概率统计的解题技巧
高中数学中的概率与统计解题技巧
高中数学中的概率与统计解题技巧概率与统计是高中数学中的一个重要分支，涉及到对事件发生的可能性进行分析和对数据进行整理与分析的技巧。
在解题过程中，掌握一些概率与统计解题的方法和技巧能够帮助我们更加准确地解答问题。
本文将为大家介绍一些常用的高中数学概率与统计解题技巧。
一、概率解题技巧1. 根据题目中的条件确定事件的样本空间：在解概率问题时，首先要明确样本空间，即实验所有可能的结果组成的集合。
通过仔细阅读题目中所给的条件，将问题抽象成一个随机试验，确定样本空间，有助于问题的解答。
2. 利用基本概率公式求解：在许多概率问题中，我们常使用基本概率公式来求解。
基本概率公式是指 P(A) = n(A) / n(S)，其中 P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 中有利的结果的个数，n(S) 表示样本空间的大小。
3. 考虑联合事件、互斥事件和补事件的概率计算：在复杂的概率问题中，我们需要考虑联合事件、互斥事件和补事件的概率计算。
联合事件是指两个或多个事件同时发生的情况，互斥事件是指两个或多个事件不可能同时发生的情况，而补事件是指某个事件不发生的情况。
通过对这些事件的概率进行计算，可以解答一些复杂的概率问题。
4. 运用条件概率与独立性概念：条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
独立事件是指两个或多个事件之间互不影响的情况。
在解答有关条件概率和独立性相关的问题时，我们需要运用条件概率和独立性概念。
二、统计解题技巧1. 数据收集与整理：在解决统计问题时，第一步要进行数据的收集与整理。
通过分析题目给出的条件，确定所需收集的数据，并将其整理成表格、图表等形式，有助于更好地理解问题。
2. 求解频率分布表与频率直方图：频率分布表和频率直方图是统计中常用的两个工具。
通过记录数据出现的频次，我们可以制作频率分布表和频率直方图，从而更直观地分析数据的分布情况。
3. 求解均值、中位数与众数：统计中常用的三个中心趋势指标是均值、中位数和众数。
概率论解题技巧
概率论解题技巧概率是数学中一个重要的分支，广泛应用于各个领域。
解决概率论问题的技巧对于学习和应用概率都是至关重要的。
本文将介绍一些常见的概率论解题技巧，并通过实例进行详细说明。
一、排列组合技巧排列组合是概率论解题中常用的技巧之一。
在排列组合中，我们需要考虑不同元素的排列顺序和组合方式。
1. 计算排列数排列是指从n个元素中选取r个元素，考虑其排列顺序的方式。
排列数的计算公式为：\[P(n,r) = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}\]其中，n表示总元素个数，r表示选取元素的个数。
举例说明：从1、2、3、4、5这五个数字中选取3个数字，共有多少种排列方式？解答：根据公式，可以得到P(5,3) = \(\frac{{5!}}{{(5-3)!}}\) = 5 ×4 × 3 = 60种排列方式。
2. 计算组合数组合是指从n个元素中选取r个元素，不考虑其排列顺序的方式。
组合数的计算公式为：\[C(n,r) = \frac{{n!}}{{r!(n-r)!}}\]举例说明：从1、2、3、4、5这五个数字中选取3个数字，共有多少种不同的组合方式？解答：根据公式，可以得到C(5,3) = \(\frac{{5!}}{{3!(5-3)!}}\) = 5 ×4 × 3 / (3 × 2 × 1) = 10种组合方式。
二、事件概率计算技巧事件概率是指某个事件在所有可能结果中发生的概率。
下面介绍几种常见的事件概率计算技巧。
1. 等概率事件的概率计算对于等概率事件，即每个结果发生的概率相同的情况，事件概率的计算公式为：\[P(A) = \frac{{事件A发生的次数}}{{总的可能结果数}}\]举例说明：一枚骰子投掷一次，计算出现3的概率。
解答：由于一共有6个可能结果（1、2、3、4、5、6），其中只有一个结果是3，所以概率为1/6。
2. 独立事件的概率计算对于独立事件，即某个事件的发生不影响其他事件发生的情况，事件概率的计算公式为事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即：\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\]举例说明：从一副扑克牌中抽取一张牌，计算先抽到红桃后抽到黑桃的概率。
高中数学学习中的概率与统计解题技巧
高中数学学习中的概率与统计解题技巧在高中数学学习中，概率与统计是一个重要的知识点，也是一门非常实用的数学学科。
掌握概率与统计的解题技巧对于高中学生来说至关重要。
本文将介绍一些在概率与统计解题过程中常用的技巧和方法。
一、概率解题技巧概率是研究随机事件发生可能性的数学方法。
在解决概率问题时，我们可以采用以下技巧：1. 熟悉概率基本术语：在解题之前，我们需要先熟悉一些概率的基本术语，例如事件、样本空间、样本点、试验等。
只有对这些基本概念有清晰的认识，我们才能更好地理解问题，并进行正确的计算。
2. 利用树状图或表格列出所有可能性：当问题中涉及多个事件时，使用树状图或表格可以帮助我们更清晰地列出所有可能的情况。
这样有助于我们确定事件发生的概率，并找到解题的路径。
3. 了解常用的概率模型和公式：在解决概率问题时，有一些常用的概率模型和公式可以帮助我们快速计算。
例如，乘法原理、加法原理和条件概率公式等，都是解决概率问题时常用的工具。
4. 理性判断和合理估计：在某些情况下，我们可能无法得到准确的数据。
这时，我们需要根据已有的信息和经验合理估计，并做出理性判断。
二、统计解题技巧统计是指收集、整理、分析和解释数据的过程。
在解决统计问题时，可以采用以下技巧：1. 认识统计数据的特征：在处理统计问题之前，我们需要了解统计数据的特点，例如，平均数、中位数、众数和标准差等。
只有对统计数据的特征有清晰的认识，我们才能更好地分析问题，并得出准确的结论。
2. 图表分析和解读：图表是展示数据的直观工具，我们需要学会阅读和解读各种图表，例如条形图、折线图、饼图和散点图等。
通过图表的分析，我们可以更清楚地看到数据的趋势和分布规律，从而得出结论。
3. 利用统计方法进行推断：在某些情况下，我们无法获得完整的数据，但是可以通过采样等方法获得部分数据。
这时，我们可以利用统计方法进行推断，并推广到整个群体，得出相应的结论。
4. 理性思考和判断：在解决统计问题时，我们需要理性思考，不要被数据表面的关联性所迷惑。
概率统计的解题技巧
概率统计的解题技巧即可查看其他科目资源《概率论与数理统计》期末考试试题概率统计的解题技巧一、重点解析1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．4．会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率．5．掌握离散型随机变量的分布列.6．掌握离散型随机变量的期望与方差.7．掌握抽样方法与总体分布的估计.8．掌握正态分布与线性回归.二、例题解析考点 1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:考点 4 抽样方法与总体分布的估计抽样方法1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样. 常用抽签法和随机数表法.2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取 1 个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样） .3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.后面会附有答案解析答案。
高考数学中概率与统计的解题技巧有哪些
高考数学中概率与统计的解题技巧有哪些在高考数学中，概率与统计是一个重要的考点，也是很多同学感到头疼的部分。
但其实，只要掌握了一些解题技巧，就能在这部分题目中取得较好的成绩。
首先，我们要对基本概念有清晰的理解。
概率的定义是事件发生的可能性大小，而统计则是对数据的收集、整理、分析和解释。
比如，随机事件、必然事件、不可能事件，以及概率的加法公式、乘法公式等，这些都是解题的基础。
如果对基本概念模糊不清，就很容易在解题时出现错误。
在理解概念的基础上，要善于运用公式。
比如，古典概型的概率公式 P(A) ＝ m ／ n ，其中 m 是事件 A 包含的基本事件个数，n 是基本事件总数。
还有条件概率公式 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) 等。
在使用公式时，要注意其适用条件，不能盲目套用。
对于排列组合问题，这是概率计算中的一个常见难点。
要掌握好排列数和组合数的计算公式，以及解决排列组合问题的常用方法，如捆绑法、插空法、特殊元素优先法等。
例如，在计算从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数时，如果存在相邻元素需要捆绑在一起看作一个整体，再与其他元素进行排列；如果存在不相邻元素，则先排其他元素，然后将不相邻元素插入到这些元素形成的空隙中。
概率与统计中的图表问题也不容忽视。
比如，频率分布直方图、茎叶图等。
要能够从图表中获取关键信息，比如频率、平均数、中位数、众数等。
通过对图表的观察和分析，找到解题的线索。
在处理概率问题时，要学会分类讨论。
有时候一个问题可能需要分成多种情况来考虑，分别计算每种情况的概率，然后再根据题目要求进行综合。
例如，在掷骰子的问题中，可能需要分别考虑点数为奇数和偶数的情况。
另外，反证法也是一种常用的解题技巧。
当直接证明某个结论比较困难时，可以先假设其反面成立，然后推出矛盾，从而证明原结论的正确性。
在统计部分，样本均值、样本方差的计算方法要熟练掌握。
同时，要理解样本对总体的估计作用，能够根据样本数据对总体的参数进行估计和推断。
概率与统计常见问题的解题技巧
概率与统计常见问题的解题技巧一、引言概率与统计是数学中重要的分支，它们在实际生活和科学研究中都有广泛的应用。
在解题过程中，我们常常会遇到一些常见的问题和难题。
本文将介绍一些解题技巧，帮助读者更好地解决概率与统计领域的常见问题。
二、概率问题的解题技巧概率问题涉及到随机事件的发生概率。
以下是其中一些常见问题的解题技巧：1. 互斥事件的概率计算当两个事件是互斥事件（即两个事件不可能同时发生）时，可以通过计算两个事件的概率之和来得到它们的并集概率。
2. 独立事件的概率计算当两个事件是独立事件（即一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率）时，可以通过计算两个事件的概率之积来得到它们的交集概率。
3. 条件概率的计算当两个事件的发生概率有关联时，需要利用条件概率的概念来计算它们的概率。
条件概率可以通过给定条件下的概率计算得出。
4. 贝叶斯定理的应用贝叶斯定理可以用于计算反向条件概率，即已知结果的情况下，计算其引起的原因的概率。
它在概率问题中有重要的应用价值。
三、统计问题的解题技巧统计问题涉及到数据的收集、整理和分析。
以下是其中一些常见问题的解题技巧：1. 数据统计的基本概念在进行统计分析时，需要了解一些基本概念，如均值、中位数、标准差等，这些概念能够帮助我们更好地理解数据的分布情况。
2. 数据收集和整理在进行统计分析之前，需要进行数据收集和整理。
这包括选择合适的样本，设计问卷调查或实验，并对数据进行清洗和归纳整理。
3. 统计推断统计推断是根据样本数据对总体进行推断。
通过样本平均值和样本标准差等统计量，可以对总体平均值和总体标准差进行估计。
4. 假设检验假设检验是用来检验研究者对总体参数的假设是否成立。
它可以帮助我们判断某个因素对样本数据是否有显著影响。
四、总结概率与统计是数学中重要的分支，解决概率与统计问题需要一定的技巧和方法。
本文简要介绍了概率问题和统计问题的一些常见解题技巧，希望能对读者在解决概率与统计问题时提供一些帮助。
高中数学掌握概率统计的五大解题方法
高中数学掌握概率统计的五大解题方法概率统计是高中数学中的一个重要内容，也是考验学生解题能力和逻辑思维的关键之一。
在掌握概率统计的过程中，学生需要掌握一些解题方法来提高解题效率和准确性。
本文将介绍高中数学掌握概率统计的五大解题方法。
第一种解题方法是“排列组合法”。
排列组合是概率统计中常用的计数方法，用于确定事件发生的可能性。
在解题过程中，首先确定事件的基本单位，然后根据排列组合公式计算可能的情况数。
通过计算可能性数量，我们可以得到概率值，进而解决问题。
例如，有5个学生参加某项竞赛，问他们获奖的可能性有多大？我们可以利用排列组合公式计算出共有多少种可能性，再根据题目给出的条件计算出所需概率。
第二种解题方法是“事件的补集法”。
在概率统计中，我们可以通过求一个事件的补集来间接地计算概率。
补集是指与某一事件相对立的事件，其发生与原事件不发生是互相排斥的。
通过计算补集的概率，我们可以用1减去补集的概率得到原事件的概率。
例如，某班级男生占全班的60%，求女生占全班的概率。
我们可以通过求男生不占全班的概率来得到女生占全班的概率。
第三种解题方法是“条件概率法”。
条件概率是指在某一条件下，事件发生的可能性。
在解题过程中，我们需要根据题目给出的条件来确定事件发生的概率。
例如，某班级有40%的学生患有近视，已知该班级的男生患有近视的概率为30%，女生患有近视的概率为50%，求某个学生为女生的条件下，患有近视的概率。
通过条件概率的计算，我们可以得到所需概率值。
第四种解题方法是“贝叶斯定理”。
贝叶斯定理是概率统计中一个重要的公式，用于计算在已知某一条件下，另一事件发生的概率。
在解题过程中，我们需要利用已知的条件概率和事件的边际概率来计算所需概率。
例如，在某疾病流行的地区，已知某种疾病的发生率为1%，而某种药物的阳性率为95%，由此求某人得了这种疾病的概率。
我们可以利用贝叶斯定理来计算所需概率。
第五种解题方法是“期望值法”。
高中数学概率统计解题技巧
高中数学概率统计解题技巧概率统计是高中数学中的一门重要课程，也是考试中常见的题型。
掌握好解题技巧，能够帮助学生提高解题效率，更好地应对考试。
本文将从几个常见的概率统计题型入手，分析其考点和解题方法，帮助学生掌握解题技巧。
一、排列组合题排列组合是概率统计中常见的题型，它要求我们计算某种情况下的可能性。
例如，某班有10个学生，要从中选出3个学生组成一个小组，问有多少种不同的选法？这类题目的关键在于确定组合的方式。
对于上述问题，我们可以使用组合公式C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)来计算。
其中，n表示总数，m表示选取的个数。
二、事件概率题事件概率题是概率统计中最基础的一类题型，它要求我们计算某个事件发生的概率。
例如，抛一枚骰子，问出现奇数的概率是多少？解决这类问题的关键在于确定样本空间和事件发生的可能性。
对于上述问题，骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}，而出现奇数的事件为{1,3,5}，所以概率为3/6=1/2。
三、条件概率题条件概率题是概率统计中较为复杂的一类题型，它要求我们在给定某个条件下计算事件发生的概率。
例如，某班有30个学生，其中20个是男生，10个是女生。
从中随机选取一个学生，问选到女生的概率是多少？解决这类问题的关键在于确定条件下的样本空间和事件发生的可能性。
对于上述问题，在给定条件下，样本空间为{男生，女生}，而选到女生的事件为{女生}，所以概率为10/30=1/3。
四、独立事件题独立事件题是概率统计中常见的一类题型，它要求我们计算多个事件同时发生的概率。
例如，某班有30个学生，其中20个是男生，10个是女生。
从中随机选取两个学生，问选到两个女生的概率是多少？解决这类问题的关键在于确定事件的独立性和事件发生的可能性。
对于上述问题，选到第一个女生的概率为10/30=1/3，选到第二个女生的概率为9/29。
由于两个事件是相互独立的，所以选到两个女生的概率为(1/3)*(9/29)=3/29。
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概率统计的解题技巧【命题趋向】概率统计命题特点：1.在近五年高考中,新课程试卷每年都有一道概率统计解答题,并且这五年的命题趋势是一道概率统计解答题逐步增加到一道客观题和一道解答题；从分值上看,从12分提高到17分；尤其是实施新课标考试的省份, 增加到两道客观题和一道解答题．值得一提的是此类试题体现了考试中心提出的“突出应用能力考查”以及“突出新增加内容的教学价值和应用功能”的指导思想,在命题时,提高了分值,提高了难度,并设置了灵活的题目情境,如测试成绩、串联并联系统、计算机上网、产品合格率、温度调节等,所以在概率统计复习中要注意全面复习,加强基础,注重应用.2.就考查内容而言,用概率定义(除法)或基本事件求事件(加法、减法、乘法)概率，常以小题形式出现；随机变量取值→取每一个值的概率→列分布列→求期望方差,常以大题形式出现．概率与统计还将在选择与填空中出现，可能与实际背景及几何题材有关．【考点透视】1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．4．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．5．掌握离散型随机变量的分布列.6．掌握离散型随机变量的期望与方差.7．掌握抽样方法与总体分布的估计.8．掌握正态分布与线性回归.【例题解析】考点一：求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：；等可能事件概率的计算步骤：①计算一次试验的基本事件总数；②设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数；③依公式求值；④答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：；特例：对立事件的概率：.(3)相互独立事件同时发生的概率：；特例：独立重复试验的概率：.其中为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式展开的第项.(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：①求概率的步骤是：第一步，确定事件性质（等可能性事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验），即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算（和事件、积事件），即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用相应的公式求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.1．(2007年上海卷文)在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是___________（结果用数值表示）．考查目的：本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.解答过程：.2．(2007年全国II卷文)一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为___________．考查目的：本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式，同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.解答过程：.3．(2007年全国I卷文)从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为__________．考查目的：本题主要考查用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间的意义和概率的求法.解答过程：在内的数共有5个，而总数是20个，所以有.点评：首先应理解概率的定义，在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误.4. （2006年湖北卷）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）考查目的：本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.解答过程：至少有3人出现发热反应的概率为.故填0.94.5．（2006年江苏卷）右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（）（A）（B）（C）（D）考查目的：本题主要考查运用组合、概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.解答过程：由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有种，所求的概率是，所以选D.点评：本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，并进一步求得概率问题，其中隐含着平均分组问题.6． (2007年全国II卷文)从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率．考查目的：本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．解答过程：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则互斥，且，故于是．解得，（舍去）．（2）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有件，故．7．（2006年上海卷）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 _________（结果用分数表示）．考查目的：本题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.解答过程：从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有种，左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有种.所以, 将符合条件的长篇小说任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是种.所以,填.8．（ 2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.考查目的：本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.解答过程：（I）记“取到的4个球全是红球”为事件，则.（II）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件，“取到的4个球只有1个红球”为事件，“取到的4个球全是白球”为事件.由题意，得所以，化简得，解得，或（舍去），故.9. (2007年全国I卷文)某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．考查目的：本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．解答过程：（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．，．（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．则．，．．10．（2006年北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）考查目的：本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.解答过程：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为、、，则、、之间是相互独立的，且，，.(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率应聘者用方案二考试通过的概率(Ⅱ)∴11．(2007年陕西卷文)某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率. （注：本小题结果可用分数表示）考查目的：本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．解答过程：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则之间是相互独立的，且，，，，该选手进入第四轮才被淘汰的概率：．（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率；．考点二：离散型随机变量的分布列1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量可能取的值为，，……，，……，取每一个值（1，2，……）的概率，则称下表.为随机变量的概率分布，简称的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1），1，2，…;（2）.②常见的离散型随机变量的分布列：（1）二项分布次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n，并且，其中，，随机变量的分布列如下：称这样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记： .（2）超几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.随机变量的概率分布为：12．（2007年四川卷理）厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望,并求出该商家拒收这批产品的概率.考查目的：本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.解答过程：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件A来算，有（Ⅱ）可能的取值为．，，．记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率．所以商家拒收这批产品的概率为．13．（2007年陕西卷理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.（注：本小题结果可用分数表示）考查目的：本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.解答过程：解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则之间是相互独立的，且，，，该选手被淘汰的概率（Ⅱ）的可能值为，有，，．的分布列为．解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则之间是相互独立的，且，，，该选手被淘汰的概率．（Ⅱ）同解法一．考点三：离散型随机变量的期望与方差(1)离散型随机变量的数学期望：…；期望反映随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差：……；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：；.(4)若～B(n，p)，则；；如果随机变量服从超几何分布，，则，.14．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、，和的分布列如下：则比较两名工人的技术水平的高低为___________.思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.解答过程：工人甲生产出次品数的期望和方差分别为：，工人乙生产出次品数的期望和方差分别为：，由知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当；但，可见乙的技术比较稳定.小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.15.（2007年全国I理）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为：商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（Ⅱ）求的分布列及期望．考查目的：本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.解答过程：（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，．（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．，，．的分布列为：（元）．小结：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.16.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是A.70，25B.70，50C.70，1.04D.65，25解答过程：易得没有改变，，而.答案：B考点四：抽样方法与总体分布的估计抽样方法：1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.总体分布的估计：由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.17.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n=___________.解答过程：A种型号的总体是，则样本容量.18．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同，若，则在第7组中抽取的号码是___________．解答过程：第组的号码为，，…，，当m=6时，第k组抽取的号的个位数字为m+k的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63．19．考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下：⑴作出频率分布表；⑵画出频率分布直方图.思路启迪：确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.解答过程：⑴最低身高为151，最高身高180，其差为180-151=29。