基于频率抽样法的FIR数字低通滤波器的设计

基于频率抽样法的FIR 数字低通滤波器的设计1 设计目的熟悉频率采样法的理论及其应用；掌握频率采样法设计FIR 数字滤波器的方法。

了解FIR 数字滤波器的频率特性和相位特性，观察过渡带取样点对滤波器幅频特性的影响。

掌握用频率采样法设计线性相位FIR 低通数字滤波器的方法，并掌握该方法的matlab 编程和仿真。

2 FIR 数字滤波器设计的原理2.1频率抽样设计法FIR 低通滤波器的设计一般方法有两种，即频率抽样法和窗函数法，频率抽样法设计不同于窗函数法，窗函数是从时域出发，把理想的()d h n 用一定形状得窗函数截取成有限长的()h n ，以此()h n 来近似理想的()d h n ，这样得到的频率响应()jw H e 逼近于所要求的理想的频率响应()jw d H e 。

频率抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应()jw d H e 加以等间隔抽样，即2()|()jw d d w k NH e H k π==然后以此()d H k 作为实际FIR 数字滤波器的频率特性的抽样值()H k ，即令2()()()|0,1,,1jw d d w k NH k H k H e k N π====-，知道()H k 后，由DFT 定义，可以用频域的这N 个抽样值()H k 来唯一确定有限长序列()h n ，而由()X z 的内插公式知道，利用这N 个频域抽样值()H k 同样可求得FIR 滤波器的系统函数()H z 及频率响应()jw H e 。

这个()H z 或()jw H e 将逼近()d H z 或()jw d H e ，()H z 和()jw H e 的内插公式为1101()()1NN k k Nz H k H z NW z ----=-=-∑ （2.1） 102()()()N jwk H e H k w k Nπ-==Φ-∑ （2.2） 其中()w Φ是内插函数1()2sin()12()sin()2N jw wNw e w N --Φ= （2.3）将式（2.3）代入（2.2）式，化简后可得11()2sin()12()()sin()2kN N j j wjw N k wNH e e H k e w k N N ππ----==-∑ （2.4） 即 11(1)()20sin[()]12()()sin()2k N N j N j w jw N k w k N N H e e H k e w k N Nπππ----=-=••-∑ （2.5） 从内插公式（2.2）看到，在各频率抽样点上，滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响应数值相等，即22()()()()j k jk NNd d H eH k H k H eππ===。

但是在抽样点之间的频率响应则是由各抽样点的加权内插函数的延伸叠加而形成的，因而有一定的逼近误差，误差大小取决于理想频率响应曲线形状，理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理想值，逼近误差越小，如图2.1梯形理想频率特性所示。

反之，如果抽样点之间的理想频率特性变化越陡，则内插值与理想值之误差就越大，因而在理想频率特性的不连续点附近，就会产生肩峰和波纹，如图2.2矩形理想频率特性所示。

图2.1 梯形理想频率特性图2.2 矩形理想频率特性2.2线性相位的约束对于第二类线性相位FIR 滤波器，由于()h n 偶对称、N 为偶数时, 公式是1()2()()N j w jwH e H w e--=，其中幅度函数()H w 应为奇对称的，()(2)H w H w π=--，如果抽样值2()()jk NH k H eπ=也用幅值k H （纯标量）与相角k Q 表示，则为：22()()()K K j k jQ jQ Nk H k H e H k e H e Nππ=== （2.6）其中k Q 必须为： 121()(1)2k N Q k k N Nππ-=-=-- （2.7）k H 必须满足奇对称，即k N k H H -=-。

2.3线性相位第一种频率抽样21()()N jnk Nn H k h n eπ--==∑ （2.8）当()h n 为实数时，满足**()(())()()N N H k H N k R k H N k =-=-，由此得出()()H k H N k =-，()()Q k Q N k =--，也就是说，()H k 的模()H k 以2k N =为对称中心呈偶对称，()H k 的相角()Q k 以2k N =为对称中心呈奇对称。

再利用线性相位的条件1()2jw N Q e w -=-，即可得到（N 为偶数）： 210,,122()0221()1,,122N N k k N NQ k k N NN k k N Nππ⎧-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎪-⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩（2.9）21()221()()2()0,,12()02()1,,12N j k N N j N k N N H k e k NH k k N H N k e k N ππ----⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎪⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎩（2.10）()12(0)sin 2sin 2N j j N H H e e N ωωωω--⎧⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩()121sin sin 22sin sin 22Nk k k N N H k N N k k N N N ωπωπωπωπ-=⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎢⎥++⎬⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎪-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭∑（2.11）2.4过渡带抽样的优化设计为了提高逼近质量，使逼近误差更小，也就是减小在通带边缘由于抽样点的陡然变化而引起的起伏振荡,这种起伏振荡使阻带内最小衰减变小。

这里是使理想频率响应的不连续点的边缘加上一些过渡的抽样点,从而增加过渡带，减小频率边缘的突变，也就减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。

这些周扬点上的取值不同，效果也就不同，如果精心设计过渡带的抽样值，就有可能使它的有用频带（通带、阻带）的纹波得以减小。

从而设计出较好的滤波器。

一般过渡带取一、二、三点抽样值即可得到满意的结果。

在低通设计中，不加过渡抽样点时，阻带最小衰减为－20dB，一点过渡抽样的最优设计，阻带最小衰减可提高到－40dB到－54dB左右，二点过渡抽样的最优设计可达－60dB 到－75dB左右，而加三点过渡抽样的最优设计则可达－80dB到－95dB左右。

加过渡抽样点的示意图如图2.3所示。

图2.3 加过渡抽样点3 FIR 数字滤波器设计方法3.1设计任务本次课程设计的任务是利用频率抽样法设计一个低通FIR 数字低通滤波器，其理想频率特性是矩形的，即（3.1）给定抽样频率为42 1.510(/sec)s rad πΩ=⨯⨯，通带截止频率的32 1.610(/sec)p rad πΩ=⨯⨯，阻带起始频率为32 3.110(/sec)st rad πΩ=⨯⨯，通带波动11dB σ≤，阻带衰减250dB σ≥。

幅度特性如图3.1所示。

图3.1 ()H j Ω幅度特性曲线3.2参数计算通带的截止频率为342 1.610220.2132 1.510p pp s s w f πππππΩΩ⨯⨯===⨯=Ω⨯⨯ 阻带的起始频率为342 3.110220.4132 1.510st st st s s w f πππππΩΩ⨯⨯===⨯=Ω⨯⨯理想低通截止频率31()2 2.3510(/sec)2c p st rad πΩ=Ω+Ω=⨯⨯其对应的数字频率342 2.3510220.3132 1.510c c w s πππππΩ⨯⨯==⨯=Ω⨯⨯ 过渡带带宽为0.2st p w w w π∆=-=，设抽样点数为N ，由于23w Nπ∆=⨯，故算得抽样点数N 等于30。

3.3设计方法根据指标，可画出频率抽样后的()H k 序列，由于()H k 是对称于w π=的，我们又只对0w π≤≤即015k ≤≤的区间感兴趣，故可将2w ππ≤≤即1630k ≤≤的图略去不画。

截止频率0.313c w π=，截止频率抽样点的位置应为：0.313302 4.6954ππ⨯=≈，按第一种频率抽样方式来设计，N=30，则10Int 42()0Int 151522c c N k H k N N k ωπωπ⎧⎡⎤≤≤=⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+=≤≤=⎢⎥⎪⎣⎦⎩（3.2） []Int •表示取整数部分，将这些值代入式(2-11)可得：()515130sin 30sin 30sin 230230230sin 30sin 30sin 2230230j j k k k H e e k k ωωωπωπωωωπωπ-=⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎢⎥=++⎨⎬⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭∑ （3.3）按此式计算1020log ()jw H e 的结果如图3.2所示。

由图看出，过渡带宽为230π，而最小阻带衰减约为－20dB 。

这一衰减在大多数情况下是不令人满意的，也不符合这次课程设计的要求.图3.2 幅度频率特性曲线为了改善频率特性，以满足指标要求，可在通带和阻带交界处安排一个或者几个不等于1的抽样值。

在本次课设中用优化算法使K ＝5处值为0.5886，即(5)0.5886H =，和K ＝6处值为0.1065，即(6)0.1065H =。

则得到图3.3所示的结果，过渡带带宽为230.230ππ⨯=，最小阻带衰减约为－60dB 左右，如图3.4所示。

H k图3.3 增加过渡点后的()图3.4 过渡带抽样优化后的幅频特性综上所述，采用第一种频率抽样方式来设计，抽样点数取N＝30，优化抽样H=和过渡带采用在通带和阻带交界处安排两个不等于1的点，即(5)0.5886H=，最后设计出来的基于频率抽样法FIR数字低通滤波器满足设计(6)0.1065要求。

4 程序设计4.1 两种频率抽样方法幅频特性对比程序close all;clear;N=30;H=[ones(1,4),zeros(1,22),ones(1,4)];k=0:(N/2-1);k1=(N/2+1):(N-1);k2=0;A=[exp(-j*pi*k*(N-1)/N),exp(-j*pi*k2*(N-1)/N),exp(j*pi*(N-k1)*(N-1)/N)];HK=H.*A;hn=ifft(HK);fs=15000;[c,f3]=freqz(hn,1);f3=f3/pi*fs/2;figure(1)subplot(2,1,1)plot(f3,20*log10(abs(c)));title('频谱特性');xlabel('频率/HZ');ylabel('衰减/dB');grid;N=30;H=[ones(1,4),zeros(1,22),ones(1,4)];H(1,5)=0.5886;H(1,26)=0.5886;H(1,6)=0.1065;H(1,25)=0.1065;k=0:(N/2-1);k1=(N/2+1):(N-1);k2=0;A=[exp(-j*pi*k*(N-1)/N),exp(-j*pi*k2*(N-1)/N),exp(j*pi*(N-k1)*(N-1)/N)];HK=H.*A;hn=ifft(HK);fs=15000;[c,f3]=freqz(hn,1);f3=f3/pi*fs/2;subplot(2,1,2)plot(f3,20*log10(abs(c)));title('频谱特性');xlabel('频率/HZ');ylabel('衰减/dB');grid;4.2 FIR数字低通滤波器程序close all;clear;N=30;H=[ones(1,4),zeros(1,22),ones(1,4)];H(1,5)=0.5886;H(1,26)=0.5886;H(1,6)=0.1065;H(1,25)=0.1065;k=0:(N/2-1);k1=(N/2+1):(N-1);k2=0;A=[exp(-j*pi*k*(N-1)/N),exp(-j*pi*k2*(N-1)/N),exp(j*pi*(N-k1)*(N-1)/N)]; HK=H.*A;hn=ifft(HK);fs=15000;[c,f3]=freqz(hn,1);f3=f3/pi*fs/2;figure(1);plot(f3,20*log10(abs(c)));title('频谱特性');xlabel('频率/HZ');ylabel('衰减/dB');grid;figure(2);stem(real(hn),'.');line([0,35],[0,0]);xlabel('n');ylabel('Real(h(n))');t=(0:100)/fs;W=sin(2*pi*t*750)+sin(2*pi*t*3000)+sin(2*pi*t*6500);q=filter(hn,1,W);[a,f1]=freqz(W);f1=f1/pi*fs/2;[b,f2]=freqz(q);f2=f2/pi*fs/2;figure(4);plot(f1,abs(a));title('输入波形频谱图');xlabel('频率');ylabel('幅度')grid;figure(5);plot(f2,abs(b));title('输出波形频谱图');xlabel('频率');ylabel('幅度')grid;5 仿真结果及分析分析：程序运行后结果如下，图5.1显示的是两种抽样设计方法幅频响应特性对比图，由图可以明显看到，过渡带抽样优化后的频率特性明显优于第一种普通抽样方法。