高中数学新人教版选修2-2课时作业：第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念

3．复数相等的充要条件 设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d.
情境导学] 为解决方程 x2＝1，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数 范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象 x2＝－1 这个方程在实数范围内就无 解，那么怎样解决方程 x2＝－1 在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使 得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题． 探究点一 复数的概念
D．± 2，1
答案 C 解析 令Error!，得 a＝± 2，b＝5. 2．下列复数中，满足方程 x2＋2＝0 的是( )
A．±1 C．± 2i
B．±i D．±2i
答案 C
3．如果 z＝m(m＋1)＋(m2－1)i 为纯虚数，则实数 m 的值为( )
m2＋m－6 例 2 当实数 m 为何值时，复数 z＝ m ＋(m2－2m)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚
数． 解 (1)当Error!，即 m＝2 时，复数 z 是实数； (2)当Error! 即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数； (3)当Error!， 即 m＝－3 时，复数 z 是纯虚数． 反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或 不等式求参数．
mm＋2 (3)要使 z 是纯虚数，m 需满足 m－1 ＝0，m－1≠0， 且 m2＋2m－3≠0， 解得 m＝0 或 m＝－2. 探究点二 两个复数相等 思考 1 两个复数能否比较大小？ 答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小． 思考 2 两个复数相等的充要条件是什么？ 答 复数 a＋bi 与 c＋di 相等的充要条件是 a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)． 例 3 已知 x，y 均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求 x 与 y. 解 由复数相等的充要条件得Error! 解得Error! 反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充 要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
mm＋2 跟踪训练 2 实数 m 为何值时，复数 z＝ m－1 ＋(m2＋2m－3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯 虚数．
mm＋2 解 (1)要使 z 是实数，m 需满足 m2＋2m－3＝0，且 m－1 有意义即 m－1≠0，解得 m＝－3.
mm＋2 (2)要使 z 是虚数，m 需满足 m2＋2m－3≠0，且 m－1 有意义即 m－1≠0，解得 m≠1 且 m≠－3.
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
明目标、知重点 1．了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数集的扩充过程． 2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
1．复数的有关概念 (1)复数 ①定义：形如 a＋bi 的数叫做复数，其中 a，b∈R，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． ②表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi. (2)复数集 ①定义：全体复数所成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母 C 表示． 2．复数的分类及包含关系 (1)复数(a＋bi，a，b∈R)Error! (2)集合表示：
x2－x－6 跟踪训练 3 已知 x＋1 ＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求 x 的值． 解 由复数相等的定义得 Error!解得：x＝3， 所以 x＝3 为所求．
1．已知复数 z＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数 a，b 的值分别是( )
A. 2，1
B. 2，5
C．± 2，5
思考 1 为解决方程 x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程 x2＋1＝0 在实数 系中无根的问题呢？ 答 设想引入新数 i，使 i 是方程 x2＋1＝0 的根，即 i·i＝－1，方程 x2＋1＝0 有解，同时 得到一些新数． 思考 2 如何理解虚数单位 i? 答 (1)i2＝－1. (2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律． (3)由于 i2＜0 与实数集中 a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立． (4)若 i2＝－1，那么 i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1. 思考 3 什么叫复数？怎样表示一个复数？ 答 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi，这一表示 形式叫做复数的代数形式，其中 a、b 分别叫做复数 z 的实部与虚部． 思考 4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？ 答 对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 b≠0 时叫做虚数；当 a＝0 且 b≠0 时，叫做纯虚数． 思考 5 复数 m＋ni 的实部、虚部一定是 m、n 吗？ 答 不一定，只有当 m∈R，n∈R，则 m、n 才是该复数的实部、虚部． 例 1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．
1 ①2＋3i；②－3＋2i；③ 2＋i；④π；⑤－ 3i；⑥0.
1 解 ①的实部为 2，虚部为 3，是虚数；②的实部为－3，虚部为2，是虚数；③的实部为 2， 虚部为 1，是虚数；④的实部为 π，虚部为 0，是实数；⑤的实部为 0，虚部为－ 3，是纯 虚数；⑥的实部为 0，虚部中，实数 a 和 b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数 的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部． 跟踪训练 1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理 由． (1)实部为－ 2的虚数； (2)虚部为－ 2的虚数； (3)虚部为－ 2的纯虚数； (4)实部为－ 2的纯虚数． 解 (1)存在且有无数个，如－ 2＋i 等；(2)存在且不唯一，如 1－ 2i 等；(3)存在且唯一， 即－ 2i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为 0.