窗函数设计FIR低通滤波器汇总

西南科技大学课程设计报告课程名称：数字信号处理与通信原理课程设计设计名称： FIR数字滤波器分析与应用姓名：学号:班级：指导教师：起止日期： 6.26 – 7.6课程设计任务书学生班级：通信学生姓名：学号：设计名称：窗函数设计FIR低通滤波器起止日期： 6.26~7.6 指导教师：课程设计学生日志课程设计考勤表课程设计评语表窗函数设计FIR 低通滤波器一、设计目的和意义：1、目的（1） 掌握用窗函数法设计FIR 数字滤波器的原理和方法。

（2） 熟悉线性相位FIR 数字滤波器特性。

（3） 了解各个窗函数对滤波器特性的影响。

2、意义：有限长单位冲激响应数字滤波器可以做成具有严格的线性相位，同时又可以具有任意的幅度特性。

滤波器的性能只由窗函数的形状决定。

二、设计原理：假如题目所要求设计的滤波器的频率响应为H d (e ωj ),则要设计一个FIR 滤波器频应为H(eωj )=∑=-1-N 0n j )(nen h ω()1来逼近。

但是设计却是在时域进行的，所以用傅氏反变换导出h d (n)：h d (n) =ωπππωωd e e H nj j d ⎰-)(21()2但是要求设计的FIR 滤波器，它的h(n)是有限长的，但是h d (n)却是无限长的，所以要用一个有限长度的窗函数)(n ω来截取h d (n)，即h(n)= )(n ωh d (n)()3h(n)就是实际设计的FIR 数字滤波器的单位脉冲响应序列，其频率响应函数即为()1式，其中N 就是所选择的窗函数)(n ω的长度。

本课程设计的要求是利用矩形窗，海宁窗，汉明窗各设计一个FIR 低通滤波器。

因此首先对这三个窗函数进行简要说明。

1．矩形窗：)(n ω=R N （n ）()42．汉宁窗：ω(n)=[sin 2(1-N n π)]R N (n) ()5 3．海明窗：ω(n)=[0.54-(1-0.54)cos(12-N nπ)]R N (n) ()6 用窗函数设计的滤波器的性能由窗函数)(n ω的性能和窗口长度N 的取值决定。

设计的时候，窗函数类型和长度N ，应由对阻带最小衰减和过渡带宽度的要求而选择。

设计所要求的三种窗函数可达到的阻带最小衰减和过渡带宽度见表1。

如何根据滤波器长度N 的奇偶性，选择h(n)的奇偶对称性则是另外一个需要考虑的问题。

先行相位实系数FIR 滤波器按其N 值奇偶和h(n)的奇偶对称性，可以分位四种，它们具有不同的幅频和相位特性： 1．h(n)为偶对称，N 为奇数：H(eωj )=[h(21-N )+∑-=+-2/)1(1cos )21(2N n n n N h ω]e 21--N j ω ()7它的幅度是关于ω=0，π，2π点成偶对称。

2．h(n)为偶对称，N 为偶数：H(eωj )={∑-=-+-2/)1(1)]21(cos[)12(2n n n n N h ω} e21--N j ω ()8它的幅度是关于ω=π点成奇对称，ω=π处有零点，所以它不适合于做高通滤波器。

3．h(n)为奇对称，N 为奇数：H(eωj )=[∑-=+-2/)1(1sin )21(2N n n n n h ω]e]221[πω+--N j ()9它的幅度是关于ω=0，π，2π点成奇对称。

H(e ωj )在ω=0，π，2π处都有零点。

所以，它不适用于低通和高通。

4．h(n)为奇对称，N为偶数：H(eωj)=[∑-=-+-2/)1(1)21(sin)21(2Nnnnnhω]e]221[πω+--Nj()10它的幅度是关于ω=0，π，2π点成奇对称。

H(eωj)在ω=0，2π处都有零点。

因此，它不适合用于低通。

在滤波器设计过程中，只有根据上述四种线性相位滤波器传递函数的性质，合理地选择应采用的种类，构造出Hd(eωj)的幅频特性和相位特性，才能求得所需要的，具有单位脉冲响应的线性相位FIR滤波器传递函数。

三、详细设计步骤1、窗函数法设计线性相位FIR滤波器可以按如下步骤进行：（1）确定数字滤波器的性能要求。

确定各临界频率kω和滤波器单位脉冲响应长度N。

（2）根据性能要求和N值，合理的选择单位脉冲响应h(n)的奇偶对称性，从而确定理想频率响应Hd(eωj)的幅频特性和相位特性。

（3）利用()2式，求得理想脉冲响应h d(n)。

（4）选择适当的窗函数ω(n)，根据()3式，求得所设计的FIR滤波器单位脉冲响应。

（5）用傅立叶变换公式求得其频率响应H(eωj)，分析它的幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或者长度N，重复上述过程，直到得到满意的结果。

注意：在步骤（3）中，利用()2式求h d(n)，这里的积分运算，在计算机中可以取其数值解：hd (n)≈M1∑-=1MkdH(e k M jπ2)e knMjπ2()11其中0≤n≤N-1，而M≥8N，这样，数值解才能较好地逼近解析解。

2、设Hd(eωj)为理想线性滤波器Hd (eωj)={,0,ωτje-其他cωω≤||()12★给定三组滤波器的性能指标，根据这些指标选择适宜的窗函数设计低通滤波器。

见表2。

◆ 分析设计如下:⑴ 分析第一组数据：① 由所给的指标，可以求得对应的数字频率：通带截止频率 p ω=sp f Ω=2πsp ΩΩ=0.4π阻带起始频率 st ω=s st f Ω=2πsst ΩΩ=0.6π 阻 带 衰 减 2δ=20dB② 因为H d (eωj )={,0,ωτj e - 其他cωω≤||首先由所需低通滤波器的过渡带求截止频率c Ωc Ω=21(ρΩ+st Ω)=2π⨯3.75⨯103（rad/sec ） 其对应的数字频率为c ω=sc f Ω=2s c ΩΩπ=0.5π因此，由()2式可得h d (n)=ωπππωωτd e e nj j ⎰--21= ωπωωπωd e cn j ⎰--)(21=｛,)],(sin[)(1πωτωτπc c n n --ττ=≠n n()13其中τ=21-N ③ 由阻带衰减2δ来确定窗函数，由过渡带宽确定N ：因为2δ=20dB,由表1知道，可选用矩形窗，因为它的最小衰减-21dB 符合题目设计要求。

要求的过渡带宽 spst ΩΩ-Ω=∆πω2=43105.12105.122⨯⨯⨯⨯⨯πππ=0.2πN=21，τ=10。

④ 由矩形窗表达式)(n ω=R N （n ）()4以及()13式来确定FIR 滤波器的h(n)⑤ 由()1式H(eωj )=∑=-1-N 0n j )(nen h ω得出频率范围图象。

⑵ 分析第二组数据：按照分析第一组数据的方法，可得出：① 通带截止频率 p ω=sp f Ω=2πsp ΩΩ=0.2π阻带起始频率 st ω=s st f Ω=2πsst ΩΩ=0.4π 阻 带 衰 减 2δ=50dB② 通带截止频率 c ω=sc f Ω=2s c ΩΩπ=0.3πh d (n)和()13式一样。

⑤ 因为2δ=50dB ，所以由表1可知，选用海明窗。

过渡带宽 πω2.0=∆，又因为N πω6.6=∆，所以N=33，1621=-=N τ ⑥ 由海明窗表达式ω(n)=[0.54-(1-0.54)cos(12-N nπ)]R N (n) ()6 以及()13式来确定FIR 滤波器的h(n)h(n)= h d (n)• ω(n)=)]16(46.054.0[)16()]16(3.0sin[nn n πππ-•-- R N (n)⑤ 由()1式H(e ωj )=∑=-1-N 0n j )(nen h ω得出频率范围图象。

★ 验证型：设c ω=0.5π，N=51。

选用汉宁窗进行验证。

3、编制窗函数设计FIR 滤波器的主程序及相应的子程序。

(1) 傅立叶反变换数值计算子程序，用于计算设计步骤（3）中的傅立叶反变换，给定H d (ek Mj π2),k=0,1,…,M-1,按照公式()11求得理想单位脉冲响应h d (n)，n=0,…,N-1。

(2) 窗函数产生子程序，用于产生几种常见的窗函数序列。

本课程设计要求产生的窗函数序列有：矩形窗，升余玄窗，改进的升余玄窗。

根据给定的长度，按照()4到()6式生成响应的窗函数序列。

(3) 主程序，在上述子程序的基础上，设计主程序完成FIR 滤波器的窗函数法设计。

程序如下：N=input('Input the length of the windows N=:\n'); w=input('Input the Wc:\n'); b=1; close all; i=0;while(b);n=[0:(N-1)];hd=ideal(w,N);k=input('请选择窗口类型:1(boxcar);2(hamming);3(hanning):\n'); if k==1B=boxcar(N);string=['Boxcar','N=',num2str(N)];else if k==2B=hamming(N);string=['Hamming','N=',num2str(N)];else if k==3B=hanning(N);string=['Hanning','N=',num2str(N)];endendendh=hd.*(B)';[H,m]=freqz(h,[1],1024,'whole');mag=abs(H);db=20*log10((mag+eps)/max(mag));pha=angle(H);i=i+1;figure(i);subplot(2,2,1);n=0:N-1;stem(n,h,'.');axis([0 N-1 -0.1 0.3]);hold on;n=0:N-1;x=zeros(N);plot(n,x,'-');xlabel('n');ylabel('h(n)');title('实际低通滤波器的h(n)');text(1,1,string);text((0.3*N),0.27,string);hold onsubplot(2,2,2);plot(m/pi,db);axis([0 1 -100 0]);xlabel('w/pi');ylabel('衰减特性dB');grid onsubplot(2,2,3);plot(m,pha);hold onn=0:7x=zeros(8);plot(n,x,'-');title('相频特性');xlabel('频率(rad)');ylabel('相位(rad)');axis([0 3.15 -4 4])subplot(2,2,4);plot(m,mag);title('幅频特性');xlabel('频率W(rad)');ylabel('幅值');axis([0 3.15 0 1.5]);text(0.9,1.2,string);b=input('Do you want to continue? 1(Continue),0(exit):\n');if b==1N=input('Input the length of the windows:\n');w=input('Input the Wc:\n');endend子程序：产生理想低通滤波器单位脉冲响应hd(n)function hd=ideal(w,N);alpha=(N-1)/2;n=[0:(N-1)];m=n-alpha+eps;hd=sin(w*m)./(pi*m);对上面设计的计算结果用本程序进行验证，比较，看结果是否符合要求。