弹性力学第三章_1
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弹性力学第三章
of a rectangular plate in pure shear. P37
Fig.3.1.1(b)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
Hale Waihona Puke 11D. =bxy , X=0, Y=0
• 满足相容方程 4 =0
• 由下式求出应力分量 x=2/y2=0 y= 2/x2=0 xy=-2/xy=-b
Chapter 3 solution of plane problems in rectangular coordinates
第三章 平面问题直角坐标解答
3.1 solution by polynomials 3.1 多项式解答
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
1
Review: Inverse method 逆解法
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
9
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弹性力学 第三章
10
D. =bxy , X=0, Y=0
• It satisfies the compatibility equation 4 =0
• find the stress components by x=2/y2=0 y= 2/x2=0 xy=-2/xy=-b
u/x =My/(EI) u=Mxy/(EI)+f(y) v/y = -My/(EI) v= -My2/(2EI)+g(x) u/y+v/x=0 -df(y)/dy=dg(x)/dx+Mx/(EI)
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弹性力学 第三章
18
Separation of variables 分离变量
• Select satisfying the compatibility equation 设定 ，并 满足相容方程 4 =0 (2.12.11)
第三章 各向异性弹性力学基础
判定依据是非零应力状态下，材料的弹性 应变能位正值，应变能应是应变（或应力）的 正定二次型。 1 W S ij i j 2
W 为 i 的正定二次型的充要条件是矩阵 S
的所有主要主子式大于零，即：
S11 0,
S11
S12
S 21 S 22
0, , det Sij 0
即：
S11 S 21 S 21 0 0 0
S12 S 22 S 23 0 0 0
S12 S 23 S 22 0 0 0
0 0 0 S 44 0 0
0 0 0 0 S 66 0
0 0 0 0 0 S 66
由工程应变形式的展开式为：2 12 4而 1 4 在x3变向时要变号，为保证W相同， 则有
S14 0
同理： S14 S 24 S 34 S 46 0
S15 S 25 S 35 S 56 0
独立常数减少为13个，即
S11 S12 S 22 S13 S 23 S 33 对 称 0 0 0 S 44 0 0 0 S 45 S 55 S16 S 26 S 36 0 0 S 66
Cij C ji 刚度矩阵 Sij S ji 柔度矩阵
*
各向异性体的弹性应变能为：
1 1 W C ij i j S ij i j 2 2
拉-拉耦合 （泊桑效 应）
拉剪耦 合
C11
C22
C33 C44 C55
二、有一弹性对称面（13个弹性常数）
弹性对称面：沿这些平面的对称方向弹性性 能是相同的。 材料主轴（或弹性主轴）：垂直于弹性对称 面的轴。
W 为 i 的正定二次型的充要条件是矩阵 S
的所有主要主子式大于零，即：
S11 0,
S11
S12
S 21 S 22
0, , det Sij 0
即：
S11 S 21 S 21 0 0 0
S12 S 22 S 23 0 0 0
S12 S 23 S 22 0 0 0
0 0 0 S 44 0 0
0 0 0 0 S 66 0
0 0 0 0 0 S 66
由工程应变形式的展开式为：2 12 4而 1 4 在x3变向时要变号，为保证W相同， 则有
S14 0
同理： S14 S 24 S 34 S 46 0
S15 S 25 S 35 S 56 0
独立常数减少为13个，即
S11 S12 S 22 S13 S 23 S 33 对 称 0 0 0 S 44 0 0 0 S 45 S 55 S16 S 26 S 36 0 0 S 66
Cij C ji 刚度矩阵 Sij S ji 柔度矩阵
*
各向异性体的弹性应变能为：
1 1 W C ij i j S ij i j 2 2
拉-拉耦合 （泊桑效 应）
拉剪耦 合
C11
C22
C33 C44 C55
二、有一弹性对称面（13个弹性常数）
弹性对称面：沿这些平面的对称方向弹性性 能是相同的。 材料主轴（或弹性主轴）：垂直于弹性对称 面的轴。
第3章 弹性力学基础知识-1弹性力学的平衡
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。 单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。 单元体
Z
σz τzy τzx τxy τxz τyz τxz τyx τxy τzy τzx σx dz σy Y dx
σy τyz
τyx
O σx
z X O x y
dy
σz
2.单元体上的应力分量 单元体上的应力分量 角标规定： （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 ）应力分量的角标规定 第一角标表示应力作用面， 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 （2）面的方位用其法线方向表示 ）
ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )],γ xy =
五、边界条件(应力,位移) 边界条件(应力,位移) 应力
Φ x = σ xl + τ xy m + τ yz n Φ y = τ yxl + σ y m + τ yz n Φ z = τ zxl + τ zy m + σ z n
四、协调方程
三、应力状态分类(按主应力)
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面； 主平面：单元体上剪应力为零的面； 主单元体：各面均为主平面的单元体， ②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面； 主平面；
z σz τzx τxz σx τxy τyx z' τzy τyz σy y 旋转 σ2 y' x' σ1 σ3
σ X τ YX τ ZX
τ XY τ XZ σ Y τ YZ τ ZY σ Z
应力符号规定： 应力符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一 则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。 致，则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。
Z
σz τzy τzx τxy τxz τyz τxz τyx τxy τzy τzx σx dz σy Y dx
σy τyz
τyx
O σx
z X O x y
dy
σz
2.单元体上的应力分量 单元体上的应力分量 角标规定： （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 ）应力分量的角标规定 第一角标表示应力作用面， 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 （2）面的方位用其法线方向表示 ）
ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )],γ xy =
五、边界条件(应力,位移) 边界条件(应力,位移) 应力
Φ x = σ xl + τ xy m + τ yz n Φ y = τ yxl + σ y m + τ yz n Φ z = τ zxl + τ zy m + σ z n
四、协调方程
三、应力状态分类(按主应力)
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面； 主平面：单元体上剪应力为零的面； 主单元体：各面均为主平面的单元体， ②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面； 主平面；
z σz τzx τxz σx τxy τyx z' τzy τyz σy y 旋转 σ2 y' x' σ1 σ3
σ X τ YX τ ZX
τ XY τ XZ σ Y τ YZ τ ZY σ Z
应力符号规定： 应力符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一 则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。 致，则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。
弹性力学_第三章应变.ppt
v
B"
B
u u dx x
线素AB的转角为： BB tg AB
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
变形的度量——应变
一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改 变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。 物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先 的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物 体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都 会有应变。
AB、AD的正应变 x 、 y ：
C'
D" D '
D C
dy
u
A
A'
B'
v v dx x
v
B"
B
u u dx x
dx 0 图 2-5
x
线素AB的正应变为： u (u dx)u u x x dx x 同理，AD的正应变为： v (v dy) v v y y dy y
§3-1 变形与应变概念
刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对 位置不变（即其体内任意两点之间距保持不变）。
第三章-各向异性弹性力学基础
判定依据是非零应力状态下，材料的弹性 应变能位正值，应变能应是应变（或应力）的 正定二次型。 1 W S ij i j 2
W 为 i 的正定二次型的充要条件是矩阵 S
的所有主要主子式大于零，即：
S11 0,
S11
S12
S 21 S 22
0, , det Sij 0
五、各向同性（2个弹性常数） E G E, 2(1 )
S11 S 12 S12 0 0 0 S12 S11 S12 0 0 0 S12 S12 S11 0 0 0 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 0 0 0
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有 E2 G23 2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1 , E2 , 21（或 12）， G12 ,G23 （或 23）
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）
取 x1 , x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
由a）、b）两坐标系中计算的应变能应该 相同，而在两坐标系下：
31 , 12 , 31 , 12（即 5 , 6 , 5 , 6 ）变号，可得：
xy
yz
前三个分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间 的协调关系；而后三者则分别是正应变和3个切 应变之间的协调关系。
W 为 i 的正定二次型的充要条件是矩阵 S
的所有主要主子式大于零，即：
S11 0,
S11
S12
S 21 S 22
0, , det Sij 0
五、各向同性（2个弹性常数） E G E, 2(1 )
S11 S 12 S12 0 0 0 S12 S11 S12 0 0 0 S12 S12 S11 0 0 0 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 0 0 0
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有 E2 G23 2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1 , E2 , 21（或 12）， G12 ,G23 （或 23）
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）
取 x1 , x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
由a）、b）两坐标系中计算的应变能应该 相同，而在两坐标系下：
31 , 12 , 31 , 12（即 5 , 6 , 5 , 6 ）变号，可得：
xy
yz
前三个分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间 的协调关系；而后三者则分别是正应变和3个切 应变之间的协调关系。
弹性力学课件第三章应变理论
有限元法的实现需要借助计算机编程，利用有限 元分析软件进行建模、求解和后处理。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
弹性力学-空间问题的应变分析 (第三章)
x y z yz zx xy 0
（ a）
代入几何方 程，有
v w u 0, 0, 0, y z x u w v u w v 0, 0 0, z x x y y z
积分式（a）中前三式，有
2
N l x m y n z mn yz nl zx lm xy
2 2 2
（3-5）
—— 任意方向线应变计算公式 任意点线应变的张量与矩阵表示：
N l 2 x m2 y n2 z mn yz nl zx lm xy
u0、v0、w0 分别为沿三个坐标轴方向的刚体位移。
对于平面情形，有
u u0 z y v v0 z x
3. 体积应变
设有一微小正平行六面体，棱长：x、y、z ， 变形前体积：V0
z
x y z
z
x
变形后的边长和体积分别为：
x x x, y y y, z z z;
f 3 ( x, y) i jx ky lxy
（c） 将以上三式代回式（c），得
将上式中的第二、第三式分别对z、 y 求偏导，有：
2 f ( y, z ) 0, 2 f1 ( y, z ) 0 2 1 y z
k f l hx 0 c j d l y 0 g b h d z 0
y
x
y
V (x x x) (y y y) (z z z ) xyz (1 x )(1 y )(1 z )
体积应变（相对体积改变） ：
V V0 xyz (1 x )(1 y )(1 z ) xyz e V0 xyz x y z x y y z z x x y z
弹性力学-第三章-应变状态分析
第三章应变状态分析位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明变形与应变分量切应变几何方程与应变张量位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义多连域的变形协调一、内容介绍本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。
因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。
由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。
对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。
因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。
这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。
当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。
应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。
假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。
这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。
在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。
二、重点1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2、几何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程与位移边界条件。
§3.1 位移分量与应变分量几何方程学习思路:知识点由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。
这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。
变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。
弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。
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第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0，l 的次要边界（小边界）上， 3F y2 x 0, (σ x ) x 0 0, ( xy ) x 0 (1 4 2 ); 2h h 12 Fl x l, (σ x ) x l 3 y , h 3F y2 ( xy ) x l (1 4 2 ). 2h h
ax2 不计体力时， 先来看
2 2 x 2 0, y 2 2a, y x
xy
2 0 xy
如取矩形板（或无限长柱 体），则对应于两侧受拉 （a>0）或两侧受压(a<0) 的情况。
第三章 平面问题的直角坐标解答
对应于 bxy 应力分量是:
2h
o
h/2
h/2
x y l ( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
解：按逆解法。 1. 将Φ 代入相容方程，可见 4Φ 0 是满足的。 有可能成为该问题的解。 Φ
2. 由Φ 求出应力分量,
2Φ 12 Fxy , σx 2 y h3 2Φ 0, σy 2 x y2 xy Φ 3F (1 4 2 ). xy 2h h
xy
x
xy
第三章 平面问题的直角坐标解答
其主矢量和主矩
x 0,
FN 0, M 0, FS xy x 0 dy F ;
h 2 h 2
x l , FN x x l dy 0, M x x l ydy Fl FS xy x l dy F ;
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
一、逆解法和半逆解法
（一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 根据边界条件求出面力 求出应力分量 x , y , xy 考察能解决什么问题
第三章 平面问题的直角坐标解答
（二）半逆解法的基本步骤： 否
根据问题的特 点设出部分应 力分量
2 2 2 x 2 0, x 2 0, xy b y x xy
可见能解决矩形板受均布剪力的问题。 同样 cy 能解决矩形 板受均布拉 （压）力的 情况。
2
ax2 bxy cy 2 能解决矩形板拉剪组合的问题。
第三章 平面问题的直角坐标解答
a bx cy
当不计体力时，对应的应力状态为：
x y xy 0
相应边界条件为： f x f y 0
可见线性函数对应于无面力无应力的状态。
故: 应力函数中加减一次式，不影响应力。
第三章 平面问题的直角坐标解答
2.二次式
ax2 bxy cy 2
M
x
y
l
( l >>h)
解：本题可取为平面应力问题或平面应变问题，取决 于梁的宽度。先视为平面应力问题，取单位宽度。
第三章 平面问题的直角坐标解答
x
6ay, y 0, xy 0
这一解答已满足了平衡微分方程和相容方程，只要 满足了应力边界条件，即为正确解答。
是
求出应力函数 否 是否满足 边界条件
是否满足 相容方程
是
求出其他应力分量
结束
第三章 平面问题的直角坐标解答
二、平面问题的多项式解答
1, x, y, x 2 , y 2 , x 2 y, xy 2 , x 3 , y 3 不难验证：
等项及它们的线性组合均满足相容方程。下面用逆 解法确定一下各种多项式能解决的问题。 1.一次式
x dy 2ch P
P 2c h
x ydy 0
xy 0
第三章 平面问题的直角坐标解答
思考与练习（P49）
• 3-1 • 3-2
1 h3 注意到梁截面的惯性矩是 I 12
My x I
上述解答和材料力学中是一致的。
试用应力函数 cy 求图示问题的应力。
2
P
h
P
1
第三章 平面问题的直角坐标解答
x 2c, y 0, xy 0
利用小边界条件可求得：
h 2 h 2 h 2 h 2
在上下边界应满足： ( y ) 显然成立。
h y 2
0, ( xy )
h y 2
0
第三章 平面问题的直角坐标解答
在左右边界无切 向力，要求：
xy x 0 , x l
0
显然成立。 而小边界的正应力边界条件显然无法精确满足， 只能用圣维南原理使其满足积分边界条件。即：
2
第三章 平面问题的直角坐标解答
3. 由边界形状和应力分量反推边界上的面力。
σ
在主要边界（大边界）y h / 2 上，
y y h 2
0,
2 3F y (1 4 2 ). 0 h y h 2h 2
xy y h 2
因此，在 y h / 2 的边界面上，无任何 面力作用，即 f x f y 0
3．
ay
3
对应的应力分量式：
2 x 2 6ay, y
y xy 0
如图如果矩形梁侧面尺寸较小，面力可简化为两 个力偶，则对应的是纯弯曲的问题。
第三章 平面问题的直角坐标解答
例 设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考 F 察应力函数 Φ 3 xy(3h 2 4 y 2 ) 能解决什 么样的受力问题？
h 2 h 2 h 2 h 2
h 2 h 2
第三章 平面问题的直角坐标解答
F
F
M＝Fl
由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬 臂梁在x = 0处受集中力F作用的问题。
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-2 矩形梁的纯弯曲
如图，纯弯曲矩形梁，不计体力，试求其应力及位移。
o
M
h/2 h/2
h 2 h 2
x dy 6aydy 0
h 2 h 2
h 2 h 2
x ydy 6ay dy M
2
h 2 h 2
第一式总能满足，第二式要求：
2M a 3 h
第三章 平面问题的直角坐标解答
即应力解答为： 12 M x 3 y, y 0, xy 0 h