高中数学说题ppt课件
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高中数学说题比赛课件集锦王坤峰说题课件
……① ……②
∴ y1 k1(x1 2), y1 k2 (x1 2) 两式相加得 即 0 (k1 k2 )x1 2(k1 k2 )
x1
2(k1 k2 ) k1 k2
又由 得 ， ∴ 即
y
k1
(
x
2)
y k2(x 2)
x 2(k1 k2 ) k1 k2
直线 A1P 的方程为 直线 A2Q 的方程为
y y1 (x 2)
y
x1y1
2 (x
2)
x1 2
……① ……②
设点M(x, y)是A1P与 A2Q 的交点，由①×②得
y2
y12 x12 2
(x2
2)
……③
又点P(x1, y1)在双曲线
上 x2 y2 1
2
∴
x x1 2
x 2, x1
∴
y1
k1
2(k1 k2 ) k1 k2
2
2
2k1 k2 k1 k2
y
k1
2(k1 k2 ) k1 k2
2
2 k1
2k1 k2
k2
以下同法一 ∴
∴ y1 k1 k2 2
y2
2 1
0
得 x 2, y 0 所以直线 l
与双曲线只有唯一交点 A2 。故轨迹E不经 过点 (0,1)。
综上分析，轨迹E的方程为 x2 y2 1, x 0 且x 2 2
法三：由题设知 A1( 2,0) A2( 2,0) ，则有
《数学说题》课件
《数学说题》课件第一章什么是数学？数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，它可以帮助我们解决现实生活中的问题。
无论是在自然科学、工程技术还是社会科学领域，数学都扮演着重要的角色。
第二章数学的基本概念2.1 数字和数的概念数学中最基本的概念就是数字和数。
数字是用来表示数量的符号，而数则是由数字组合而成的概念。
例如1、2、3就是数字，而1、2、3组合在一起构成的数就是123。
2.2 运算和运算法则数学中的运算包括加法、减法、乘法和除法。
运算法则指的是对于这些运算的规定。
第三章数学的分支学科3.1 代数代数是数学中的一个重要分支，它研究的是数与代数运算的关系。
代数通过使用字母和符号来表示数，研究数之间的关系以及运算法则。
3.2 几何几何是研究空间、形状、大小以及位置关系的数学分支。
几何通过图形和公式来描述和计算各种形状和空间的属性。
3.3 概率与统计学概率与统计学是研究随机事件和数据的分析方法的数学分支。
它包括了概率的计算和统计的分析方法，可以帮助我们预测事件的可能性以及分析大量的数据。
第四章数学在现实生活中的应用4.1 金融数学金融数学是应用数学的一个分支，它在金融领域中起着重要的作用。
金融数学可以用来研究股票市场的走势、利息的计算以及风险的评估。
4.2 工程数学工程数学是将数学应用于工程问题的学科。
它可以帮助工程师解决各种实际问题，如建筑物的结构分析、电路设计等。
4.3 数据分析数据分析是研究和处理大量数据的方法和技术。
在现代社会中，数据分析在各个领域都发挥着重要作用，如市场调查、医学研究等。
结语数学作为一门重要的学科，不仅仅是学校中的一门课程，更是应用于各个领域的核心工具。
通过学习数学，我们可以提高逻辑思维能力，培养分析和解决问题的能力，为我们的未来发展打下坚实的基础。
让我们一起享受数学的魅力吧！附录：数学作业1. 计算3和5的和。
2. 解方程：2x + 5 = 13。
3. 计算长为5cm、宽为3cm的矩形的面积。
高中数学说题《一道函数题》精品PPT课件
4M | b | + | 9 3a b | +2 | 9 3 a b |
42
4M 9 2
9 M
当且仅当a 3,b 9 取等号
8
8
切比雪夫最佳逼近直线理论
变式3 已知任意实数a,b,函数f ( x) | x2 (ax b) |，总存在 x0 [0, m], f ( x0 ) 1,则m的取值范围 _____
变式2 已知任意实数a,b,函数f ( x) | x2 (ax b) |，总存在 x0 [0, 3], f ( x0 ) m,则m的取值范围 _____
绝对值三角不等式
M f (0) | b | M f (3) | 9 3a b | M f ( 3) | 9 3 a b | 2 42
解法2（: 分类讨论）
y
|
u
t
|
u t, t u,
t 1
u
3 u
t
分 1 u t和t u 3讨论
解法3（: 绝对值三角不等式）
M | 1 t |
M | 3 t |
2M | 1 t | | 3 t || 1 t (3 t) | 4 由题可知M 2 当且仅当 | 3 t || 1 t | 即t 1取等号
数
例1 已知t为常数，函数y | x2 2x t | 在区间[0,3]上的最大值
为2,则t _____
解法4（: 数形结合） 令u x2 2x，u[1,3]
形
解法5（: 纵向距离）
思考：能否看成y x2和y=2x t的纵向距离？
例1 已知t为常数，函数y | x2 2x t | 在区间[0,3]上的最大值 为2,则t _____
高中数学说题PPT课件
3
求函 fx数 的单调 . 区间
变式2：已知f函 x数 1a3xx2x1aR
3
求函 fx数 的单调 . 区间
2021/7/23
8
五.问题拓展
该题的变式题可以设计出如下:
原题：已知f函 x数 1x3x2ax1aR
3
求函 fx数 的单调 . 区间
变式3：已知f函 x数 1x3x2ax1aR
3
求函 fx数 的极.值点
2021/7/23
9
五.问题拓展
该题的变式题可以设计出如下:
原题：已知f函 x数 1x3x2ax1aR
3
求函 fx数 的单调 . 区间 变式4：已知函 fx数 1 aR
x22xa
求函f数 x的定义域。
2021/7/23
10
结束语
分类讨论方法解题中要注意两个原则：一、分类不重不 漏；二、一次分类只能按已确定的同一标准进行．
2021/7/23
2
二. 问题背景
2014年广东高考21题（文科）
已知f函 x数 1x3x2ax1aR
3
求函 fx数 的单调 . 区间
2021/7/23
3
三. 认知分析 (条件.结论.难点.关键)
1、 条件：函f数 x1x3 x2 ax1aR
3
结论：求函f 数 x的单调区. 间
方法：导数法求函单数调的性 皆一目了然，非常。清晰
说题
2021/7/23
1
一、导入语
二次函数的分类讨论
——练好通 法 ，考好基础考题
二次函数在初中教材中，只是让学生掌握些基本知识，没 有作过高的要求，而高中教材中没有列入教材，但是，高考对 其的考查却是常考常新，进而使其成为高中学生数学学习上的 一大“盲区”，是现在高中学生学习数学的一大“心病”，感 觉到 不好把握，特别是有关含参数二次函数的讨论，更是让许多 学生感到迷惑。
求函 fx数 的单调 . 区间
变式2：已知f函 x数 1a3xx2x1aR
3
求函 fx数 的单调 . 区间
2021/7/23
8
五.问题拓展
该题的变式题可以设计出如下:
原题：已知f函 x数 1x3x2ax1aR
3
求函 fx数 的单调 . 区间
变式3：已知f函 x数 1x3x2ax1aR
3
求函 fx数 的极.值点
2021/7/23
9
五.问题拓展
该题的变式题可以设计出如下:
原题：已知f函 x数 1x3x2ax1aR
3
求函 fx数 的单调 . 区间 变式4：已知函 fx数 1 aR
x22xa
求函f数 x的定义域。
2021/7/23
10
结束语
分类讨论方法解题中要注意两个原则：一、分类不重不 漏；二、一次分类只能按已确定的同一标准进行．
2021/7/23
2
二. 问题背景
2014年广东高考21题（文科）
已知f函 x数 1x3x2ax1aR
3
求函 fx数 的单调 . 区间
2021/7/23
3
三. 认知分析 (条件.结论.难点.关键)
1、 条件：函f数 x1x3 x2 ax1aR
3
结论：求函f 数 x的单调区. 间
方法：导数法求函单数调的性 皆一目了然，非常。清晰
说题
2021/7/23
1
一、导入语
二次函数的分类讨论
——练好通 法 ，考好基础考题
二次函数在初中教材中，只是让学生掌握些基本知识，没 有作过高的要求，而高中教材中没有列入教材，但是，高考对 其的考查却是常考常新，进而使其成为高中学生数学学习上的 一大“盲区”，是现在高中学生学习数学的一大“心病”，感 觉到 不好把握，特别是有关含参数二次函数的讨论，更是让许多 学生感到迷惑。
高中数学第二届说题比赛试题说题——圆锥曲线1共18张PPT
3、利用几何法化简式子，也进行了消元，但在 解题中忽略了判别式，缺乏严谨性；
已知直线 y k (x 2)(k 0)与抛物线 C:y 2 8x 相交 A、B 两
点，F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
(
设 A、B 两点坐标分别为（x1,y1）,( x2,y2)
BN = 2 AM
解 法 一 ：
结束语
我想，如果拿到一个题目，作为教师都能这 样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起到 以一当十、以少胜多的效果，既可以增大课堂的 容量，又可以培养学生各方面的能力，特别是自 主探索，不断创新的能力。如果在教学中能够尝 试让学生自己说题，讲题，相信教学的效果会更 好。
我想今后我会继续努力深入去研究课本的例 题、习题和全国各地的高考试题，不断追求新知， 完善自己，将说题的意识进行到底。
说拓展
变式1（类比）： 已知直线 y k (x 2)与抛物线 C:y 2 8x 相交 A、B 两点， F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
变式2（进一步提升）：
已知直线 y k (x a)与抛物线 C: y 2 8x 相交 A、B 两 点，F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
x1 x2
8 4k 2 k2
x1x 2 4
(2x 2 2)x 2 4 x 2 2(舍)或x 2 1
y2 2 2
k 22 3
缺乏严谨性
已知直线 y k (x 2)(k 0)与抛物线 C:y 2 8x 相交 A、B 两
点，F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
设 A、B 两点坐标分别为（x1,y1）,( x2,y2)
翻译——代数讨论——翻译
已知直线 y k (x 2)(k 0)与抛物线 C:y 2 8x 相交 A、B 两
点，F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
(
设 A、B 两点坐标分别为（x1,y1）,( x2,y2)
BN = 2 AM
解 法 一 ：
结束语
我想，如果拿到一个题目，作为教师都能这 样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起到 以一当十、以少胜多的效果，既可以增大课堂的 容量，又可以培养学生各方面的能力，特别是自 主探索，不断创新的能力。如果在教学中能够尝 试让学生自己说题，讲题，相信教学的效果会更 好。
我想今后我会继续努力深入去研究课本的例 题、习题和全国各地的高考试题，不断追求新知， 完善自己，将说题的意识进行到底。
说拓展
变式1（类比）： 已知直线 y k (x 2)与抛物线 C:y 2 8x 相交 A、B 两点， F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
变式2（进一步提升）：
已知直线 y k (x a)与抛物线 C: y 2 8x 相交 A、B 两 点，F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
x1 x2
8 4k 2 k2
x1x 2 4
(2x 2 2)x 2 4 x 2 2(舍)或x 2 1
y2 2 2
k 22 3
缺乏严谨性
已知直线 y k (x 2)(k 0)与抛物线 C:y 2 8x 相交 A、B 两
点，F 为 C 的焦点.若 FA 2 FB ,求 k 的值.
设 A、B 两点坐标分别为（x1,y1）,( x2,y2)
翻译——代数讨论——翻译
数学说题1 高中数学说课比赛ppt课件
问题呈现与思路分析
已知直线y k ( x 2)(k 0)与抛物线C : y 2 8 x 相交于A、B两点，F 为C的焦点若 . FA 2 FB ， 求k的值.
本题的已知条件为过定点的直线与抛物线相交， 且焦点弦对应成比例，所求结论为求解该直线 的斜率.本题着重考查直线与抛物线的相对位置 关系.题眼为|FA|=2|FB|.
问题呈现与思路分析
已知直线y k ( x 2)(k 0)与抛物线C : y 8 x
2
相交于A、B两点，F 为C的焦点若 . FA 2 FB ， 求k的值.
本题的难点在于如何结合直线与抛物线的位 置关系，确定直线的斜率问题，解决问题的 关键在于如何利用好|FA|=2|FB|.
问题呈现与思路分析
1.问题呈现与思路分析 2.解题方法大展示 3.揭密试题、探究变式
4.链接高考
5.试题功能大探讨
6.结束语
问题呈现与思路分析
已知直线y k ( x 2)(k 0)与抛物线C : y 2 8 x 相交于A、B两点，F 为C的பைடு நூலகம்点若 . FA 2 FB ， 求k的值.
该题最新出现于2014年鄂尔多斯模拟，其知识点 主要涉及过定点的直线与抛物线相交问题.可综合 考查学生观察与归纳，函数与方程、数形结合等 思想与能力.
已知直线y k ( x 2)(k 0)与抛物线C : y 2 8 x 相交于A、B两点，F 为C的焦点若 . FA 2 FB ， 求k的值.
解决本题的常规思路在于通过联立直线与抛物线 方程，利用抛物线的定义以及韦达定理，建立关 于k的方程，通过解方程，确定k的值；而如果能 够利用好|FA|=2|FB|，结合平面几何相关性质，则 可以获得意想不到的效果.
高中数学说题课件
(
8 − (Y 2 )
min
)=
8=2 2
点评：构造的函数Y = 1− x − 是单调递减的容易求出值域。
x+3
三.解题方法
解法10， 解法10，对称性法 10
对称性原理：在不等式中，当变量间地位对称（对等） 时，两变量相等时，可使目标函数取得最值。 令u = 1− x , v = 3 + x，则有u2 + v2 = 4(u ≥ 0, v ≥ 0) 去求u + v的最大值显然u, v两个变量对称，故令u = v, 则有u = v = 2，ymax = u + v = 2 2。
二.解题思路
题目出处 已知求证
条件信息 解题关键
则它的最大值为( 1、已知函数 y = 1 − x + x + 3, 则它的最大值为 ) 、 (A)
2
(B)2
(C) 2
2
(D)
4 3
3
隐含条件和潜在信息为： 隐含条件和潜在信息为：先求出定义域为 [ −3,1] , 且有 (1− x) + ( x + 3) = 4.
数学说题
说题 引入 解题 思路
说题
高考 链接 题目 变式
解题 方法
一、说题引入
数学的世界里并不缺少美， 数学的世界里并不缺少美，而是缺少一个善于思 考的大脑。数学本身是美妙的， 考的大脑。数学本身是美妙的，也可以学得很美 在数学的世界里， 妙。在数学的世界里，你会发现数学的美妙千变 万化，数学的美妙让你流连忘返， 万化，数学的美妙让你流连忘返，数学的美妙让 你如痴如醉。这种种数学的美妙， 你如痴如醉。这种种数学的美妙，我们可以称之 数学美” 正因为这“数学美” 为“数学美”。正因为这“数学美”，科学得以 巨大飞跃，社会得以高速发展， 巨大飞跃，社会得以高速发展，人类得以主宰世 在数学的小世界里， 界。在数学的小世界里，你会发现另外一番大世 在浩瀚无垠的数学题海里， 界。在浩瀚无垠的数学题海里，我要说的这个小 淋漓尽致的诠释了她的美妙， 题，淋漓尽致的诠释了她的美妙，而这仅仅是冰 山一角。只要你热爱数学，只要你善于思考， 山一角。只要你热爱数学，只要你善于思考，数 学的世界就是美的世界。 学的世界就是美的世界。
《数学说题》课件PPT
阐述题意
说 题目解答
题
题目变式 课后反思
总结提炼
原题再现
如图，抛物线y=a（x﹣4）2+4（a≠0）经过原点O（0，0），点P 是抛物线上的一个动点，OP交其对称轴l于点M，且点M、N关于顶点 Q对称，连结PN、ON．
（1）求a的值； （2）当点P在对称轴l右侧的抛物线上运动时，试解答如下问题 ①是否存在点P，使得ON⊥OP？若存在，试求出点P的坐标；否则 请说明理由： ②试说明：△OPN的内心必在对称轴l上．
点P的坐标，反之说明理由： 变式3：已知△OPN的内心在对称轴l上，且△OPN为等腰
三角形，求点P的坐标。
四、课后反思
(一）学生情况反思： 本题考查知识点比较多，综合性强，源于教材 但高于教材，起点高，落点低，对学生的学习能 力和应用能力有较高的要求。学生的易错点是： 忽略了利用直角三角函数证明角相等的方法；分 析、应用能力不足。
在Rt△PHN中，
在Rt△ODN中，
∴tan∠PNH=tan∠OND ∴∠PNH=∠OND，即直线l平分∠ONP， ∴△OPN的内心必在对称轴l上．
三、题目变式
（2）当点p在对称轴l右侧抛物线上运动时， 变式1：是否存在点P,使得△OMB为直角三角形，若存
在，求点P的坐标，反之说明理由： 变式2：是否存在点P,使得△OMB∽△MNO，若存在，求
四、课后反思
（二）教学反思：
（1）从知识上，教师要立足于落实双基，是 学生全面掌握知识方法。
（2）从方法上，注重学生知识的迁移能力。 （3）从效果上，达到“一题多解、一题多变、 多题同解、错例众评”的教学效果。
五、总结提炼
本题是二次函数与方程、几何知识的综合应用， 将函数知识与方程、几何知识有机结合在一起。 解这类题目关键是善于将函数问题转化为方程问 题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次 函数的知识，并注意挖掘题目的一些隐含条件， 用数形结合的方法解决问题。
说 题目解答
题
题目变式 课后反思
总结提炼
原题再现
如图，抛物线y=a（x﹣4）2+4（a≠0）经过原点O（0，0），点P 是抛物线上的一个动点，OP交其对称轴l于点M，且点M、N关于顶点 Q对称，连结PN、ON．
（1）求a的值； （2）当点P在对称轴l右侧的抛物线上运动时，试解答如下问题 ①是否存在点P，使得ON⊥OP？若存在，试求出点P的坐标；否则 请说明理由： ②试说明：△OPN的内心必在对称轴l上．
点P的坐标，反之说明理由： 变式3：已知△OPN的内心在对称轴l上，且△OPN为等腰
三角形，求点P的坐标。
四、课后反思
(一）学生情况反思： 本题考查知识点比较多，综合性强，源于教材 但高于教材，起点高，落点低，对学生的学习能 力和应用能力有较高的要求。学生的易错点是： 忽略了利用直角三角函数证明角相等的方法；分 析、应用能力不足。
在Rt△PHN中，
在Rt△ODN中，
∴tan∠PNH=tan∠OND ∴∠PNH=∠OND，即直线l平分∠ONP， ∴△OPN的内心必在对称轴l上．
三、题目变式
（2）当点p在对称轴l右侧抛物线上运动时， 变式1：是否存在点P,使得△OMB为直角三角形，若存
在，求点P的坐标，反之说明理由： 变式2：是否存在点P,使得△OMB∽△MNO，若存在，求
四、课后反思
（二）教学反思：
（1）从知识上，教师要立足于落实双基，是 学生全面掌握知识方法。
（2）从方法上，注重学生知识的迁移能力。 （3）从效果上，达到“一题多解、一题多变、 多题同解、错例众评”的教学效果。
五、总结提炼
本题是二次函数与方程、几何知识的综合应用， 将函数知识与方程、几何知识有机结合在一起。 解这类题目关键是善于将函数问题转化为方程问 题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次 函数的知识，并注意挖掘题目的一些隐含条件， 用数形结合的方法解决问题。
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b2 a2k 2 k 2a2b2
b2 a2k 2
y 1 x. k
x2
由 a 2
y
y2
b2 1
k
1 ,
得
x2
2
x
y
2
2
a2b2k 2
a2 b2k 2 a 2b 2
a2 b2k 2
1 OA
2
1 OB 2
1 x12 y12
x2 2
1 y22
a2b2
1 k 2a2b2
a2b2k 2
由（1）得 OB 2
1
a2 b2 1
-
a 2b2 OA 2
则S 2 AOB
1 4
OA 2 OB 2
1 4
OA 2
a2
1 b2 -
1
1
1
4 a2 b2 -
1
a 2b2 OA 2
a 2b2 OA 2 OA 4
随着 OA 的增加，此函数值在增加.Q OA a,
S
2 AOB
1 4
1 a2 b2 a2b2a2
OA 2 OB 2
a2b2
8
1
(2)由S AOB
1 2
OA
OB ，可得 S 2 AOB
1 4
OA 2
OB
2
由（1）可得， 1 1 a 2 b 2 2
OA 2 OB 2
a 2b 2
11 2 OA 2 OB 2 OA OB
OA OB
a 2b 2
2
a2 b2
1
a2b2
SAOB 2 OA OB a 2 b2
-
1 a4
1 a2b2 4
S 2 AOB ab 2
综上所述
S
有最小值
AOB
a2b2 a2 b2
,
S
有最大值
AOB
ab . 2
9
1
方法三 ：利用参数方程求解
解（1）令椭圆的参数方程为 x a cos
y
b
sin
设A(a cos ,bsin ), B(a cos,bsin),
又因为OA OB,则a2 cos cos+b2 sin sin 0,
1
a2b2
2 (b4 a 4 - 2a 2b2 ) cos2 1 sin 2 1 a 2b2
1
a2b2
2 (a 2 b2 )2 sin 2 21 a 2b2 4
当且仅当 sin 2 21
1，即1
4
或
5 4
时， S AOB有最小值
a2b2 a2 b2
；
当sin 2 21
0，即1
0或时，
S
有最大值
AOB
ab . 2
7
1
方法二 ：利用平面直角坐标系求解
x2 y2
解：（1）设椭圆的方程为
a2
b2
1
，
当直线OA斜率存在且不为0时，设方程为 y kx ,则直线OB方程为
记A( x1 ,
y1 ), B(x2 ,
y
2
)
,则由
x a
2 2
y2 b2
1,
得
x1
2
y kx
y1
2
a 2b 2
1
a2b2
2 (b4 a 4 ) cos2 1 sin 2 1 a 2b2 (cos4 1 sin 4 1 )
1
a2b2
2 (b4 a 4 ) cos2 1 sin 2 1 a 2b2 (cos4 1 sin 4 1 )
1
a2b2
2 (b4 a 4 ) cos2 1 sin 2 1 a 2b2 (cos2 1 sin 2 1）2 - 2 cos2 1 sin 2 1
1
a2b2
a2 b2 a2b2
;
b2 a2k2 b2 a2k2 a2 b2k2 a2 b2k2
当直线OA与OB其中一条直线斜率不存在时，则另一条直线斜率是0，
此时 1 1 1 1 a2 b2 OA 2 OB 2 a 2 b2 a 2b2
综上所述， 1 1 是定值 a2 b2 .
4
1
❖5．已知椭圆的中心为O，长轴短轴的长分
别为2a,2b(a>b>0)，A，B分别在椭圆上的
两点,且OA OB ．
（Ⅰ）求证
1 OA 2
1 OB
2为定值.
（Ⅱ）求 AOB 面积的最大值和最小值．y
A 2
B
O
22 x
5
1
方法一 ：利用极坐标求解
解：（1）以椭圆中心O点为坐标原点，长轴所在直线为x轴，短轴所在直线
数学说题
1
1
各位评委、老师，您们好：
我今天要说的题目是5号题。
❖5．已知椭圆的中心为O，长轴短轴的长分
别为2a,2b(a>b>0)，A，B分别在椭圆上的
两点,且 OA OB．
（Ⅰ）求证
1 OA2
1 OB
2
为定值.
（Ⅱ）求 AOB 面积的最大值和最小值．
2
1
一.题目 二.解答 三.反思 四.变式迁移
S AOB
1 2
OA
OB
1 2
1 2
1
a2b2
,
2 (b2 cos2 1 a 2 sin 2 1 )(b2 sin 2 1 a 2 cos2 1 )
1
a2b2
2 b4 cos2 1 sin 2 1 a 2b2 cos4 1 a 2b2 sin 4 1 a 4 sin 2 cos2 1
a2 +b2 tan2 a2 +b2 tan2
(a2 +b2 tan2 )(a2 +b2 tan2 )
当，其 (中aa2一2+bb2个2(t)为 a(tna2n2或 t3atna2时 n2， 则2ba22b另2a2)2一) 个a为a22+0bb或22 ，此时
cos2
a 2b 2
1 a2
sin 2
1
,
2 2
b2
sin 2
a 2b 2
1 a22
1
12
1
22
b2 cos2 1 a2 sin2 1 b2 sin2 1 a2 cos2 1
a2b2
a2 b2 a2b2
所以，1 1 为定值。
OA2 OB2
6
1
（2）依题意，得到
为y轴建立平面直角坐标系，则椭圆的方程为
x2 y2 1 a2 b2
以O点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为
( cos ) 2 ( sin ) 2 1
a2
b2
即 2
a2b2
b2 cos2 a2 sin2
由于OA
OB, 可设A(1,1 )，令B(2 ,1
2
)，则
2 1
b2
3
1
1. 5题为圆锥曲线题，是历年高考的必考点。这道题是 放在课本选修4-4习题1.3第六题，是学习了极坐标系 后的一道习题。
2.本题难度较大，主要考察椭圆普通方程，在极坐标系 下的方程，参数方程的运用，以及直线方程，三角 函数、最值等一系列问题。
3.考察学生代数推导，数形结合，解题优化的思想和能 力。
当，都不为
2
或
3 2
时，则tan
tan=-
a2 b2
11
1
1
sin2 cos2 sin2 cos2
OA2 OB2 a2 cos2 +b2 sin2 a2 cos2 +b2 sin2 a2 cos2 +b2 sin2 a2 cos2 +b2 sin2
tan2 1 tan2 1 (tan2 1)(a2 +b2 tan2 ) (tan2 1)(a2 +b2 tan2 )
b2 a2k 2
y 1 x. k
x2
由 a 2
y
y2
b2 1
k
1 ,
得
x2
2
x
y
2
2
a2b2k 2
a2 b2k 2 a 2b 2
a2 b2k 2
1 OA
2
1 OB 2
1 x12 y12
x2 2
1 y22
a2b2
1 k 2a2b2
a2b2k 2
由（1）得 OB 2
1
a2 b2 1
-
a 2b2 OA 2
则S 2 AOB
1 4
OA 2 OB 2
1 4
OA 2
a2
1 b2 -
1
1
1
4 a2 b2 -
1
a 2b2 OA 2
a 2b2 OA 2 OA 4
随着 OA 的增加，此函数值在增加.Q OA a,
S
2 AOB
1 4
1 a2 b2 a2b2a2
OA 2 OB 2
a2b2
8
1
(2)由S AOB
1 2
OA
OB ，可得 S 2 AOB
1 4
OA 2
OB
2
由（1）可得， 1 1 a 2 b 2 2
OA 2 OB 2
a 2b 2
11 2 OA 2 OB 2 OA OB
OA OB
a 2b 2
2
a2 b2
1
a2b2
SAOB 2 OA OB a 2 b2
-
1 a4
1 a2b2 4
S 2 AOB ab 2
综上所述
S
有最小值
AOB
a2b2 a2 b2
,
S
有最大值
AOB
ab . 2
9
1
方法三 ：利用参数方程求解
解（1）令椭圆的参数方程为 x a cos
y
b
sin
设A(a cos ,bsin ), B(a cos,bsin),
又因为OA OB,则a2 cos cos+b2 sin sin 0,
1
a2b2
2 (b4 a 4 - 2a 2b2 ) cos2 1 sin 2 1 a 2b2
1
a2b2
2 (a 2 b2 )2 sin 2 21 a 2b2 4
当且仅当 sin 2 21
1，即1
4
或
5 4
时， S AOB有最小值
a2b2 a2 b2
；
当sin 2 21
0，即1
0或时，
S
有最大值
AOB
ab . 2
7
1
方法二 ：利用平面直角坐标系求解
x2 y2
解：（1）设椭圆的方程为
a2
b2
1
，
当直线OA斜率存在且不为0时，设方程为 y kx ,则直线OB方程为
记A( x1 ,
y1 ), B(x2 ,
y
2
)
,则由
x a
2 2
y2 b2
1,
得
x1
2
y kx
y1
2
a 2b 2
1
a2b2
2 (b4 a 4 ) cos2 1 sin 2 1 a 2b2 (cos4 1 sin 4 1 )
1
a2b2
2 (b4 a 4 ) cos2 1 sin 2 1 a 2b2 (cos4 1 sin 4 1 )
1
a2b2
2 (b4 a 4 ) cos2 1 sin 2 1 a 2b2 (cos2 1 sin 2 1）2 - 2 cos2 1 sin 2 1
1
a2b2
a2 b2 a2b2
;
b2 a2k2 b2 a2k2 a2 b2k2 a2 b2k2
当直线OA与OB其中一条直线斜率不存在时，则另一条直线斜率是0，
此时 1 1 1 1 a2 b2 OA 2 OB 2 a 2 b2 a 2b2
综上所述， 1 1 是定值 a2 b2 .
4
1
❖5．已知椭圆的中心为O，长轴短轴的长分
别为2a,2b(a>b>0)，A，B分别在椭圆上的
两点,且OA OB ．
（Ⅰ）求证
1 OA 2
1 OB
2为定值.
（Ⅱ）求 AOB 面积的最大值和最小值．y
A 2
B
O
22 x
5
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方法一 ：利用极坐标求解
解：（1）以椭圆中心O点为坐标原点，长轴所在直线为x轴，短轴所在直线
数学说题
1
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各位评委、老师，您们好：
我今天要说的题目是5号题。
❖5．已知椭圆的中心为O，长轴短轴的长分
别为2a,2b(a>b>0)，A，B分别在椭圆上的
两点,且 OA OB．
（Ⅰ）求证
1 OA2
1 OB
2
为定值.
（Ⅱ）求 AOB 面积的最大值和最小值．
2
1
一.题目 二.解答 三.反思 四.变式迁移
S AOB
1 2
OA
OB
1 2
1 2
1
a2b2
,
2 (b2 cos2 1 a 2 sin 2 1 )(b2 sin 2 1 a 2 cos2 1 )
1
a2b2
2 b4 cos2 1 sin 2 1 a 2b2 cos4 1 a 2b2 sin 4 1 a 4 sin 2 cos2 1
a2 +b2 tan2 a2 +b2 tan2
(a2 +b2 tan2 )(a2 +b2 tan2 )
当，其 (中aa2一2+bb2个2(t)为 a(tna2n2或 t3atna2时 n2， 则2ba22b另2a2)2一) 个a为a22+0bb或22 ，此时
cos2
a 2b 2
1 a2
sin 2
1
,
2 2
b2
sin 2
a 2b 2
1 a22
1
12
1
22
b2 cos2 1 a2 sin2 1 b2 sin2 1 a2 cos2 1
a2b2
a2 b2 a2b2
所以，1 1 为定值。
OA2 OB2
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（2）依题意，得到
为y轴建立平面直角坐标系，则椭圆的方程为
x2 y2 1 a2 b2
以O点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为
( cos ) 2 ( sin ) 2 1
a2
b2
即 2
a2b2
b2 cos2 a2 sin2
由于OA
OB, 可设A(1,1 )，令B(2 ,1
2
)，则
2 1
b2
3
1
1. 5题为圆锥曲线题，是历年高考的必考点。这道题是 放在课本选修4-4习题1.3第六题，是学习了极坐标系 后的一道习题。
2.本题难度较大，主要考察椭圆普通方程，在极坐标系 下的方程，参数方程的运用，以及直线方程，三角 函数、最值等一系列问题。
3.考察学生代数推导，数形结合，解题优化的思想和能 力。
当，都不为
2
或
3 2
时，则tan
tan=-
a2 b2
11
1
1
sin2 cos2 sin2 cos2
OA2 OB2 a2 cos2 +b2 sin2 a2 cos2 +b2 sin2 a2 cos2 +b2 sin2 a2 cos2 +b2 sin2
tan2 1 tan2 1 (tan2 1)(a2 +b2 tan2 ) (tan2 1)(a2 +b2 tan2 )