2020年上海松江初三数学一模试卷与答案
2020年上海松江初三数学一模试卷及答案（20200402213114）
初三数学第1页共10页松江区2019学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学（满分150分，完卷时间100分钟）2020.01考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．已知二次函数c bx axy 2的图像如图所示，那么下列判断正确的（▲）（A ）a ＞0，b ＞0，c ＞0；（B ）a ＜0，b ＜0，c ＜0；（C ）a ＜0，b ＞0，c ＞0；（D ）a ＜0，b ＜0，c ＞0．2．如果点A （1，3）、B （m ，3）是抛物线2(2)ya x h 上两个不同的点，那么m 的值为（▲）（A ）2;（B ）3;（C ）4;（D ）5.3．在以O 为坐标原点的直角坐标平面内,有一点A （3，4），射线OA 与x 轴正半轴的夹角为，那么αcos 的值为（▲）（A ）35;（B ）43;（C ）45;（D ）34.4．下列两个三角形不一定相似的是（▲）（A ）两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形;（B ）腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形;（C ）有一个内角为50°的两个直角三角形；（D ）有一个内角是50°的两个等腰三角形.5．如果a b c ，3a b c ，且，下列结论正确的是(▲)（A ）=a b ；（B ）+20a b ；（C ）a 与b 方向相同；（D ）a 与b 方向相反．（第1题图）Oxy初三数学第2页共10页6．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是1.5,那么sin的值为（▲）（A ）34;（B ）12;（C ）23;（D ）32.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知：23x y，那么2x y xy= ▲．8．已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果a=2，b=3，那么c =▲．9．如果两个相似三角形的面积比为3∶4，那么它们的相似比为▲ ．10．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），若AP =2，则BP = ▲．11．已知Rt △ABC 中，若∠C=90°，AC=3，BC=2，则∠A 的余切值为▲ ．12．已知二次函数212f xxbx c 图像的对称轴为直线x=4，则1f ▲ 3f .（填“>”或“<”）13．在直角坐标平面中，将抛物线22(1)yx 先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是▲ .14．如图，已知D 是△ABC 的边AC 上一点，且2ADDC .如果a AB ，ACb ，那么向量BD 关于a 、b 的分解式是▲.15．如图,在正方形网格中，点A,B,C 是小正方形的顶点，那么tan ∠BAC 的值为▲.16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米,宽度为30厘米.那么斜面AB 的坡度为▲.17．以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”.如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”为▲．18．如图，矩形ABCD 中，AD =1,AB=k.将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′.联结A D ′,分别交边CD ,A ′B 于E 、F.如果2'AED F ,那么k=▲.(第6题图)(第15题图)CBA(第14题图)ACBD(第16题图)2030BA(第18题图)FEDC BAC ′A ′D ′初三数学第3页共10页三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：223(2cos 45)3tan 302sin 60cos 60cot 3020．（本题满分10分,第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知二次函数241y xx .（1）将函数241yxx 的解析式化为k mxa y2的形式，并指出该函数图像顶点B 坐标. （2）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线241y xx 与y 轴交点为C ，抛物线的对称轴与x 轴交点为 A.求四边形OABC 的面积.21．（本题满分10分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,∠C=90°,AD=AB=13,BD=24.求边DC 的长.22．（本题满分10分）如图，小岛A 在港口P 的南偏西45°方向上，一艘船从港口P ，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B 处，在B 处测得小岛A 在它的南偏西60°的方向上.小岛A 离港口P 有多少海里?(第20题图)yxO(第22题图)P 北东B A60°45°CADB(第21题图)初三数学第4页共10页23．（本题满分12分,第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，点D 、F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ，2CD CF CA .（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果AC CFBC CE ，求证：2BD DE BA .24．（本题满分12分,第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过点A(3,0)，点B （0,3）.点M （m ，0）在线段OA上（与点A ，O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段AB 交于点P ，与抛物线交于点Q ，联结BQ ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP ，当∠BOP =∠PBQ 时，求PQ 的长度；（3）当△PBQ 为等腰三角形时，求m 的值.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知tan ∠MON =2，矩形ABCD 的边AB 在射线OM 上，AD =2，AB=m ，CF ⊥ON ，垂足为点F .（1）如图（1），作AE ⊥ON ，垂足为点 E.当m=2时,求线段EF 的长度；（2）如图（2），联结OC ，当m=2,且CD 平分∠FCO 时，求∠COF 的正弦值；（3）如图（3），当△AFD 与△CDF 相似时，求m 的值.第25题图（1）ABCDE FOMN （第24题备用图）y xOBAFCBADE(第23题图)ABCFOMND第25题图（2）ABCFOMND 第25题图（3）（第24题图）y xO BAPM Q初三数学第5页共10页2019学年第一学期松江区初三数学期末质量监控试卷参考答案一、选择题：1.C; 2.B; 3.A; 4.D ; 5.D;6.C.二、填空题：7.15; 8.43; 9.32; 10.51;11.32; 12.>;13.22+1yx ; 14.23ab ;15.2; 16.31:217.62+3; 18.21.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.解：原式=2232+3312322（）（）…………………（5分）=3-2+331--322……（2分）=1+31-3……（1分）=-2-3……（2分）20．解:(1)2241(2)5yxx x ……………（3分）顶点坐标为B(2,-5)……………（1分）(2)点A （2，0）、点B （2，-5），点C （0，-1）……………（2分）1(15)262OABCS ……………（4分）21.解：作AE ⊥BD ，垂足为E ……………（1分）∵AD =AB ∴BE=DE ∵BD =24∴DE =12……………………………（1分）∴AE=5……………………………（1分）CADB(第21题图)E初三数学第6页共10页∴5sin 13ADB…………………（2分）∵AD ∥BC ∴ADB CBD …………………（1分）∴5sin13CBD…………………（1分）∴5sin 2413CD CD CBD BD……（2分）∴12013CD……………………………（1分）22.解:作AC ⊥PB ，垂足为C ……………（1分）12 1.518PB …………………（1分）令BC=x ……………………………（1分）在Rt △ABC 中，∵∠ABC =60°∴3ACx …………（1分）在Rt △APC 中，∵∠APC =45°∴3AC PC x …………（1分）∴318xx …………（1分）解得939x…………（1分）∴PC=9327…………（1分）∴296272APPC…………（1分）答:小岛A 离港口P 有96272海里.………（1分）23．证明：（1）∵DE ∥AB∴CD CECA CB………（1分） FCBADE(第23题图)P 北东B A60°45°C∵2CD CF CA∴CD CFCA CD………（1分）∴CE CFCB CD………（2分）∴EF∥BD………（1分）(2)∵AC CF BC CE∴CA CE CB CF∵∠C=∠C∴△CAB∽△CEF………（1分）∴∠CAB=∠CEF………（1分）∵EF∥BD∴∠CBD =∠CEF………（1分）∴∠CBD =∠CAB………（1分）∵DE∥AB，∴∠BDE =∠DBA………（1分）∴△BDE∽△ABD ………（1分）∴BD AB DE BD∴2BD DE BA………（1分）24.解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A(3,0)，点B（0,3）.∴3,930.cb c………………………………（1分）∴b=2，c=3………（1分）∴抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3………（1分）（2）∵PM⊥x轴∴PM∥y轴∴∠OBP =∠BPQFCBAD E(第23题图)（第24题图）yxOBAPMQ初三数学第7页共10页初三数学第8页共10页∵∠BOP=∠PBQ∴△OBP ∽△BPQ ………………（1分）∴OB BP BPPQ∴2BP OB PQ ………（1分）∴22(2)3(2+3+3)m mm m 即222-39m m m解得95m(m =0舍去)………（1分）5425PQ………（1分）(3)当QP=QP 时点Q(2,3)此时m=2………（1分）当BQ=BP 时，点Q （1,4）此时m=1………（2分）当PB=PQ 时22233m mm m32m………（2分）25．解：（1）过点D 作DP ⊥CF 于点P ，交AE 于点Q 则∠PDC=∠DAQ=∠MON ……（1分）∵在Rt △CDP 中DC =2,tan ∠PDC=2可得255PD,……（1分）在Rt △ADQ 中AD =2,tan ∠DAQ=2第25题图（1）ABCDE FOMNQP可得455 QD,……（1分）∴655QP……（1分）∴655EF……（1分）(2)∵CD平分∠FCO时∴∠FOD =∠OCD∵CD∥OM∴∠COM =∠OCD∴21tan2CBCOMOB OB……（1分）∴OB=4……（1分）∴25OC……（1分）延长CD交ON于K,过点K作KQ⊥OM，垂足为Q KQ=2,OQ=1,CK=3655CF……（1分）3sin5COF……（1分）(3)由题意可知∠CDF =∠ADF=135°……（1分）当∠FCD =∠F AD时△FCD≌△FADCD=AD=2,即m=2……（1分）当∠FCD =∠AFD∵△CDF∽△FDA∴DC DF DF DA∴2DF DC DA……（1分）A BCFO MND第25题图（2）A BCFO MND第25题图（3）H初三数学第9页共10页初三数学第10页共10页令HF =t,则DH =t 1tan FCD+m2t t t=m22DF tm∴2(2)2m m ……（1分）∴m=1(m=0舍去)……（1分）。
(松江2021.1)初三一模参考答案与评分标准
松江区2020学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学参考答案及评分说明一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．D ； 4．A ； 5．C ； 6．C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．23；8．；910．8；11．2+4y x x =；12． < ；13．203；1415．9；16．2a b +；17．8013；18．三、解答题： 19．（本题满分10分）解：()2325y x x =-+…………………………………………………………（1分） ()232135y x x =-+-+………………………………………………………（2分） ()2312y x =-+………………………………………………………………（2分）开口方向：向上……………………………………………………………………（1分） 顶点坐标：（1，2）………………………………………………………………（2分） 对称轴：直线1x =………………………………………………………………（2分）20．（本题满分10分，每小题各5分） 解：（1）∵AB ∥CD ，∴AB BECD EC=………………（2分） ∵BE=4，BC=9，∴EC =5…………………………（1分） ∵AB =6，∴645CD =………………………………（1分）∴CD =152……………………………………………（1分）EC BDA（第20题图）（2）∵AB=6，BE=4，BC=9 ∴2AB BE BC =⋅，即BE ABAB BC=…………………………………………（1分） ∵∠ABE=∠CBA ，∴△ABE ∽△CBA …………………………………………（1分）∴AE BEAC AB=……………………………………………………………………（1分） ∵AE =3，BE=4，AB=6，∴346AC =…………………………………………（1分）∴92AC = ………………………………………………………………………（1分）21．（本题满分10分，每小题各5分）解：（1）在Rt △ACD 中，∠C ＝90°，tan ∠DAC =2=3DC AC …………………（1分）设DC=2x ，则AC=3x在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin ∠ABC =3=5AC AB ………………………………（1分）∴AB=5x ，∴BC=4x ……………………………………………………………（1分） ∵BC=CD +DB ，BD=4，∴2x +4=4x ，x=2………………………………………（1分） ∴AC=6……………………………………………………………………………（1分） （2）过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ……………………（1分）∵sin ∠ABC =3=5DE BD ，BD=4……………………………（1分） ∴DE=125，BE=165………………………………………（1分）∵AB=10，∴AE=345………………………………………（1分）∵在Rt △AED 中，cot AEBAD DE∠=∴17cot 6BAD ∠=…………………………………………（1分）（第21题图）22．（本题满分10分，每小题各5分） 解：（1）在Rt △EHD 中，i =EHHD…………（2分） ∵i =1∶2.4，∴5=12EH HD ………………（1分） ∴5=13EH DE ………………………………（1分） ∵DE=65，∴EH=25（米）……………（1分） 答：斜坡DE 的高EH 的长25米.（2）过点E 作EF ⊥AC ，垂足为F ………………（1分） 在Rt △EHD 中，5=12EH HD ，EH=25，∴ HD=60……………………………（1分）∵ DC=60，∴ HC=120，在Rt △EF A 中，tan ∠AEF =AFEF……………………（1分）∵ EF=HC=120，∠AEF =37°，∴ AF=EF ·tan ∠AEF=120﹒tan37°=90……（1分） ∵ FC=EH=25，∴ AC=AF+FC=115，∵ BC=92，∴ AB=23（米）…………（1分） 答：信号塔AB 的高度为23米.23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴ AD ∥BC …………………………………………………（1分） ∴∠BCE=∠CED …………………………………………（1分）∵CE 2=DE ·BC ，∴CE BC DE CE………………………（1分） ∴△BCE ∽△CED ………………………………………（1分） ∴∠EBC=∠DCE …………………………………………（1分） （2）∵AB ∥DC ，∴∠AEB=∠EBC ，∠F=∠DCE ……（2分） ∵∠EBC=∠DCE ，∴∠AEB=∠F ………………………（1分）∵∠ABE=∠EBF …………………………………………………………………（1分） ∴△BEA ∽△BFE …………………………………………………………………（1分） ∴=BE AEBF EF………………………………………………………………………（1分） FECBDA（第23题图）H（第22题图）BADE CFH（第22题图）BA DE C∴BE EF BF AE ⋅=⋅ …………………………………………………………（1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题第①题4分、第②题5分） 解：（1）∵抛物线经过点A （2，0），点B （-1，-1）∴422021a b a b +-=⎧⎨--=-⎩…………（1分）， 解得2313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩……………………（1分） ∴抛物线解析式为221233y x x =-- …………………………………………（1分）（2）①过点P 作PE ⊥y 轴，垂足为E ∵OD ∥PE ，∴PD EODC OC=……………（1分） ∵C （0，-2），∴OC=2∵23PD DC =，∴43OE =…………………（1分）当43y =时，22142=333x x --， 解得12x =-，252x =（舍去）…………………………（1分）∴P （-2，43）………………………………………………（1分）②(ⅰ)当点Q 在线段OA 上时，∵B （-1，-1），∴∠BCO ＝45°……………（1分）∵OC=OA ，∴∠OCA ＝45°，∴∠BCO=∠OCA ， ∵∠QCA=∠PCB ，∴∠DCO=∠QCO ，∴OD=OQ ∵OD CO PE CE =，∴OD=65，∴OQ=65，∴Q （65，0）………………………（1分） (ⅱ)当点Q 在OA 的延长线上时∵∠OCD ＝45°-∠PCB ，∠DQC ＝90°-∠OCQ= 90°–(45°+∠QCA ) =45°-∠QCA 又∵∠QCA=∠PCB ，∴∠OCD=∠DQC ………………………………………（1分） ∴tan ∠OCD=tan ∠DQC ，∴DO OCOC OQ=………………………………………（1分） ∴OQ=103，∴Q （103，0）……………………………………………………（1分）∴Q （65，0）或Q （103，0）. 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分） 解：（1）过点A 作AH ⊥B C ，垂足为H …………（1分） ∵AB =AC ，∴BH=HC 在Rt △ABH 中，tan ∠ABC ==2AHBH……………………（1分） ∴cos ∠ABC ==5BH AB ，∵AB =∴BH=5……………………………………………（1分） ∴BC=10……………………………………………（1分）（2）过点A 作AM ∥BG 交GD 的延长线于点M ……………………………（1分） ∴AM AF CG FC =，AM ADBG BD=…………………………………………………（2分） 在Rt △BFC 中，cos ∠ACB =cos ∠ACB ，BC=10 ∴FC =1分） ∴AF=CG=4，∴AM=6∴614=，∴1分）（3）∵BF ⊥AC ，DE ⊥BC ，∴∠BFC=∠DEB=90°，∴∠BQE=∠ACB ∵∠BQE=∠DQF ，∴∠DQF=∠ACB …………………（1分）∵△DQF 和△ABC 相似，∴DQ QF AC BC =或DQ FQ BC AC= ∵tan ∠BQE=tan ∠ACB = tan ∠ABC =2，∴2BE QE =,2DEBE= 设BE=x ，QE=2x ，则DE=4x …………………………（1分）∴，BD=，DQ=3xH（图1）BAD F CM（图2）GDFCBA（图3）BADFE CQ∵BF=2C F=QF=…………………（1分）（ⅰ）当DQ QFAC BC =10=，解得x=85∴BD==5……………………………………………………………（1分）（ⅱ）当DQ FQBC AC =时，则，310x ，解得x=2011∴BD=……………………………………………………………（1分）综上所述，BD=5或。
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初三数学 第1页 共10页松江区2019学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学（满分150分，完卷时间100分钟）2020.01考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．已知二次函数c bx ax y ++=2（A ）＞0，＞0，＞0； （B ）＜0，＜0，＜0； a b c a b c （C ）＜0，＞0，＞0；（D ）＜0，＜0，＞0．a b c a b c 2．如果点A （1，3）、B （m ，3）是抛物线上两个不同的点，2(2)y a x h =-+ 那么m 的值为（▲）（A ）2;（B ）3;（C ）4;（D ）5.3．在以O 为坐标原点的直角坐标平面内,有一点A （3，4），射线OA 与x 轴正半轴的夹角为，那么的值为（ ▲ ）ααcos （A ）;（B ）;（C ）;（D ）.354345344．下列两个三角形不一定相似的是（▲）（A ）两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形;（B ）腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形;（C ）有一个内角为50°的两个直角三角形；（D ）有一个内角是50°的两个等腰三角形.5．如果，，且，下列结论正确的是 (▲)a b c += 3a b c -=（A ）；（B ）；=a b +20a b =（C ）a 与b方向相同；（D ）a 与b方向相反．（第1题图）初三数学 第2页 共10页6．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部α分（图中阴影部分）的面积是1.5,那么的值为（▲）sin α（A ）;（B ）;（C ）;（D ）.34122332二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知：，那么= ▲ ． 23x y =2x yx y-+8．已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果a =2，b =3，那么c = ▲ ． 9．如果两个相似三角形的面积比为3∶4，那么它们的相似比为 ▲ ． 10．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），若AP =2，则BP = ▲ ． 11．已知Rt △ABC 中，若∠C =90°，AC =3，BC =2，则∠A 的余切值为 ▲ ． 12．已知二次函数图像的对称轴为直线x =4，则 ▲ .（填()212f x x bx c =++()1f ()3f “>”或“<”）13．在直角坐标平面中，将抛物线先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，22(1)y x =+那么平移后的抛物线表达式是 ▲ .14．如图，已知D 是△ABC 的边AC 上一点，且.如果，，那么2AD DC =a AB =AC b =向量关于、的分解式是 ▲ .BDa b 15．如图, 在正方形网格中，点A ,B ,C 是小正方形的顶点，那么tan∠BAC 的值为 ▲ .16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米,宽度为30厘米.那么斜面AB 的坡度为 ▲ .18．如图，矩形ABCD 中，AD =1,AB =k .将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′.联结A D ′,分别交边CD ,A ′B 于E 、F .如果,那么k = ▲.'AE F =(第15题图)CBA(第14题图)ACBD(第16题图)(第18题图)F ED C BAC′A′D′初三数学 第3页 共10页三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：223(2cos 45)3tan 302sin 60cos 60cot 30︒︒︒︒︒-+--20．（本题满分10分,第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知二次函数.241y x x =--（1）将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像顶241y x x =--()k m x a y ++=2点B 坐标.（2）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线与y 轴交点为C ，抛物线的对称241y x x =--轴与x 轴交点为A .求四边形OABC 的面积.21．（本题满分10分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠C =90°,AD=AB=13,BD=24.求边DC 的长.22．（本题满分10分）如图，小岛A 在港口P 的南偏西45°方向上，一艘船从港口P ，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B 处，在B 处测得小岛A 在它的南偏西60°的方向上.小岛A 离港口P 有多少海里?(第22题图)东CA DB(第21题图)23．（本题满分12分,第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，点D 、F 在△ABC 边AC 上，点E在边BC 上，且DE ∥AB ，.2CD CF CA =⋅（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果，求证：.AC CF BC CE ⋅=⋅2BD DE BA =⋅24．（本题满分12分,第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A (3,0)，点B （0,3）.点M （m ，0）在线段OA 上（与点A ，O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段AB 交于点P ，与抛物线交于点Q ，联结BQ ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP ，当∠BOP =∠PBQ 时，求PQ 的长度；（3）当△PBQ 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知tan ∠MON =2，矩形 ABCD 的边AB 在射线OM 上，AD =2，AB =m ，CF ⊥ON ，垂足为点F.（1）如图（1），作AE ⊥ON ，垂足为点E.当m =2时,求线段EF 的长度；（2）如图（2），联结OC ，当m =2,且CD 平分∠FCO 第25题图（1）（第24题备用图）F CBADE (第23题图)第25题图（2）（第24题图）初三数学 第5页 共10页2019学年第一学期松江区初三数学期末质量监控试卷参考答案一、选择题：1.C ;2.B ;3.A ;4.D ;5.D ;6.C .二、填空题：7.; 8.;;;11.; 12.>;15431-3213.; 14.; 15.2; 16..22+1y x =23a b →→-+31:21+三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.解：原式…………………（5分）……（2分）……（1分）=……（2分）20．解:(1)……………（3分）2241(2)5y x x x =--=--顶点坐标为B (2,-5)……………（1分）(2)点A （2，0）、点B （2，-5），点C （0，-1）……………（2分）……………（4分）1(15)262OABC S =+⨯=21.解：作AE ⊥BD ，垂足为E ……………（1分）∵AD =AB ∴BE =DE初三数学 第6页 共10页∵BD =24∴DE =12……………………………（1分）∴AE =5……………………………（1分）∴…………………（2分）5sin 13ADB ∠=∵AD ∥BC∴…………………（1分）ADB CBD ∠=∠∴…………………（1分）5sin 13CBD ∠=∴……（2分）5sin 2413CD CD CBD BD ∠===∴……………………………（1分）12013CD =22.解:作AC ⊥PB ，垂足为C ……………（1分）…………………（1分）12 1.518PB =⨯=令BC =x ……………………………（1分）在Rt △ABC 中，∵∠ABC =60°∴…………（1分）AC =在Rt △APC 中，∵∠APC =45°∴…………（1分）AC PC ==…………（1分）18x =+解得…………（1分）9x =+∴PC =…………（1分）27∴（1分）AP ==+答:小岛A离港口P 有海里.………（1分）+(第21题图)东初三数学 第7页 共10页23．证明：（1）∵DE ∥AB∴………（1分）CD CECA CB=∵2CD CF CA=⋅∴………（1分）CD CFCA CD =∴………（2分）CE CF CB CD=∴EF ∥BD ………（1分）(2)∵AC CF BC CE ⋅=⋅∴CA CECB CF=∵∠C =∠C∴△CAB ∽△CEF ………（1分）∴∠CAB =∠CEF ………（1分）∵EF ∥BD∴∠CBD =∠CEF ………（1分）∴∠CBD =∠CAB ………（1分）∵DE ∥AB ，∴∠BDE =∠DBA ………（1分）∴△BDE ∽△ABD ………（1分）∴BD ABDE BD=∴………（1分）2BD DE BA =⋅24.解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A (3,0)，点B （0,3）.∴………………………………（1分）3,930.c b c =⎧⎨-++=⎩∴b =2，c =3………（1分）∴抛物线表达式为y ＝﹣x 2+2x +3………（1分）A(第23题图)A(第23题图)（第24题图）初三数学 第8页 共（2）∵PM ⊥x 轴∴PM ∥y 轴∴∠OBP =∠BPQ ∵∠BOP =∠PBQ∴△OBP ∽△BPQ ………………（1分）∴OB BPBP PQ=∴………（1分）2BP OB PQ =⋅∴22)3(2+3+3)m m m =-+-即222-39m m m =+解得(m =0舍去)………（1分）95m =………（1分）5425PQ =(3)当QP =QP 时点Q (2,3)此时m =2………（1分）当BQ =BP 时，点Q （1,4）此时m =1………（2分）当PB =PQ 时2233m m m =-++-+（2分）3m =25．解：（1）过点D 作DP ⊥CF 于点P ，交AE 于点Q 则∠PDC =∠DAQ =∠MON ……（1分）∵在Rt △CDP 中DC =2,tan ∠PDC =2可得,……（1分）PD =第25题图（1）初三数学 第9页 共10页在Rt △ADQ 中AD =2,tan ∠DAQ =2可得,……（1分）QD =∴……（1分）QP =∴（1分）EF =(2)∵CD 平分∠FCO 时∴∠FOD =∠OCD ∵CD ∥OM ∴∠COM =∠OCD∴……（1分）21tan 2CB COM OB OB ∠===∴OB =4……（1分）∴（1分）OC =延长CD 交ON 于K,过点K 作KQ ⊥OM ，垂足为Q KQ=2,OQ=1,CK=3（1分）CF =……（1分）3sin 5COF ∠=(3)由题意可知∠CDF =∠ADF=135°……（1分）当∠FCD =∠FAD 时△FCD ≌△FADCD =AD =2,即m =2……（1分）当∠FCD =∠AFD ∵△CDF ∽△FDA初三数学 第10页 共10页∴DC DFDF DA=∴……（1分）2DF DC DA =⋅令HF =t ,则DH =t 1tan FCD +m 2t t ∠==t =mDF ==∴……（1分）2)2m =∴m =1(m =0舍去)……（1分）。
2020-2021学年上海市松江区九年级(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）1.如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是()A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：162.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AC的长为()A. 2sinαB. 2cosαC. 2tanαD. 2cotα3.将抛物线y=2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是()A. y=2x2+3B. y=2x2−3C. y=2(x+3)2 D. y=2(x−3)24.已知a⃗=2b⃗ ，下列说法中不正确的是()A. a⃗−2b⃗ =0B. a⃗与b⃗ 方向相同C. a⃗//b⃗D. |a⃗|=2|b⃗ |5.如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离()A. 15千米B. 10千米C. 10√3千米D. 5√3千米6.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB=8，则线段GE的长为()A. 53B. 73C. 83D. 1037.已知xy =53，则x−yy=______．8.已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是______cm．9.计算：sin30°⋅cot60°=______ ．10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，cosA=34，那么AB的长为______ ．11.一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x(x>0)厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为______ ．12.已知点A(2,y1)、B(3,y2)在抛物线y=x2−2x+c(c为常数)上，则y1______ y2(填“>”、“=”或“<”)．13.如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1//l2//l3，AB=4，AC=6，DF=10，则DE=______ ．14. 如图，△ABC 在边长为1个单位的方格纸中，△ABC 的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC 的正弦值为______ ．15. 如图，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上，DE//BC ，DE BC =34，四边形DBCE 的面积等于7，则△ADE 的面积为______ ．16. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BC =2AD ，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为______ ．17.如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上.已知△ABC的边BC=16cm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为______ cm．18.如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE=1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为______ ．19.用配方法把二次函数y=3x2−6x+5化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．20.如图，已知AB//CD，AD、BC相交于点E，AB=6，BE=4，BC=9，联结AC．(1)求线段CD的长；(2)如果AE=3，求线段AC的长．21.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sin∠ABC=3，点D在边BC上，5BD=4，联结AD，tan∠DAC=2．3(1)求边AC的长；(2)求cot∠BAD的值．22.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处(点A、B、C在同一直线上).某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点(点A、B、C、D、E在同一平面内)，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i=1：2.4．(1)求斜坡DE的高EH的长；(2)求信号塔AB的高度．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.)23.如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2=DE⋅BC．(1)求证：∠EBC=∠DCE；(2)求证：BE⋅EF=BF⋅AE．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−2经过点A(2,0)和B(−1,−1)，与y轴交于点C．(1)求这个抛物线的表达式；(2)如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，PDDC =23．①求P点坐标；②点Q在x轴上，如果∠QCA=∠PCB，求点Q的坐标．25.如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC=5√5，tan∠ABC=2，BF⊥AC，垂足为F，点D是边AB上一点(不与A，B重合)．(1)求边BC的长；(2)如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果CG=4，求线段AD的长；(3)过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果△DQF和△ABC相似，求线段BD的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4，∴它们的周长比是：1：4．故选：B．直接利用相似三角形的性质得出答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．2.【答案】D【解析】解：∵cotA=AC，BC=2，BC∴AC=BC⋅cotα=2cotα，故选：D．根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．3.【答案】D【解析】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是y=2(x−3)2．故选：D．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4.【答案】A【解析】解：A、由a⃗=2b⃗ 得到：a⃗−2b⃗ =0⃗，故本选项说法不正确．B、由a⃗=2b⃗ 知，a⃗与b⃗ 方向相同，故本选项说法正确．C、由a⃗=2b⃗ 知，a⃗与b⃗ 方向相同，则a⃗//b⃗ ，故本选项说法正确．D、由a⃗=2b⃗ 知，|a⃗|=2|b⃗ |，故本选项说法正确．故选：A．根据平面向量的性质进行一一判断．本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.【答案】C【解析】解：如图，∵BC⊥AE，∴∠AEB=90°，∵∠EAB =30°，AB =10米， ∴BE =5米，AE =5√3米， ∴CE =BC −CE =20−5=15(米)，∴AC =√CE 2+AE 2=√152+(5√3)2=10√3(米)，故选：C ．根据直角三角形的三角函数得出AE ，BE ，进而得出CE ，利用勾股定理得出AC 即可．此题考查解直角三角形的应用，关键是根据直角三角形的三角函数得出AE ，BE 解答．6.【答案】C【解析】解：延长AG 交BC 于D ，如图，∵点G 是△ABC 的重心，∴CD =BD =12BC =4，AG =2GD ， ∵GE ⊥AC ，∴∠AEG =90°，而∠C =90°，∴GE//CD ，∴△AEG∽△ACD ，∴EGCD =AGAD=AG AG+GD =23， ∴EG =23CD =23×4=83． 故选：C ．延长AG 交BC 于D ，如图，利用三角形重心的性质得到CD =BD =4，AG =2GD ，再证明GE//CD ，则可判断△AEG∽△ACD ，然后利用相似比可求出EG 的长．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质．7.【答案】23【解析】解：由题意，设x =5k ，y =3k ，∴x−yy =5k−3k3k=23． 故答案为23．根据题意，设x =5k ，y =3k ，代入即可求得x−yy 的值．本题考查了比例的基本性质，是基础题．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．8.【答案】(2√5−2)【解析】解：∵P 是线段MN 的黄金分割点，∴MP =√5−12MN ， 而MN =4cm ，∴MP=4×√5−12=(2√5−2)cm．故答案为(2√5−2)．根据黄金分割的概念得到MP=√5−12MN，把MN=4cm代入计算即可．本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的√5−12倍．9.【答案】√36【解析】解：原式=12×√33=√36．故答案为：√36．直接利用特殊角的三角函数值化简得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．10.【答案】8【解析】解：∵cosA=ACAB =34，AC=6，∴AB=ACcosA=8，故答案为：8．根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．11.【答案】y=x2+4x【解析】解：由题意得，y=(2+x)2−22=x2+4x，故答案为：y=x2+4x．根据“面积的增加量就是边长增加前后的两个正方形的面积差”可得答案．本题考查函数关系式，理解题目中的数量关系是解决问题的关键．12.【答案】<【解析】解：∵y=x2−2x+c，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x=−−22×1=1，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∵1<2<3，∴y1<y2，故答案为：<．先求得开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质进行判断即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特点和二次函数的性质，能熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．13.【答案】203【解析】解：∵l1//l2//l3，∴DEDF =ABAC，即DE10=46，∴DE=203．故答案为203．直接根据平行线分线段成比例定理得到DEDF =ABAC，然后根据比例的性质可计算出DE的长．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．14.【答案】√55【解析】解：由图可得，AC=√12+12=√2，AB=√12+32=√10，BC=√22+22=2√2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴sin∠ABC=ACAB =√2√10=√55，故答案为：√55．根据题意和图形，可以求得AC、BC和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ACB的形状，然后即可求得∠ABC的正弦值．本题考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15.【答案】9【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(DEBC)2=916，∴S△ADES四边形DBCE =97，∵四边形DBCE的面积等于7，∴S△ADE=9．故答案为：9．由DE//BC可判定△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得S△ADES△ABC=(DEBC)2=916，从而求得S△ADES四边形DBCE =97，即可求得△ADE的面积为9．本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．16.【答案】a⃗+2b⃗【解析】解：如图，在梯形ABCD 中，∵AD//BC ，BC =2AD ，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2b ⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，故答案是：a ⃗ +2b ⃗ ．根据梯形的性质和三角形法则解答．此题考查了平面向量的知识以及梯形的性质．注意利用图形求解是关键．17.【答案】8013 【解析】解：如图，设正方形DEFG 的边长为x cm ，则DE =PH =x cm ，∴AP =AH −PH =(10−x)cm ，∵DG//BC ，∴△ADG∽△ABC ，∴DG BC =AP AH ，即x 16=10−x 10， ∴x =8013(cm)，故答案为8013．设正方形DEFG 的边长为x cm ，则DE =PH =xcm ，所以AP =(10−x)cm ，再证明△ADG∽△ABC ，则利用相似比得到x 16=10−x10，然后根据比例的性质求出x ．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．18.【答案】1+√52【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，AB =CD ，∠ADC =∠B =∠DAE =90°，∵把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴CF =BC ，∠CFE =∠B =90°，EF =BE =1，∠CEB =∠CEF ，∵矩形ABCD 中，DC//AB ，∴∠DCE =∠CEB ，∴∠CEF =∠DCE ，∴DC =DE ，设AE =x ，则AB =CD =DE =x +1，∵∠AFE =∠CFD =90°，∴∠AFE =∠DAE =90°，∵∠AEF =∠DEA ，∴△AEF∽△DEA ，∴AE EF =DE AE ，∴x 1=x+1x ，解得x =1+√52或x =1−√52(舍去)，∴AE=1+√52．故答案为：1+√52．根据矩形的性质得到AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，根据折叠的性质得到CF=BC，∠CFE=∠B= 90°，EF=BE=1，DC=DE，证明△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了翻折变换(折叠问题)，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．19.【答案】解：y=3x2−6x+5=3(x2−2x)+5=3(x2−2x+1−1)+5=3(x−1)2+2，开口向上，对称轴为直线x=1，顶点(1,2)．【解析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵AB//CD，∴△ABE∽△DCE，∴ABCD =BECE，∵AB=6，BE=4，BC=9，∴6CD =45，∴CD=152；(2)∵AE=3，△ABE∽△DCE，∴AEDE =BECE，∴3DE =45，∴DE=154，∵ABBC =69=23，CEDC=5152=23，∴ABBC =CEDC，∵AB//DC，∴∠ECD=∠ABC，∴△ABC∽△ECD，∴ABAC =CEDE，∴6AC =5154，∴AC=92．【解析】(1)证明△ABE∽△DCE ，由相似三角形的性质得出AB CD =BE CE ，则可得出答案； (2)由相似三角形的性质求出DE =154，证明△ABC∽△ECD ，由相似三角形的性质得出AB AC =CE DE ，则可求出答案．本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21.【答案】解：(1)设AC =3x ，∵∠C =90°，sin∠ABC =35，∴AB =5x ，BC =4x ，∵tan∠DAC =23， ∴CD =2x ，∵BD =4，BC =CD +BD ，∴4x =2x +4，解得x =2，∴AC =3x =6；(2)作DE ⊥AB 于点E ，由(1)知，AB =5x =10，AC =6，BD =4，∵AB⋅DE 2=BD⋅AC 2， ∴10×DE2=4×62， 解得DE =125，∵AC =6，CD =2x =4，∠C =90°，∴AD =√62+42=2√13，∴AE =√AD 2−DE 2=√(2√13)2−(125)2=345，∴cot∠BAD =AE DE =345125=176，即cot∠BAD 的值是176．【解析】(1)根据题意和锐角三角函数，可以求得AC 的长；(2)根据(1)中的结果，可以得到AC 、CD 的长，然后根据勾股定理可以得到AD 的长，再根据等面积法可以求得DE 的长，从而可以求得AE 的长，然后即可得到cot∠BAD 的值．本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】解：(1)过点E 作EM ⊥AC 于点M ，∵斜坡DE的坡度(或坡比)i=1：2.4，DE=65米，CD=60米，∴设EH=x，则DH=2.4x．在Rt△DEH中，∵EH2+DH2=DE2，即x2+(2.4x)2=652，解得，x=25(米)(负值舍去)，∴EH=25米；答：斜坡DE的高EH的长为25米；(2)∵DH=2.4x=60(米)，∴CH=DH+DC=60+60=120(米)．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，∴四边形EHCM是矩形，∴EM=CH=120米，CM=EH=25米．在Rt△AEM中，∵∠AEM=37°，∴AM=EM⋅tan37°≈120×0.75=90(米)，∴AC=AM+CM=90+25=115(米)．∴AB=AC−BC=115−92=23(米)．答：信号塔AB的高度为23米．【解析】(1)过点E作EM⊥DC交DC的延长线于点M，根据斜坡DE的坡度(或坡比)i=1：2.4可设EH=x，则DH=2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EH；(2)结合(1)得DH的长，故可得出CH的长．由矩形的判定定理得出四边形EHCM是矩形，故可得出EM=HC，CM=EH，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠DEC=∠BCE，∵CE2=DE⋅BC，∴DECE =CEBC，∴△DEC∽△ECB，∴∠EBC=∠DCE；(2)∵AD//BC，AB//CD，∴∠AEB=∠EBC，∠F=∠ECD，∴∠AEB=∠F，又∵∠ABE=∠EBF，∴△ABE∽△EBF，∴BEBF =EFAE，∴BE⋅EF=BE⋅AE．【解析】(1)通过证明△DEC∽△ECB，可得结论；(2)通过证明△ABE∽△EBF，可得△ABE∽△EBF，可得结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的判定定理是本题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx−2经过点A(2,0)和B(−1,−1)，∴{−1=a −b −20=4a +2b −2，解得：{a =23b =−13， ∴抛物线解析式为：y =23x 2−13x −2；(2)①如图1，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，∵抛物线y =ax 2+bx −2与y 轴交于点C ，∴点C(0,−2)，∴OC =2，∵PE//OC ，∴PEOC =PD DC =23=EDDO ，∴PE =43，∴43=23x 2−13x −2，∴x =−2或x =52(不合题意舍去)，∴点P(−2,43)；②如图2，过点B 作BH ⊥CO 于H ，由①可知DO =25×3=65，∵B(−1,−1)，点C(0,−2)，A(2,0)∴OA=OC=2，BH=CH=1，∴∠BCH=45°=∠OCA，∴∠BCA=90°，当点Q在线段AO上时，∵∠QCA=∠PCB，∴∠DCO=∠QCO，又∵CO=CO，∠DOC=∠QOC=90°，∴△DOC≌△QOC(ASA)，∴DO=QO=65，∴点Q坐标为(65,0)，当点Q′在射线OA上时，∵∠Q′CA=∠PCB，∴∠DCQ′=90°，∴∠CDO+∠DQ′C=90°，∠DCO+∠CDO=90°，∴∠DQ′C=∠DCO，又∵∠DOC=∠Q′OC=90°，∴△DOC∽△COQ′，∴DOCO =COQ′O，∴4=65×Q′O，∴Q′O=103，∴点Q′(103,0)，综上所述：点Q坐标为(65,0)或(103,0)．【解析】(1)由待定系数法可求解析式；(2)①过点P作PE⊥x轴于E，由平行线分线段成比例可求PE的长，代入解析式可求解；②分两种情况讨论，利用全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．本题二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些知识解决问题是解题的关键．25.【答案】解(1)如图1，过点A作DH⊥BC于H，∴∠AHB=90°，∵AB=AC=5√5，∴BC=2BH，在Rt△AHB中，tan∠ABC=AHBH=2，∴AH=2BH，根据勾股定理得，AH2+BH2=AB2，∴(2BH)2+BH2=(5√5)2，∴BH=5，∴BC=2BH=10；(2)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵tan∠ABC=2，∴tan∠ACB=2，由(1)知，BC=10，∵BF⊥AC，∴∠BFC=90°，在Rt△BFC中，tan∠ACB=BFCF=2，∴BF=2CF，根据勾股定理得，BF2+CF2=BC2，∴(2CF)2+CF2=102，∴CF=2√5，∴AF=AC−CF=5√5−2√5=3√5，如图2，过点C作CK//AB交FG于K，∴△CFK∽△AFD，∴CKAD =CFAF，∴CKAD =2√53√5=23，∴△CGK∽△BGD，∴CKBD =CGBG，∴CG=4，∴CKBD =410+4=27，∴ADBD =37，∴ADAB =310，∴AD=310AB=310×5√5=3√52；(3)如备用图，在Rt△BFC中，根据勾股定理得，BF=√BC2−CF2=√102−(2√5)2=4√5，∵DE⊥BC，∴∠BEQ=90°=∠BFC，∵∠EBQ=∠FBC，∴△BEQ∽△BFC，∴EQCF =BQBC，∵CF=2√5，BC=10，∴2√5=BQ10，∴EQBQ =√55，∴设EQ=√5m，则BQ=5m，根据勾股定理得，BE=2√5m，在Rt△BEQ中，tan∠ABC=DEBE=2，∴DE=2BE=4√5m，根据勾股定理得，BD=10m，∴DQ=DE−EQ=3√5m，∵DE⊥BC，∴∠BEQ=90°，∴∠CBF+∠BQE=90°，∵∠BQE=∠DQF，∴∠CBF+∠DQF=90°，∵∠BFC=90°，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠DQF=∠C，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=∠DQF，∵△DQF和△ABC相似，∴①当△DQF∽△ACB时，∴DQAC =QFBC，∴√5m5√5=QF10，∴QF=6m，∵BF=4√5，∴5m+6m=4√5，∴m=4√511，∴BD=10m=40√511，②当△DQF∽△BCA时，DQBC =FQAC，∴3√5m10=5√5，∴FQ=152m，∴152m+5m=4√5，∴m=8√525，∴BD=10m=16√55，即BD的长为40√511或16√55．【解析】(1)先利用等腰三角形的性质判断出BC=2BH，再用三角函数和勾股定理求出BH，即可得出结论；(2)先利用勾股定理和三角函数求出CF，再判断出△CFK∽△AFD和△CGK∽△BGD，得出比例式，即可得出结论；(3)先求出BF=4√5，再判断出△BEQ∽△BFC，得出EQBQ =√55，设EQ=√5m，则BQ=5m，BE=2√5m，进而表示出BD=10m，DQ=3√5m，∠DQF=∠C，再分两种情况，利用相似得出比例式表示出FQ，最后用BF=4√5建立方程求出m，即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．。
上海市松江区2020-2021学年九年级(上)期末数学试卷(一模) 解析版
2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：162．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα3．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）24．已知＝2，下列说法中不正确的是（）A．﹣2＝0B．与方向相同C．∥D．||＝2||5．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米B．10千米C．10千米D．5千米6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知，则＝．8．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是cm．9．计算：sin30°•cot60°＝．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cos A＝，那么AB的长为．11．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为．12．已知点A（2，y1）、B（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．13．如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝4，AC＝6，DF＝10，则DE＝．14．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为．15．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，＝，四边形DBCE 的面积等于7，则△ADE的面积为．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设向量＝，＝，用向量、表示为．17．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知△ABC的边BC＝16cm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为cm．18．如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）用配方法把二次函数y＝3x2﹣6x+5化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．20．（10分）如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，AB＝6，BE＝4，BC＝9，联结AC．（1）求线段CD的长；（2）如果AE＝3，求线段AC的长．21．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD ＝4，联结AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求cot∠BAD的值．22．（10分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．（1）求斜坡DE的高EH的长；（2）求信号塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）23．（12分）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B （﹣1，﹣1），与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的表达式；（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，．①求P点坐标；②点Q在x轴上，如果∠QCA＝∠PCB，求点Q的坐标．25．（14分）如图，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，tan∠ABC＝2，BF⊥AC，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）．（1）求边BC的长；（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果CG＝4，求线段AD的长；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果△DQF和△ABC 相似，求线段BD的长．2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4，∴它们的周长比是：1：4．故选：B．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα【分析】根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：∵cot A＝，BC＝2，∴AC＝BC•cotα＝2cotα，故选：D．3．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是y＝2（x﹣3）2．故选：D．4．已知＝2，下列说法中不正确的是（）A．﹣2＝0B．与方向相同C．∥D．||＝2||【分析】根据平面向量的性质进行一一判断．【解答】解：A、由＝2得到：﹣2＝，故本选项说法不正确．B、由＝2知，与方向相同，故本选项说法正确．C、由＝2知，与方向相同，则∥，故本选项说法正确．D、由＝2知，||＝2||，故本选项说法正确．故选：A．5．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米B．10千米C．10千米D．5千米【分析】根据直角三角形的三角函数得出AE，BE，进而得出CE，利用勾股定理得出AC 即可．【解答】解：如图，∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝10米，∴BE＝5米，AE＝5米，∴CE＝BC﹣CE＝20﹣5＝15（米），∴AC＝（米），故选：C．6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（）A．B．C．D．【分析】延长AG交BC于D，如图，利用三角形重心的性质得到CD＝BD＝4，AG＝2GD，再证明GE∥CD，则可判断△AEG∽△ACD，然后利用相似比可求出EG的长．【解答】解：延长AG交BC于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴CD＝BD＝BC＝4，AG＝2GD，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，而∠C＝90°，∴GE∥CD，∴△AEG∽△ACD，∴＝＝＝，∴EG＝CD＝×4＝．故选：C．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知，则＝．【分析】根据题意，设x＝5k，y＝3k，代入即可求得的值．【解答】解：由题意，设x＝5k，y＝3k，∴＝＝．故答案为：．8．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是（2﹣2）cm．【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝MN，把MN＝4cm代入计算即可．【解答】解：∵P是线段MN的黄金分割点，∴MP＝MN，而MN＝4cm，∴MP＝4×＝（2﹣2）cm．故答案为（2﹣2）．9．计算：sin30°•cot60°＝．【分析】直接利用特殊角的三角函数值化简得出答案．【解答】解：原式＝×＝．故答案为：．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cos A＝，那么AB的长为8．【分析】根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：∵cos A＝＝，AC＝6，∴AB＝＝8，故答案为：8．11．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为y＝x2+4x．【分析】根据“面积的增加量就是边长增加前后的两个正方形的面积差”可得答案．【解答】解：由题意得，y＝（2+x）2﹣22＝x2+4x，故答案为：y＝x2+4x．12．已知点A（2，y1）、B（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1＜y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】先求得开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+c，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∵1＜2＜3，∴y1＜y2，故答案为：＜．13．如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝4，AC＝6，DF＝10，则DE＝．【分析】直接根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例的性质可计算出DE的长．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴DE＝．故答案为．14．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为．【分析】根据题意和图形，可以求得AC、BC和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ACB的形状，然后即可求得∠ABC的正弦值．【解答】解：由图可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴sin∠ABC＝＝，故答案为：．15．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，＝，四边形DBCE 的面积等于7，则△ADE的面积为9．【分析】由DE∥BC可判定△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得＝（）2＝，从而求得＝，即可求得△ADE的面积为9．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，∵四边形DBCE的面积等于7，∴S△ADE＝9．故答案为：9．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设向量＝，＝，用向量、表示为+2．【分析】根据梯形的性质和三角形法则解答．【解答】解：如图，在梯形ABCD中，∵AD∥BC，BC＝2AD，＝，∴＝2＝2，∴＝+＝+2，故答案是：+2．17．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知△ABC的边BC＝16cm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为cm．【分析】设正方形DEFG的边长为xcm，则DE＝PH＝xcm，所以AP＝（10﹣x）cm，再证明△ADG∽△ABC，则利用相似比得到＝，然后根据比例的性质求出x．【解答】解：如图，设正方形DEFG的边长为xcm，则DE＝PH＝xcm，∴AP＝AH﹣PH＝（10﹣x）cm，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴＝，即＝，∴x＝（cm），故答案为．18．如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为．【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，根据折叠的性质得到CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE＝1，DC＝DE，证明△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE＝1，∠CEB＝∠CEF，∵矩形ABCD中，DC∥AB，∴∠DCE＝∠CEB，∴∠CEF＝∠DCE，∴DC＝DE，设AE＝x，则AB＝CD＝DE＝x+1，∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴，解得x＝或x＝（舍去），∴AE＝．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）用配方法把二次函数y＝3x2﹣6x+5化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．【解答】解：y＝3x2﹣6x+5＝3（x2﹣2x）+5＝3（x2﹣2x+1﹣1）+5＝3（x﹣1）2+2，开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，2）．20．（10分）如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，AB＝6，BE＝4，BC＝9，联结AC．（1）求线段CD的长；（2）如果AE＝3，求线段AC的长．【分析】（1）证明△ABE∽△DCE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；（2）由相似三角形的性质求出DE＝，证明△ABC∽△ECD，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴，∵AB＝6，BE＝4，BC＝9，∴CD＝；（2）∵AE＝3，△ABE∽△DCE，∴，∴，∴DE＝，∵，＝，∴，∵AB∥DC，∴∠ECD＝∠ABC，∴△ABC∽△ECD，∴，∴，∴AC＝．21．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD ＝4，联结AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求cot∠BAD的值．【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；（2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到cot∠BAD 的值．【解答】解：（1）设AC＝3x，∵∠C＝90°，sin∠ABC＝，∴AB＝5x，BC＝4x，∵tan∠DAC＝，∴CD＝2x，∵BD＝4，BC＝CD+BD，∴4x＝2x+4，解得x＝2，∴AC＝3x＝6；（2）作DE⊥AB于点E，由（1）知，AB＝5x＝10，AC＝6，BD＝4，∵，∴，解得DE＝，∵AC＝6，CD＝2x＝4，∠C＝90°，∴AD＝＝2，∴AE＝＝＝，∴cot∠BAD＝＝＝，即cot∠BAD的值是．22．（10分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．（1）求斜坡DE的高EH的长；（2）求信号塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【分析】（1）过点E作EM⊥DC交DC的延长线于点M，根据斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EH＝x，则DH＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EH；（2）结合（1）得DH的长，故可得出CH的长．由矩形的判定定理得出四边形EHCM 是矩形，故可得出EM＝HC，CM＝EH，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．【解答】解：（1）过点E作EM⊥AC于点M，∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝65米，CD＝60米，∴设EH＝x，则DH＝2.4x．在Rt△DEH中，∵EH2+DH2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝652，解得，x＝25（米）（负值舍去），∴EH＝25米；答：斜坡DE的高EH的长为25米；（2）∵DH＝2.4x＝60（米），∴CH＝DH+DC＝60+60＝120（米）．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，∴四边形EHCM是矩形，∴EM＝CH＝120米，CM＝EH＝25米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝37°，∴AM＝EM•tan37°≈120×0.75＝90（米），∴AC＝AM+CM＝90+25＝115（米）．∴AB＝AC﹣BC＝115﹣92＝23（米）．答：信号塔AB的高度为23米．23．（12分）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．【分析】（1）通过证明△DEC∽△ECB，可得结论；（2）通过证明△ABE∽△EBF，可得△ABE∽△EBF，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵CE2＝DE•BC，∴，∴△DEC∽△ECB，∴∠EBC＝∠DCE；（2）∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠AEB＝∠EBC，∠F＝∠ECD，∴∠AEB＝∠F，又∵∠ABE＝∠EBF，∴△ABE∽△EBF，∴，∴BE•EF＝BE•AE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B （﹣1，﹣1），与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的表达式；（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，．①求P点坐标；②点Q在x轴上，如果∠QCA＝∠PCB，求点Q的坐标．【分析】（1）由待定系数法可求解析式；（2）①过点P作PE⊥x轴于E，由平行线分线段成比例可求PE的长，代入解析式可求解；②分两种情况讨论，利用全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B（﹣1，﹣1），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于E，∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交于点C，∴点C（0，﹣2），∴OC＝2，∵PE∥OC，∴＝，∴PE＝，∴＝x2﹣x﹣2，∴x＝﹣2或x＝（不合题意舍去），∴点P（﹣2，）；②如图2，过点B作BH⊥CO于H，由①可知DO＝＝，∵B（﹣1，﹣1），点C（0，﹣2），A（2，0）∴OA＝OC＝2，BH＝CH＝1，∴∠BCH＝45°＝∠OCA，∴∠BCA＝90°，当点Q在线段AO上时，∵∠QCA＝∠PCB，∴∠DCO＝∠QCO，又∵CO＝CO，∠DOC＝∠QOC＝90°，∴△DOC≌△QOC（ASA），∴DO＝QO＝，∴点Q坐标为（，0），当点Q'在射线OA上时，∵∠Q'CA＝∠PCB，∴∠DCQ'＝90°，∴∠CDO+∠DQ'C＝90°，∠DCO+∠CDO＝90°，∴∠DQ'C＝∠DCO，又∵∠DOC＝∠Q'OC＝90°，∴△DOC∽△COQ'，∴，∴4＝×Q'O，∴Q'O＝，∴点Q'（，0），综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．25．（14分）如图，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，tan∠ABC＝2，BF⊥AC，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）．（1）求边BC的长；（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果CG＝4，求线段AD的长；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果△DQF和△ABC 相似，求线段BD的长．【分析】（1）先利用等腰三角形的性质判断出BC＝2BH，再用三角函数和勾股定理求出BH，即可得出结论；（2）先利用勾股定理和三角函数求出CF，再判断出△CFK∽△AFD和△CGK∽△BGD，得出比例式，即可得出结论；（3）先求出BF＝4，再判断出△BEQ∽△BFC，得出，设EQ＝m，则BQ ＝5m，BE＝2m，进而表示出BD＝10m，DQ＝3m，∠DQF＝∠C，再分两种情况，利用相似得出比例式表示出FQ，最后用BF＝4建立方程求出m，即可得出结论．【解答】解（1）如图1，过点A作DH⊥BC于H，∴∠AHB＝90°，∵AB＝AC＝5，∴BC＝2BH，在Rt△AHB中，tan∠ABC＝＝2，∴AH＝2BH，根据勾股定理得，AH2+BH2＝AB2，∴（2BH）2+BH2＝（5）2，∴BH＝5，∴BC＝2BH＝10；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵tan∠ABC＝2，∴tan∠ACB＝2，由（1）知，BC＝10，∵BF⊥AC，∴∠BFC＝90°，在Rt△BFC中，tan∠ACB＝＝2，∴BF＝2CF，根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，∴（2CF）2+CF2＝102，∴CF＝2，∴AF＝AC﹣CF＝5﹣2＝3，如图2，过点C作CK∥AB交FG于K，∴△CFK∽△AFD，∴，∴＝，∴△CGK∽△BGD，∴，∴CG＝4，∴＝，∴，∴，∴AD＝AB＝×5＝；（3）如备用图，在Rt△BFC中，根据勾股定理得，BF＝＝＝4，∵DE⊥BC，∴∠BEQ＝90°＝∠BFC，∵∠EBQ＝∠FBC，∴△BEQ∽△BFC，∵CF＝2，BC＝10，∴，∴，∴设EQ＝m，则BQ＝5m，根据勾股定理得，BE＝2m，在Rt△BEQ中，tan∠ABC＝＝2，∴DE＝2BE＝4m，根据勾股定理得，BD＝10m，∴DQ＝DE﹣EQ＝3m，∵DE⊥BC，∴∠BEQ＝90°，∴∠CBF+∠BQE＝90°，∵∠BQE＝∠DQF，∴∠CBF+∠DQF＝90°，∵∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠C＝90°，∴∠DQF＝∠C，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠DQF，∵△DQF和△ABC相似，∴①当△DQF∽△ACB时，∴，∴，∴QF＝6m，∵BF＝4，∴5m+6m＝4，∴BD＝10m＝，②当△DQF∽△BCA时，，∴，∴FQ＝m，∴m+5m＝4，∴m＝，∴BD＝10m＝，即BD的长为或．。
上海松江区中考一模数学考试卷(解析版)(初三)中考模拟.doc
上海松江区中考一模数学考试卷（解析版）（初三）中考模拟姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα【答案】D【解析】试题分析：根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴cotA=，∵BC=2，∠A=α，∴AC=2cotα，故选D．考点：锐角三角函数的定义．【题文】下列抛物线中，过原点的抛物线是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2 C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣1【答案】C．【解析】试题分析：A、y=x2﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；B、y=（x+1）2中，当x=0时，y=1，不过原点；C、y=x2+x中，当x=0时，y=0，过原点；D、y=x2﹣x﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；故选：C．考点：二次函数图象上点的坐标特征．【题文】小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米 B．40米 C．90米 D．80米【答案】A．【解析】试题分析：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，∴1.5：2=教学大楼的高度：60，解得教学大楼的高度为45米．故选A．考点：相似三角形的应用．【题文】已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥∥ B． C． =－2 D． =2，=【答案】B．【解析】试题分析：A、∥∥则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；B、表示两个向量的模的数量关系，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；C、 =－2，说明两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；D、 =2，=则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；故选：B．考点：平面向量．【题文】如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）A． B． C．D．【答案】C．【解析】试题分析：∵AD∥BC∴，故A正确；∵CD∥BE，AB=CD，∴△CDF∽△EBC∴，故B正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC∴，故D正确．∴C错误．故选C．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【题文】如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【答案】B．【解析】试题分析：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A，∴△AEB∽△AFC，∴=，∴=，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，∵cosA==，∴∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB=1：3，故选B．考点：相似三角形的判定与性质．【题文】已知，则的值为．【答案】．【解析】试题分析：用a表示出b，然后代入比例式进行计算．∵，∴b=a，∴==．故答案为：．考点：比例的性质．【题文】计算：（﹣3）﹣（+2）=．【答案】．【解析】试题分析：根据平面向量的加法计算法则和向量数乘的结合律进行计算．本题考查了平面向量，熟记计算法则即可解题，属于基础题型．（﹣3）﹣（+2）=﹣3﹣﹣×2）=．故答案是：．考点：平面向量．【题文】已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是．【答案】k＜1．【解析】试题分析：由开口向下可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围．∵y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，∴k﹣1＜0，解得k＜1，故答案为：k＜1．考点：二次函数的性质．【题文】把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为．【答案】y=（x﹣4）2．【解析】试题分析：直接根据“左加右减”的原则进行解答即可，将y=x2向右平移4个单位，所得函数解析式为：y=（x﹣4）2．故答案为：y=（x﹣4）2．考点：二次函数图象与几何变换．【题文】已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是．【答案】8．【解析】试题分析：利用锐角三角函数定义求出所求即可，∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，∴sinA=，即=，解得：AB=8．考点：解直角三角形．【题文】如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF=．【答案】．【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，∵AC：CE=3：5，∴AC：AE=3：8，∵AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，∴DF=，考点：平行线分线段成比例．【题文】已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1 y2．（填“＞”、“=”或“＜”）【答案】＞【解析】试题分析：分别计算自变量为2、5时的函数值，然后比较函数值的大小即可，当x=2时，y1=﹣x2+1=﹣3；当x=5时，y2=﹣x2+1=﹣24；∵﹣3＞﹣24，∴y1＞y2．考点：二次函数图象上点的坐标特征．【题文】已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线．【答案】x=2．【解析】试题分析：根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案，∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，∴对称轴为x==2，考点：二次函数的性质．【题文】在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为．【答案】2．【解析】试题分析：先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，再判断点G为△ABC的重心，然后根据三角形重心的性质来求AG的长，∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD==3，∵中线BE与高AD相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴AG=3×=2．考点：三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．【题文】在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为米．（结果保留根号）【答案】5+5．【解析】试题分析：作CF⊥AB于点F．根据题意可得：在△FBC中，有BF=CE=5米．在△AFC中，有AF=FC×tan30°=5米．则AB=AF+BF=5+5米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【题文】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．【答案】．【解析】试题分析：设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，解得x=．考点：线段垂直平分线的性质．【题文】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为．【答案】4．【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，∴BC=AB•cosB=9×=6，AC==3．∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，∴∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∴∠BCM=∠ACN．∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cos∠CAN=cosB=，∴AN=AC•cos∠CAN=3×=2，∴AE=2AN=4．考点：旋转的性质；解直角三角形．【题文】计算：．【答案】．【解析】试题分析：直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．试题解析：原式====．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【题文】如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设=， =．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】略【解析】试题分析：（1）在△ABD中，利用平面向量的三角形加法则进行计算；（2）根据向量加法的平行四边形法则，过向量的起点作BC的平行线，即可得出向量向量在、方向上的分向量．试题解析：（1）∵，∴∵，∴∵，且∴；（2）解：如图，所以，向量、即为所求的分向量．【考点】*平面向量．【题文】如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）25．【解析】试题分析：（1）先根据S△BEF：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．试题解析：（1）∵AC∥BD，∴∵AC=6，BD=4，∴∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF：S△CEF=2：3，∴，∴．∴EF∥BD，∴，∴，∴（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴．∵，∴．∵S△BEF=4，∴，∴S△ABC=25．【考点】相似三角形的判定与性质．【题文】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB 所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE 段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】（1）6.3；（2）6.2【解析】试题分析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可；（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度．试题解析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，在Rt△ABG中，，∵BG=2.26，tan20°≈0.36，∴，∴AB≈6.3，答：A、B之间的距离至少要6.3米．（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，∵AE和FC的坡度为1：2，∴，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，∵EF∥DC，∴CQ=PD=8﹣x，∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，在Rt△ACD中，，∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22∵PE+EF+FQ=CD，∴2x+EF+16﹣2x=22.22，∴EF=6.22≈6.2答：平台EF的长度约为6.2米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【题文】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．【答案】略【解析】试题分析：（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°；（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．试题解析：（1）∵AC2=CE•CB，∴．又∵∠ACB=∠ECA=90°∴△ACB∽△ECA，∴∠ABC=∠EAC．∵点D是AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠CAD∵∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD+∠EAC=90°∴∠AFC=90°，∴AE⊥CD（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC=90°，∴∠ACE=∠EFC又∵∠AEC=∠CEF，∴△ECF∽△EAC∴∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴∵∠BEF=∠AEB，∴△BEF∽△AEB∴∠EBF=∠EAB．【考点】相似三角形的判定与性质．【题文】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，（1，4）；（2）；（3）（1，）或（1，﹣2）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可；（2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可；（3）分和两种情况，计算即可．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，∴点E（2，3），过点E作EH⊥BC于点H，∵OC=OB=3，∴BC=，∵，CE=2，∴，解得EH=，∵∠ECH=∠CBO=45°，∴CH=EH=，∴BH=2，∴在Rt△BEH中，；（3）当点M在点D的下方时设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），∴BP=2，DP=4，∴，∵，∠CBE、∠BDP均为锐角，∴∠CBE=∠BDP，∵△DMB与△BEC相似，∴或，①，∵DM=4﹣m，，，∴，解得，，∴点M（1，）②，则，解得m=﹣2，∴点M（1，﹣2），当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，﹣2）．【考点】二次函数综合题．【题文】如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．【答案】（1）20；（2），定义域为0＜x≤24；（3）20或24或．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质和三角函数定义求出AD，由勾股定理求出BD即可；（2）证明△EDF∽△BDE，得出，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出结果；（3）当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，分情况讨论：①当BE=BD时；②当DE=DB时；③当EB=ED时；分别求出BE即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△BAD中，，AB=16，∴AD=12∴；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠DEF=∠ADB，∴∠DEF=∠DBC，∵∠EDF=∠BDE，∴△EDF∽△BDE，∴，∵BC=AD=12，BE=x，∴CE=|x﹣12|，∵CD=AB=16∴在Rt△CDE中，，∵，∴，∴，定义域为0＜x≤24（3）∵△EDF∽△BDE，∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，①当BE=BD时∵BD=20，∴BE=20②当DE=DB时，∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，∴BE=24；③当EB=ED时，作EH⊥BD于H，则BH=，cos∠HBE=cos∠ADB，即∴，解得：BE=；综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或．【考点】四边形综合题．。
2020届上海市松江区一模(12月)数学试题(解析版)
1
2
【解析】先由题意，得到6f(1)2
，推出函数yfx的图像过点，其反函
()
(1,4)
数过点
，求出f1
(4)1，得到
f
1
(4)log4123
，进而可求出结果.
(4,1)
2
【详解】
的图像经过点(1,6)
，
f(x)2x
因为函数y
所以6f(1)2
(1)4
()(1,4)
，即函数yfx的图像过点
4b16
，
2
2
2
1
2
b
2
b
2
b48
4M
4b16
4b16
8
2
因此只需
2
2
min
min
min
2
即M
.
故选：B
【点睛】
本题主要考查求最值的问题，熟记绝对值不等式的性质，以及不等式的性质即可，属于
常考题型.
{1,2,3,,10}
M(A)
为A中元素的最小值，当A
4．已知集合M
，集合AM，定义
(A)
（
取遍M的所有非空子集时，对应的M
1
12
10
211122036，
所以S102036
.
故选：C
【点睛】
本题主要考查含n个元素的集合的子集的应用，以及数列的求和，熟记错位相减法求和，
会求集合的子集个数即可，属于常考题型.
二、填空题
Ax|x10B0，1，2
，则AB_____
，
5．已知集合
1，2
【答案】
【解析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．
上海市松江区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷(中考一模)带讲解
【分析】先利用配方法把一般式化成顶点式，再利用二次函数的性质得到图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【详解】解：y=3x -6x+5=3（x -2x+1）+2=3（x-1） +2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点P（1，2）．
【点睛】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．
18.如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且 ，将 沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D,F,E在同一直线上，则线段AE的长为____．
【答案】
【分析】设 ，根据折叠的性质和矩形的性质得到 ，证明 ，利用对应边成比例列式求出AE的长．
【详解】解：设 ，则 ，
∵折叠，
【分析】首先表示出原边长为2厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程．
【详解】解：原边长为2厘米的正方形面积为：2×2＝4（平方厘米），
边长增加x厘米后边长变为：x＋2，
则面积为：（x＋2）2平方厘米，
∴y＝（x＋2）2−4＝x2＋4x．
故答案为：y＝x2＋4x．
【详解】∵ 在边长为1个单位的方格纸中， 的顶点在小正方形顶点位置，
∴AB= = ，BC= ，AC= ，
∵（ ）2+（ ）2=（ ）2，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠ABC= = = ，
故答案为：
【点睛】本题考查网格的特征、勾股定理及正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
5.如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）
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松江区 2019 学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学（满分150 分，完卷时间 100 分钟） 2020.01考生注意：1．本试卷含三个大题，共25 题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤 .一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 .】1．已知二次函数 y ax 2bx c 的图像如图所示，那么下列判断正确的（▲）y（ A ） a ＞ 0， b ＞ 0， c ＞ 0； （ B ） a ＜ 0， b ＜0， c ＜0；（ C ） a ＜ 0， b ＞0， c ＞0；（D ） a ＜ 0， b ＜ 0， c ＞ 0．Ox2．如果点 A （ 1， 3）、 B （ m ，3）是抛物线 y a( x 2)2（第 1 题图）h 上两个不同的点，那么 m 的值为（▲）（A ）2;（B ）3; （C ）4;（D ）5.3．在以 O 为坐标原点的直角坐标平面内, 有一点 A （ 3，4），射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角为，那么 cos α的值为（ ▲ ）3 4 4 3 （A ） ;（B ） ;（C ） ;（D ） .53544．下列两个三角形不一定相似的是（▲）（ A ）两条直角边的比都是 2:3 的两个直角三角形 ;（ B ）腰与底的比都是 2:3 的两个等腰三角形 ;（ C ）有一个内角为 50°的两个直角三角形；（ D ）有一个内角是 50°的两个等腰三角形 .5．如果 ab c ， a b3c ，且，下列结论正确的是 (▲ )A a = b ；（ B ） a+2b；（ ）（ C ）a 与b 方向相同；（ D ） a 与 b 方向相反．初三数学 第1页共10页61 的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部．如图，两条宽度都为分（图中阴影部分）的面积是 1.5, 那么 sin 的值为（▲）（A ）3; （B ）1; （C ）2;（D ）3. 4232二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） (第 6题图)7．已知：x2 ，那么 2x y = ▲．y3 x y8．已知线段 a 是线段 b 、c 的比例中项，如果 a=2， b=3，那么c= ▲ ．9．如果两个相似三角形的面积比为 3∶ 4，那么它们的相似比为▲ ．10．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点（ AP >BP ），若 AP =2，则 BP = ▲． 11．已知 Rt △ ABC 中，若∠ C=90 °， AC=3 ， BC=2 ，则∠ A 的余切值为 ▲．12．已知二次函数f x1 x2 bx c 图像的对称轴为直线 x=4，则 f 1▲ f3 .（填“ >”或“ <”）213．在直角坐标平面中， 将抛物线 y2(x 1)2 先向上平移 1 个单位， 再向右平移 1 个单位，那么平移后的抛物线表达式是▲ .14．如图，已知 D 是△ ABC 的边 AC 上一点，且 AD 2DC .如果 ABa ， ACb ，那么向量 BD 关于 a 、 b 的分解式是▲.15．如图 , 在正方形网格中，点A, B, C 是小正方形的顶点，那么tan ∠ BAC 的值为 ▲.16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20 厘米 , 宽度为30 厘米 .那么斜面 AB 的坡度为 ▲ .17．以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距” .如果一个等腰直角三角形的腰长为 2，那么它的“肩心距”为▲ ．18．如图，矩形 ABCD 中，AD =1, AB=k.将矩形 ABCD 绕着点 B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′.联结 A D ′,分别交边 CD, A ′B 于 E 、F. 如果 AE2D ' F , 那么 k= ▲ .ACAA ′ D ′20F30D A DECBBBAB C ′C(第 14题图)(第 15题图)(第 16题图)(第18题图)初三数学 第2页 共10页三、解答题：（本大题共7 题，满分78 分）19．（本题满分10 分）3(2cos 45 )23tan 30计算：2sin2 60 cos 60cot 3020．（本题满分10 分 ,第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分）已知二次函数y x24x 1.（ 1 ）将函数y x24x 1的解析式化为y a x m 2k 的形式，并指出该函数图像顶点B坐标.（ 2）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y x24x 1 与y轴交点为C，抛物线的对称轴y与 x 轴交点为 A.求四边形OABC 的面积.O x21．（本题满分 10 分）(第 20题图)如图，在梯形ABCD 中， AD ∥ BC, ∠C=90° , AD=AB= 13,BD= 24.求边 DC 的长 .A DB C(第 21题图) 22．（本题满分10 分）如图，小岛 A 在港口 P 的南偏西 45°方向上，一艘船从港口 P，沿着正南方向，以每小时 12 海里的速度航行， 1 小时 30 分钟后到达 B 处，在 B 处测得小岛 A 在它的南偏西 60°的方向上 .小岛 A 离港口 P 有多少海里 ?北P东45°B60°A(第 22题图)初三数学第3页共10页23．（本题满分 12 分 ,第（ 1）小题 5 分，第（ 2）小题 7 分）已知：如图，点 D 、F 在△ ABC 边 AC 上，点 E 在边 BC 上，且 DE∥ AB，CD2CF CA.（ 1）求证： EF∥ BD；C（ 2）如果AC CF BC CE ，求证： BD 2DE BA.FD EA(第 23题图)B 24．（本题满分12 分 ,第（ 1）小题 3 分，第（ 2）小题 4 分，第（ 3）小题 5 分）如图，已知抛物线y＝﹣ x2+bx+c 经过点 A( 3,0) ，点 B（ 0, 3）. 点 M（ m， 0）在线段 OA 上（与点 A，O 不重合），过点 M 作 x 轴的垂线与线段AB 交于点 P，与抛物线交于点Q，联结 BQ．（1）求抛物线表达式；（2）联结 OP，当∠ BOP =∠ PBQ 时，求 PQ 的长度；（3）当△PBQ 为等腰三角形时，求 m 的值 .y yB QBPA AO M x O x（第 24 题图）（第 24题备用图）25．（本题满分 14 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）、（ 3）小题各 5 分）已知 tan∠ MON =2，矩形 ABCD 的边 AB 在射线 OM 上， AD =2， AB=m， CF ⊥ON，垂足为点 F.（1）如图（ 1），作 AE⊥ ON，垂足为点 E.当 m=2 时 ,求线段 EF 的长度；（2）如图（ 2），联结 OC，当 m=2,且 CD 平分∠ FCO 时，求∠ COF 的正弦值；（ 3）如图（ 3），当△ AFD 与△ CDF 相似时，求 m 的值 .NN NFF FD C D CCE DO A BM O AB M O A BM第 25 题图（ 1）第 25 题图（ 2）第 25 题图（ 3）初三数学第4页共10页2019 学年第一学期松江区初三数学期末质量监控试卷参考答案一、选择题：1. C;2. B;3.A;4. D ;5.D;6.C.二、填空题：14;9.3;10.51;3;12.>;7. ;8.211.53213. y2x2 +1;14.a 2b ;15.2;16.1:317.2+618. 2 1.;323三、解答题：（本大题共7 题，满分78 分）3（2+3）19.解：原式 =2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 5 分）312（23）2 2=3-2+ 3⋯⋯（ 2 分）3-1- 32 2=1+ 3⋯⋯（1分）1- 3=-2- 3 ⋯⋯（2分）20．解:(1)y x24x1( x2)2 5 ⋯⋯⋯⋯⋯（ 3 分）顶点坐标为B(2,-5)⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）(2)点 A（2，0）、点 B（2，-5），点 C（0，-1）⋯⋯⋯⋯⋯（2分）1S OABC(1 5) 2 6 ⋯⋯⋯⋯⋯（4分）221.解：作 AE⊥ BD，垂足为E⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）∵AD =AB∴ BE=DE∵ BD =24A D ∴ DE =12 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）∴ AE=5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）E初三数学第 5 页B C 共 10页(第 21题图 )5 ∴ sinADB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分）13∵ AD ∥BC∴ADBCBD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）5 ∴ sinCBD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）13CD CD 5∴ sinCBDBD2413⋯⋯（ 2 分）∴ CD120⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）1322.解 : 作 AC ⊥ PB ，垂足为 C ⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）PB 12 1.5 18 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）令 BC=x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）北在 Rt △ ABC 中，P东∵∠ ABC =60°∴ AC3x ⋯⋯⋯⋯（ 1 分）45° B60°在 Rt △ APC 中， ∵∠ APC =45° AC∴AC PC3x ⋯⋯⋯⋯（ 1 分）∴ 3x 18 x ⋯⋯⋯⋯（ 1 分）解得 x 9 3 9 ⋯⋯⋯⋯（ 1 分） ∴ PC=9 3 27 ⋯⋯⋯⋯（ 1 分） ∴ AP2PC 9 627 2 ⋯⋯⋯⋯（ 1 分）答 :小岛 A 离港口 P 有 9 6 27 2 海里 .⋯⋯⋯（ 1 分）23．证明：（ 1）∵ DE ∥ AB∴ CDCE⋯⋯⋯（ 1 分）CCACB初三数学第 6 页 共 10页FDEAB(第 23题图)∵CD 2CF CA∴ CDCF ⋯⋯⋯（ 1 分）CACD∴ CECF⋯⋯⋯（ 2 分）CBCD∴ EF ∥ BD ⋯⋯⋯（ 1 分） (2) ∵ AC CFBC CE∴ C A CE CB CF∵∠ C=∠ C∴△ CAB ∽△ CEF ⋯⋯⋯（ 1 分）∴∠ CAB =∠CEF ⋯⋯⋯（ 1 分）∵ EF ∥BDC∴∠ CBD = ∠ CEF ⋯⋯⋯（ 1 分）∴∠ CBD = ∠ CAB ⋯⋯⋯（ 1 分）FD∵DE ∥AB ，∴∠ BDE = ∠ DBA ⋯⋯⋯（ 1 分） A∴△ BDE ∽△ ABD ⋯⋯⋯（ 1 分）(第 23题图)∴ BDABDEBD∴ BD2DE BA ⋯⋯⋯（ 1 分）2+bx+c 经过点 A(3,0) ，点 B （0,3 ）.24.解：（ 1）∵抛物线 y ＝﹣ xc 3 ,1 分）∴9 3b c 0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ∴ b=2， c=3⋯⋯⋯（ 1 分）∴抛物线表达式为y ＝﹣ x 2+2x+3⋯⋯⋯（ 1 分）（ 2）∵ PM ⊥ x 轴∴ PM ∥y 轴∴∠ OBP =∠ BPQEByQBPAOMx（第 24 题图）初三数学 第7页 共10页∵∠ BOP=∠ PBQ∴△ OBP∽△ BPQ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）OB BP∴BP PQ∴ BP2OB PQ⋯⋯⋯（ 1 分）∴ ( 2m)23( m22m+3+m 3)即 2m2-3m29m9解得 m( m=0 舍去 ) ⋯⋯⋯（ 1 分）554PQ⋯⋯⋯（ 1分）25(3) 当 QP=QP 时点Q(2,3) 此时 m=2⋯⋯⋯（1分）当BQ=BP 时，点Q（ 1,4 ）此时 m=1⋯⋯⋯（ 2 分）当 PB=PQ 时2m m22m 3 3mm32⋯⋯⋯（2分）25．解：（1）过点 D 作 DP ⊥ CF 于点 P，交 AE 于点 Q 则∠ PDC=∠ DAQ=∠ MON ⋯⋯（ 1 分）∵在 Rt△ CDP 中DC =2,tan∠ PDC=2可得PD 2 5,⋯⋯（1分）5在Rt△ ADQ 中AD =2,tan∠ DAQ=2NFPD CEQO A B M 第 25 题图（ 1）初三数学第8页共10页可得QD 4 5,⋯⋯（1分）5∴ QP65⋯⋯（ 1分）5∴ EF65⋯⋯（ 1分）5(2)∵ CD 平分∠ FCO 时∴∠ FOD =∠ OCD∵CD∥OM∴∠ COM =∠OCD∴ tan COM CB21⋯⋯（1分）OB OB2NFD COA B M第 25 题图（ 2）∴OB=4⋯⋯（ 1 分）∴OC 2 5⋯⋯（1分）延长 CD 交 ON 于 K,过点 K 作 KQ⊥OM，垂足为Q KQ= 2,OQ= 1,CK =3CF 65⋯⋯（ 1 分）5sin COF 3⋯⋯（ 1 分）5(3)由题意可知∠ CDF =∠ ADF= 135°⋯⋯（ 1 分）N 当∠ FCD =∠ FAD 时△ FCD ≌△ FADFCD =AD =2,即 m=2⋯⋯（ 1 分）当∠ FCD =∠ AFD HC D∵△ CDF ∽△ FDAO AB M ∴ DC DF第 25 题图（ 3）DF DA∴DF2DC DA ⋯⋯（1分）初三数学第 9 页共 10页令HF =t,则 DH =ttan FCDt1 t +m2t=mDF2t2m∴( 2m) 2 2m ⋯⋯（1分）∴m=1( m=0 舍去 )⋯⋯（ 1 分）初三数学第 10页共10页。