2013-2014学年高二下学期数学(理)活动单学案：第7课时——矩阵乘法的简单性质
高中数学 231(矩阵乘法的概念)教学案 苏教版选修4-2 学案
§矩阵乘法的概念教学目标：知识与技能：1.掌握二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义.2.能灵活运用矩阵乘法进行平面图形的变换 .3.了解初等变换及初等变换矩阵的含义.过程与方法：从实例中理解矩阵乘法的代数运算和几何意义，掌握运算规则，从几何角度验证乘法规则情感、态度与价值观：教学重点：二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义教学难点：二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义教学过程：一、问题情境:对向量xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦先做变换矩阵为N=1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦的反射变换T1, 得到向量xy'⎡⎤⎢⎥'⎣⎦, 再对所得向量做变换矩阵为M=1⎡⎢⎣2⎤⎥⎦的伸压变换T2得到向量xy''⎡⎤⎢⎥''⎣⎦, 这两次变换能否用一个矩阵来表示?二、建构数学：3.初等变换, 初等变换矩阵三、教学运用例1、(1)已知A=11221122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, B=11221122⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦; 计算AB .(2)已知A=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=12⎡⎢-⎣43⎤⎥⎦, 计算AB, BA .(3)已知A=1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦, C=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 计算AB、AC .例2、已知A=1013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A2, A3 , A4 , 你能得到A n的结果吗? (n∈N*)例3、已知梯形ABCD, 其中A(0 , 0) , B(3 , 0) , C(1 , 2) , D((1 , 2), 先将梯形作关于x轴的反射变换, 再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ;(2)求点A , B , C , D在T M作用下所得到的结果;(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形, 并验证(2)中的结论.例4、已知A=cossinαα⎡⎢⎣sincosαα-⎤⎥⎦, B=cossinββ⎡⎢⎣sincosββ-⎤⎥⎦, 求AB, 并对其几何意义给予解释.四、课堂小结：五、课堂练习：练习: P46 1 , 2六、回顾反思：七、课外作业：1.计算:(1)411323-⎡⎤⎡⎢⎥⎢-⎣⎦⎣52-⎤⎥⎦ (2)210431-⎡⎤⎡⎢⎥⎢--⎣⎦⎣21⎤⎥⎦(3)0.8150.210-⎡⎤⎡⎢⎥⎢-⎣⎦⎣05⎤⎥-⎦ (4)1133211223⎡⎤-⎢⎥-⎡⎢⎥⎢⎣⎢⎥-⎢⎥⎣⎦41⎤⎥-⎦2.已知A=cos sin θθ⎡⎢⎣sin cos θθ-⎤⎥⎦, 求A 2 , A 3 , 你能得到A n 的结果吗? (n ∈N*) .0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 并用文字描述二阶矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换方式.△ABC, 其中A(1 , 2), B(2 , 0), C(4 , -2), 先将三角形绕原点按顺时针旋转90°, 再将所得图形的横坐标伸长为原来的3倍, 纵坐标不变.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ;(2)求点A , B , C 在变换矩阵M 作用下所得到的结果;(3)如果先将图形的横坐标伸长为原来的3倍, 再将所得图形绕原点顺时针旋转90°, 则连续两次变换所对应的变换矩阵M ′是什么呢?5.设m , n ∈k , 若矩阵A=20m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线l : x －5y+1=0变换成另一直线 l ′: 2x+y+3=0, 试求出m , n 的值.。
2013-2014学年高二下学期数学(理)活动单学案：第6课时—— 矩阵乘法的概念
【学习目标】 会用矩阵乘法的运算法则进行运算 【学习重点】 矩阵乘法的运算 【活动过程】活动一、情景引入。
我们已经学习了二阶矩阵与平面列向量的乘法，从变换的角渡来，二阶矩阵与平面列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘法就是对该向量作几何变换，结果得到一个新的平面向量//x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，如果我们对一个平面向量连续实施两次几何变换，结果会怎么呢？活动二、构建数学1）乘法运算法则 2）MN 的几何意义 活动三、数学运用1、计算下列矩阵乘法，并说明它们的几何意义：（1）⎢⎣⎡10 ⎥⎦⎤01⎢⎣⎡01⎥⎦⎤11； （2）⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤11⎢⎣⎡10 ⎥⎦⎤01； （3）⎢⎣⎡-01 ⎥⎦⎤-10⎢⎣⎡01 ⎥⎥⎦⎤210； （4）⎢⎣⎡01 ⎥⎥⎦⎤210⎢⎣⎡-01 ⎥⎦⎤-10。
2、已知⎢⎣⎡-=ααsin cos A ⎥⎦⎤ααcos sin ，=B ⎢⎣⎡-ββsin cos ⎥⎦⎤ββcos sin 且)Z (2∈+=+k k ππβα，求AB 及BA 。
3、记⎢⎣⎡=c a A ⎥⎦⎤d b ，⎢⎣⎡=0k S ⎥⎦⎤k 0，其中R ∈k ，作矩阵乘法AS SA ,。
（1）运算结果有何规律？（2）S 与单位矩阵、零距阵的关系？（3）当0>k 时，矩阵S 对应的变换Ts 有何几何意义？ （4）研究Ts 与伸压变换的关系？【课后作业】 1、设⎢⎣⎡=01A ⎥⎦⎤-42，⎢⎣⎡=24B ⎥⎦⎤-12，求BA AB ,。
2、设⎢⎣⎡=01A ⎥⎦⎤-10，求20A 。
3、已知⎢⎣⎡b 1 ⎥⎦⎤1a ⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤c 0＝⎢⎣⎡0d ⎥⎥⎦⎤211，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ，d ＝ 。
4、利用矩阵乘法定义证明下列等式并说明其几何意义： （1）⎢⎣⎡10 ⎥⎦⎤0k ＝⎢⎣⎡10 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤0101 )0(0>⎥⎦⎤k k ；（2）⎢⎣⎡10 ⎥⎦⎤k 1＝⎢⎣⎡10 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤0101 ⎥⎦⎤1k5、求三个不同的二阶矩阵A ，使它们都满足⎢⎣⎡-12 ⎥⎥⎦⎤-211⎢⎢⎣⎡-=211A ⎥⎦⎤00。
选修4—2：矩阵乘法的概念教案
矩阵乘法的概念教学目标1.理解矩阵乘法法则及由来过程；了解主对角线，副对角线的概念；2.理解矩阵乘法的几何意义；了解矩阵乘方的意义；3.能根据矩阵乘法法则进行一些简单的运算.4.在理解六种常见变换及其矩阵表示的基础上，学习伸压，反射，旋转等变化的复合变换与矩阵乘法法则的联系，进一步熟悉矩阵的乘法运算；5.了解初等变换及初等变换矩阵的概念.一．回顾复习，引入新课1.计算=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡012001 . 2.已知M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001，N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001，M ，N 能不能进行乘法运算？如果可以，怎样进行？二．建构数学，新授内容1.矩阵的乘法法则2.矩阵MN 的几何意义3.矩阵乘方的意义4.初等变换5.初等变换矩阵三．应用示例，例题分析例1.（1）已知A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=23232323，B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=23232323，计算AB ； （2）已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2413， B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5001，计算AB ，BA ； （3）已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001，B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0100，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2001，计算BA ， BC ； （4）从（2），（3）的结果，你能得到什么结论？例2.已知二阶单位矩阵E .1001⎥⎦⎤⎢⎣⎡= （1）计算E 2，E 3，猜测E n （+∈N n ）； （2）设一个二阶矩阵为A ，且A 2=E ，则A 一定是单位矩阵E 吗？若是，请给出证明；若不是，试举出反例.例3.已知梯形ABCD ，其中)2,1(),2,2(),0,3(),0,0(D C B A ,先将梯形作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转︒90.（1）求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；（2）求点D C B A ,,,在M T 作用下所得到的点的坐标；（3）在平面直角坐标系内画出两次变换后所对应的几何图形，并验证（2）中的结论.练习：已知平行四边形ABCD ，作变换1T ，变成矩形''D ABC ,再作变换:2T 将所得矩形的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，其中)2,2(),2,5(),0,3(),0,0(D C B A ,).2,0(),2,3(''D C（1）在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形；（2）求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；（3）求四点D C B A ,,,在M T 作用下所得到的点的坐标；（4）结合（1）中的图形，验证（3）的结论.例4.已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ααααcos sin sin cos ，B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ββββcos sin sin cos ，试求AB ，并解释其几何意义.。
1.3.二阶方阵的乘法-人教B版选修4-2矩阵与变换教案
1.3.二阶方阵的乘法-人教B版选修4-2 矩阵与变换教案一、教学目标1.了解二阶方阵的乘法规则，掌握矩阵乘法的计算方法及其性质；2.熟悉矩阵乘法在变换中的应用，了解平移、旋转、缩放等基本情形；3.发展学生的分析和问题求解能力，培养学生的数学思维；4.培养学生的团队合作精神，提高他们的交流与表达能力。
二、教学重点1.二阶方阵的乘法规则；2.矩阵乘法在变换中的应用。
三、教学难点1.矩阵乘法的计算方法；2.熟练掌握矩阵乘法在变换中的应用。
四、教学过程第一步：引入问题老师通过实际问题引入矩阵的概念，例如：“小明从A点走到B点，再从B点走到C点，最后从C点走到D点，问小明的走法是怎样的？”第二步：概念讲解1.二阶方阵的定义：一个二阶方阵是一个2行2列的矩阵。
2.矩阵乘法的定义：设A是m×n的矩阵，B是n×k的矩阵，C是m×k的矩阵，那么矩阵C的第i行第j列元素是由A的第i行与B的第j列对应位置元素的乘积所加和得到的。
第三步：计算例题老师通过具体例子讲解矩阵的乘法规则，包括乘法结合律、乘法分配律和标量乘法等。
第四步：讲解应用通过示例，讲解矩阵乘法在平移、旋转和缩放中的应用，包括矩阵的行列式和逆矩阵的计算方法。
第五步：练习让学生根据具体问题练习矩阵乘法的计算和应用，鼓励他们团队合作，共同解决问题。
五、教学反思通过本次教学，学生能够了解二阶方阵的乘法规则，熟悉矩阵乘法在变换中的应用，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
但是，还需要加强学生数学技能的提升，培养他们对数学的兴趣和热爱，从而更好地掌握本学科的核心概念和方法。
高中数学教案矩阵的乘法与应用
高中数学教案矩阵的乘法与应用高中数学教案：矩阵的乘法与应用高中数学作为学科中的一门重要课程，为学生提供了扎实的数学基础与解决实际问题的能力。
本教案将重点介绍矩阵的乘法与应用，帮助学生理解和掌握相关概念与技巧。
一、矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要内容，通过矩阵的乘法可以实现多个矩阵之间的运算和变换。
具体来说，设有两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB，计算方法如下：1.1 定义设A是一个 m×n 的矩阵，B是一个 n×p 的矩阵，那么乘积AB是一个 m×p 的矩阵，其中乘积矩阵中的元素c(i,j)可表示为：c(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ... + a(i,n)b(n,j)1.2 注意事项在进行矩阵乘法时，需要注意以下几点：1) 两个矩阵相乘的前提是，第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等；2) 矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA；3) 相乘的两个矩阵的对应元素必须满足相同的运算法则，通常为加法和乘法；二、矩阵的应用矩阵在数学中具有广泛的应用，尤其在线性代数、图论、概率统计等领域。
以下将简要介绍矩阵的几个常见应用。
2.1 线性变换矩阵可以用来表示线性变换，例如旋转、缩放、平移等。
通过对矩阵的乘法运算，可以实现对多个变换的叠加，从而达到复杂变换的目的。
2.2 线性方程组的求解矩阵可以应用于线性方程组的求解。
将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵进行相乘，可以将方程组转化为矩阵的乘法运算，从而通过求解矩阵的逆矩阵或使用高斯消元法来解得方程组的解。
2.3 图论中的邻接矩阵在图论中，矩阵可以用于表示图的相关信息。
邻接矩阵是描述无向图或有向图的常用方法之一。
通过邻接矩阵的乘法，可以实现对图的遍历、路径搜索等操作。
2.4 概率统计中的转移矩阵转移矩阵是概率统计中常见的矩阵表示形式。
通过转移矩阵的乘法运算，可以描述系统在不同状态之间的转移概率，例如马尔可夫链、隐马尔可夫模型等。
人教版A版高中数学选修4-2：矩阵乘法的性质_课件1
1 0
0 1
,C=
1 0
0 2
解：AB=AC=
1 0
0 0
说明：矩阵乘法不满足消去律。
设A是二阶矩阵，n是ห้องสมุดไป่ตู้意自然数，规定
A0= E2 ,An=AAn-1, 称An为A的n次方幂。
A的方幂遇有以下性质： AkAi=Ak+l, (Ak)l=Akl.
练习：
1 1 已知A= 0 1 ,求A6.
问题3：
矩阵的乘法是否满足消去律?
例3已知A=
1 0
0 0
,B=
计算AB，AC.
说明:矩阵乘法不满足交换律.
问题2： 矩阵的乘法满足结合律吗？
例2
已知A=
1 0
00,B=10
0 1
1 ,C=0
0 2
计算A（BC)，(AB)C.
(AB)C=A(BC)
说明:矩阵乘法满足结合律.
性质（结合律）
设A，B，C是任意的三个二阶矩阵，则 A（BC)=(AB)C.
矩阵乘法的性质
复习回顾
实数的乘法运算有哪些性质？
实数的乘法运算满足交换律、结合律、 消去律。
问题1： 矩阵的乘法满足这些性质吗？
探索新知
例1、已知A=
1 0
0 2
,B=
1 2
4 3
,计算AB，BA;
解.AB=
1 4 4 6
BA=
1 2
8 6
高二数学《矩阵的应用》学案
江苏省淮安中学高二数学《矩阵的应用》学案教学目标:教学重点:教学难点:一、复习回顾本章学习的矩阵相关知识。
二、典型例题例1、已知盒子A中装有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，1只白色的，盒子B中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的。
假定A，B两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只黑色小球的概率有多大?例2、某运动服销售店经销A，B，C，D四种品牌的运动服，其尺寸分别有S(小号)、M(中号)、L(大号)、XL(特大号)四种，一天内该店的销售情况如下表所示(单位：件)假设不同品牌的运动服的利润是A为20元/件，B为15元/件，C为30元/件，D为25例3、如图所示的是A，B，C三个城市的交通情况，小月想从其中某一个城市出发直达另一个城市，她可以有几种选择？如果他想从某一个城市出发，先经过一个城市，再到达另一个城市，她又可以有几种选择？几个相关概念：网络图，结点，一级路矩阵，二级路矩阵。
型号 B14例4、已知一级路矩阵012⎡⎢⎢⎢⎣ 100 200⎤⎥⎥⎥⎦表示一个网络图，它们的结点分别是A ，B ，C ，试画出一个网络图。
例5、在军事密码学中，密码发送的流程如图所示，它的数学原理是：发送方将要传送的信息数字化后用一个矩阵X 表示(不足的元素可以补上0，字与字之间的空格也以0记)，在矩阵的左边乘上一个双方约定好的可逆方阵A ，得到B=AX ，则B 即为传送出去的密码。
接受方收到密码后，只需左乘A 的逆矩阵1A -，即可得到发送出去的明码X=1A -B 。
不妨以二阶矩阵为例，先将英文字母数字化，让1,,26a z →→ ，先已知发送方传出的密码为7，13，39，67，双方约定的可逆矩阵为24⎡⎢⎣ 35⎤⎥⎦，试破解发送的密码。
例6、自然界生物种群的成长受到多种因素影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。
高中数学选修4-2：2.3.1矩阵乘法的概念
高中数学选修4-2：2.3.1矩阵乘法的概念2.3.1矩阵乘法的概念教学目标1?熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法。
2 .理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，从几何变换的角度来看，它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换。
考纲要求：矩阵的复合与矩阵的乘法（B级）活动方案：活动一、情景设置建构数学阅读教材，解决下列问题：问题：如果我们对一个平面向量连续实施两次几何变换，结果会是怎样?对向量％先做变换矩阵为N=M的反射变换「‘得到向量[OJ」、建构数学归纳2：矩阵乘法的几何意义：矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续实施的两次几何变换（先TN后TM）的复合变换.当连续对向量实施匸、n （n∣ψ）次变换TM时，我们记M n = MM M ：Mn个活动二矩阵乘法的简单应用例1、⑴已知A= 21_2(2)已知A= " O l J Bj I11JB= 计算AB. U计算AB J BA?[0 2 -2 3 % ,再对所得向量做变换矩阵为M=IMl的伸压变换P得到向量这两次变换能否用一个矩阵来表示？归纳1 :矩阵乘法法则：MN =bi2b22 an1 0] 10] 1 01⑶已知A=I J B= I , C= I ,计算AB、AC]0 O k ]0 1 ]0 2计算后你能得出什么结论？例2、已知梯形ABCD,其中A(O5O) J B(3,0) J C(2,2) , D((I , 2),先将梯形作矢于X轴的反射变换,再将所得图形绕原点逆时针旋转90°(1) 求连续两次变换所对应的变换矩阵M ;(2) 求点A,B,C,D在TM作用下所得到的结果；⑶在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证⑵中的结论?例3、已知A=『W求A2, A3J A4,你能得到An的结果吗？n?N4“纹丝不动”的恒等变换可以看做是伸压、旋转、切变变换的一种特殊情况，而矢于坐标原点的反射变换也可认为是绕原点作了（2k ?1）「：（k ?Z ）角度的旋转变换.不仅如此，矢于坐标原点的反射变换可以分解先矢于X 轴的反射变换，再作矢于y 轴的反射变换；绕原点作■ ■■ ?■角的旋转变换可以分解为先绕原点作：?角的旋转变换，再绕原点作1角的旋转变换（或者相反）在数学中，?■对应的平面几何变换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵。
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【学习目标】 掌握矩阵乘法的简单性质，会用性质解题 【学习重点】 矩阵乘法的简单性质 【活动过程】
活动一、情景引入
我们学过实数的乘法运算，知道实数的乘法运算具有交换律、结合律和消去律，那么矩阵的乘法是否也有类似的性质呢？ 活动二、构建数学
1）矩阵的乘法不满足交换律
2）矩阵的乘法满足结合律 活动三、数学运用
1、 计算：
（1）⎢⎣⎡01 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤1012 ⎥⎦⎤01； （2）⎢⎣⎡31 ⎥⎦⎤42⎢⎣⎡3
⎥⎥⎦
⎤
-212；
（3）⎢⎣⎡10 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤0101 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤-1012 ⎥⎦⎤01； （4）⎢⎣
⎡31 3
20⎥⎦⎤-。
2、 矩阵⎢⎣⎡=0
1
M
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤01,11N ⎥⎥⎦
⎤
210，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=43α。
（1）验证)()(ααN M MN =； （2）验证这两个矩阵不满足NM MN =。
3、试从几何变换的角度证明矩阵乘法满足结合律，即对任意矩阵P N M ,,，有
)()(NP M P MN =成立。
4、下面算式都表明：PN PM =且0≠P ，但是N M ≠，请计算验证这个结果，并从几何上给予解释。
（1）⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤00⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤20＝⎢⎣⎡01 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤0
1
00 ⎥⎥⎦
⎤
210；
（2）⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤00⎢⎣⎡-11 ⎥⎦⎤00＝⎢⎣
⎡01 ⎢⎣⎡-⎥⎦⎤0100 ⎥⎦⎤-10。
【课后作业】
1、设R ,∈b a ，若⎢⎣⎡=1a A ⎥⎦
⎤
b 0把直线072:=++y x l 变换为自身，则a ＝ ，
b ＝ 。
2、设⎢⎣⎡=31A ⎥⎦⎤52，⎢⎣⎡-=3
5B ⎥⎦⎤
-12，则AB ＝ ，BA ＝ 。
3、求使下列算式成立的实数d c b a ,,,。
⎢⎣⎡3a ⎢⎣⎡⎥⎦⎤d b 02 ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤420c ⎥⎦
⎤31。
4、说明矩阵⎢⎣⎡=01
M
⎥⎦
⎤11与⎢⎣⎡=10N ⎥⎦⎤
-01所表示的几何变换，并从几何上说明不满足NM MN =，再加以计算验证。
5、利用矩阵变换的几何意义，请你构造满足下列条件的矩阵，并给出几何解释：
（1）构造两个矩阵B A B A ,(,均不为零矩阵），使⎢⎣⎡=00
AB
⎥⎦
⎤
00成立； （2）构造一个矩阵)0(≠M M ，使⎢⎣⎡=002M ⎥⎦
⎤
00成立。
6、已知,(0,0),(2,0),(1,2),ABC A B C ∆对它先作2001M ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
对应的变换，再作1002N ⎛⎫= ⎪⎝⎭
对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换。