江苏省宿迁市 九年级(上)第一次月考数学试卷

九年级（上）第一次月考数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.方程x2-4x+3=0中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A. 1，4，3B. 2，−4，3C. 1，−4，3D. 2，−4，32.一元二次方程x2+4x=0的解是（）A. x=−4B. x1=0，x2=−4C. x=4D. x1=0，x2=43.如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=70°，则∠ACB的度数为（）A. 70∘B. 50∘C. 40∘D. 35∘4.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）A. 三条中线交点B. 三条角平分线交点C. 三条高的交点D. 三条边的垂直平分线交点5.某型号的手机连续两次降阶，每台手机售价由原来的3600元降到2500元，设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（）A. 2500(1+x)2=3600B. 3600(1−x2)=2500C. 3600 (1−2x)=2500D. 3600(1−x)2=25006.如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O半径长为（）A. 10B. 5C. 6D. 107.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则这个三角形的外接圆的半径是（）A. 10B. 5C. 4D. 38.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为42，则a的值是（）A. 4B. 3+2C. 32D. 3+3二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9.当m=______时，关于x的方程2x m-2=5是一元二次方程．10.已知关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是______．11.已知α、β是一元二次方程x2+3x-6=0的两个根，则（α+1）（β+1）值是______．12.内角和等于外角和2倍的多边形是______边形．13.等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为______．14.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD=______°．15.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆的半径为5cm，小圆的半径为3cm，则弦AB的长为______cm．16.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC=______°．17.在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-4，0），半径为1的动圆⊙P沿x轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为______．18.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为5，则GE+FH的最大值为______．三、计算题（本大题共4小题，共40.0分）19.解方程（1）（x+1）2-9=0（2）2x2-4x+1=020.如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC=50°，求∠BAD的度数．21.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，M为劣弧AB上一点（不与A、B重合）过点M的切线分别与PA、PB相交于点C、D，Q为优弧AB上一点（不与A、B重合）．（1）若PA=10，求△PCD的周长；（2）若∠P=40°，求∠AQB的度数．22.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）23.已知关于x的方程x2+4x+3-a=0．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解．24.如图，在长32米宽20米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条矩形道路，要使耕地面积达到570平方米，则道路宽度是多少米？25.如图，已知AB为圆O的直径，M，N分别为OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N，连结OC，OD，求证：AC=BD．26.如图，AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，∠AOB=3∠D．求证：DE=OB．27.如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若AE=25，CE=2．求⊙O的半径和AB的长度．28.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，但售价不能超过70元．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？答案和解析1.【答案】C【解析】解：方程x2-4x+3=0中二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，-4，3，故选：C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2.【答案】B【解析】解：方程分解得：x（x+4）=0，可得x=0或x+4=0，解得：x1=0，x2=-4，故选：B．方程整理后，利用因式分解法求出解即可．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB=70°，∴∠AOC=∠AOB=×70°=35°．故选：D．找到图中的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可直接得出∠ACB的度数．本题考查了圆周角定理，找到图中的圆心角和圆周角是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵到△ABC的三条边距离相等，∴这点在这个三角形三条角平分线上，即这点是三条角平分线的交点．故选：B．由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到△ABC的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择．此题主要考查了三角形的角平分线的性质：三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．5.【答案】D【解析】解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，3600（1-x）2=2500．故选：D．设出平均每次下调的百分率为x，利用原价×（1-每次下调的百分率）2=实际售价列方程解答即可．此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，基本数量关系：原价×（1-每次下调的百分率）2=实际售价．6.【答案】B【解析】解：连接OB，∵AB切⊙O于B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，设⊙O的半径长为r，由勾股定理得：r2+122=（8+r）2，解得r=5．故选：B．连接OB，根据切线的性质求出∠ABO=90°，在△ABO中，由勾股定理即可求出⊙O的半径长．本题考查了切线的性质和勾股定理的应用，关键是得出直角三角形ABO，主要培养了学生运用性质进行推理的能力．7.【答案】B【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴BA===10，∴其外接圆的半径为5．故选：B．首先根据勾股定理，得其斜边是10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是5．本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的斜边就是外接圆的直径．8.【答案】B【解析】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：B．PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．9.【答案】4【解析】解：依题意得：m-2=2，解得m=4．故答案是：4．根据一元二次方程的定义求得m的值，再进一步代入解方程即可．此题主要是注意一元二次方程的条件：未知数的最高次数是二次，且系数不得为0．10.【答案】1【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4-4m=0，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．【解答】解：∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=4-4m=0，解得：m=1．故答案为：1．11.【答案】-8【解析】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x-6=0的两个根，∴α+β=-3，αβ=-6，∴（α+1）（β+1）=αβ+（α+β）+1=-6+（-3）+1=-8．故答案为：-8．根据根与系数的关系可得出α+β=-3，αβ=-6，将其代入（α+1）（β+1）=αβ+（α+β）+1中即可求出结论．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．12.【答案】六【解析】解：设多边形有n条边，由题意得：180（n-2）=360×2，解得：n=6，故答案为：六．设多边形有n条边，则内角和为180°（n-2），再根据内角和等于外角和2倍可得方程180（n-2）=360×2，再解方程即可．此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n-2）．13.【答案】10【解析】解：∵x2-6x+8=0，∴（x-2）（x-4）=0，解得：x=2或x=4，∵等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，∴当2是等腰三角形的腰时，2+2=4，不能组成三角形，舍去；当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4=10．∴这个三角形的周长为10．故答案为：10．由等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．此题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解法．解题的关键是注意分类讨论你思想的应用．14.【答案】35【解析】解：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°；∵OA=OD，∴∠ODA=∠CAD=∠COD=35°，故答案为：35连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=35°，从而得出∠CAD的度数．本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．15.【答案】8【解析】解：连接OA、OC，∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB，∵OA=5cm，OC=3cm，∴AC===4cm，∵AB是大圆的弦，OC过圆心，OC⊥AB，∴AB=2AC=2×4=8cm．连接OA、OC根据切线的性质可知△OAC是直角三角形，OC垂直平分AB，根据勾股定理及垂径定理即可解答．此类题目比较简单，解答此题的关键是连接OA、OC，构造出直角三角形，利用切线的性质及勾股定理解答．16.【答案】50【解析】解：连接CO，∵∠B=40°，∴∠AOC=2∠B=80°，∴∠OAC=（180°-80°）÷2=50°．故答案为：50．连接CO，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠B=80°，进而得出∠OAC的度数．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17.【答案】3或5【解析】解：若运动后⊙P与y轴相切，则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（-1，0）或（1，0），而-1-（-4）=3，1-（-4）=5，所以点P的运动距离为3或5．故答案为3或5．利用切线的性质得到点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（-1，0）或（1，0），然后分别计算点（-1，0）和（1，0）到（-4，0）的距离即可．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．18.【答案】7.5【解析】解：如图1，连接OA、OB，，∵∠ACB=30°，∴∠AOB=2∠ACB=60°，∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∵⊙O的半径为5，∴AB=OA=OB=5，∵点E，F分别是AC、BC的中点，∴EF=AB=，要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：5×2=10，∴GE+FH的最大值为：10-=7.5．故答案为：7.5．首先连接OA、OB，根据圆周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，进而判断出△AOB为等边三角形；然后根据⊙O的半径为5，可得AB=OA=OB=5，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH的最大值是多少即可．本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH 的位置是解题的关键．19.【答案】解：（1）方程整理得：（x+1）2=9，开方得：x+1=3或x+1=-3，解得：x=2或x=-4；（2）这里a=2，b=-4，c=1，∵△=16-8=8，∴x=4±224=2±22．【解析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程利用公式法求出解即可．此题考查了解一元二次方程-配方法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．20.【答案】解：连结BD，如图，∵点D是AC的中点，即弧CD=弧AD，∴∠ABD=∠CBD，而∠ABC=50°，∴∠ABD=12×50°=25°，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-25°=65°．【解析】连结BD，由于点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD，根据圆周角定理得∠ABD=∠CBD，则∠ABD=25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB的度数．本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．21.【答案】解：（1）∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴PA=PB=10，∵CD切⊙O于M，∴CA=CM，DB=DM，∵△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CM+PD+DM=PA+PB，∴△PCD的周长=20；（2）连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠P=40°，∴∠AOB=140°，∴∠AQB=12∠AOB=70°．【解析】（1）根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论；（2）连接OA，OB，根据切线的性质得到∠PAO=∠PBO=90°，根据四边形的内角和和圆周角定理即可得到结论．本题考查了圆周角定理，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．22.【答案】（1）解：连接OE，设圆O半径为r，在Rt△ABC中，BC=13，AC=5，根据勾股定理得：AB=BC2−AC2=12，∵BC与圆O相切，∴OE⊥BC，∴∠OEB=∠BAC=90°，∵∠B=∠B，∴△BOE∽△BCA，∴OEAC=BOBC，即r5=12−r13，解得：r=103；（2）∵AE=AE，∠F=2∠B，∴∠AOE=2∠F=4∠B，∵∠AOE=∠OEB+∠B，∴∠B=30°，∠F=60°，∵EF⊥AD，∴∠EMB=∠CAB=90°，∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，∴CB∥AF，∴四边形ACEF为平行四边形，∵∠CAB=90°，OA为半径，∴CA为圆O的切线，∵BC为圆O的切线，∴CA=CE，∴平行四边形ACEF为菱形．【解析】（1）连接OE，设圆的半径为r，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB 的长，根据BC与圆相切，得到OE垂直于BC，进而得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两角相等的三角形相似得到三角形BOE与三角形ABC相似，由相似得比例求出r的值即可；（2）利用同弧所对的圆周角相等，得到∠AOE=4∠B，进而求出∠B与∠F的度数，根据EF与AD垂直，得到一对直角相等，确定出∠MEB=∠F=60°，CA与EF平行，进而得到CB与AF平行，确定出四边形ACEF为平行四边形，再由∠CAB 为直角，得到CA为圆的切线，利用切线长定理得到CA=CE，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．此题考查了切线的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，以及垂径定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．23.【答案】解：（1）∵方程x2+4x+3-a=0有两个不相等的实数根，∴△=42-4×1×（3-a）=4+4a＞0，解得：a＞-1．（2）根据题意得：a=0，此时原方程为x2+4x+3=0，即（x+1）（x+3）=0，解得：x1=-1，x2=-3．【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；（2）根据（1）的结论可得出a=0，将其代入原方程，再利用因式分解法解方程，此题得解．本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）熟练掌握因式分解法一元二次方程的步骤及方法．24.【答案】解：设道路宽度是x米，根据题意得：32×20-（32x+2×20x-2x2）=570，整理得：x2-36x+35=0，解得：x1=1，x2=35（不合题意，舍去）．答：道路宽度是1米．【解析】设道路宽度是x米，根据矩形地块的面积-矩形道路的面积=耕地面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25.【答案】证明：∵OA=OB，M，N分别为OA，OB的中点，∴OM=ON，在Rt△COM和Rt△DON中，OM=ONOC=OD，∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COM=∠DON，∴AC=BD．【解析】根据全等三角形的判定定理证明Rt△COM≌Rt△DON，根据全等三角形的性质得到∠COM=∠DON，根据圆心角、弧、弦的关系证明结论．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系．掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．26.【答案】证明：连接EO．∵OB=OE，∴∠B=∠OEB，∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，∴∠B+∠D=3∠D，∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，∴∠DOE=∠D，∴ED=EO=OB，即DE=OB．【解析】连接EO，只要证明∠D=∠EOD即可解决问题．本题考查圆的有关知识、三角形的外角等知识，解题的关键是添加除以辅助线，利用等腰三角形的判定方法解决问题，属于中考常考题型．27.【答案】（1）证明：连接OA；∵∠ABC=45°，∴∠AOC=2∠ABC=90°，∴OA⊥OC；又∵AD∥OC，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=25，在Rt△OAE中，∵AO2+OE2=AE2，∴R2+（R-2）2=（25）2，解得R=4，作OH⊥AB于H，如图，OE=OC-CE=4-2=2，则AH=BH，∵12OH•AE=12•OE•OA，∴OH=OE⋅OAAE=4×225=455，在Rt△AOH中，AH=OA2−OH2=855，∵OH⊥AB，∴AB=2AH=1655．【解析】（1）连接OA，要证明切线，只需证明OA⊥AD，根据AD∥OC，只需得到OA⊥OC，根据圆周角定理即可证明；（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R=4；作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH，再利用面积法计算出OH=，然后根据勾股定理计算出AH=，再利用垂径定理得出AB=2AH═．本题考查了切线的判定定理．综合运用了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、30度的直角三角形的性质得到有关线段之间的关系，熟练运用平行线分线段成比例定理进行求解．28.【答案】解：设这种台灯的售价应定为x元，则平均每月可售出[600-10（x-40）]个，根据题意得：（x-30）[600-10（x-40）]=10000，整理得：x2-130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80（舍去）．答：这种台灯的售价应定为50元．【解析】设这种台灯的售价应定为x元，则平均每月可售出[600-10（x-40）]个，根据总利润=每个台灯的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其不超过70的值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．。