A'于点C'；③以C'为圆心，CD长为半径画弧，交弧C'E于点D'；④过点D'画射线O'B'，∠A'O'B'就是与∠AOB相等的角．则通过作图我们可以得到OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，从而可以利用SSS判定其全等16、【答案】125【考点】作图—基本作图【解析】【解答】由题意可得：AD平分∠CAB ，∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°，∴∠CAD=∠BAD=35°，∴∠ADB=180°-20°-35°=125°【分析】根据角平分线的作法可得AD平分∠CAB ，再根据三角形内角和定理可得∠ADB的度数17、【答案】3【考点】作图—基本作图【解析】【解答】①AD是∠BAC的平分线，说法正确；②∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB ，∴∠DAB=30°，∴∠ADC=30°+30°=60°，因此∠ADC=60°正确；③∵∠DAB=30°，∠B=30°，∴AD=BD【分析】根据角平分线的作法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确三、作图题18、【答案】解: 如图所示：【考点】作图—基本作图【解析】【分析】①以点B为圆心，较大的长为半径画弧，交直线AC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点B和这点作射线，交直线AC于点D ， BD就是所求的AC边上的高；②以点C为圆心，任意长为半径画弧，交CA ， CB于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，做过点C和这点的射线交AB于点E ， CE即为所求的角平分线19、【答案】解答：如图所示：【考点】作图—复杂作图【解析】【分析】（1）首先找出BC的中点，然后画线段AD即可；（2）利用量角器量出∠BCA的度数，再除以2，算出度数，然后画出线段CE即可；（3）利用直角三角板，一个直角边与AC重合，令一条直角边过点B ，画线段BF即可20、【答案】解：如图所示，四边形ABCD即为所求：【考点】正多边形和圆，作图—复杂作图【解析】【分析】画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交⊙O于点BD，连结ABCD就是圆内接正四边形ABCD．本题考查的是复杂作图和正多边形和圆的知识，掌握中心角相等且都相等90°的四边形是正四边形以及线段垂直平分线的作法是解题的关键．四、解答题21、【答案】解：明白．作法：①以点P为圆心，以任意长为半径画圆，与直线l相交于点A ， B；②分别以AB为圆心，以任意长为半径画圆，两圆相交于点MN ，连接MN即可得出直线l的垂线【考点】作图—复杂作图【解析】【分析】根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．22、【答案】【解答】如图所示，△A′B′C′即为△ABC关于直线m对称的图形．【考点】作图—尺规作图的定义，作图—基本作图，作图—复杂作图，轴对称图形【解析】【分析】找出点A、B、C关于直线m的对称点的位置，然后顺次连接即可．。
用尺规作三角形及三角形全等应用(基础)__用尺规作三角形及三角形全等应用(基础)知识讲解
用尺规作三角形及三角形全等应用（基础）责编：康红梅【学习目标】1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形；2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力.【要点梳理】要点一、基本作图1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.要点诠释：1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图.要点二、三角形全等的实际应用在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决.【典型例题】类型一、基本作图1、作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a﹣b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【思路点拨】可先画出一条线段等于2a，然后再在这条线段上截去b，剩余线段即为所求线段．【答案与解析】解：已知：线段a、b，求作：线段AC，使线段AC=2a﹣b．【总结升华】本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出另一条线段，相减在较长的线段上截去．举一反三：【变式】（2015•魏县二模）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧【答案】D．类型二、作三角形2、已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹）已知：求作：【思路点拨】先作∠ACB=∠α，然后以点C为圆心，以a长为半径画弧，与边BC相交于点B，再以点C为圆心，以b的长为半径画弧与CA相交于点A，连接AB即可得解．【解析】解：已知：∠α，线段a，b，求作：△ABC，是∠C=∠α，BC=a，AC=b，如图所示，△ABC即为所求作的三角形．【总结升华】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，都是基本作图，需熟练掌握．举一反三：【变式】已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【答案】解：已知：∠α，线段b；求作：△ABC，使得∠B=α，∠C=α，BC=b．结论：如图，△ABC为所求．类型三、三角形全等的实际应用3、如图所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD 三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好为BC的中点，且E、F、M在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理．【思路点拨】先根据SAS判定△BEM≌△CFM，从而得出CF=BE，即测量BE之间的距离相当于测量CF之间的距离．【答案与解析】解：能．证明：连接EF∵AB∥CD，（已知）∴∠B=∠C（两线平行内错角相等）．∵M是BC中点∴BM=CM，在△BEM和△CFM中，∴△BEM≌△CFM（SAS）．∴CF=BE（对应边相等）．【总结升华】本题考查了全等三角形的应用；关键是要把题目的问题转化为证明对应边相等．举一反三【变式】要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角【答案】B；4、（2015•大庆模拟）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以再AB的垂直线BF上取两点C，D．使BC=CD，再画出BF的垂直线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．它的理论依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS【思路点拨】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【答案与解析】解：∵在Rt△ABC和Rt△EDC中，，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），∴AB=ED．故选C．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，做题时要认真观察图形，根据已知选择方法．举一反三【变式】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（）A.第4块B. 第3块C.第2块D.第1块【答案】C；。
北师大七年级下《4.4用尺规作三角形》练习含答案
《用尺规作三角形》练习一、选择——基础知识运用1．一个角的平分线的尺规作图的理论依据是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．记分S2．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A．作一个角等于已知角B．作已知直线的垂线C．作一条线段等于已知线段D．作角的平分线3．已知∠AOB，用尺规作一个角∠A’O’B’等于已知角∠AOB的作图痕迹如图所示，则判断∠AOB=∠A’O’B’所用到的三角形全等的判断方法是（）A．SAS B．ASA C．记分S D．SSS4．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三边C．三角形的两个角和它们的夹边D．三角形的三个角5．利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（）A．已知三条边B．已知三个角C．已知两角和夹边D．已知两边和夹角二、解答——知识提高运用6．作图：画一个三角形与△ABC全等，保留作图痕迹。
7．已知线段BC=2，用尺规作△ABC，使∠A=45°，你能作出多少个满足条件的三角形？8．如图，已知a和∠α，用尺规作一个三角形ABC，使AB=AC=2a，∠BAC=180°-∠α。
9．尺规作图：小明作业本上画的三角形被墨迹污染，他想画出一个与原来完全一样的三角形，请帮助小明想办法用尺规作图画一个出来，并说明，你的理由．10．作图：求作一个三角形，使它的两边分别为a和2a，其夹角为∠α。
（要求：用尺规作图，并写出已知，求作，保留作图痕迹，不写作法）11．利用尺规，用三种不同的方法作一个是三角形与已知直角三角形ABC全等，并简要说明理由。
参考答案一、选择——基础知识运用1．【答案】B【解析】连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∵ON=OM ，NC=MC，OC=OC ，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，故选：B。
用尺规作三角形及三角形全等应用(基础)巩固练习
【巩固练习】一.选择题1．尺规作图是指（ ）A．用量角器和刻度尺作图 B．用圆规和有刻度的直尺作图C．用圆规和无刻度的直尺作图 D．用量角器和无刻度的直尺作图2．如图，两钢条中点连在一起做成一个测量工件，AB的长等于内槽宽A'B'，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS3．（2015•邵阳一模）如图，点C落在∠AOB边上，用尺规作CN∥OA，其中弧FG的（ ）A. 圆心是C，半径是OD B．圆心是C，半径是DMC．圆心是E，半径是OD D．圆心是E，半径是DM4.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC5．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等，其理论依据是全等三角形判定定理（ ）A．SAS B．HL C．AAS D．ASA二.填空题7．如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.8．小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD=a，EH=b，则四边形风筝的周长是 ．9.用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是.10．如图所示，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB=a，BC=AC=2a．作法：（1）作一条线段AB= ；（2）分别以 、 为圆心，以 为半径画弧，两弧交于C点；（3）连接 、 ，则△ABC就是所求作的三角形．11．作图题的书写步骤是、、，而且要画出和结论，保留．12．（2015•淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是 ．三.解答题：13．（2015•陕西模拟）如图，已知△ABC，用尺规作出△ABC的角平分线BD．（保留作图的痕迹，不写作法）14．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，因无法直接量出A，B两点的距离，请你设计一种方案，求出A，B的距离，并说明理由．15．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.【答案与解析】一.选择题1．【答案】C；【解析】尺规作图所用的作图工具是指不带刻度的直尺和圆规．故选：C．2．【答案】B；【解析】∵两钢条中点连在一起做成一个测量工件，∴OA′=OB，OB′=OA，∵∠AOB=A′OB′，∴△AOB≌△A′OB′．所以AB的长等于内槽宽A'B'，用的是SAS的判定定理．3．【答案】D；【解析】图中要作CN∥OA，就是作∠NCB=∠AOD，根据作一个角等于已知角的方法可得弧FG是以圆心是E，半径是DM所画的弧．4．【答案】C；【解析】根据已知所给条件，结合图形中隐含的公共边条件，可以得到A、B、D中的三角形是可以全等，唯有C答案中的两个三角形不能全等，所以答案为C.5．【答案】D；【解析】根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角角边”定理作出完全一样的三角形．故选D．6．【答案】C ；【解析】作出图形，利用“角角边”证明全等三角形的判定即可．二.填空题7．【答案】66°；【解析】可由SSS 证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝， 所以∠DCB＝82412︒=︒∠ABC＝25°＋41°＝66°.8．【答案】2a+2b ；【解析】△DEH 和△DFH 中ED=FD ，∠EDH=∠FDH，DH=DH∴△DEH≌△DFH∴EH=FH=b又∵ED=FD=a，EH=b∴该风筝的周长=2a+2b.9．【答案】SAS ；【解析】 用尺规做直角三角形，已知两直角边．可以先画出两条已知线段和确定一个直角，作图的依据为SAS ．10．【答案】a ；A ；B ；2a ；AC ，BC ；【解析】作法：（1）作一条线段AB=a ；（2）分别以A 、B 为圆心，以 2a 为半径画弧，两弧交于C 点；（3）连接AC 、BC ，则△ABC 就是所求作的三角形．11．【答案】已知、求作、作法，图形，作图痕迹；【解析】作图题的书写步骤是 已知、求作、作法，而且要画出 图形和 结论，保留 作图痕迹．12. 【答案】75°．【解析】如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB ∥CD ，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°.三.解答题13. 【解析】解：如图：14.【解析】解：在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上，这时测得的DE 的长就是AB的长．15. 【解析】证明：在△ABC 和△DCB 中AB DC AC DBBC =CB ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝ ∴△ABC≌△DCB（SSS ）∴∠ABC＝∠DCB，在△ABE 和△DCE 中ABC DCBAB DC BE CE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABE≌△DCE（SAS ）∴AE＝DE.。
2020北师大版七年级数学下册 4.4用尺规作三角形同步训练(含解析)
4.4用尺规作三角形同步训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，用尺规作AOB∠的平分线的方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于点C，D，再分別以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.由作法得OGP ODP∆≅∆，从而得两角相等.那么这两个三角形全等的根据是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA2．根据下列条件作出的三角形不唯一是（）A．AB=6，∠A=60°，∠C=40° B．AB=5，BC=4，CA=6C．AB=5，AC=4，∠C=40° D．∠A=50°，AB=8，AC=63．根据下列条件不能唯一画出∆ABC的是( )A．AB=5，BC=6，AC=7B．AB=5，BC=6，∠B=45︒C．AB= 5，AC=4，∠C= 90︒D．AB=5，AC=4，∠C=45︒4．已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A．作一个角等于已知角B．作已知直线的垂线C．作一条线段等于已知线段D．作一条线段等于已知线段的和5．根据下列已知条件，能画出唯一∠ABC的是（）A．AB=3，BC=4，AC=8B．∠A=100°，∠B=45°，AB=5C．AB=3，BC=5，∠A=75°D．∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A．2、2、4B．2、6、3C．8、6、3D．11、4、6 7．如图所示，∠ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三A．2B．4C．6D．88．利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（）A．已知三条边B．已知三个角C．已知两角和夹边D．已知两边和夹角二、填空题9．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣14x+48=0的根，则该三角形的周长为_____．10．如图，作一个角等于已知角，其尺规作图的原理是________（填SAS，ASA，AAS，SSS）．11．下列四种基本尺规作图分别表示：∠作一个角等于已知角；∠作一个角度平分线；∠做一条线段的垂直平分线；∠过直线外一点作已知直线的垂线．则对应选项中做法错误的是_____．∆全等的格点三角形(顶点都是小正方形的顶点的三角形称12．如图，画出一个与ABC∆)?并画为格点三角形)，在图中共可以画出________个符合题意的三角形(不包括ABC出其中4个。
用尺规作三角形与利用三角形全等测距离(6类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级下册
第06讲用尺规作三角形与利用三角形全等测距离(6类热点题型讲练)1.理解角的有关概念：会用尺规按要求作三角形：已知两边及夹角作三角形,已知两角及夹边作三角形，已知三边作三角形.2.通过尺规作图的学习，培养观察分析、类比归纳的探究能力，加深对类比与转化、分类讨论等数学思想的认识.3.能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学于实际生活的联系.4.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达，提高分析解决问题的能力.知识点01利用尺规作三角形在学习之前先要对尺规作线段和尺规作角熟练掌握并应用，根据给出的不同条件采用不同方法作出图形；有三种基本类型:(1)已知三角形的两边及其夹角,求作符合要求的三角形,其作图依据是SAS;(2)已知三角形的两角及其夹边,求作符合要求的三角形,其作图依据是ASA;(3)已知三角形的三边,求作符合要求的三角形,其作图依据是SSS.知识点02利用三角形全等测距离1.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量．2.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法：构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形；构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形；构造三边对应相等的两个全等三角形.总结：利用三角形全等来设计测量方案：首先根据已有的条件和欲测量的问题进行分析，明确要运用哪种方法来构建全等三角形，即将要用到哪种全等的判定方法；然后，在测量方案中把说明两个三角形全等所需要的条件毫无遗漏地“测量到位”．题型01结合尺规作图的全等问题【例题】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）已知ABC ，按图示痕迹做A B C ''' ，得到A ABC B C '''≌△△，则在作图时，这两个三角形满足的条件是()A ．AB A B ''=，AC A C ''=B ．B B '∠=∠，AB A B ''=C ．A A '∠=∠，B B '∠=∠，C C '∠=∠D ．AB A B ''=，AC A C ''=，BC B C ''=【答案】D【分析】根据SSS 证明三角形全等即可．本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．【详解】解：由作图可知，AB A B ''=，BC B C ''=，ACA C ''=，在ABC 和A B C ''' 中，AB A B AC A C BC B C '''''=⎧'⎪=⎨⎪=⎩()SSS ABC A B C '''∴ ≌，故选：D ．【变式训练】1．（23-24八年级上·福建福州·期中）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到COD C O D '''△≌△的依据是（）A ．SAAB ．ASAC ．SSSD ．AAS 【答案】C 【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键．【详解】解：由作图得：OC OD O C O D ''''===，CD C D ''=，在COD △和C O D '''△中，OC O C OD O D CD C D '''''=⎧'⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS COD C O D ''' ≌，∴能得到COD C O D '''△≌△的依据是SSS ．故选：C ．2．（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（）A ．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等B ．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等C ．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等D ．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等【答案】C【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可．【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定，所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键．题型02尺规作图——作三角形【例题】（23-24八年级上·浙江·期末）已知∠β和线段a b ，（如图）．(1)用直尺和圆规作ABC （点A 在BC 的上方），使B β∠=∠，BC a AC b ==，（做出图形，保留痕迹，不写作法）．(2)这样的三角形能作几个？【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．（1）先作MBN β∠=∠，再在OM 上截取BC a =，然后以C 为圆心，b 为半径画弧交BN 于A 和A '，则ABC 和A BC ' 即为所作；（2）由作图即可得出答案．【详解】（1）解：如图，ABC 和A BC ' 即为所作，；（2）解：由图可得：这样的三角形能作2个．1．（23-24八年级上·广东广州·期中）作三角形：已知：线段a 、c 和∠β（如图），利用直尺和圆规作ABC ，使BC a =，AB c =，2ABC β∠=∠．（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】本题考查了尺规作图，先作已知角，再作已知边，即可求得结果，掌握尺规作图的方法是解题的关键．【详解】解：如图：①作2MBN β∠=∠，②在BN 上截取BC a =，在BM 上截取BA c =，连接AC ，，则ABC 即为所求．2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知∠β和线段a ，b ，用直尺和圆规作ABC ，BC a =，AC b =（保留作图痕迹）【答案】见详解【分析】本题考查了作图，作一个角等于已知角和用已知线段画三角形，先作MBN β∠=∠，再在BM 上截取BC a =，然后以C 为圆心，b 为半径画弧交BN 于A 和A '，则ABC 和A BC ' 满足条件．【详解】解：这样的三角形能作2个．如图，ABC 和A BC ' 为所作．题型03全等三角形的性质【例题】（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，点A ，D ，B ，E 在同一直线上，ABC DEF ≌△△，2AD =，3DB =，则DE 的长是．【答案】5【分析】本题考查三角形全等的性质，根据ABC DEF ≌△△得到AB DE =，结合A ，D ，B ，E 在同一直线上即可得到答案；【详解】解：∵ABC DEF ≌△△，∴AB DE =，∵A ，D ，B ，E 在同一直线上，2AD =，3DB =，∴235DE AD DB =+=+=，故答案为：5．【变式训练】1．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，ABC DEB ≌，点E 在AB 上，DE 与AC 交于点F ，36D ∠=︒，60C ∠=︒，则CBD ∠=．【答案】24︒/24度【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，根据全等三角形的性质得到60DBE C ∠=∠=︒，35A D ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理求出ABC ∠，计算即可．【详解】解：ABC DEB △≌△，36D ∠=︒，60C ∠=︒，60DBE C ∴∠=∠=︒，36A D ∠=∠=︒，ABC DEB ∠=∠，18084ABC A C ∴∠=︒-∠-∠=︒，846024DBC ABC DBE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：24︒．2．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）如图，ABC EDB ≌，点E 在AB 上，90C EBD ∠=∠=︒，若45AC DE ==，，则AE 的长为．【答案】1【分析】本题考查了全等三角形的性质，能求出BE ，AB 的长是解此题的关键．根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：ABC EDB ≌，4BE AC ∴==，5AB DE ==，541AE AB BE ∴=-=-=，故答案为：1题型04利用全等三角形求动点问题的多解题【例题】（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，12m AB =，CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，且4m AC =，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P 、Q 两点同时出发，运动分钟后，CAP 与PQB △全等．【答案】4【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识．设运动x 分钟后CAP 与PQB △全等；则m BP x =，2m BQ x =，则(12)m AP x =-，分两种情况：①若BP AC =，则4x =，此时AP BQ =，CAP PBQ ≌△△；②若BP AP =，则12x x -=，得出6x =，12BQ AC =≠，即可得出结果．【详解】解：CA AB ⊥ 于A ，DB AB ⊥于B ，90A B ∴∠=∠=︒，设运动x 分钟后CAP 与PQB △全等；则m BP x =，2m BQ x =，则(12)m AP x =-，分两种情况：①若BP AC =，则4x =，1248AP =-=，8BQ =，AP BQ =，CAP PBQ ∴≌△△；②若BP AP =，则12x x -=，解得：6x =，12BQ AC =≠，此时CAP 与PQB △不全等；综上所述：运动4分钟后CAP 与PQB △全等；故答案为：4．【变式训练】1．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，4AB =，A B ∠=∠，3AC BD ==，点P 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 运动．同时，点Q 在线段BD 上以每秒x 个单位长度的速度由点B 向点D 运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．当ACP △与BPQ V 全等时，x 的值为．l 上．点P 从点A 出发，在三角形边上沿A C B →→的路径向终点B 运动；点Q 从B 点出发，在三角形边上沿B C A →→的路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于点E ，QF l ⊥于点F ，则点P 的运动时间等于秒时，PEC 与CFQ △全等．CP CQ，=∴-=-，682t tt∴=，2当点P、Q都在AC上时，此时P、Q重合，如图： ，=CP CQ∴-=-，t t62814t∴=，3当点P到BC上，点Q在AC上时，如图：，=CP CQt t∴-=-，628t∴=，不符合题意，2当点Q到A点，点P在BC上时，如图：= CQ CP ，66t ∴=-，12t ∴=，综上所述：点P 的运动时间等于2或14题型05利用三角形全等测距离【例题】（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A ，B 之间的距离，由于条件限制无法直接测得．请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案．(1)画出测量示意图；(2)写出测量的步骤；（测量数据用字母表示）(3)计算A ，B 之间的距离．（写出求解或推理过程，结果用字母表示）【答案】(1)见详解(2)见详解(3)设CD a =，A ，B 之间的距离为a【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是构造两个全等的三角形．（1）由于无法直接测得，故间接构造两个涉及AB 边的全等三角形，如解析所示；（2）在湖岸上找可以直接到达A ，B 的一点O ，构造OA OC =，OB OD =，即可；（3）利用SAS 证明OAB OCD V V ≌，由全等三角形的性质可得AB CD =，则CD 的长度就是AB 的长度．【详解】（1）解：测量示意图如下图所示；（2）在湖岸上找可以直接到达A ，B 的一点O ，连接AO 并延长到C 使得OA OC =，连接BO 并延长到点D 使得OB OD =，连接CD ，则AB CD =，测量CD 的长度a ，即AB 的长度为a ；（3）设CD a =，由测量方案可知OA OC =，OB OD=，在OAB 和OCD 中，OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)OAB OCD ≌，∴AB CD a ==．【变式训练】1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B F C E 、、、在直线l 上（点F 、C 之间的距离为池塘的长度），点A 、D 在直线l 的异侧，且AB DE ∥，A D ∠=∠，测得AB DE =．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若120m BE =，38m BF =，求池塘FC 的长度．【答案】(1)证明详见解析；(2)44m ．【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线的性质等．（1）根据题意利用平行线的性质，全等三角形判定即可得到本题答案；（2）根据题意利用第（1）问结论由全等三角形性质即可得到本题答案．【详解】（1）解：∵AB DE ∥，∴ABC FED ∠=∠，∵在ABC 和DEF 中，ABC FED AB DE A D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC DEF ≌△△；（2）解：由（1）可知：ABC DEF ≌△△，∴BC EF =，∴BC FC EF FC -=-，∴BF CE =，又∵38m BF =，∴38m BF CE =＝，又∵120m BE =，∴44m FC BE BF CE =--=，∴池塘FC 的长为44m ．2．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点A ，B 的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的．(1)简单说明你设计的方案，并画出图形；(2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的．【答案】(1)方案见解析；(2)证明见解析．【分析】本题考查全等三角形的应用---方案设计，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键，（1）根据全等三角形的性质设计图形即可；（2）利用“ASA ”即可证明方案的可行性．【详解】（1）解：如图所示：过B 作BD AB ⊥，过D 作DF BD ⊥，取BD 的中点C ，连接AC 并延长交DF 于点E测量线段DE 的长即可．（2）证明：∵BD AB ⊥，DF BD ⊥，∴90ABC CDE ∠=∠=︒，∵C 为BD 的中点，∴BC CD =，∴在ABC 和EDC △中：===ABC CDE BC CD ACB DCE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴ABC EDC △≌△，∴AB ED =．题型06全等三角形的综合问题【例题】（22-23八年级上·河北石家庄·期中）已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC ∠=︒，60MBN ∠=︒，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E ，F ．(1)当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），试猜想线段AE CF EF 、、之间存在的数量关系为__________．（不需要证明）；(2)当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF EF 、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】(1)AE CF EF+=(2)以上结论不成立，应为AE CF EF -=，证明见详解【分析】本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．（1）延长DC 至点K ，使CK AE =，连接BK ，分别证明BAE BCK KBF EBF ≌、≌，根据全等三角形的性质、结合图形证明结论；（2）延长DC 至G ，使CG AE =，仿照（1）的证明方法解答．【详解】（1）解：AE CF EF +=，理由如下：延长DC 至点K ，使CK AE =，连接BK ，在BAE 与BCK 中，BA BC BAE BCK AE CK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS BAE BCK ≌（），∴BE BK ABE KBC =∠=∠，，∵60120FBE ABC ∠=︒∠=︒，，∴60FBC ABE ∠+∠=︒，∴60FBC KBC ∠+∠=︒，∴60KBF FBE ∠=∠=︒，在KBF 与EBF △中，BK BE KBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS KBF EBF ≌（），∴KF EF =，∴AE CF KC CF KF EF +=+==；（2）解：以上结论不成立，应为AE CF EF -=，理由如下：延长DC 至G ，使CG AE =，由（1）可知，SAS BAE BCG ≌（），∴BE BG ABE GBC =∠=∠，，1206060GBF GBC FBC ABE FBC FBC FBC ∠=∠-∠=∠-∠=︒+∠-︒-∠=︒，∴GBF EBF ∠=∠，∵BG BE GBF EBF BF BF =∠=∠=，，，∴GBF EBF ≌，∴EF GF =，∴AE CF CG CF GF EF -=-==．【变式训练】1．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）在MAN ∠点D ，过点D 分别作DB AM ⊥，DC AN ⊥，垂足分别为B ，C ．且BD CD =，点E ，F 分别在边AM 和AN 上．(1)如图1，若BED CFD Ð=Ð，请说明DE DF=(2)如图2，若120BDC ∠=︒，60EDF ∠=︒，猜想EF ，BE ，CF 具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【答案】(1)证明见解析(2)EF BE CF =+，理由见解析【分析】（1）由DB AM ⊥，DC AN ⊥，可得EBD FCD Ð=Ð，结合BD CD =，BED CFD Ð=Ð，可证()ASA BED CFD ≌，即可求解，（2）在BM 上取点G ，使BG CF =，通过证明GBD FCD ≌，GDE EFD ≌，即可求解，本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过辅助线构造全等三角形．【详解】（1）解：DB AM ⊥ ，DC AN ⊥，EBD FCD ∴∠=∠，BD CD = ，BED CFD Ð=Ð，()ASA BED CFD ∴ ≌，DE DF ∴=，（2）解：在BM 上取点G ，使BG CF =，DB AM ⊥ ，DC AN ⊥，GBD FCD ∠=∠∴，BD CD = ，BG CF =，()SAS GBD FCD ∴ ≌，DG DF ∴=，GDB FDC ∠=∠，120BDC ∠=︒ ，60EDF ∠=︒，1206060EDB FDC ∴∠+∠=︒-︒=︒，60EDB GDB ∴∠+∠=︒，即60EDG ∠=︒，()SAS GDE EFD ∴ ≌，EF EG ∴=，即：EF BE BG BE CF =+=+，EF BE CF ∴=+．2．（23-24八年级上·重庆巴南·阶段练习）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，20cm AB =，16cm AC =，12cm BC =，现有一动点P 从点A 出发，沿着三角形的边AC CB BA →→运动，回到点A 停止，速度为2cm/s ，设运动时间为s t ．(1)如图1，当t =s 时，12BPC ABC S S = ；(2)如图2，在DEF 中，90E ∠=︒，8cm DE =，10cm DF =，D A ∠=∠．在ABC 的边上，若另外有一个动点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB BC CA →→运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好APQ △与DEF 全等，求点Q 的运动速度．②点P在AB上时，过点∴点P的运动路程为∴12ABCS BC=⨯⨯∵12BPC ABCS S=，（2）∵在DEF∴①当点P在AC∴点Q的速度为：②当点P在AB上，点∴点Q的速度为：40③当点P在AB上，∴点P运动的距离为：点Q运动的距离为：④当点P 在AC 上，点∴点Q 的速度为：8÷综上所述，两点运动过程中的某一时刻，19cm /s 10cm /s 或8cm 5一、单选题1．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的ABC 的是（）A ．3AB =，4BC =，7AC =B ．4AB =，3BC =，30A ∠=︒C ．A B ∠=∠，6AB =D ．60A ∠=︒，45B ∠=︒，4AC =【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ASA AAS SSS ，，，，两直角三角形全等还有HL ．根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可．【详解】解：A 、347+=，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；B 、4330AB BC A ==∠=︒，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；C 、6A B AB ∠=∠=，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；D 、60454A B AC ∠=︒∠=︒=，，，符合全等三角形的判定定理AAS ，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；故选：D ．2．（23-24八年级上·云南·阶段练习）如图，在方格纸中，以AB 为一边作ABP ，使之与ABC 全等，从1234P P P P ，，，四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，由网格中点的对称性，结合全等三角形的对应边相等判断即可，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【详解】解：如图所示：43141,,ABP ABC ABP ABP ABP BAP ∴≌≌≌ ，即4ABC ABP △≌△；3ABC BAP △≌△；1ABC BAP △≌△；∴符合条件的点有134P P P ，，，共有3个，故选：C ．3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点B 在线段AE 上，ABC DBE ≌，3BC =，5AB =，则CD 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等解决问题，掌握全等三角形的性质的对应边相等是解题的关键．【详解】解：∵ABC DBE ≌，5AB =，∴5BD AB ==，又∵3BC =，∴523CD BD BC =-=-=，故选：B ．4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，ABC ADE △≌△，BC 的延长线交DA 于点F ，交DE 于点G ．若105AED ∠=︒，20CAD ∠=︒，30B ∠=︒，则1∠的度数为（）A ．50︒B ．65︒C ．60︒D ．55︒【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由ABC ADE △≌△，则ACB ∠与AED ∠是一组对应角，B ∠与D ∠是一组对应角，对于ACF ，外角ACB ∠等于除ACF ∠外的两个内角之和，求得AFC ∠，再在DFG 中，由三角形内角和即可求得结果．【详解】解：ABC ADE △≌△，105AED ∠=︒，30B ∠=︒，105ACB AED ∴∠=∠=︒，30B D ∠=∠=︒．由三角形外角的性质可得ACB AFC CAD ∠=∠+∠，85AFC ACB CAD ∴∠=∠-∠=︒．85GFD AFC ∴∠=∠=︒．85GFD ∠=︒ ，30D ∠=︒，165∴∠=︒．故选：B ．5．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，已知A ∠和一条长度为a 的线段，作一个以A ∠为底角，a 为腰长的等腰三角形的方法是：①连接FG ；②以点F 为圆心，a 的长为半径画弧，交射线DM 于点G ；③在A ∠的两边上截取,AB a AC a ==；④画射线DM ，以点D 为圆心，a 的长为半径画弧，在射线DM 上截取DE ，并以点E 为圆心，BC 的长为半径画弧，两弧交于点F ．以上画法正确的顺序是（）A ．③④①②B ．④③②①C ．③④②①D ．④③①②【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图和等腰三角形的作图，解决本题的关键是理解等腰三角形的作图过程，根据尺规作等腰三角形的过程逐项判断即可解答．【详解】解：已知A ∠和一条长度为a 的线段，作一个以A ∠为底角，a 为腰长的等腰三角形的方法是：③在A ∠的两边上截取,AB a AC a ==；④画射线DM ，以点D 为圆心，a 的长为半径画弧，在射线DM 上截取DE ，并以点E 为圆心，BC 的长为半径画弧，两弧交于点F ；②以点F 为圆心，a 的长为半径画弧，交射线DM 于点G ；①连接FG ．DFG 即为所求作的三角形．∴画法正确的顺序是③④②①，故选C ．二、填空题6．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，ABC DCE ≌，若6AB =，13DE =，则AD =；【答案】7【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【详解】解：∵ABC DCE ≌，∴13AC DE ==，6CD AB ==，∴1367AD AC CD =-=-=，故答案为：7．7．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）如图，在55⨯的正方形网格中，ABC 的三个顶点都在格点上，则与ABC 有一条公共边且全等（不与ABC 重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有个．【答案】6/六【分析】根据全等三角形的判定分别求出以AB 为公共边的三角形，以BC 为公共边的三角形，以AC 为公共边的三角形的个数，相加即可．【详解】解：如图所示，以BC 为公共边可画出BDC 、BEC 、BFC △三个三角形和原三角形全等；以AB 为公共边可画出ABG 、ABM 、ABH 三个三角形和原三角形全等；以AC 为公共边不可以画出三角形和原三角形全等；所以共有6个三角形和原三角形全等，故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．8．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，4cm,6cm,AB BC B C ==∠=∠，如果点P 在线段BC 上以2cm /秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 从C 点出发沿射线CD 运动．若经过t 秒后，ABP 与CQP V 全等，则t 的值是．线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为．连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA →→向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为秒时，ABP 与DCE △全等．【答案】1或7【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：ASA,SAS,AAS,SSS,HL ．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出22BP t ==和1622AP t =-=即可求得．【详解】解：由题意得：AB CD =，若90,2ABP DCE BP CE ∠=∠=︒==，根据SAS 证得ABP DCE ≌△△，∴22BP t ==，即1t =，若90,2BAP DCE AP CE ∠=∠=︒==，根据SAS 证得BAP DCE ≌ ，∴1622AP t =-=，即7t =．∴当t 的值为1或7秒时．ABP 与DCE △全等．故答案为：1或7．三、解答题11．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，已知AB CF ，点D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，且DE FE =．(1)求证：ADE CFE ≌；(2)若7AB =，4CF =，求BD 的长．【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键．（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得AD 的长，用AB AD -即可得出结论．【详解】（1）证明：AB CF ，A ECF ADE F ∴∠∠=∠=∠，，在ADE V 和CFE 中，A ECF ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ADE CFE ∴△≌△；′（2）解：由（1）知，ADE CFE ≌，4AD CF ∴==，7AB = ，743BD AB AD ∴=-=-=．12．（20-21八年级上·四川南充·期末）某中学八年级学生进行课外实践活动，要测池塘两端A ，B 的距离，因无法直接测量，经小组讨论决定，先在地上取一个可以直接到达A ，B 两点的点O ，连接AO 并延长到点C ，使AO ＝CO ；连接BO 并延长到点D ，使BO ＝DO ，连接CD 并测出它的长度．（1）根据题中描述，画出图形；（2）CD 的长度就是A ，B两点之间的距离，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）图形如图所示：（2）连接AB ．在△AOB 和△COD 中，AO CO AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOB ≌△COD （SAS ），∴AB ＝CD ，∴CD 的长度就是A ，B 两点之间的距离．【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用全等三角形的性质解决问题．13．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）小明利用一根长为2m 的竿子CD 来测量路灯杆AB 的高度（AB BD ⊥），方法如下：如图，在地面上选一点P ，使2m BP =，然后把CD 在BP 的延长线上左右移动，使90CPA ∠=︒，且CD BD ⊥，此时测得10m BD =．(1)求证：CPD PAB ≌ ．(2)求路灯杆AB 的高度．【答案】(1)见解析(2)8mAB =【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和全等三角形的应用：（1）根据题意求出CPD PAB ∠=∠，根据AAS 即可证明CPD PAB ≌ ；（2）根据全等三角形的性质可得路灯杆AB 的高度．【详解】（1）证明：∵90CPA ∠=︒，∴90,CPD APB ∠+∠=︒∵90,ABP ∠=︒∴90,APB PAB ∠+∠=︒∴CPD PAB ∠=∠，在CPD △和PAB 中，90CDP PBA CPD PBA CD PB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS CPD PAB ≌；（2）解：∵10m BD =，2m BP =，∴1028(m)DP DB BP =-=-=，∵CPD PAB ≌ ，∴8m AB DP ==．14．（22-23八年级上·江西赣州·期中）小光的爷爷为我们讲述了一个他亲身经历的故事：在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军碉堡，需要测出我军阵地到日军碉堡的距离，由于没有任何测量工具，我军战士为此尽脑汁．这时，一位聪明的战士想出了办法，成功炸毁了碉堡．（1）你认为他是怎样做到的？方法是：战士面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．（2）你能根据战士所用的方法，画出相应的图形吗？①画出相应的图形．②战士用的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？（结合图形写出）③请用所学的数学知识说明战士这样测的理由．【答案】①见解析；②AB CD ⊥，ABC ABD ∠=∠；③AD AC =．理由见解析．【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据战士所用的方法，画出相应的图形是解决问题的关键．根据垂直的定义得到90BAD BAC ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：①如图，②已知条件是AB CD ⊥，ABC ABD ∠=∠．③战士要测的是AD AC =．理由：AB CD ⊥ ，90BAD BAC ∴∠=∠=︒，在ABD △与ABC 中，90ABD ABC AB AB BAD BAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ASA ABD ABC ∴ ≌，AD AC =∴．15．（23-24八年级上·吉林·期末）（1）如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ．CE ⊥直线m ，垂足分别为D ，E ．求证：DE BD CE =+．（2）如图2，将（1）中的条件改为在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线m 上，且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角，请问结论DE BD CE =+是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．（1）由直角三角形的性质及平角的定义得出CAE ABD ∠=∠，可证明(AAS)ADB CEA ≌△△，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可；（2）与（1）类似，可证明(AAS)ADB CEA ≌△△，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．【详解】解：（1）∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒．∴90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒．∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠．在ADB 和CEA 中，,,,BDA AEC ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)ADB CEA ≌△△，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+．（2）成立．证明如下：∵ BDA BAC α∠=∠=，∴180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，∴CAE ABD ∠=∠．在ADB 和CEA 中，,,,BDA AEC ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)ADB CEA ≌△△，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+．16．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点A 、B 两点作过点C 的直线m 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)如图1，当AC CB =，点A 、B 在直线m 的同侧时，求证：DE AD BE =+；(2)如图2，当AC CB =，点A 、B 在直线m 的异侧时，请问（1）中有关于线段DE 、AD 和BE 三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由；(3)如图3，当16cm AC =，30cm CB =，点A 、B 在直线m 的同侧时，一动点M 以每秒2cm 的速度从A 点出发沿A →C →B 路径向终点B 运动，同时另一动点N 以每秒3cm 的速度从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M 和点N 作MP m ⊥于P ，NQ m ⊥于Q ．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，MPC 与NQC 全等？【答案】(1)见解析(2)DE AD BE =-，见解析(3)9.2t =或14或16秒【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出ADC CEB ≌是解本题的关键，还用到了分类讨论的思想．（1）根据AD m ⊥于D ，BE m ⊥于E ，得90ADC CEB ∠∠==︒，而90ACB ∠=︒，根据等角的余角相等得ACD CBE ∠∠=，然后根据“AAS ”可判断ADC CEB ≌，则AD CE =，DC BE =，于是DE DC CE BE AD =+=+；（2）同（1）易证ACD CBE ≌，则AD CE =，CD BE =，于是DE CE CD AD BE =-=-；（3）只需根据点M 和点N 的不同位置进行分类讨论即可解决问题．【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠∠+=︒，∵AD m ⊥于D ，BE m ⊥于E ，∴90ADC CEB ∠∠==︒，90BCE CBE ∠∠+=︒，∴ACD CBE ∠∠=，在ADC 和CEB 中，。
北师大版七年级数学下册4.4 用尺规作三角形 导学案(含答案)
4.4 用尺规作三角形学习目标：1.在分别给出两角及其夹边、两边及其夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形.2.了解作图方法的合理性.一、情境导入1. 尺规作图的工具是无刻度直尺和圆规；2. 我们已经会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角.你能利用尺规作出一个三角形与已知三角形全等吗？一、要点探究知识点一：利用尺规作三角形做一做已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．已知：线段a，c，∠α.求作：△ABC，使BC = a，AB = c，∠ABC =∠α.请按照给出的作法作出相应的图形．【典例精析】例1已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.已知：∠α，∠β，线段c.求作：∠ABC，使∠A = ∠α，∠B =∠β，AB = c.请按照给出的作法作出相应的图形．自主学习合作探究已知三角形的三条边，求作这个三角形.已知：线段a ，b ，c .求作：△ABC ，使 AB = c ，AC = b ，BC = a .拓展：在∠ABC 中，BC ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，AB ＝3.5 cm ，∠B ＝36°，∠C ＝44°，请你选择适当数据，画与∠ABC 全等的三角形（用三种方法画图，不写作法，但要在所画的三角形中标出用到的数据）.二、课堂小结经过前面的实践，我们如何分析尺规作图题?1. 在草稿纸上画出所求图形的草图；2. 在草图上标出已给的边、角的对应位置；3. 从草图中首先找出基本图形，由此确定作图的起始步骤；4. 在 3 的基础上逐步向所求图形扩展.你知道的常用作图语言有哪些呢？(1) 作一条线段 … = …；(2) 作∠… = ∠…；(3) 在 … 上截取，使 … = …；(4) 以 … 为顶点，以 … 为一边，作∠ … =∠ …；(5) 连接 …，或连接 … 交 … 于点 …；(6) 分别以点 …， … 为圆心，以 …，… 为半径画弧，两弧交于 … 点；小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他想在作业本上用尺规作出一个与书上完全一样的三角形，你能帮他画出来吗？（保留作图痕迹，不写作法）参考答案合作探究一、要点探究知识点一：利用尺规作三角形典例精析例1 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.已知：∠α，∠β，线段c.求作：∠ABC，使∠A = ∠α，∠B =∠β，AB = c.请按照给出的作法作出相应的图形．例2已知三角形的三条边，求作这个三角形.已知：线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：（1）作一条线段BC = a；（2）分别以B，C为圆心，以c，b为半径画弧，两弧交于A点；（3）连接AB，AC. 则△ABC就是所求作的三角形.拓展：在∠ABC中，BC＝5 cm，AC＝3 cm，AB＝3.5 cm，∠B＝36°，∠C＝44°，请你选择适当数据，画与∠ABC全等的三角形（用三种方法画图，不写作法，但要在所画的三角形中标出用到的数据）.当堂检测1.（西安·月考）作图题：小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他想在作业本上用尺规作出一个与书上完全一样的三角形，你能帮他画出来吗？（保留作图痕迹，不写作法）。
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用尺规作三角形及三角形全等应用
（基础）巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1．尺规作图是指（）
A．用量角器和刻度尺作图 B．用圆规和有刻度的直尺作图
C．用圆规和无刻度的直尺作图 D．用量角器和无刻度的直尺作图
2．如图，两钢条中点连在一起做成一个测量工件，AB的长等于内槽宽A'B'，那么判定
△OAB≌△OA'B'的理由是（）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
3．（2015•邵阳一模）如图，点C落在∠AOB边上，用尺规作CN∥OA，其中弧FG的（）
A. 圆心是C，半径是OD B．圆心是C，半径是DM
C．圆心是E，半径是OD D．圆心是E，半径是DM
4.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）
A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BAC
C．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC
5．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等，其理论依据是全等三角形判定定理（）
A．SAS B．HL C．AAS D．ASA
二.填空题
7．如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.
8．小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD=a，EH=b，则四边形风筝
的周长是．
9.用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是
.
10．如图所示，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB=a，BC=AC=2a．
作法：（1）作一条线段AB=；
（2）分别以、为圆心，以为半径画弧，两弧交于C点；
（3）连接、，则△ABC就是所求作的三角形．
11．作图题的书写步骤是、、，而且要画出和结论，保留．
12．（2015•淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．
三.解答题：
13．（2015•陕西模拟）如图，已知△ABC，用尺规作出△ABC的角平分线BD．（保留作图的痕迹，不写作法）
14．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，因无法直接量出A，B两点的距离，请你设计一种方案，求出A，B的距离，并说明理由．
15．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.
【答案与解析】
一.选择题
1．【答案】C；
【解析】尺规作图所用的作图工具是指不带刻度的直尺和圆规．故选：C．
2．【答案】B；
【解析】∵两钢条中点连在一起做成一个测量工件，
∴OA′=OB，OB′=OA，
∵∠AOB=A′OB′，
∴△AOB≌△A′OB′．
所以AB的长等于内槽宽A'B'，
用的是SAS的判定定理．
3．【答案】D；
【解析】图中要作CN∥OA，就是作∠NCB=∠AOD，根据作一个角等于已知角的方法可得弧FG是以圆心是E，半径是DM所画的弧．
4．【答案】C；
【解析】根据已知所给条件，结合图形中隐含的公共边条件，可以得到A、B、D中的三角形是可以全等，唯有C答案中的两个三角形不能全等，所以答案为C. 5．【答案】D；
【解析】根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角角边”定理作出完全一样的三角形．故选D．
6．【答案】C ；
【解析】作出图形，利用“角角边”证明全等三角形的判定即可．
二.填空题
7．【答案】66°；
【解析】可由SSS证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝82
41
2
︒
=︒，所以∠DCB＝
∠ABC＝25°＋41°＝66°. 8．【答案】2a+2b；
【解析】△DEH和△DFH中
ED=FD，∠EDH=∠FDH，DH=DH
∴△DEH≌△DFH
∴EH=FH=b
又∵ED=FD=a，EH=b
∴该风筝的周长=2a+2b.
9．【答案】SAS；
【解析】用尺规做直角三角形，已知两直角边．可以先画出两条已知线段和确定一个直角，作图的依据为SAS．
10．【答案】a；A；B；2a；AC，BC；
【解析】作法：（1）作一条线段AB=a；
（2）分别以A、B为圆心，以2a为半径画弧，两弧交于C点；
（3）连接AC、BC，则△ABC就是所求作的三角形．
11．【答案】已知、求作、作法，图形，作图痕迹；
【解析】作图题的书写步骤是已知、求作、作法，而且要画出图形和结论，保留作图痕迹．
12.【答案】75°．
【解析】如图，
∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，
∴AB∥CD，
∴∠3=∠4=45°，
∴∠2=∠3=45°，
∵∠B=30°，
∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°.
三.解答题
13. 【解析】
解：如图：
14.【解析】
解：在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，
再作出BF 的垂线DE ，使A ，C ，
E 在一条直线上，这时测得的DE 的长就是AB 的长．
15. 【解析】
证明：在△ABC 和△DCB 中
AB DC AC DB BC =CB ⎧⎪
⎨⎪⎩
＝＝
∴△ABC ≌△DCB （SSS ） ∴∠ABC ＝∠DCB ， 在△ABE 和△DCE 中
ABC DCB AB DC BE CE =∠=∠=⎧⎪
⎨⎪⎩
∴△ABE ≌△DCE （SAS ） ∴AE ＝DE.。