55.1 数列的概念及函数特性(精测)(解析版)

5.1 数列的概念及函数特性
【题组一 数列的概念】
1.（全国·高二专题练习）下列有关数列的说法正确的是（ ） ①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列； ②数列{a n }与{a 2n －1}表达同一数列；
③数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一；
④数列－1，1，3，5，8，…的通项公式为a n ＝2n －3，n ∈N *. A ．①④ B ．②③ C ．③ D ．①②
【答案】C 【解析】
①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列； ②是错误的，数列{a n }表达数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…， 而数列{a 2n －1}表达数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…，不是同一数列；
③是正确的，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n ，a n ＝cosnπ等； ④是错误的，显然当n ＝5时，a 5＝7，不是数列中的项． 故选：C.
2.（江苏省震泽中学高二月考）已知数列{}n a 的通项公式为1111
12331
n a n n n n =+++⋅⋅⋅+++++，则1a =（ ） A ．1
2 B ．5
6
C ．
1312
D ．
34
【答案】C 【分析】 令1n =可得答案. 【解析】 因为1111
12331
n a n n n n =+++⋅⋅⋅+++++， 则11111311121312
a ++=+=
++. 故选：C.
3.（四川成都·3…，…，则 ） A ．第8项 B ．第9项
C ．第10项
D ．第11项
【答案】D
根据数列中的项, 由前几项可知,根式下的数列是以5为首项, 4为公差的等差数列 则根式下的数字组成的等差数列通项公式为()51441n a n n =+-⨯=+
而=所以4541n =+ 解得11n = 故选:D
4.（江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（ ） A ．数列1，3，5，7与数集{1，3，5，7}是一样的 B ．数列1，2，3与数列3，2，1是相同的 C ．数列11n ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
是递增数列
D ．数列()11n
n ⎧⎫-⎪⎪
+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
是摆动数列
【答案】D 【分析】
利用数列的意义可判断A ，B ；利用数列的任意相邻两项间的大小变化关系可判断C ，D 而作答. 【解析】
数列是有序的，而数集是无序的，所以A ，B 不正确； 数列11n ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
中各项依次变小，它是递减数列，C 不正确；
数列()11n
n ⎧⎫-⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
中的奇数项都比1小，偶数项都比1大，它是摆动数列，D 正确.
故选：D
5.（河南·高二期中）数列1, ） A ．8项 B ．7项
C ．6项
D ．5项
【答案】A 【分析】
，故通项公式为n a 8项.
故选：A.
6.（多选）（浙江·镇海中学高二期中）下面四个结论中正确的是（ ） A ．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{}1,2,3,,n ）上的函数
B ．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C ．数列的项数是无限的
D ．数列通项的表达式是唯一的 【答案】AB 【分析】
利用数列的函数特性即可判断选项A ，B ，由数列的分类可判断选项C ，举特例说明并判断选项D 作答. 【解析】
由数列的定义知，数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集{}1,2,3,
,n ，选项A ，B 正确；
由于数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C 不正确； 数列通项的表达式可以不唯一，例如，数列1，1-，1，1-，…的通项可以是()
1
1n n a +=-，也可以是
()cos 1n a n π=-，D 不正确.
故选：AB
7.（全国·高二课时练习）323是数列{n (n ＋2)}的第________项． 【答案】17 【分析】
根据给定条件列出方程，求出方程的正整数根即可. 【解析】
依题意，n 2+2n =323，即(n +19)(n -17)=0，而n 为正整数，解得n =17， 所以323是数列{n (n ＋2)}中的第17项. 故答案为：17
8.（内蒙古·乌拉特前旗第一中学高二月考）已知数列221n n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭，则0.98是它的第________项.
【答案】7
令22490.98150
n n ==+，解出即可. 【解析】
令22490.98150
n n ==+，解得7n = 故答案为：7 【点睛】
本题考查的是根据数列的通项公式求项数，较简单.
9.（宁夏·青铜峡市高级中学高三期中）数列{}n a 中，11a =，()
*12,2
n
n n a a n N a +=∈+，则5a =___________ 【答案】13
【分析】
直接计算得到答案. 【解析】 122
n
n n a a a +=
+，11a =， 则1212223a a a =
=+，2322122a a a ==+，3432225a a a ==+，45421
23
a a a ==+. 故答案为：1
3
.
【题组二 已知项求通项】
1.（安徽·
2,的一个通项公式是 A
．n a B
．n a =
C
．n a D
．n a =【答案】D 【分析】
观察题目中的数列可知，根号里面的数是以2为首的连续偶数()2*n n N ∈，即可得解. 【解析】
解：因为1a
22a ==
3a
4a =
所以根号里面的数是以2为首项的连续偶数()2*n n N ∈
，所以n a 故选：D 【点睛】
本题考查数列的通项公式的计算，属于基础题.
2．（河南省焦作市县级重点中学高二上学期期中）数列1-，85
，157-，24
9，…的一个通项公式是（ ）
A ．()()
2121
n
n n n a n +=-⋅+
B ．()23
121
n
n n a n +=-⋅-
C ．()()2
11
121
n
n n a n +-=-⋅
-
D ．()2121
n
n n n
a n +=-⋅+
【答案】A 【分析】
把数列变形为133⨯-，254⨯，537-⨯，49
6
⨯，•••，由此可得它的通项公式． 【解析】
数列1-，85
，157-，249，…，即数列133⨯-，254⨯，537-⨯，496
⨯，•••，
故它的一个通项公式是()()
2121
n
n n n a n +=-⋅+， 故选：A ．
3．（重庆巴蜀中学高二期中）数列2，5-，9，14-，的一个通项公式可以是（ ）
A ．()()1
131n n a n -=--
B ．()()131n
n a n =-- C ．()()
1
312
n n n n a -+=- D ．()
()
312
n
n n n a +=- 【答案】C 【分析】
用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项，结合排除法可得． 【解析】
第一项为正数，BD 中求出第一项均为负数，排除，
而AC 均满足12a =， A 中25a =-，38a =，排除A ，C 中满足25a =，39a =，414a =-， 故选：C ．
4.（全国）数列1-，3，7-，15，…的一个通项公式可以是（ ）
A ．()
(1)21n n
n a =-⋅-
B ．(1)(21)n
n a n =-⋅-
C ．()
1(1)21n n
n a +=-⋅-
D ．1
(1)(21)n n a n +=-⋅-
【答案】A
【解析】将1n =代入四个选项，可知C 中11,a =D 中11,a =所以排除C 、D. 当3n =，代入B 可得35,a =-所以排除B ，即A 正确，故选：A. 【题组三 数列的单调性】
1.（河南省实验中学高二期中）已知数列{}n a 满足()2**
2,5,,
1,5,.n n tn n n a t n n n ⎧-+≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩
N N 且数列{}n a 是单调递增数列，则t 的取值范围是（ ） A ．919,24⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．()5,+∞
D ．(]1,4
【答案】A 【分析】
根据递增数列可得关于t 的不等式组，从而可求其取值范围. 【解析】
由题意可得()2
10,
9
,261525,t t t t ->⎧⎪⎪
>⎨⎪->-+⨯⎪⎩解得91924t <<.
故选：A.
2.（江苏·高二专题练习）已知下列数列：
①2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019，2 020； ②1，1
2，
14
，…，11
2n -，…；
③1，－23，35，…，1(1)21
n n
n --⋅-，…；
④1，0，－1，…，sin
2
n π
，…； ⑤2，4，8，16，32，…； ⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．
【答案】①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ 【分析】
利用有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列的定义逐个分析判断即可 【解析】
①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列． 故答案为：①⑥，②③④⑤，①⑤，②，⑥，③④ 3．（全国高二期末）已知数列{}n a 的通项公式是342
n n
a n =+，那么这个数列是（ ） A ．摆动数列 B ．递减数列 C ．递增数列 D ．常数列
【答案】C
【解析】因为()()
13336
046424642n n n n a a n n n n ++=
-=>++++-， 所以数列{}n a 是递增数列，故选：C
4．（全国高二专题练习）（多选）已知数列{}n a 的通项公式为32
n n
n k
a +=，若数列{}n a 为递减数列，则实数k 的值可能为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
【答案】CD
【解析】由题意1n n a a +<对*n N ∈恒成立，即
13(1)322n n
n k n k
++++<，33k n >-，
因为*n N ∈，所以330n -≤（1n =时等号成立），即33n -的最大值为0， 所以0k >．故选：CD ．
5.（全国高二单元测试）设数列{}n a 的通项公式为2
n a n kn =+，若数列{}n a 是递增数列，则实数k 的范围为
_______． 【答案】()3,-+∞
【解析】因为数列{}n a 是递增数列，可得1n n a a +>对于任意的N n *∈恒成立， 即()()2
211n k n n kn +++>+，整理可得：210n k ++>， 所以21>--k n 对于任意的N n *∈恒成立，
因为()21f n n =--单调递减，所以()()max 13f n f ==-，所以3k >-，故答案为：()3,-+∞. 【题组四 数列中最大、小项】
1．（全国高二课时练习）已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋21n ，则该数列中的数值最大的项是（ ） A ．第5项 B ．第6项 C ．第4项或第5项 D ．第5项或第6项
【答案】A
【解析】2
2
21441221248n a n n n ⎛
⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭，
因为*
21
,564
n N ∈<
<，且5655,54a a ==，所以数值最大的项为第5项．故选：A ．
2．（全国高二专题练习）数列{}n a 中，n a =则该数列前100项中的最大项与最小项分别是（ ）
A ．a 1，a 50
B ．a 1，a 44
C ．a 45，a 44
D ．a 45，a 50
【答案】C
【解析】1n a =
=44.9≈，
当*144,N n n ≤≤∈n a 递减；当*45100N ,n n ≤≤∈为正数，
且n a 递减.所以前100项中，最大项为45a ，最小项为44a .故选：C
3.（江苏·高二单元测试）已知数列{}n a 中，2
5 4n a n n =-+，则数列{}n a 的最小项是（ ）
A ．第1项
B ．第3项、第4项
C ．第4项
D ．第2项、第3项
【答案】D 【分析】
根据题意，可知数列{}n a 的通项公式2
2
595 424n a n n n ⎛
⎫=-+=-- ⎪⎝
⎭，根据二次函数的性质可知，当2n =或
3时，n a 取得最小值，从而得出答案. 【解析】
解：由题可知，2
2
595 424n a n n n ⎛
⎫=-+=-- ⎪⎝
⎭，
由于*N n ∈，所以当2n =或3时，n a 取得最小值， 所以数列{}n a 的最小项是第2项、第3项. 故选：D.
4.（全国·高二单元测试）已知数列{}n a 的通项公式为2
532n a n n =-++.
（1）数列{}n a 的第几项最大，最大项为多少？ （2）若0m a <，求正整数m 的最小值.
【答案】（1）第2，3项最大，最大项为38；（2）最小值是9. 【分析】
（1）将数列{}n a 的通项公式变形为2
515324n a n ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭，根据二次函数的性质可求得数列{}n a 的最大项.
（2）由函数()2
532f x x x =-++的图象开口向下，且对称轴方程为5
2
x =
，可得数列{}n a 从第3项起单调递减.再计算出80a >，90a <，可求得正整数m 的最小值. 【解析】
解：（1）因为2
515324n a n ⎛
⎫=--+ ⎪⎝⎭，且n *∈N ，所以当2n =或3n =时，n a 最大.
又2338a a ==，
故数列{}n a 的第2，3项最大，最大项为38.
（2）因为函数()2
532f x x x =-++的图象开口向下，且对称轴方程为52
x =
， 所以可知数列{}n a 从第3项起单调递减.
又1360a =>，23380a a ==>，880a =>，940a =-<， 所以若0m a <，则9m ≥. 所以正整数m 的最小值是9. 【题组五 已知S n 求a n 】
1.（江西·南昌市外国语学校高一月考）数列{}n a 的前n 项的和2
31n S n n =++，n a =________．
【分析】
利用2n 时，1n n n a S S -=-求n a ，同时注意11a S =． 【解析】
解析：由题可知，当2n 时，
1n n n a S S -=-22
313(1)(1)1n n n n ⎡⎤=++--+-+⎣⎦62n =-，
当1n =时，113115a S ==++=，
故答案为：5,1
62,2n n n =⎧⎨-⎩．
【题组六 已知递推关系求a n 】
1.（六盘山高级中学高二月考）数列{}n a 满足11a =，且11()n n a a n n N *
+-=+∈，则数列{}n a 的通项公式为
（ ） A ．(1)
2
n n n a +=
B ．21
2
n n a +=
C ．(-1)
2
n n n a =
D ．2
n a n n =+
【答案】A
【解析】因为11n n a a n +-=+， 则1n n a a n --=， 121n n a a n ---=-，
323a a -=， 212a a -=，
累加得123n a a n -=++，
所以()
11232
n n n a n +=+++=
. 当n=1时也成立 故选：A.
2.（河南月考）已知数列{}n a 满足11
3a =，12321
n n n a a n --=
+(2n ≥，*n ∈N )，则数列{}n a 的通项n a =（ ） A ．2141
n - B ．
21
21
n +
C ．
()()1
2123n n -+
D ．
()()1
13n n ++
【答案】A
【解析】数列{}n a 满足113
a =，123
(2,*)21n n n a a n n N n --=
∈+， 整理得12321n n a n a n --=+，122521n n a n a n ---=-，......，21
1
5a a =， 所有的项相乘得：1
13
(21)(21)n
a a n n ⨯=+-，
整理得：2141n a n =-， 故选：A ．。