4-3小结

若有可能，试分别求出状态反馈阵K，并画出结构图。 若有可能，试分别求出状态反馈阵 ，并画出结构图。 解： ⑴ 判断系统的能控性 ：系统状态完全能控 。 ( s + 2) (s 1) ( s 1) (s + 2) (2) ( s + 1)( s + 3) (s 1) ( s + 2)( s + 3) (s + 2)
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h1 H = h2
5 + 2h1 0 0 A BHC = 1 0 h1 + 2h2 1 0 1 h2 3
闭环特征多项式是 | sI (A BHC) | = s3 + (3+h2)s2 +(h12h2+1) s (5+2h1) 显然系统是不稳定的。 显然系统是不稳定的。 不管怎样选择h1和h2，都不能使闭环特征多项式的 不管怎样选择 三个系数为任意值，所以采用输出至输入的反馈控 三个系数为任意值， 制不能任意配置闭环极点。 制不能任意配置闭环极点。
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例4-15 设受控系统的传递函数为
Y (s) 2 = U ( s ) ( s + 1)( s + 2)
设计全维状态观测器，将其极点配置在10，10 。 设计全维状态观测器，将其极点配置在 ， 解： ⑴ 由传递函数可知，该系统是能控且能观 由传递函数可知， 的，建立其能控标准型实现 ：
1 0 A= 2 3 0 B= 1 C = [2 0]
10
例4-10 已知线性定常系统的传递函数为 欲将闭环极点配置在s1= 2，s2 = 1+j，s3= 1j， 欲将闭环极点配置在 ， ， ， 试确定状态反馈阵K。 试确定状态反馈阵 。 解：因为给定系统的传递函数无零极点相消，所 因为给定系统的传递函数无零极点相消， 以给定系统为能控的， 以给定系统为能控的，能够通过状态反馈将闭环极点 配置在希望的位置上。 配置在希望的位置上。由给定的传递函数可写出相应 的能控标准形 0 0 1 0
x = 0 0 1 x + 0 u 0 2 3 1 y = [10 0 0]x
10 G ( s) = s ( s + 1)( s + 2)
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希望的特征多项式为 (s+2) (s+1+j) (s+1j) = s3 + 4s2 + 6s + 4 原系统的特征多项式为 s (s+1) (s+2) = s3 + 3s2 + 2s 令 K = [ k 1 k 2 k 3] K = [a3*a3 a2*a2 a1*a1 ] = [ 4 0 6 2 4 3]
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(1) 闭环系统的极点具有分离特性，即闭环极点是 闭环系统的极点具有分离特性， 由观测器的极点和直接状态反馈闭环系统的极点组成 并且两者是相互独立的。设计时可分别独立进行。 的，并且两者是相互独立的。设计时可分别独立进行。 (2) 闭环系统的传递矩阵具有不变性，也就是说总 闭环系统的传递矩阵具有不变性， 的闭环传递矩阵等于直接状态反馈闭环系统的传递矩 阵。 (3) 带观测器的状态反馈系统，只有当 →∞，即进 带观测器的状态反馈系统，只有当t→∞ →∞， 入稳态时，才会与直接状态反馈系统完全等价。 入稳态时，才会与直接状态反馈系统完全等价。 (4) 带观测器的闭环系统一定是不能控但能观测的
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习题4-5 受控系统的传递函数为 习题
( s 1)( s + 2) G ( s) = ( s + 1)( s 2)( s + 3)
试问能否利用状态反馈，将传递函数变为 试问能否利用状态反馈，
( s 1) ( s + 2)( s + 3) ( s + 2) ( s + 1)( s + 3)
3
Hale Waihona Puke 2. 输出反馈与极点配置r u B
∫
A
x C
y
ΣK[(A BHC),B,C] H u B
∫
A H
x C
y
ΣK[(A HC),B,C]
4
⑴ 用输出至状态微分的反馈可任意配置闭环极 点的充要条件是被控系统完全能观测。 点的充要条件是被控系统完全能观测。 ⑵ 用输出至状态微分的反馈保持系统的能观测 但不一定能保持系统的能控性。 性，但不一定能保持系统的能控性。也不改变系统 的闭环零点。 的闭环零点。 ⑶ 用输出至参考输入的反馈不能实现任意的极 点配置。若要任意配置闭环极点必须串联补偿器。 点配置。若要任意配置闭环极点必须串联补偿器。 这类输出反馈， 这类输出反馈，可保持系统的能控性和能观测性不 变。
x = ( A GC ) x + Bu + Gy 17 1 0 8.5 = x + 1u + 23.5 y 49 3
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g2 = 23.5
习题4-7 已知系统的状态方程为 习题
0 1 0 0 x=0 0 1 x + 0 u 0 3 1 1
7
4. 带观测器的状态反馈闭环系统的性质
r u B
∫
A G
x C
y
B
∫
A K
^ x
C ^ y
8
x A BK x B = x + Br x GC A GC BK y = [C 0] x x x A BK = x x 0 y = [C 0 ] x x x BK x B x x + 0 r A GC
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结
束
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试判断系统是否可以采用状态反馈，分别配置以下 试判断系统是否可以采用状态反馈， 两组闭环极点： 2， 2， 1}； 2， 2， 3}。 两组闭环极点：{2，2，1}；{2，2，3}。若能 配置，求出反馈阵K。 配置，求出反馈阵 。 解法1： 解法 ： ⑴ 判断系统的能控性 ： { 2，2，1 } 可以配置； 可以配置； ， ， { 2，2，3 } 不可以配置。 不可以配置。 ， ，
现代控制理论
主讲：杨西侠 主讲：
山东大学网络教育学院
第4章 小 结 章
1. 状态反馈与极点配置
r u B x C
∫
A
y
K
ΣK[(A BK),B,C]
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(1) 状态反馈不改变受控系统Σ(A，B，C)的能控 状态反馈不改变受控系统Σ ， ， 的能控 但却不一定保持系统的能观测性。 性，但却不一定保持系统的能观测性。 (2) 用状态反馈实现闭环极点任意配置的充要条 用状态反馈实现闭环极点任意配置的充要条 是被控系统能控。 件是被控系统能控。 (3) 状态反馈不改变系统的零点，只改变系统的 状态反馈不改变系统的零点， 极点。 极点。 (4) 当受控系统不完全能控时，状态反馈只能任 当受控系统不完全能控时， 意配置系统能控部分的极点 能控部分的极点， 意配置系统能控部分的极点，而不能改变不能控部 分的极点。 分的极点。
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s+1 sI ( A BK) = 0
0 s
0 1 s 1+ k3
k1 3+ k2
| sI ( A BK) | = (s+1) [ s2 + (1+ k3) s + 3+ k2 ] 而希望的特征多项式为 (s +1)(s +2) (s +2) = (s +1) (s2 + 4s + 4) [ k2 k3] = [1 5]
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（2）状态反馈极点配置 令 K = [ k2 k3]，原系统闭环特征多项式为 ， | sI A | = s2 s + 3 而希望的特征多项式为 (s + 2) (s + 2) = s2 + 4s + 4 [ k2 k3] = [ 4 3 4 (1)] = [1 5] 或 | sI ( A BK) | = s2 + (1+ k3) s + 3+ k2 解法2： ⑴ 判断系统的能控性 ： 解法 ： （2）状态反馈极点配置 令 K = [ k1 k2 k3]，状态反馈闭环特征多项式为 ，
令观测器的反馈矩阵为
g1 G= g2
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s + 2 g1 sI ( A GC ) = 2 + 2 g2
1 s+3
= s 2 + (3 + 2 g1 ) s + (6 g1 + 2 g 2 + 1)
而希望的特征多项式为 (s + 10) (s +10) = s2 +20s + 100 g1=8.5 所以全维状态观测器为
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例4-11 已知系统的状态空间表达式为
0 0 5 A = 1 0 1 0 1 3 2 0 B = 1 2 0 1 C = [0 0 1]
设计输出反馈阵H，使闭环系统渐近稳定。 设计输出反馈阵 ，使闭环系统渐近稳定。 解： 利用能观测标准形可以判定原系统是能观测的。 利用能观测标准形可以判定原系统是能观测的。 列出原系统的特征多项式为 |sI A | = s3 + 3s2 + s 5 显然系统是不稳定的。 显然系统是不稳定的。 采用输出至输入的反馈控制， 采用输出至输入的反馈控制，设u = r Hy，并设输 ， 出反馈阵为
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3. 状态观测器
u ( A, Ｂ, C ) y
G B 状态观测器
∫
A
^ x
C ^ x
^ y
x = Ax + G ( y y ) + Bu = ( A GC ) x + Bu + Gy
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⑴ 状态观测器的任务是实现状态估计，结构 状态观测器的任务是实现状态估计， 是渐近观测器，即当t→∞ 时， x = x 。 是渐近观测器，即当 →∞ ⑵ 状态观测器存在的充要条件是受控系统其不 状态观测器存在的充要条件 存在的充要条件是受控系统其不 能观测的部分是渐近稳定的。 能观测的部分是渐近稳定的。 ⑶ 状态观测器极点可任意配置的充要条件是受 状态观测器极点可任意配置的充要条件 极点可任意配置的充要条件是受 控系统是完全能观测的。 控系统是完全能观测的。